Золотое сечение

Иррациональные числа Шаблон:Вещественные константы
Система счисления	Оценка числа Φ
Десятичная	1.6180339887498948482…
Двоичная	1.1001111000110111011…
Шестнадцатеричная	1.9E3779B97F4A7C15F39…
Шестидесятеричная	1; 37 04 55 20 29 39 …
Рациональные приближения	3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; … $F_{n+1}/F_{n}$, где $F_{n}$ — числа Фибоначчи (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь	$1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}$

Шаблон:Врезка Шаблон:Значения Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) — соотношение двух величин $a$ и $b$, при котором большая величина относится к меньшей так же как сумма величин к большей, то есть: ${\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}.$ Исторически изначально в древнегреческой математике золотым сечением именовалось деление отрезка $AB$ точкой $C$ на две части так, что большая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей: ${\frac {BC}{AC}}={\frac {AB}{BC}}$. Позже это понятие было распространено на произвольные величины.

Число, равное отношению $a/b$, обычно обозначается прописной греческой буквой $\Phi$, в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия, реже — греческой буквой $\tau$. Из исходного равенства (например, представляя a или даже a/b независимой переменной и решая выводимое из исходного равенства квадратное уравнение) нетрудно получить, что число

$\Phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$

Обратное число, обозначаемое строчной буквой $\varphi$,

$\varphi ={\frac {1}{\Phi }}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\approx 0.61803$

Отсюда следует, что

$\varphi =\Phi -1$.

Число $\Phi$ называется также золотым числом.

Для практических целей ограничиваются приблизительным значением $\Phi$ = 1,618 или $\Phi$ = 1,62. В процентном округлённом значении золотое сечение — это деление какой-либо величины в отношении 62 % и 38 %.

Иллюстрация к определению

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства.

История

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (Шаблон:Lang-el2) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, усматривал в этом отношении «божественную суть», выражающую триединство Бога Отца, Сына и Святого Духа.

Неизвестно точно, кто и когда именно впервые ввел в обращение термин «золотое сечение». Несмотря на то, что некоторые авторитетные авторы связывают появление этого термина с Леонардо да Винчи в XV веке или относят появление этого термина к XVI веку, самое раннее употребление этого термина находится у Мартина Ома в 1835 году в примечании ко второму изданию его книги «Чистая элементарная математика», в котором Ом пишет, что это сечение часто называют золотым сечением (Шаблон:Lang-de). Из текста примечания Ома следует, что Ом не придумал этот термин самШаблон:Sfn—, хотя некоторые авторы утверждают обратное. Тем не менее, исходя из того, что Ом не употребляет этот термин в первом издании своей книги, Роджер Герц-Фишлер делает вывод о том, что этот термин, возможно, появился в первой четверти XIX века.Шаблон:Sfn Марио Ливио считает, что он получил популярность в устной традиции около 1830 года.Шаблон:Sfn В любом случае, этот термин стал распространён в немецкой математической литературе после Ома.Шаблон:Sfn

Математические свойства

• $\Phi$ — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения $x^{2}-x-1=0$, откуда, в частности, следуют соотношения:

  $\Phi ^{2}-\Phi =1,$

  $\Phi \cdot (\Phi -1)=1.$

• Для чисел $\Phi$ и $\varphi ={\frac {1}{\Phi }}$ верны следующие равенства:
  • $\Phi ^{\Phi }\cdot \varphi ^{\varphi }=\Phi$
  • $\Phi ^{\varphi }\cdot \varphi ^{\Phi }=\varphi$
    

• $\Phi$ — представляется еще через тригонометрические функции:
  • $\Phi =2\cos {\frac {\pi }{5}}=2\cos 36^{\circ }.$
  • $\Phi =2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }.$

• При делении пополам угла между диагональю и меньшей стороной прямоугольника с отношением сторон 1:2 по формуле тангенса половинного угла получаем соотношение

${\frac {1}{\Phi }}=\varphi =\operatorname {tg} \left({\frac {\operatorname {arctg} (2)}{2}}\right)={\frac {2}{1+{\sqrt {1+2^{2}}}}}={\frac {2}{1+{\sqrt {5}}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.$

• $\Phi$ представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:

  $\Phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dots }}}}}}}}.$

• $\Phi \;$ представляется в виде бесконечной цепной дроби

  $\Phi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\dots }}}}}},$

подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи ${\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}$. Таким образом,

• $\Phi =\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}.$

• Мера иррациональности $\Phi$ равна 2.

Отрезание квадрата от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения

• Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон $\Phi =a/b$, что и у исходного прямоугольника $\Phi =(a+b)/a$.

Золотое сечение в пятиконечной звезде

• В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении. На приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны $\Phi$. Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно $\Phi$.

Построение золотого сечения

• Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка $AB$ можно построить следующим образом: в точке $B$ восстанавливают перпендикуляр к $AB$, откладывают на нём отрезок $BC$, равный половине $AB$, на отрезке $AC$ откладывают отрезок $CD$, равный $BC$, и наконец, на отрезке $AB$ откладывают отрезок $AE$, равный $AD$. Тогда

$\Phi ={\frac {|AB|}{|AE|}}={\frac {|AE|}{|BE|}}.$

Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения

• Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения, — начертить сначала квадрат ABCD со стороной 1. После этого одну из сторон, например сторону AD, разделить точкой E пополам, так что AE=DE=1/2. От точки B или C до точки E провести гипотенузу треугольника АВЕ или DCE. Согласно теореме Пифагора ВE=СE=${\frac {\sqrt {5}}{2}}$. Затем провести дугу с центром в точке Е от точки В или точки С до момента её пересечения с продолжением стороны АD (точкой пересечения дуги и продолжения стороны АD пусть будет точка Н). Как радиусы круга BE=СЕ=ЕН. Так как АН=АЕ+ЕН, результатом будет отрезок АН длиной $\Phi$. Так как DH=EH-ED, другим результатом будет отрезок DH длиной $\varphi$.

• Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.
• Значения дроби после запятой для $\Phi$, ${\frac {1}{\Phi }}$ и $\Phi ^{2}$ в любой системе счисления будут равны.
• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}=2\ln ^{2}\varphi$

Тогда как $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}$Шаблон:Нет АИ

Золотое сечение в науке

Общее сопротивление этой бесконечной цепи равно Фr.

Золотое число возникает в разных задачах, в том числе в физике. Например, бесконечная электрическая цепь, приведенная на рисунке, имеет общее сопротивление (между двумя левыми концами) Ф·r.

Отношение амплитуд колебаний и частот ~ Ф.

Существуют колебательные системы, физические характеристики которых (отношения частот, амплитуд и др.) пропорциональны золотому сечению. Самый простой пример — система из двух шариков, соединенных последовательно пружинами одинаковой жесткости (см. рисунок).

Полностью эти две задачи рассматриваются в книге «В поисках пятого порядка», глава «Две простые задачки». Более сложные примеры на механические колебания и их обобщения рассматриваются в этой же книге, в главе «Обобщения одной простой задачи по механике». В книге приведено много примеров проявления и применения золотого сечения в различных областях наук — небесной механике, физике, геофизике, биофизике, физической химии, биологии, физиологии.

Золотое сечение сильно связано с симметрией пятого порядка, наиболее известными трехмерными представителями которой являются додекаэдр и икосаэдр. Можно сказать, что всюду, где в структуре проявляются додекаэдр, икосаэдр или их производные, там в описании будет появляться и золотое сечение. Например, в пространственных группировках из Бора: В-12, В-50, В-78, В-84, В-90, …, В-1708, имеющих икосаэдрическую симметрию. Молекула воды, у которой угол расхождения связей Н-О равен 104.7⁰ , то есть близок к 108 градусам (угол в правильном пятиугольнике), может соединяться в плоские и трехмерные структуры с симметрией пятого порядка. Так в разреженной плазме был обнаружен Н⁺(Н₂0)₂₁, который представляет из себя ион Н₃0⁺, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра. В 80-х годах XX века были получены клатратные соединения, содержащие гексааквакомплекс кальция, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра. Есть и клатратные модели воды, в которых обыкновенная вода отчасти состоит из молекул воды, соединенных в структуры с симметрией пятого порядка. Такие структуры могут состоять из 20, 57, 912 молекул воды.

Золотое сечение и гармония в искусстве

Золотое сечение и зрительные центры

Некоторые из утверждений в доказательство гипотезы знания древними правила золотого сечения:

• Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.
• Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги A0 и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов — например, 4:3 или 16:9) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми»Шаблон:Нет АИ.
• Следует отметить, что сама пропорция является, скорее, эталонным значением, матрицей, отклонения от которой у биологических видов, возможно, вызваны приспособлением к окружающей среде в процессе жизни. Примером таких «отклонений» может служить морская камбала.

Один из типов мозаики Пенроуза

Примеры сознательного использования

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения». Российский зодчий И. В. Жолтовский использовал золотое сечение в своих проектах. Иоганн Себастьян Бах в своей трёхголосной инвенции E-dur № 6 BWV 792 использовал двухчастную форму, в которой соотношение размеров частей соответствует пропорциям золотого сечения. 1 часть — 17 тактов, 2 часть — 24 такта (небольшие несоответствия выравниваются за счёт ферматы в 34 такте)Шаблон:Нет АИ.

Современными примерами применения золотого сечения может служить мозаика Пенроуза и пропорции государственного флага Того. Шаблон:Clear

Золотое сечение в биологии и медицине

Золотое сечение в природе

Живые системы также обладают свойствами, характерными для «золотого сечения». Например: пропорции тел, спиральные структуры или параметры биоритмовШаблон:Проверить авторитетность и др.

См. также

• Золотая спираль
• Пифагорейский пентакл
• Фибоначчиева система счисления
• Правило третей
• Метод золотого сечения
• Сверхзолотое сечение
• Золотой угол
• Числа Фибоначчи

Литература

• Аракелян Г. Б. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.
• Бендукидзе А. Д. Золотое сечение «Квант» № 8, 1973
• Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика).
• Власов В. Г. Золотое сечение, или Божественная пропорция // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства: В 10 т. — Т.3. — СПб.: Азбука-Классика, 2005. — С.725-732.
• Власов В. Г. Приемы гармонизации пространства в классической архитектуре // Власов В. Г. Искусство России в пространстве Евразии. — Т.3. Классическое искусствознание и «русский мир». — СПб.: Дмитрий Буланин, 2012. — С.156-192.
• Мазель, Л.А. Опыт исследования золотого сечения в музыкальных построениях в свете общего анализа форм // Музыкальное образование. – 1930. – № 2. – С. 24-33.
• Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2-3. — С. 32-56.
• Шмигевский Н. В. Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С.2-7.
• Шаблон:Книга Русский перевод в

Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

Ссылки

• В. С. Белнин, «Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа»
• А. В. Радзюкевич, К вопросу о научном изучении пропорций в архитектуре и искусстве.
• А. В. Радзюкевич, Критический анализ Адольфа Цейзинга — основоположника гипотезы «золотого сечения».
• Шевелев И. Ш., Марутаев М. А., Шмелев И. П. Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии. - М.: Стройиздат, 1990. - 343 с., ил.
• Статья о золотом сечении в изобразительном искусстве, Золотое сечение в изобразительном искусстве
• Шаблон:Cite web
• Функция Фибоначчи в Wolfram alpha