Просмотр кода страницы Q-аналог

{{DISPLAYTITLE:''q''-аналог}}
'''''Q''-аналог''' теоремы, тождества или выражения — это обобщение, вовлекающее новый параметр ''q'', который возвращает исходную теорему, тождество или выражение в [[Предел (математика)|пределе]] при {{math|''q'' → 1}}.  Обычно математики интересуются ''q''-аналогами, появляющимися естественным образом, а не выдумывают произвольные ''q''-аналоги для известных результатов.  Наиболее ранний ''q''-аналог, изучавшийся детально, это {{не переведено 5|базисные гипергеометрические ряды|||basic hypergeometric series}}, которые изучались в 19-м веке{{sfn|Exton|1983}}.

''Q''-аналоги чаще всего используются в [[Комбинаторика|комбинаторике]] и в теории [[Специальные функции|специальных функций]]. В этих условиях предел {{math|''q'' → 1}} часто формален, так как {{mvar|q}} часто дискретен (например, он может представлять [[степень простого числа]]).
''Q''-аналоги находят приложение во многих областях, включая изучение [[фрактал]]ов и мультифрактальных мер и для выражения [[Энтропия|энтропии]] хаотических [[Динамическая система|динамических систем]]. Связь с фракталами и динамическими системами возникает из факта, что многие фрактальные объекты имеют симметрии [[Фуксова группа|фуксовых групп]] в общем (см., например, статьи {{не переведено 5|Indra's pearls (книга)|«Indra's pearls»||Indra's Pearls (book)}} и «[[Сетка Аполлония]]») и [[Модулярная группа|модулярной группы]] в частности. Связь проходит через [[Геометрия Лобачевского|гиперболическую геометрию]] и [[Эргодическая теория|эргодическую теорию]], где [[Эллиптический интеграл|эллиптические интегралы]] и [[Модулярная функция|модулярные формы]] играют главную роль. Сами {{не переведено 5|q-ряд|''q''-ряды||q-series}} тесно связаны с эллиптическими интегралами.

''Q''-аналоги появляются при изучении [[Квантовая группа|квантовых групп]] и в ''q''-возмущённых {{не переведено 5|Супералгебра|супералгебрах||Superalgebra}}. Связь здесь похожа на то, как [[теория струн]] строится на языке [[Риманова поверхность|римановых поверхностей]], что приводит к связи с [[Эллиптическая кривая|эллиптическими кривыми]], которые, в свою очередь, связаны с {{не переведено 5|q-ряд|''q''-рядами||q-series}}.

== «Классическая» ''q''-теория ==
Классическая ''q''-теория начинается с ''q''-аналогов для неотрицательных целых чисел{{sfn|Ernst|2003|с=487–525}}.  Равенство

:<math>\lim_{q\rightarrow 1}\frac{1-q^n}{1-q}=n</math>

предполагает, что мы определяем ''q''-аналог числа ''n'', известный как '''''q''-скобка''' или '''''q''-число''' числа ''n'', равным

:<math>[n]_q=\frac{1-q^n}{1-q} = 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n - 1}.</math>

Выбор среди прочих возможностей конкретно этого ''q''-аналога не имеет определённой причины, однако аналог возникает естественным образом в нескольких контекстах. Например, если решаем использовать обозначение [''n'']<sub>''q''</sub> для ''q''-аналога числа ''n'', можно определить ''q''-аналог [[факториал]]а, который известен как [[q-факториал|''q''-факториал]], следующим образом

: <math>
\begin{align}
\big[n]_q! & =[1]_q  \cdot [2]_q \cdots [n-1]_q  \cdot [n]_q \\[6pt]
& =\frac{1-q}{1-q} \cdot \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \cdot \frac{1-q^n}{1-q} \\[6pt]
& =1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots + q^{n-2}) \cdot (1+q+\cdots + q^{n-1}).
\end{align}
</math>

Этот ''q''-аналог появляется естественным образом в нескольких контекстах.  Что примечательно, в то время как ''n''! подсчитывает число [[Перестановка|перестановок]] длины ''n'', [''n'']<sub>''q''</sub>! подсчитывает перестановки с учётом числа {{не переведено 5|Инверсия (дискретная математика)|инверсий||inversion (discrete mathematics)}}.  То есть, если inv(''w'') означает число инверсий перестановки ''w'', а ''S''<sub>''n''</sub> — множество перестановок длины ''n'', мы имеем

:<math> \sum_{w \in S_n} q^{\text{inv}(w)} = [n]_q !</math>

В частности, можно получить привычный факториал путём перехода к пределу <math>q\rightarrow 1</math>.

''Q''-факториал имеет также краткое определение в терминах [[q-символ Похгаммера|''q''-символа Похгаммера]], базового строительного блока всех ''q''-теорий:

:<math>[n]_q!=\frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}.</math>

От ''q''-факториалов можно перейти к '''''q''-биномиальным коэффициентам''', известным также как гауссовы коэффициентами, гауссовы многочленами или [[гауссовы биномиальные коэффициенты]]:

:<math>
\binom{n}{k}_q
=
\frac{[n]_q!}{[n-k]_q! [k]_q!}.
</math>

{{не переведено 5|q-степень|''Q''-степень||q-exponential}} определяется как

:<math>e_q^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{[n]_q!}.</math>

Тригонометрические ''q''-функции, вместе с ''q''-преобразованием Фурье определяется в этом же контексте.

=== ''Q''-аналоги в комбинаторике ===
Гауссовы коэффициенты подсчитывают подпространства конечного [[Векторное пространство|векторного пространства]].  Пусть ''q'' — число элементов [[Конечное поле|конечного поля]].  (Число ''q'' тогда равно степени [[Простое число|простого числа]], {{nowrap|1= ''q'' = ''p''<sup>''e''</sup>}}, так что использование буквы ''q'' целесообразно.)  Тогда число ''k''-мерного подпространства ''n''-мерного векторного пространства над полем с ''q'' элементами равно 
:<math>
\binom nk_q .
</math>
При стремлении ''q'' к 1 мы получаем биномиальный коэффициент
:<math>
\binom nk,
</math>
или, другими словами, число ''k''-элементных подмножеств множества с ''n'' элементами.

Таким образом, можно рассматривать конечное векторное пространство как ''q''-обобщение множества, а подпространства как ''q''-обобщение подмножеств этого множества.  Это плодотворная точка зрения для поиска интересных теорем.  Например, имеются ''q''-аналоги {{не переведено 5|Теорема Шпернера|теоремы Шпернера||Sperner's theorem}} и [[Теория Рамсея|теории Рамсея]].

== ''q'' → 1 ==
{{main|Поле с одним элементом}}
Обратно разрешению менять ''q'' и рассмотрению ''q''-аналогов как отклонений можно рассматривать комбинаторный случай {{nowrap|1= ''q''&nbsp;=&nbsp;1}} как предел ''q''-аналогов {{nowrap|1= ''q''&nbsp;&rarr;&nbsp;1}} (часто невозможно просто подставить {{nowrap|1= ''q''&nbsp;=&nbsp;1}} в формулу, так что приходится брать предел).

Это можно формализовать в {{не переведено 5|поле с одним элементом|||field with one element}}, где комбинаторика представляется как линейная алгебра над полем с одним элементом. Например, [[Группа Вейля|группы Вейля]] являются просто [[Алгебраическая группа|алгебраическими группами]] над полем с одним элементом.

==Приложения в физике==
''Q''-аналоги часто обнаруживаются в точных решениях задач многих тел. В таких случаях предел при {{math|''q'' → 1}} соответствует относительно простой динамике, т.е. без нелинейных возмущений, в то время как {{math|''q'' < 1}} даёт возможность взглянуть на сложный нелинейный режим с обратной связью.

Примером из атомной физики является модель создания молекулярного конденсата из ультрахолодного фермионного газа в условиях выметания внешнего магнитного поля с помощью резонанса Фешбаха{{sfn|Sun, Sinitsyn|2016|с=033808}}. Этот процесс описывается моделью с ''q''-возмущённой версией алгебры операторов SU(2) и решение описывается ''q''-возмущёнными показательными и биномиальными распределениями.

==См. также==
* {{не переведено 5|Список q-аналогов|Список ''q''-аналогов||List of q-analogs}} 
* [[Числа Стирлинга]]
* [[Диаграмма Юнга]]

==Примечания==
{{примечания|2}}
==Литература==
{{refbegin|colwidth=30em}}
*{{книга
|автор=Exton H.
|ref=Exton
|год=1983
|заглавие=q-Hypergeometric Functions and Applications
|место=New York
|издательство=Halstead Press
|isbn=0853124914
|isbn2=0470274530
|isbn3=978-0470274538
}}
*{{статья
|ref=Ernst 
|автор=Thomas Ernst
|год=2003
|заглавие=A Method for q-calculus
|издание=Journal of Nonlinear Mathematical Physics
|том=10
|выпуск=4
|страницы=487–525
|ссылка=http://www.solnaschack.org/ernst/ernst_10-4cor.pdf
|accessdate=2011-07-27
}}
*{{статья
|doi=10.1103/PhysRevA.94.033808
|заглавие=Landau-Zener extension of the Tavis-Cummings model: Structure of the solution
|автор=Sun C., Sinitsyn N. A.
|ref=Sun, Sinitsyn
|издание=[[Phys. Rev. A]]
|том=94
|выпуск=3
|год=2016
|bibcode=2016PhRvA..94c3808S
}}
{{refend}}

==Ссылки==
*{{Springer|id=/U/u095050|title=Umbral calculus}}
* [http://mathworld.wolfram.com/q-Analog.html ''q''-analog] from [[MathWorld]]
* [http://mathworld.wolfram.com/q-Bracket.html ''q''-bracket] from [[MathWorld]]
* [http://mathworld.wolfram.com/q-Factorial.html ''q''-factorial] from [[MathWorld]]
* [http://mathworld.wolfram.com/q-BinomialCoefficient.html ''q''-binomial coefficient] from [[MathWorld]]

[[Категория:Комбинаторика]]
[[Категория:Q-аналоги]]
{{rq|checktranslate|style|grammar}}