Просмотр кода страницы Золотое сечение

{| class="infobox" style="width:370px"
| colspan="2" align="center" | [[Иррациональное число|Иррациональные числа]] <br /> {{Вещественные константы|inline=1}}
|- style="background:#f0f0f0"
| nowrap="nowrap" | '''Система счисления''' || '''Оценка числа Φ'''
|-
|align="right"| [[Десятичная система счисления|Десятичная]] || 1.6180339887498948482…
|-style="background:#f0f0f0"
|align="right"| [[Двоичная система счисления|Двоичная]] || 1.1001111000110111011…
|-
|align="right"| [[Шестнадцатеричная система счисления|Шестнадцатеричная]] || 1.9E3779B97F4A7C15F39…
|-style="background:#f0f0f0"
|align="right"| [[Шестидесятеричная система счисления|Шестидесятеричная]] || 1; 37 04 55 20 29 39 …
|-
|align="right"| [[Рациональные приближения]]|| <sup>3</sup>/<sub>2</sub>; <sup>5</sup>/<sub>3</sub>; <sup>8</sup>/<sub>5</sub>; <sup>13</sup>/<sub>8</sub>; <sup>21</sup>/<sub>13</sub>; <sup>34</sup>/<sub>21</sub>; <sup>55</sup>/<sub>34</sub>; <sup>89</sup>/<sub>55</sub>; …
<small><math>F_{n+1}/F_n</math>, где <math>F_n</math> — [[числа Фибоначчи]]
(перечислено в порядке увеличения точности)</small>
|-style="background:#f0f0f0"
|align="right"| [[Непрерывная дробь]] ||<math>1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}</math>
|-
|}
{{Врезка | Выравнивание = right | Ширина = 30em | Содержание =
<div style="text-align:right">
1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576
2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 
8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766
7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963
1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221
2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053
1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710
1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834
7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 
8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115
8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131
7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175
3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093
9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264
7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149
9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
</div>
 | Подпись         =<hr />
Первая тысяча знаков значения Φ<ref>Взята из примера результата компьютерного расчета (1996 года) с гораздо большим числом знаков, чем 1000 [https://www.cs.arizona.edu/icon/oddsends/phi.htm Golden ratio 1000 digits] {{Wayback|url=https://www.cs.arizona.edu/icon/oddsends/phi.htm |date=20150306060627 }}</ref>.
}}
{{Значения|Золотое сечение (значения)}}
'''Золотое сечение''' ('''золотая пропорция''', '''деление в крайнем и среднем отношении''', '''[[Гармоническая пропорция|гармоническое деление]]''') — [[соотношение]] двух величин <math>a</math> и <math>b</math>, при котором большая величина относится к меньшей так же как сумма величин к большей, то есть: <math>\frac{a}{b} = \frac{a+b}{a}.</math> 
Исторически изначально в [[Математика в Древней Греции|древнегреческой математике]] золотым сечением именовалось деление отрезка <math>AB</math> точкой <math>C</math> на две части так, что ''большая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей'': <math>\frac{BC}{AC} = \frac{AB}{BC}</math>. Позже это понятие было распространено на произвольные величины. 

Число, равное отношению <math>a/b</math>, обычно обозначается прописной греческой буквой <math>\Phi</math>, в честь древнегреческого скульптора и архитектора [[Фидий|Фидия]]<ref name="Савин">{{статья |автор= Савин А.|заглавие= Число Фидия - золотое сечение|ссылка= http://kvant.mccme.ru/pdf/1997/06/kv0697kaleid.pdf|язык= Русский|издание= "Квант"|тип= Научно-популярный физико-математический журнал (издается с января 1970 года)|год= 1997|месяц= |число= |том= |номер= 6|страницы= |doi= |issn=}}</ref>, реже — греческой буквой <math>\tau</math>.
Из исходного равенства (например, представляя a или даже a/b независимой переменной и решая выводимое из исходного равенства квадратное уравнение) нетрудно получить, что число
:<math>\Phi=\frac{\sqrt5+1}2</math>
Обратное число, обозначаемое строчной буквой <math>\varphi</math><ref name="Савин" />,
:<math>\varphi=\frac1\Phi=\frac{\sqrt5 - 1}2\approx0.61803</math>
: 
Отсюда следует, что
: <math>\varphi = \Phi-1</math>.
Число <math>\Phi</math> называется также '''золотым числом'''.

Для практических целей ограничиваются приблизительным значением <math>\Phi</math> = 1,618 или <math>\Phi</math> = 1,62. В процентном округлённом значении золотое сечение — это деление какой-либо величины в отношении 62 % и 38 %.

[[Файл:Золотое_сечение_Alexey_ND.jpg|thumb|Иллюстрация к определению]]

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства<ref name="раздюкевич">[http://www.sibdesign.ru/index.php?text=1&razdel=stat&textnew=20030615041954 Радзюкевич А. В. Красивая сказка о «золотом сечении»]</ref><ref name="Livio">Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World’s Most Astonishing Number</ref><ref name="myth">Devlin’s Angle, [https://web.archive.org/web/20070523075937/http://www.maa.org/devlin/devlin_05_07.html The Myth That Will Not Go Away]</ref>.

== История ==
В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении ({{lang-el2|ἄκρος καὶ μέσος λόγος}}) впервые встречается в [[Начала Евклида|«Началах» Евклида]] (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения [[правильный пятиугольник|правильного пятиугольника]].

[[Пачоли, Лука|Лука Пачоли]], современник и друг [[Леонардо да Винчи]], усматривал в этом отношении «божественную суть», выражающую триединство Бога Отца, Сына и Святого Духа<ref name="Лаврус">[http://www.n-t.ru/tp/iz/zs.htm ''В. Лаврус'', Золотое сечение]</ref>.

Неизвестно точно, кто и когда именно впервые ввел в обращение термин «золотое сечение». Несмотря на то, что некоторые авторитетные авторы связывают появление этого термина с [[Леонардо да Винчи]] в XV веке<ref>{{Книга|автор = François Lasserre|год = 1964-01-01|страниц = 200|издательство = American Research Council|заглавие = The birth of mathematics in the age of Plato|ссылка = https://books.google.com/books?id=c9_uAAAAMAAJ|pages = 76}}</ref> или относят появление этого термина к XVI веку<ref>{{cite book|first=Carl B.|last=Boyer|authorlink=Carl Benjamin Boyer|title=A History of Mathematics|edition=Second Edition|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|year=1991|isbn=0-471-54397-7|page=50}}</ref>, самое раннее употребление этого термина находится у [[Мартин Ом|Мартина Ома]] в 1835 году в примечании ко второму изданию его книги «Чистая элементарная математика»<ref>{{Книга|автор = Martin Ohm|год = 1835|страниц = 454|издательство = Jonas Verlags-buchhandlung|заглавие = Die reine Elementar-Mathematik|ссылка = https://books.google.com/books?id=KS3yAAAAMAAJ|страницы = 194|издание = 2-е изд}}</ref>, в котором Ом пишет, что это сечение часто называют золотым сечением ({{lang-de|goldener Schnitt}}). Из текста примечания Ома следует, что Ом не придумал этот термин сам{{sfn|Herz-Fischler|2013|p=168}}—, хотя некоторые авторы утверждают обратное<ref>{{статья|автор= Василенко С. Л.|заглавие= Знак-символ золотого сечения|ссылка= http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321196.htm|издание= Академия Тринитаризма|место= М.|издательство=|год=05.02.2011|номер= Эл № 77-6567, публ. 16335}}</ref>. Тем не менее, исходя из того, что Ом не употребляет этот термин в первом издании своей книги<ref>{{Книга|автор = Martin Ohm|год = 1826|страниц = 492|заглавие = Die reine Elementar-Mathematik|ссылка = https://books.google.com/books?id=Iq41AAAAcAAJ|pages = 188|издание = 1-е изд.|место = Berlin}}</ref>, Роджер Герц-Фишлер делает вывод о том, что этот термин, возможно, появился в первой четверти XIX века.{{sfn|Herz-Fischler|2013|p=169}} [[Марио Ливио]] считает, что он получил популярность в устной традиции около 1830 года.{{sfn|Livio|2008|p=7}} В любом случае, этот термин стал распространён в немецкой математической литературе после Ома.{{sfn|Herz-Fischler|2013|p=169-170}}

== Математические свойства ==
* <math>\Phi</math> — [[иррациональное число|иррациональное]] [[алгебраическое число]], положительное решение квадратного уравнения <math>x^2 - x - 1 = 0</math>, откуда, в частности, следуют соотношения:
*: <math>\Phi^2- \Phi=   1,</math>
*: <math>\Phi\cdot (\Phi - 1) = 1.</math>
*Для чисел  <math>\Phi</math>  и  <math>\varphi = \frac 1\Phi</math> верны следующие равенства:
**<math>\Phi^\Phi\cdot \varphi^\varphi = \Phi</math>
**<math>\Phi^\varphi\cdot \varphi^\Phi = \varphi</math><br />

*<math>\Phi</math> — представляется еще через [[тригонометрия|тригонометрические функции]]:
**<math>\Phi = 2  \cos \frac{\pi}5 = 2  \cos 36^\circ.</math>
**<math>\Phi = 2  \sin (3\pi/10) = 2 \sin 54^\circ. </math>

:* При делении пополам угла между диагональю и меньшей стороной прямоугольника с отношением сторон 1:2 по [[формула тангенса половинного угла|формуле тангенса половинного угла]] получаем соотношение

:: <math>\frac 1\Phi = \varphi = \operatorname{tg} \left ( \frac {\operatorname{arctg}(2)}{2} \right ) = \frac {2}{1+\sqrt{1+2^2}} = \frac {2}{1+\sqrt5} = \frac {\sqrt5-1}{2}.</math>

* <math>\Phi</math> представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:
*: <math>\Phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}}}.</math>
* <math>\Phi\;</math> представляется в виде бесконечной [[цепная дробь|цепной дроби]]
*: <math>\Phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1+\dots}}},</math>
: подходящими дробями которой служат отношения последовательных [[числа Фибоначчи|чисел Фибоначчи]] <math>\frac{F_{n+1}}{F_n}</math>. Таким образом,
*: <math>\Phi = \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}.</math>
* [[Мера иррациональности]] <math>\Phi</math> равна 2.

[[Файл:Rechteck GoldenerSchnitt.gif|thumb|190px|Отрезание квадрата от&nbsp;прямоугольника, построенного по&nbsp;принципу золотого сечения]]
* Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон <math>\Phi = a/b </math>, что и у исходного прямоугольника <math>\Phi = (a+b)/a </math>.

{{clear}}
[[Файл:Pentagram-phi.svg|right|thumb|190px|Золотое сечение в&nbsp;пятиконечной звезде]]
* В правильной [[Пентаграмма|пятиконечной звезде]] каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении. На приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны <math>\Phi</math>. Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно <math>\Phi</math>.

{{clear}}
[[Файл:Construction of a golden ratio.svg|right|thumb|190px|Построение золотого сечения]]
* '''Геометрическое построение.''' Золотое сечение отрезка <math>AB</math> можно [[построение с помощью циркуля и линейки|построить]] следующим образом: в точке <math>B</math> восстанавливают перпендикуляр к <math>AB</math>, откладывают на нём отрезок <math>BC</math>, равный половине <math>AB</math>, на отрезке <math>AC</math> откладывают отрезок <math>CD</math>, равный <math>BC</math>, и наконец, на отрезке <math>AB</math> откладывают отрезок <math>AE</math>, равный <math>AD</math>. Тогда
: <math>\Phi=\frac{|AB|}{|AE|}=\frac{|AE|}{|BE|}.</math>

{{clear}}
[[Файл:Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения.PNG|right|thumb|190px|Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения]]
* '''Другой способ построить''' отрезок, равный по длине числу золотого сечения, — начертить сначала квадрат ''ABCD'' со стороной 1. После этого одну из сторон, например сторону ''AD'', разделить точкой ''E'' пополам, так что ''AE=DE''=1/2. От точки ''B'' или ''C'' до точки ''E'' провести гипотенузу треугольника ''АВЕ'' или ''DCE''. Согласно теореме Пифагора ''ВE''=''СE''=<math>\frac{\sqrt5}2</math>. Затем провести дугу с центром в точке ''Е'' от точки ''В'' или точки ''С'' до момента её пересечения с продолжением стороны ''АD'' (точкой пересечения дуги и продолжения стороны ''АD'' пусть будет точка ''Н''). Как радиусы круга ''BE=СЕ=ЕН''. Так как ''АН=АЕ+ЕН'', результатом будет отрезок ''АН'' длиной <math>\Phi</math>. Так как ''DH=EH-ED'', другим результатом будет отрезок ''DH'' длиной <math>\varphi</math><ref>{{Книга|автор = Тони Крилли|isbn = 9785864716700|страниц = 209|издательство = Phantom Press|заглавие = Математика: 50 идей, о которых нужно знать|ссылка = https://books.google.com/books?id=fLEwBQAAQBAJ|оригинал = [https://books.google.com/books?id=XfYSKAAACAAJ 50 Mathematical Ideas you really need to know]}}</ref>.

{{clear}}
* Отношение [[диагональ|диагонали]] правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.
* Значения дроби после запятой для <math>\Phi</math>, <math>\frac1\Phi</math> и <math>\Phi^2</math> в любой системе счисления будут равны<ref>{{Cite web|url = https://numsys.ru/|title =Системы счисления |author = |date = |publisher = }}</ref>.
* <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2 \binom{2n}{n}}=2\ln^2\varphi</math>
Тогда как <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 \binom{2n}{n}}=\frac{\pi^2}{18}</math>{{нет АИ|22|01|2016}}

== Золотое сечение в науке ==
[[Файл:Эл. цепь.jpg|мини|Общее сопротивление этой бесконечной цепи равно Фr.]]
Золотое число возникает в разных задачах, в том числе в физике. Например, бесконечная [[электрическая цепь]], приведенная на рисунке, имеет общее [[Электрическое сопротивление|сопротивление]] (между двумя левыми концами) Ф·r.

[[Файл:Два шара на пружинах. .jpg|мини|150x150px|Отношение амплитуд колебаний и частот ~ Ф.]]
Существуют [[Колебательная система|колебательные системы]], физические характеристики которых (отношения [[Частота|частот]], [[Амплитуда|амплитуд]] и др.) пропорциональны золотому сечению. Самый простой пример — система из двух шариков, соединенных последовательно [[пружина]]ми одинаковой [[Жёсткость|жесткости]] (см. рисунок).

Полностью эти две задачи рассматриваются в книге «В поисках пятого порядка», глава «Две простые задачки»<ref>{{Книга|автор=Ковалев А.Н.|заглавие=В поисках пятого порядка|ответственный=|издание=|место=|издательство=|год=2017|страницы=|страниц=374|isbn=978-5-4485-3753-0|isbn2=}}</ref>. Более сложные примеры на механические колебания и их обобщения рассматриваются в этой же книге, в главе «Обобщения одной простой задачи по механике». В книге приведено много примеров проявления и применения золотого сечения в различных областях наук — [[Небесная механика|небесной механике]], [[физик]]е, [[Геофизика|геофизике]], [[Биофизика|биофизике]], [[Физическая химия|физической химии]], [[Биология|биологии]], [[физиолог]]ии.

Золотое сечение сильно связано с [[Вращательная симметрия|симметрией]] пятого порядка, наиболее известными трехмерными представителями которой являются [[Правильный додекаэдр|додекаэдр]] и [[Икосаэдр|икосаэдр]]. Можно сказать, что всюду, где в структуре проявляются додекаэдр, икосаэдр или их производные, там в описании будет появляться и золотое сечение. Например, в пространственных группировках из Бора: В-12, В-50, В-78, В-84, В-90, …, В-1708, имеющих икосаэдрическую симметрию<ref>{{Книга|автор=|заглавие=Современная Кристаллография|ответственный=под ред. Вайнштейна Б. К.|издание=Т.2|место=М.|издательство=Мир|год=1979|страницы=|страниц=|isbn=|isbn2=}}</ref>.
[[Молекула воды|Молекула воды]], у которой угол расхождения связей Н-О равен 104.7<sup>0</sup> , то есть близок к 108 градусам (угол в [[Правильный пятиугольник|правильном пятиугольнике]]), может соединяться в плоские и трехмерные структуры с симметрией пятого порядка. Так в разреженной [[плазма|плазме]] был обнаружен Н<sup>+</sup>(Н<sub>2</sub>0)<sub>21</sub>, который представляет из себя ион Н<sub>3</sub>0<sup>+</sup>, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра<ref>{{Статья|автор=Holland P. M. Casteiman A. W.|заглавие=A model for the formation and stabilization of chorqed water cluthrates|ссылка=|язык=|издание=J. Chem. Phys.|тип=|год=1980|месяц=|число=|том=72|номер=1(11)|страницы=5984|issn=}}</ref>. В 80-х годах XX века были получены [[клатратные соединения]], содержащие [[гексааквакомплекс кальция]], окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра<ref>{{Книга|автор=|заглавие=Электромагнитные поля в биосфере|ответственный=|издание=Сборник трудов конференции, Т.2|место=М.|издательство=|год=1984|страницы=22|страниц=|isbn=|isbn2=}}</ref>. Есть и клатратные модели воды, в которых обыкновенная вода отчасти состоит из молекул воды, соединенных в структуры с симметрией пятого порядка. Такие структуры могут состоять из 20, 57, 912 молекул воды<ref>{{Книга|автор=Зенин С.В.|заглавие=Структурированное состояние воды как основа управления поведением и безопасностью живых систем|ответственный=|издание=Диссертация докт. биол. наук|место=М.|издательство=|год=1999|страницы=|страниц=|isbn=|isbn2=}}</ref>.

== Золотое сечение и гармония в искусстве ==
[[Файл:Gold&kadr.jpg|left|thumb|190px|Золотое сечение и&nbsp;зрительные центры]]
Некоторые из утверждений в доказательство гипотезы знания древними правила золотого сечения:
* Пропорции [[пирамида Хеопса|пирамиды Хеопса]], храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы [[Тутанхамон]]а свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.
* Согласно [[Ле Корбюзье]], в рельефе из храма фараона [[Сети I]] в [[Абидос]]е и в рельефе, изображающем фараона [[Рамсес II|Рамзеса]], пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма [[Парфенон]]а также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города [[Помпеи]] (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. При обсуждении оптимальных соотношений сторон прямоугольников (размеры листов бумаги [[Формат бумаги|A0]] и кратные, размеры фотопластинок (6:9, 9:12) или кадров фотоплёнки (часто 2:3), размеры кино- и телевизионных экранов — например, 4:3 или 16:9) были испытаны самые разные варианты. Оказалось, что большинство людей не воспринимает золотое сечение как оптимальное и считает его пропорции «слишком вытянутыми»{{нет АИ|29|07|2009}}.
* Следует отметить, что сама пропорция является, скорее, эталонным значением, матрицей, отклонения от которой у биологических видов, возможно, вызваны приспособлением к окружающей среде в процессе жизни. Примером таких «отклонений» может служить морская камбала.
[[Файл:Penrose Tiling (Rhombi).svg|right|thumb|190px|Один из типов [[Мозаика Пенроуза|мозаики Пенроуза]]]]
=== Примеры сознательного использования ===
Начиная с [[Леонардо да Винчи]], многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения». Российский зодчий [[Жолтовский, Иван Владиславович|И. В. Жолтовский]] использовал золотое сечение в своих проектах<ref>[http://www.architektor.ru/ai/2004_1/kordo.htm Золотой запас зодчества] {{Wayback|url=http://www.architektor.ru/ai/2004_1/kordo.htm |date=20090129140645 }}</ref>.
[[Иоганн Себастьян Бах]] в своей трёхголосной инвенции E-dur № 6 BWV 792 использовал двухчастную форму, в которой соотношение размеров частей соответствует пропорциям золотого сечения. 1 часть — 17 тактов, 2 часть — 24 такта (небольшие несоответствия выравниваются за счёт [[фермата|ферматы]] в 34 такте){{нет АИ|4|03|2017}}.

Современными примерами применения золотого сечения может служить [[мозаика Пенроуза]] и пропорции [[Флаг Того|государственного флага]] [[Того]].
{{clear}}

== Золотое сечение в биологии и медицине ==
[[Файл:Nautilus Section cut Logarithmic spiral.jpg|right|thumb|190px|Золотое сечение в&nbsp;природе]]

Живые системы также обладают свойствами, характерными для «золотого сечения». Например: пропорции тел, спиральные структуры или параметры биоритмов<ref>[http://314159.ru/tsvetkov/tsvetkov2.htm Цветков, В. Д. Сердце, золотое сечение и симметрия. — Пущино: ПНЦ РАН, 1997. — 170 с.]</ref>{{Проверить авторитетность|2|08|2017|c=Необычные утверждения требуют серьёзных доказательств. — [[У:Alexei Kopylov|Алексей Копылов]]|link=[[ВП:НЕВЕРОЯТНО]]}} и др.

== См. также ==

* [[Золотая спираль]]
* [[Пифагорейский пентакл]]
* [[Фибоначчиева система счисления]]
* [[Правило третей]]
* [[Метод золотого сечения]]
* [[Сверхзолотое сечение]]
* [[Золотой угол]]
* [[Числа Фибоначчи]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==

* ''Аракелян Г. Б.'' Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.
* ''Бендукидзе А. Д.'' [http://kvant.mccme.ru/1973/08/zolotoe_sechenie.htm Золотое сечение] «[[Квант (журнал)|Квант]]» № 8, 1973
* ''Васютинский Н. А.'' Золотая пропорция. — М.: [[Молодая гвардия (издательство)|Молодая гвардия]], 1990. — 238[2]c. — ([[Эврика (серия книг)|Эврика]]).
* ''Власов В. Г.'' Золотое сечение, или Божественная пропорция // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства: В 10 т. — Т.3. — СПб.: Азбука-Классика, 2005. — С.725-732.
* ''Власов В. Г.'' Приемы гармонизации пространства в классической архитектуре // Власов В. Г. Искусство России в пространстве Евразии. — Т.3. Классическое искусствознание и «русский мир». — СПб.: Дмитрий Буланин, 2012. — С.156-192.
* ''Мазель, Л.А.'' Опыт исследования золотого сечения в музыкальных построениях в свете общего анализа форм // Музыкальное образование. – 1930. – № 2. – С. 24-33.
* ''Сабанеев Л. Л.'' Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2-3. — С. 32-56.
* ''Шмигевский Н. В.'' Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С.2-7.
* {{Книга|автор = Mario Livio|год = 2008|isbn = 9780307485526|страниц = 303|издательство = Crown/Archetype|заглавие = The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number|ссылка = https://books.google.com/books?id=bUARfgWRH14C|ref=Livio}} Русский перевод в
: {{Книга|автор = [[Марио Ливио]]|год = 2015-04-17|isbn = 9785457762732|страниц = 481|издательство = Litres|заглавие = φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания|ссылка = https://books.google.com/books?id=t9lICAAAQBAJ}}
* {{Книга|автор = Roger Herz-Fischler|год = 2013|isbn = 9780486152325|страниц = 228|издательство = Courier Corporation|заглавие = A Mathematical History of the Golden Number|ссылка = https://books.google.com/books?id=aYjXZJwLARQC|ref=Herz-Fischler}}

== Ссылки ==
{{навигация}}
* ''В. С. Белнин'', [https://web.archive.org/web/20090513042233/http://www.a3d.ru/architecture/stat/182 «Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа»]
* ''А. В. Радзюкевич'', [http://elib.altstu.ru/elib/books/Files/pv2014_01/pdf/159radzukevich.pdf К вопросу о научном изучении пропорций в архитектуре и искусстве].
* ''А. В. Радзюкевич'', [http://marhi.ru/AMIT/2014/4kvart14/radzukevich/radzukevich.pdf Критический анализ Адольфа Цейзинга — основоположника гипотезы «золотого сечения».]
* '' Шевелев И. Ш., Марутаев М. А., Шмелев И. П.'' Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии. - М.: Стройиздат, 1990. - 343 с., ил. 
* ''Статья о золотом сечении в изобразительном искусстве'', [https://web.archive.org/web/20111001125056/http://www.linteum.ru/article44.html Золотое сечение в изобразительном искусстве]
* {{cite web
 |url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Golden_ratio.html
 |title = Golden ratio
 |work = MacTutor History of Mathematics archive
 |author = J. J. O'Connor, E. F. Robertson
 |publisher = School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
}}
* [http://www.wolframalpha.com/input/?i=fibonacci+&a=*C.fibonacci-_*Function- Функция Фибоначчи] в [[Wolfram alpha]]
{{Числа с собственными именами}}
{{Иррациональные числа}}
{{Золотое сечение}}

[[Категория:Золотое сечение| ]]
[[Категория:Алгебраические числа]]
[[Категория:Безразмерные параметры]]
[[Категория:Положительные числа]]