Просмотр кода страницы SL(2,R)

'''SL(2,R)''' или '''SL<sub>2</sub>(R)''' — это [[Группа (математика)|группа]] [[Вещественные матрицы 2 × 2|вещественных матриц 2 × 2]] с единичным [[Определитель|определителем]]:
: <math>\mbox{SL}(2,\mathbf{R}) = \left\{ \left( \begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix} \right) : a,b,c,d\in\mathbf{R}\mbox{ and }ad-bc=1\right\}.</math>

Группа является [[Простая группа Ли|простой]] [[Группа Ли|вещественной группой Ли]] с приложениями в [[Геометрия|геометрии]], [[Топология|топологии]], [[Теория представлений|теории представлений]] и [[Физика|физике]].

SL(2,'''R''') действует на {{не переведено 5|Комплексная верхняя полуплоскость|комплексную верхнюю полуплоскость||complex upper half-plane}} дробно-линейными преобразованиями. [[Действие группы]] факторизуется на [[Факторгруппа|факторгруппу]] '''PSL(2,R)''' (<math>2 \times 2</math> [[Проективная группа|проективная специальная линейная группа]] над '''R'''). Точнее,
: <math>\mathrm{PSL}(2,\mathbf{R}) = \mathrm{SL}(2,\mathbf{R})/\{{\pm}E\}</math>,
где ''E'' обозначает <math>2 \times 2</math> [[Единичная матрица|единичную матрицу]]. SL(2,'''R''') содержит [[Модулярная группа|модулярную группу]] PSL(2,'''Z''').

Также группа SL(2,'''R''') тесно связана с 2-кратно {{не переведено 5|накрывающая группа|накрывающей группой||covering group}} Mp(2,'''R'''), {{не переведено 5|метаплектическая группа|метаплектической группой||metaplectic group}} (если рассматривать SL(2,'''R''') как [[Симплектическая группа|симплектическую группу]]).

Другая связанная группа — <math>\mathrm{SL}^{\pm}(2,\mathbf{R}) </math>, группа вещественных <math>2 \times 2</math> матриц с определителем <math>\pm 1</math>. Однако эта группа наиболее часто используется в контексте [[Модулярная группа|модулярной группы]].

== Описание ==
SL(2,'''R''') — это группа всех [[Линейное отображение|линейных преобразований]] пространства '''R'''<sup>2</sup>, сохраняющие
[[Ориентация|ориентированную]] [[площадь]]. Группа [[Изоморфизм групп|изоморфна]] [[Симплектическая группа|симплектической группе]] Sp(2,'''R''') и обобщённой [[Специальная унитарная группа|специальной унитарной группе]] SU(1,1). Группа изоморфна также группе {{не переведено 5|сплит-кватернион|кокватернионов||split-quaternion}} единичной длины. Группа <math>\mathrm{SL}^{\pm}(2,\mathbf{R}) </math> сохраняет неориентированную площадь — она может сохранять ориентацию.

Фактор PSL(2,'''R''') имеет несколько интересных описаний:
* Это группа сохраняющих [[Ориентация|ориентацию]] [[Проективное преобразование|проективных преобразований]] {{не переведено 5|Вещественная проективная прямая|вещественной проективной прямой||real projective line}} <math>\mathbf{R} \cup \{\infty\}</math>.
* Это группа [[Конформное отображение|конформных]] [[автоморфизм]]ов [[Единичный круг|единичного круга]].
* Это группа сохраняющих [[Ориентация|ориентацию]] [[Движение (математика)|движений]] [[Гиперболическое пространство|гиперболической плоскости]].
* Это ограниченная [[группа Лоренца]] трёхмерного [[Пространство Минковского|пространства Минковского]]. Эквивалентно, она изоморфна [[Неопределённая ортогональная группа|неопределённой ортогональной группе]] SO<sup>+</sup>(1,2). Отсюда следует, что SL(2,'''R''') изоморфна [[Спинорная группа|спинорной группе]] Spin(2,1)<sup>+</sup>.

Элементы модулярной группы PSL(2,'''Z''') имеют дополнительные интерпретации, как элементы группы SL(2,'''Z''') (как линейные преобразования тора), и эти представления можно также рассматривать в свете общей теории группы SL(2,'''R''').

=== Дробно-линейное преобразование ===
Элементы группы PSL(2,'''R''') действуют на {{не переведено 5|Вещественная проективная прямая|вещественную проективную прямую||real projective line}} <math>\mathbf{R} \cup \{\infty\}</math> как [[Дробно-линейное преобразование|дробно-линейные преобразования]]:
: <math>x \mapsto \frac{ax+b}{cx+d}. </math>

Это действие аналогично действию PSL(2,'''C''') на [[Сфера Римана|сфере Римана]] [[Преобразование Мёбиуса|преобразованиями Мёбиуса]]. Действие является ограничением действия группы PSL(2,'''R''') на [[Геометрия Лобачевского|гиперболической плоскости]] на границе бесконечности. <!-- ?? -->

=== Преобразование Мёбиуса ===
Элементы группы PSL(2,'''R''') действуют на комплексную плоскость преобразованием Мёбиуса:
: <math>z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}\;\;\;\; (a,b,c,d\in\mathbf{R})</math>.

Это в точности множество преобразований Мёбиуса, сохраняющих [[верхняя половина плоскости|верхнюю половину плоскости]]. Отсюда следует, что PSL(2,'''R''') является группой конформных автоморфизмов верхней половины плоскости. По [[Теорема Римана об отображении|теореме Римана об отображении]] эта группа является группой конформных автоморфизмов единичного круга.

Эти преобразования Мёбиуса действуют как [[Движение (математика)|изометрии]] [[Модель полуплоскости Пуанкаре|модели верхней половины плоскости]] гиперболического пространства, а соответствующие преобразования Мёбиуса диска являются гиперболическими изометриями [[Конформно-евклидова модель|дисковой модели Пуанкаре]].

Формула выше может быть также использоваться для определения преобразования Мёбиуса [[Дуальные числа|дуальных]] и [[Двойные числа|двойных чисел]]. Соответствующие геометрии находятся в нетривиальной связи{{sfn|Kisil|2012|с=xiv+192}} с [[Геометрия Лобачевского|геометрией Лобачевского]].

=== Присоединённое представление ===
Группа SL(2,'''R''') действует на свои алгебры Ли sl(2,'''R''') [[Класс сопряжённости|сопряжением]] (вспомните, что элементы алгебры Ли также являются 2 х 2 матрицами), давая строгое 3-мерное линейное [[Теория представлений|представление]] группы PSL(2,'''R'''). Это альтернативно можно описать как действие группы PSL(2,'''R''') на поверхности [[Квадратичная форма|квадратичных форм]] на '''R'''<sup>2</sup>. Результатом является следующее представление:
: <math>\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}
a^2 & 2ab & b^2 \\
ac & ad+bc & bd \\
c^2 & 2cd & d^2
\end{bmatrix}.</math>

[[Форма Киллинга]] на sl(2,'''R''') имеет [[Сигнатура (линейная алгебра)|сигнатуру]] (2,1) и порождает изоморфизм между PSL(2,'''R''') и [[Группа Лоренца|группой Лоренца]] SO<sup>+</sup>(2,1). Это действие группы PSL(2,'''R''') в [[Пространство Минковского|пространстве Минковского]] ограничивается до изометрического действия группы PSL(2,'''R''') на [[Гиперболоидная модель|гиперболоидной модели]] гиперболической плоскости.

== Классификафия элементов ==
[[Собственный вектор|Собственные значения]] элемента <math>A \in \mathrm{SL}(2,\mathbf{R}) </math> удовлетворяют уравнению для [[Характеристический многочлен матрицы|характеристического многочлена]]
: <math> \lambda^2 \,-\, \mathrm{tr}(A)\,\lambda \,+\, 1 \,=\, 0</math>

А потому
: <math> \lambda = \frac{\mathrm{tr}(A) \pm \sqrt{\mathrm{tr}(A)^2 - 4}}{2}. </math>

Это приводит к следующей классификации элементов с соответствующим действием на евклидовой плоскости:
* Если |tr(''A'')|< 2, то элемент (матрица) ''A'' называется '''эллиптическим''' и она является [[поворот]]ом.
* Если |tr(''A'')|= 2, то элемент ''A'' называется '''параболическим''' и она является растяжением пространства.
* Если |tr(''A'')|> 2, то элемент ''A'' называется '''гиперболическим''' и является {{не переведено 5|отображением сжатия|||squeeze mapping}}.

Названия соответствуют классификации [[Коническое сечение|конических сечений]] по [[эксцентриситет]]у — если определить эксцентриситет как половину значения следа (<math>\epsilon = \tfrac{1}{2} tr</math>. Деление на 2 подправляет эффект размерности, в то время как абсолютное значение соответствует игнорированию знака (множителя <math>\pm 1</math>), когда работаем с PSL(2, '''R''')), откуда следует: <math>\epsilon < 1</math> для эллиптического элемента, <math>\epsilon = 1</math> для параболического, <math>\epsilon > 1</math> для гиперболического.

Единичный элемент 1 и отрицательный элемент −1 (в PSL(2,'''R''') они совпадают), имеют след <math>\pm 2</math>, а потому по этой классификации являются параболическими элементами, хотя они часто рассматриваются отдельно.

[[Преобразование Мёбиуса|Та же классификация]] используется для SL(2,'''C''') и PSL(2,'''C''') ([[Преобразование Мёбиуса|преобразования Мёбиуса]]) и PSL(2,'''R''') (вещественные преобразования Мёбиуса) с добавлением «локсодромных» преобразований, соответствующих комплексным следам. [[Эксцентриситет|Аналогичные классификации]] используются во многих других местах.

Подгруппа, содержащая эллиптические (соответственно, параболические и гиперболические) элементы, плюс единичный элемент и отрицательный для него, называется '''эллиптической подгруппой''' (соответственно, {{не переведено 5|борелевская подгруппа|'''параболической подгруппой'''||parabolic subgroup}}, '''гиперболической подгруппой''').

Эта классификация по ''подмножествам'', не по ''подгруппам'' — эти множества не замкнуты по умножению (произведение двух параболических элементов не обязательно будет параболическим, например). Однако все элементы соединяются в 3 стандартные {{не переведено 5|Однопараметрическая подгруппа|однопараметрические подгруппы||one-parameter subgroup}}, как описано ниже.

Топологически, поскольку след является непрерывным отображением, эллиптические элементы (без <math>\pm 1</math>) являются [[открытое множество|открытым множеством]], как и гиперболические элементы (без <math>\pm 1</math>), в то время как параболические элементы (включая <math>\pm 1</math>) являются [[Замкнутое множество|замкнутым множеством]].

=== Эллиптические элементы ===
[[Собственный вектор|Собственные значения]] для эллиптического элемента оба комплексные и являются [[Комплексное число|сопряжёнными]] значениями на [[Единичная окружность|единичной окружности]]. Такой элемент сопряжён с [[вращение]]м евклидовой плоскости — они могут интерпретироваться как вращения в (возможно) неортогональном базисе и соответствующий элемент группы PSL(2,'''R''') действует как (сопряжённое) [[вращение]] гиперболической плоскости и [[Пространство Минковского|пространства Минковского]].

Эллиптические элементы [[Модулярная группа|модулярной группы]] должны иметь собственные значения <math>\{\omega,\omega^{-1}\}</math>, где <math>\omega</math> является примитивным 3-м, 4-м или 6-м [[Корни из единицы|корнем из единицы]]. Они все являются элементами модулярной группы с конечным [[Порядок элемента|порядком]] и они действуют на [[Тор (поверхность)|торе]] как периодические диффеоморфизмы.

Элементы со следом 0 можно назвать «круговыми элементами» (по аналогии с эксцентриситетом), но это используется редко. Эти следы соответствуют элементам с собственными значениями <math>\pm i</math> и соответствуют вращениям на <math>90^\circ</math>, а квадрат соответствует -''E'' — они являются нетождественными [[Инволюция (математика)|инволюциями]] в PSL(2).

Эллиптические элементы сопряжены внутри подгруппы вращений евклидовой плоскости, [[Ортогональная группа|ортогональной группы]] SO(2). Угол вращения равен [[Обратные тригонометрические функции|arccos]]-у половины следа со знаком вращения (вращение и его обратное сопряжены в GL(2), но не в SL(2).)

=== Параболические элементы ===
Параболический элемент имеет только одно собственное значение, которое равно либо 1, либо −1. Такой элемент действует как растяжение пространства на евклидовой плоскости и соответствующий элемент группы PSL(2,'''R''') действует как ограничение вращения гиперболической плоскости и как [[Группа Лоренца|нулевое вращение]] [[Пространство Минковского|пространства Минковского]].

Параболические элементы [[Модулярная группа|модулярной группы]] действуют как [[Скручивание Дена|скручивания Дена]] тора.

Параболические элементы сопряжены в 2-компонентной группе стандартных сдвигов <math>\times {\pm}E</math> : <math>\left(\begin{smallmatrix}1 & \lambda \\ & 1\end{smallmatrix}\right) \times \{\pm E\}</math>. Фактически, они все сопряжены (в SL(2)) с одной из четырёх матриц <math>\left(\begin{smallmatrix}1 & \pm 1 \\ & 1\end{smallmatrix}\right)</math>, <math>\left(\begin{smallmatrix}-1 & \pm 1 \\ & -1\end{smallmatrix}\right)</math> (в GL(2) или <math>\mathrm{SL}^{\pm}(2) </math>, <math>\pm</math> можно опустить, но в SL(2) опустить нельзя).

=== Гиперболические элементы ===
[[Собственный вектор|Собственные значения]] для гиперболического элемента вещественны и противоположны. Такой элемент действует как {{не переведено 5|отображение сжатия|||squeeze mapping}} евклидовой плоскости, а соответствующий элемент PSL(2,'''R''') действует как [[параллельный перенос]] гиперболической плоскости и как [[Преобразования Лоренца|лоренцевский буст]] в [[Пространство Минковского|пространстве Минковского]].

Гиперболические элементы [[Модулярная группа|модулярной группы]] действуют как [[Диффеоморфизм Аносова|диффеоморфизмы Аносова]] тора.

Гиперболические элементы распадаются в 2-компонентную группу стандартных сжатий <math>\times {\pm}E</math>: <math>\left(\begin{smallmatrix}\lambda \\ & \lambda^{-1}\end{smallmatrix}\right) \times \{\pm E\}</math>; [[гиперболический угол]] гиперболического вращения задаётся как [[Обратные гиперболические функции|arcosh]] половины следа, но знак может быть как положительным, так и отрицательным, в отличие от эллиптического случая. Сжатие и его обратное преобразование сопряжены в SL₂ (по вращению в осях, для стандартных осей вращение осуществляется на <math>90^\circ</math>).

=== Классы сопряжённости ===
По [[Жорданова матрица|Жордановой нормальной форме]] матрицы классифицируются с точностью до сопряжённости (в GL(''n'','''C''')) по собственными значениями и нильпотентности (конкретно, нильпотентность означает, где стоят единицы в клетках Жордана). Такие элементы группы SL(2) классифицируются с точностью до сопряжённости в GL(2) (<math>\mathrm{SL}^{\pm}(2) </math>) по следу (поскольку определитель фиксирован, а след и определитель определяются собственными значениями), за исключением случая, когда собственные значения равны, так что элементы равны <math>\pm E</math> и параболические элементы следа +2 и следа −2 не сопряжены (первый не имеет недиагональных элементов в форме Жордана, в то время как второй имеет).

С точностью до сопряжённости в SL(2) (вместо GL(2)), существует дополнительная информация, соответствующая ориентации — (эллиптические) вращения по часовой и против часовой стрелки не сопряжены, не являются положительным или отрицательным сдвигом, как описывалось выше. Тогда для абсолютного знaчения следа меньшего 2 существует два сопряжённых класса для каждого следа (вращения по часовой или против часовой стрелки). Для абсолютного значения следа равного 2, существует три сопряжённых класса для каждого следа (положительный сдвиг, нулевой сдвиг, отрицательный сдвиг). Для абсолютного значения следа большего 2 существует один класс сопряжённости для данного следа.

== Топологическое и универсальное накрытие ==
Как [[топологическое пространство]], PSL(2,'''R''') можно описать как {{не переведено 5|единичное касательное расслоение|||unit tangent bundle}} гиперболической плоскости. Оно является [[Расслоение на окружности|расслоением на окружности]] и имеет естественную [[Контактная структура|контактную структуру]], порождённую [[Симплектическое многообразие|симплектической структурой]] на гиперболической плоскости. Группа SL(2,'''R''') является 2-кратным накрытием группы PSL(2,'''R''') и её можно рассматривать как расслоение [[спинор]]ов на гиперболической плоскости.

Фундаментальная группа группы SL(2,'''R''') является конечной [[Циклическая группа|циклической группой]] '''Z'''. {{не переведено 5|Накрывающая группа|Универсальная накрывающая группа||covering group}}, обозначаемая <math>\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}</math>, является примером конечномерной группы Ли, не являющейся {{не переведено 5|Матричная группа|матричной группой||matrix group}}. То есть <math>\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}</math> не допускает {{не переведено 5|Точное представление|точного||faithful representation}} конечномерного [[Представление группы|представления]].

Как топологическое пространство <math>\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}</math> является линейным расслоением над гиперболической плоскостью. Если пространство снабжено левоинвариантно [[Риманово многообразие|метрикой]], {{не переведено 5|трёхмерное многообразие|||3-manifold}} <math>\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}</math> становится одним из [[Гипотеза Тёрстона|восьми геометрий Тёрстона]]. Например, <math>\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}</math> является универсальным накрытием единичного касательного расслоения для любой [[Риманова поверхность|гиперболической поверхности]]. Любое многообразие, смоделированное на <math>\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}</math>, является ориентируемым и является [[Расслоение на окружности|расслоением на окружности]] над некоторым двумерным гиперболическим [[орбиобразие]]м ([[расслоение Зейферта]]).

[[Файл:Braid-modular-group-cover.svg|thumb|376px|[[Группа кос]] ''B''<sub>3</sub> является [[Мультипликатор Шура|универсальным центральным расширением]] [[Модулярная группа|модулярной группы]].]]
При таком накрытии прообраз модулярной группы PSL(2,'''Z''') является [[группа кос|группой кос]] на 3 генераторах, ''B''<sub>3</sub>, которая является [[Мультипликатор Шура|универсальным центральным расширением]] модулярной группы. Они являются решётками внутри соответствующих алгебраических групп и это соответствует алгебраически универсальной накрывающей группе в топологии.

2-кратная накрывающая группа может быть названа Mp(2,'''R'''), {{не переведено 5|метаплектическая группа|метаплектической группой||metaplectic group}}, если понимать SL(2,'''R''') как симплектическую группу Sp(2,'''R''').

Вышеупомянутые группы образуют последовательность:
: <math>\overline{\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})} \to \cdots \to \mathrm{Mp}(2,\mathbf{R})
\to \mathrm{SL}(2,\mathbf{R}) \to \mathrm{PSL}(2,\mathbf{R}).</math>
Однако, имеются другие накрывающие группу PSL(2,'''R''') группы, соответствующие всем ''n'', таким, что <math>n \mathbf{Z} < \mathbf{Z} \cong \pi_1 (\mathrm{PSL}(2,\mathbf{R}))</math>, так что они образуют {{не переведено 5|Накрывающая группа|решётку накрывающих групп||lattice of covering groups}} по делимости. Они являются накрытием SL(2,'''R''') тогда и только тогда, когда ''n'' чётно.

== Алгебраическая структура ==
[[Центр группы]] SL(2,'''R''') является двухэлементной группой <math>\{\pm 1\}</math> и фактор PSL(2,'''R''') является [[Простая группа|простой]] группой.

Дискретные подгруппы группы PSL(2,'''R''') называются [[фуксова группа|фуксовыми группами]]. Они являются гиперболическим аналогом евклидовых [[Группа обоев|групп обоев]] и [[Группа бордюра|групп бордюра]]. Наиболее известной из них является [[модулярная группа]] PSL(2,'''Z'''), которая действует на замощение гиперболической плоскости [[Идеальный треугольник|идеальными треугольниками]].

Группа [[U(1)]], которую можно рассматривать как [[Ортогональная группа|SO(2)]], является [[Максимальная компактная подгруппа|максимальной компактной подгруппой]] группы SL(2,'''R''') и окружность <math>\mathrm{SO}(2)/\{\pm 1\}</math> является максимальной компактной подгруппой группы PSL(2,'''R''').

[[Мультипликатор Шура]] дискретной группы PSL(2,'''R''') много больше группы '''[[Целое число|Z]]''' и универсальное [[Расширение группы|центральное расширение]] много больше универсальной накрывающей группы. Однако эти большие центральные расширения не принимают во внимание топологию и в чём-то патологичны.

== Теория представления ==
{{основная статья|Теория представлений группы SL2(R)}}
SL(2,'''R''') является вещественной некомпактной [[Простая группа Ли|простой группой Ли]] и является расщепленной вещественной формой комплексной группы Ли SL(2,'''C'''). [[Алгебра Ли]] группы SL(2,'''R'''), обозначаемая как sl(2,'''R'''), является алгеброй всех вещественных, [[След матрицы|бесследовых]]<ref>Бесследовая матрица — это матрица, след которой равен 0.</ref> <math>2 \times 2</math> матриц. Это {{не переведено 5|Классификация Бьянки|алгебра Бьянки||Bianchi classification}} типа VIII.

Конечномерная теория представлений группы SL(2,'''R''') эквивалентна {{не переведено 5|теория представлений SU(2)|теории представлений SU(2)||representation theory of SU(2)}}, которая является компактной вещественной формой группы SL(2,'''C'''). В частности, SL(2,'''R''') не имеет нетривиальных конечномерных унитарных представлений. Это является свойством любой связной простой некомпактной группы Ли. Для наброска доказательства см. статью {{не переведено 5|Теория представления группы Лоренца|«Неунитарность представления»||Representation theory of the Lorentz group}}.

Бесконечномерная теория представлений группы SL(2,'''R''') весьма интересна. Группа имеет несколько семейств унитарных представлений, которые в деталях разрабатывали [[Гельфанд, Израиль Моисеевич|Гельфанд]] и [[Наймарк, Марк Аронович|Наймарк]] (1946), [[Баргман, Валентин|В. Баргман]] (1947) и [[Хариш-Чандра]] (1952).

== См. также ==
{{colbegin}}
* {{не переведено 5|Матричная группа|Линейная группа||linear group}}
* [[Специальная линейная группа]]
* [[Проективная группа]]
* [[Модулярная группа]]
* [[Преобразование Мёбиуса|SL(2,'''C''') (преобразование Мёбиуса]]
* [[Проективное преобразование]]
* [[Фуксова группа]]
* {{не переведено 5|Таблица групп Ли|||Table of Lie groups}}
* [[Диффеоморфизм Аносова|У-поток]]
{{colend}}

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{ статья
|автор=Valentine Bargmann
|ref=Bargmann
|mr=0021942
|заглавие=Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group
|издание=[[Annals of Mathematics]]
|том=48
|выпуск=3
|год=1947
|страницы=568–640
|jstor=1969129
|doi=10.2307/1969129
}}
* {{статья
|автор=Гельфанд И.М., Наймарк М.А.
|заглавие=Унитарные представления группы Лоренца
|издание= Изв. АН СССР. Сер. Матем.
|том=11
|год=1947
|выпуск=5
|страницы=411–504
}}
* {{статья
|автор=Harish-Chandra
|ref=Harish-Chandra
|заглавие=Plancherel formula for the <math>2 \times 2</math> real unimodular group
|издание=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.
|том=38
|год=1952
|страницы=337–342
|mr=0047055
|pmc=1063558
|doi=10.1073/pnas.38.4.337
|pmid=16589101
}}
* {{книга
|автор=Serge Lang
|ref=Lang
|заглавие=<math>\mathrm{SL}_2(\mathbf{R})</math>
|series=Graduate Texts in Mathematics|том=105
|издательство=Springer-Verlag
|место=New York
|год=1985
|isbn=0-387-96198-4
|doi=10.1007/978-1-4612-5142-2
|mr=0803508
}}
** {{книга
|автор=Ленг С.
|заглавие=<math>SL_2(R)</math>
|ответственный=Перевод с английского В.И. Васюнина и М.А. Семёнова-Тян-Шанского; Под редакцией А.А. Кириллова
|издательство=«Мир»
|место=Москва
|год=1977
}}
* {{книга
|автор=William Thurston
|ref=Thurston
|заглавие=Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1
|mr=1435975
|others=Edited by Silvio Levy
|series=Princeton Mathematical Series
|том=35
|издательство=Princeton University Press
|место=Princeton, NJ
|год=1997
|isbn=0-691-08304-5
}}
* {{книга
|ref=Kisil
|автор=Vladimir V. Kisil
|год=2012
|заглавие=Geometry of Möbius transformations. Elliptic, parabolic and hyperbolic actions of SL(2,R)
|место=London
|издательство=Imperial College Press
|page=xiv+192
|isbn=978-1-84816-858-9
|mr=2977041
|doi=10.1142/p835
}}
{{refend}}

{{Теория групп}}

[[Категория:Теория групп]]
[[Категория:Группы Ли]]
[[Категория:Проективная геометрия]]
[[Категория:Геометрия Лобачевского]]
{{rq|checktranslate|style}}