Просмотр кода страницы N-эллипс

[[File:N-ellipse.svg|thumb|right|300px|Пример n-эллипсов с 3 заданными фокусами. Увеличение расстояний нелинейное.]]
'''N-эллипс''' — обобщение [[эллипс]]а, имеющее более двух фокусов.<ref name=Sekino>J. Sekino (1999): "''n''-Ellipses and the Minimum Distance Sum Problem", ''American Mathematical Monthly'' 106 #3 (March 1999), 193–202. {{MR|1682340}}; {{Zbl|986.51040}}.</ref>  ''N''-эллипсы называют также '''мультифокальными эллипсами''',<ref name=erdos/> '''полиэллипсами'''<ref name=Melzak>Z.A. Melzak and J.S. Forsyth (1977): "Polyconics 1. polyellipses and optimization", ''Q. of Appl. Math.'', pages 239–255, 1977.</ref>,  '''''k''-эллипсами''',<ref name=NPS/> '''эллипсами [[Чирнхаус, Эренфрид Вальтер фон|Чирнхауса]]'''. Впервые такие фигуры исследовал [[Максвелл, Джеймс Клерк|Джеймс Максвелл]] в 1846 году.<ref name=Maxwell>James Clerk Maxwell (1846): "[https://books.google.com/books?id=zfM8AAAAIAAJ&pg=PA35&lpg=PA35 Paper on the Description of Oval Curves], Feb 1846, from ''The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell: 1846-1862''</ref>

Пусть на плоскости задано ''n'' точек  (''u''<sub>''i''</sub>, ''v''<sub>''i''</sub>) ([[Фокус (геометрия)|фокусы]]), тогда ''n''-эллипс является [[Геометрическое место точек|геометрическим местом точек]] плоскости, для которых сумма расстояний до ''n'' фокусов является постоянной величиной  ''d''. В виде формулы данное утверждение записывается как

: <math>\left\{(x, y) \in \mathbf{R}^2: \sum_{i=1}^n \sqrt{(x-u_i)^2 + (y-v_i)^2} = d\right\}.</math>

1-эллипс представляет собой [[окружность]], 2-эллипс — обычный эллипс. Обе данные кривые являются [[Алгебраическая кривая|алгебраическими кривыми]] степени&nbsp;2.

Для любого числа ''n'' фокусов  ''n''-эллипс представляет собой [[Замкнутая кривая|замкнутую]] [[Выпуклая кривая|выпуклую кривую]].<ref name=erdos>{{статья |заглавие=On the Approximation of Convex, Closed Plane Curves by Multifocal Ellipses |издание=Journal of Applied Probability |том=19 |страницы=89—96 |jstor=3213552 |ссылка=http://renyi.mta.hu/~p_erdos/1982-18.pdf |accessdate=2015-02-22 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160928200222/http://renyi.mta.hu/~p_erdos/1982-18.pdf |archivedate=2016-09-28 |deadlink=yes |язык=en |тип=journal |автор={{Нп3|Erdős, Paul|Erdős, Paul||Paul Erdős}}; {{Нп3|Vincze, István|Vincze, István||István Vincze (mathematician)}} |год=1982}}</ref>{{rp|(стр. 90)}} Кривая является гладкой вне окрестностей фокуса.<ref name=NPS/>{{rp|стр.7}}

''n''-эллипс является подмножеством точек, удовлетворяющих определённому [[Алгебраическое уравнение|алгебраическому уравнению]].<ref name=NPS/>{{rp|Figs. 2 and 4; p. 7}} Если ''n'' нечётно, алгебраическая степень кривой равна <math>2^n</math>, если ''n'' чётно, степень равна <math>2^n - \binom{n}{n/2}</math>.<ref name=NPS>J. Nie, P.A. Parrilo, B. Sturmfels: "[http://math.ucsd.edu/~njw/PUBLICPAPERS/kellipse_imaproc_toappear.pdf J. Nie, P. Parrilo, B.St.: "Semidefinite representation of the k-ellipse", in ''Algorithms in Algebraic Geometry'', I.M.A. Volumes in Mathematics and its Applications, 146, Springer, New York, 2008, pp. 117-132]</ref>{{rp|(Т. 1.1)}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* P.L. Rosin: "[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.159.9549 On the Construction of Ovals]"
* B. Sturmfels: "[http://www.aimath.org/WWN/convexalggeom/AIM.pdf The Geometry of Semidefinite Programming]", pp.&nbsp;9–16.

[[Категория:Конические сечения]]
[[Категория:Алгебраические кривые]]