Просмотр кода страницы E (число)

{{заголовок|со строчной буквы|курсивом}}
{{другие значения|E (значения)}}
{{не путать|Числа Эйлера I рода|Числами Эйлера I рода}}
{{не путать|Постоянная Эйлера — Маскерони|постоянной Эйлера}}
{| class="infobox"
|colspan="2" align="center"| [[Иррациональное число|Иррациональные числа]]<br>{{Вещественные константы|inline=1}}
|-style="background:#f0f0f0"
|nowrap| '''Система счисления''' || '''Оценка числа <math> e </math>'''
|-
|align="right"| [[Двоичная система счисления|Двоичная]] || 10,101101111110000101010001011001…
|-style="background:#f0f0f0"
|align="right"| [[Десятичная система счисления|Десятичная]] || 2,7182818284590452353602874713527…
|-
|align="right"| [[Шестнадцатеричная система счисления|Шестнадцатеричная]] || 2,B7E151628AED2A6A…
|-style="background:#f0f0f0"
|align="right"| [[Шестидесятеричная система счисления|Шестидесятеричная]] || 2; 43 05 48 52 29 48 35 …
|-
|align="right"| [[Рациональные приближения]]|| <sup>8</sup>/<sub>3</sub>; <sup>11</sup>/<sub>4</sub>; <sup>19</sup>/<sub>7</sub>; <sup>87</sup>/<sub>32</sub>; <sup>106</sup>/<sub>39</sub>; <sup>193</sup>/<sub>71</sub>; <sup>1264</sup>/<sub>465</sub>; <sup>2721</sup>/<sub>1001</sub>; <sup>23225</sup>/<sub>8544</sub>
<small>(перечислено в порядке увеличения точности)</small>
|-"background:#f0f0f0"
|align="right"| [[Непрерывная дробь]] ||nowrap| [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …]
<small>(Эта непрерывная дробь не [[Периодическая функция|периодическая]]. Записана в линейной нотации)</small>
|}
{{Врезка | Выравнивание = right | Ширина = 30em | Содержание =
<div style="text-align:right">
2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995
9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274
2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260
5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901
1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680
8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069
5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760
6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416
9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696
7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312
7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825
2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117
3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429
5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509
9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422
8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496
8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418
4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016
7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051
0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354
</div>
 | Подпись         =<hr>
Первые 1000 знаков после запятой числа e<ref>[http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.2mil 2 миллиона цифр после запятой]</ref>
({{OEIS|A001113}})
}}
[[Файл:Hyperbola E.svg|thumb|Площадь области под графиком <math>y=\frac{1}{x}</math> на отрезке <math>1 \leq x \leq e</math> равна 1]]
[[Файл:Exp derivative at 0.svg|thumb|''e'' — это некоторое число ''a'', такое, что значение производной (тангенс наклона касательной) показательной функции ''f'' (''x'') = ''a<sup>x</sup>'' (синяя кривая) в точке ''x'' = 0 равняется 1 (красная линия). Для сравнения показаны функция 2<sup>''x''</sup> (пунктирная кривая) и 4<sup>''x''</sup> (штриховая кривая); тангенс наклона касательных для которых отличен от 1]]

'''''e''''' — основание [[Натуральный логарифм|натурального логарифма]], [[математическая константа]], [[Иррациональное число|иррациональное]] и [[Трансцендентное число|трансцендентное]] число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число <math>e</math> называют ''[[Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера|числом Эйлера]]'' или ''числом [[Непер, Джон|Непера]]''. Обозначается строчной латинской буквой «[[E (латиница)|e]]».

[[Файл:Xth root of x.svg|thumb|250px|Максимум функции <big><math>\sqrt[x]{x}</math></big> достигается при <math> x=e </math>.]]

Число ''e'' играет важную роль в [[дифференциальное исчисление|дифференциальном]] и [[интегральное исчисление|интегральном исчислении]], а также во многих других разделах [[математика|математики]].

Поскольку функция [[экспонента|экспоненты]] <math>e^x</math> интегрируется и дифференцируется «в саму себя», [[логарифм]]ы именно по основанию <math>e</math> принимаются как [[натуральный логарифм|натуральные]].

== Способы определения ==
Число ''e'' может быть определено несколькими способами.
* Через предел:
*: <math>e = \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x</math> (второй [[Замечательные пределы|замечательный предел]]).
*: <math>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math> (это следует из [[формула Муавра — Стирлинга|формулы Муавра — Стирлинга]]).
* Как [[сумма ряда]]:
*: <math>e = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}</math> или <math>{\frac{1}{e}} = \sum_{n=2}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n!}}</math>.
* Как единственное число <math>a</math>, для которого выполняется
*: <math>\int\limits_{1}^{a} \frac{dx}{x} = 1.</math>
* Как единственное положительное число <math>a</math>, для которого верно
*: <math>\frac d {dx} a^x = a^x.</math>

== Свойства ==
* Производная [[Экспонента|экспоненты]] равна самой экспоненте:<math> \frac{de^x }{dx} = e^x.</math><br>Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, [[Общее решение дифференциального уравнения|общим решением]] дифференциального уравнения <math>\frac{df(x)}{dx} = f(x)</math> являются функции <math>f(x) = c e^x</math>, где <math>c</math> — произвольная константа.
* Число <math>e</math> [[иррациональное число|иррационально]]. Доказательство иррациональности является элементарным.
{|class="standard collapsible collapsed"
!style="text-align: left; background:#efefef;"| Доказательство иррациональности
|-
|Предположим, что <math>e</math> рационально. Тогда <math>e=p/q</math>, где <math>p</math> — целое, а <math>q</math> — натуральное.
Следовательно
: <math>p=eq</math>
Умножая обе части уравнения на <math>(q-1)!</math>, получаем
: <math>p(q-1)! = eq! = q!\sum_{n=0}^\infty{1\over n!} = \sum_{n=0}^\infty{q!\over n!} = \sum_{n=0}^q{q!\over n!}+\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!}</math>
Переносим <math>\sum_{n=0}^q{q!\over n!}</math> в левую часть:
: <math>\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = p(q-1)! - \sum_{n=0}^q{q!\over n!}</math>
Все слагаемые правой части целые, следовательно, и сумма в левой части — целая. Но эта сумма и положительна, значит, она не меньше 1.

С другой стороны,
: <math>\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} = \sum_{m=1}^\infty{q!\over (q+m)!} = \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)...(q+m)} < \sum_{m=1}^\infty{1\over (q+1)^m}</math>
Суммируя геометрическую прогрессию в правой части, получаем:
: <math>\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} < {1\over q}</math>
Поскольку <math>q\ge 1</math>,
: <math>\sum_{n=q+1}^\infty{q!\over n!} < 1</math>

Получаем противоречие.
|}

* Число <math>e</math> [[трансцендентное число|трансцендентно]]. Впервые это было доказано в [[1873 год]]у [[Эрмит, Шарль|Шарлем Эрмитом]].<ref>{{книга|автор=|заглавие=Математическая энциклопедия|место=Москва|издательство=Советская энциклопедия|год=1985|том=5|страницы=426}}</ref> Трансцендентность числа <math>e</math> следует из [[Теорема Линдемана — Вейерштрасса|теоремы Линдемана]].
* Предполагается, что <math>e</math> — [[нормальное число]], то есть частота появления разных цифр в его записи одинакова. В настоящее время (2017) эта гипотеза не доказана.
* Число ''e'' является [[Вычислимое число|вычислимым]] (а значит, и [[Арифметическое число|арифметическим]]) числом.
*<math>e^{ix} = \cos(x) + i\cdot\sin(x)</math>, см. [[формула Эйлера]], в частности
**<math>e^{i\pi} + 1 = 0.</math>
** <math> e=\cos(i) - i \sin(i)=\sinh(1) + \cosh(1) </math>
* Формула, связывающая числа <math>e</math> и <math>\pi</math>, т. н. интеграл [[Пуассон, Симеон Дени|Пуассона]] или [[Гауссов интеграл|интеграл Гаусса]]
*: <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}</math>
* Для любого [[Комплексное число|комплексного числа]] ''z'' верны следующие равенства:
*: <math>e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n.</math>
* Число ''e'' разлагается в бесконечную [[Цепная дробь|цепную дробь]] следующим образом (простое доказательство этого разложения, связанное с аппроксимациями Паде, приведено в<ref>{{Cite web|url=https://arxiv.org/pdf/math/0601660.pdf|title=A Short Proof of the Simple Continued Fraction Expansion of e|author=William Adkins|website=arXiv|date=25 Feb 2006|publisher=arXiv}}</ref>):
*: <math>e = [2; \;1, 2, 1, \;1, 4, 1, \;1, 6, 1, \;1, 8, 1, \;1, 10, 1, \ldots]</math>, то есть
*: <math>e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{8 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{1 + \ldots}}}}}}}}}}}}}}} </math>
* Или эквивалентным ему:
*: <math>e = 2+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{2}{3 + \cfrac{3}{4+\cfrac{4}{\ldots}}}}} </math>
* Для быстрого вычисления большого числа знаков удобнее использовать другое разложение:
*: <math>\frac{e+1}{e-1}=2 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{14 + \cfrac{1}{\ldots}}}}</math>
* <math>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.</math>
* Представление [[Каталан, Евгений-Шарль|Каталана]]:
*: <math>e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdot\sqrt[16]{\frac{18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}\cdots</math>
* Представление через [[Умножение|произведение]]:
*: <math> e=\sqrt{3} \cdot \prod \limits_{k=1}^{\infty}\frac{\left ( 2k+3 \right )^{k+\frac 12}\left ( 2k-1 \right )^{k-\frac 12}}{\left (2k+1 \right )^{2k}}</math>
* Через [[числа Белла]]
<math>e = \frac{1}{B_n}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}</math>
* [[Мера иррациональности]] числа <math>e</math> равна <math>2</math> (что есть наименьшее возможное значение для иррациональных чисел).<ref>{{MathWorld|IrrationalityMeasure|Мера иррациональности}}</ref>

== История ==
Данное число иногда называют ''неперовым'' в честь шотландского учёного [[Непер, Джон|Непера]], автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» ([[1614 год]]). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа <math>x</math> был равен <math>10^7\cdot\,\log_{1/e}\left(\frac{x}{10^7}\right)</math>.

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в [[1618 год]]у. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.

Предполагается, что автором таблицы был английский математик [[Отред, Уильям|Отред]].

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик [[Бернулли, Якоб|Якоб Бернулли]] в ходе решения задачи о предельной величине [[Процентный доход|процентного дохода]].
Он обнаружил, что если исходная сумма <math>\$1</math> и начисляется <math>100\%</math> годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет <math>\$2</math>. Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то <math>\$1</math> умножается на <math>1,5</math> дважды, получая <math>\$1,00 \cdot 1,5^2 = \$2,25</math>. Начисления процентов раз в квартал приводит к <math>\$1,00 \cdot 1,25^4 = \$2,44140625</math>, и так далее.
Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае [[сложный процент|сложного процента]] имеет [[Предел последовательности|предел]]:
<math>\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.</math> и этот предел равен числу <math>e ~ (\approx 2,71828)</math>.

<math>\$1,00 \cdot \left( 1+ \frac{1}{12} \right)^{12} = \$2,613035...</math>

<math>\$1,00 \cdot \left(1+\frac{1}{365}\right)^{365} = \$2,714568...</math>

Таким образом, константа <math>e</math> означает максимально возможную годовую прибыль при <math>100\%</math> годовых и максимальной частоте [[Капитализация процентов|капитализации процентов]]<ref name="OConnor">{{cite web|url=<!-- http://www.gap-system.org/~history/PrintHT/e.html -->http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html|title=The number ''e''|publisher=MacTutor History of Mathematics|first1=J J|last1=O'Connor|first2=E F|last2=Robertson}}</ref>.

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой <math>b</math>, встречается в письмах [[Лейбниц, Готфрид|Лейбница]] [[Гюйгенс, Христиан|Гюйгенсу]], [[1690]]—[[1691 год]]ы.

Букву <math>e</math> начал использовать Эйлер в [[1727 год]]у, впервые она встречается в письме Эйлера немецкому математику [[Гольдбах, Кристиан|Гольдбаху]] от 25 ноября 1731 года<ref>Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P. H. Fuss, ed., ''Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle'', vol. 1, (St. Petersburg, Russia: 1843), pp. 56—60 ; см. [https://books.google.com/books?id=gf1OEXIQQgsC&pg=PA58#v=onepage&q&f=false page 58.]</ref><ref>{{Cite book|last=Remmert|first=Reinhold|authorlink=Reinhold Remmert|title=Theory of Complex Functions|page=136|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1991|isbn=0-387-97195-5}}</ref>, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически», [[1736 год]]. Соответственно, <math>e</math> обычно называют ''числом Эйлера''. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву <math>c</math>, буква <math>e</math> применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

В языках программирования символу <math>e</math> в [[Экспоненциальная запись|экспоненциальной записи]] чисел соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка [[FORTRAN]] для математических вычислений<ref>{{книга 
 |автор = Эккель Б.
 |заглавие = Философия Java
 |оригинал = Thinking in Java
 |издание = 4-е изд
 |серия = Библиотека программиста
 |место = СПб.
 |издательство = Питер
 |год = 2009
 |страницы = 84
 |isbn = 978-5-388-00003-3 
}}</ref>.

== Приближения ==
{{переработать}}
* Число можно запомнить как 2, 7 и повторяющиеся 18, 28, 18, 28. Мнемоническое правило: два и семь, далее два раза год рождения [[Толстой, Лев Николаевич|Льва Толстого]] (1828), затем углы равнобедренного [[Треугольник#Прямоугольный треугольник|прямоугольного треугольника]] (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: два и семь десятых, дважды Лев Толстой»
* Мнемоническое стихотворение, позволяющее запомнить первые 12 знаков после запятой (длины слов кодируют цифры числа e): ''Мы порхали и блистали, / Но застряли в перевале: / Не признали наши крали / Авторалли''.{{значимость факта?}}
* <math> e \approx (1+\frac{1}{10^6})^{10^6}</math>, с точностью 0,000001;

В соответствии с теорией [[непрерывная дробь|непрерывных дробей]] наилучшими рациональными приближениями числа <math>e</math> будут [[подходящие дроби]] разложение числа <math>e</math> в непрерывную дробь.

: Число 19/7 превосходит число ''e'' менее чем на 0,004;
: Число 87/32 превосходит число ''e'' менее чем на 0,0005;
: Число 193/71 превосходит число ''e'' менее чем на 0,00003;
: Число 1264/465 превосходит число ''e'' менее чем на 0,000003;
: Число 2721/1001 превосходит число ''e'' менее чем на 0,0000002;

* Площадь поверхности [[квадратная пирамида|квадратной пирамиды]], у которой боковые грани правильные треугольники с длиной ребра 1 (точность 0,014).{{значимость факта?}}

== Открытые проблемы ==
* Неизвестно, является ли число <math>e</math> элементом [[Кольцо периодов|кольца периодов]].
* Неизвестна мера иррациональности ни для одного из следующих чисел: <math>\pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac{\pi}{e}, \pi ^ e, e^{\pi^2}, e^e, 2^e.</math> Ни для одного из них неизвестно даже, является ли оно [[Рациональное число|рациональным]] числом, [[Алгебраическое число|алгебраическим]] [[Иррациональное число|иррациональным]] или [[Трансцендентное число|трансцендентным]] числом. Следовательно, неизвестно, являются ли числа <math>\pi</math> и <math>e</math> [[Алгебраическая независимость|алгебраически независимыми]].<ref>{{MathWorld|IrrationalNumber|Иррациональное число}}</ref><ref>{{MathWorld|Pi|Pi}}</ref><ref>{{MathWorld|e|e|author=Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W}}</ref><ref>[http://www.math.ou.edu/~jalbert/courses/openprob2.pdf Some unsolved problems in number theory]</ref><ref>{{MathWorld|TranscendentalNumber|Трансцендентное число}}</ref><ref>[http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/AWSLecture5.pdf An introduction to irrationality and transcendence methods]</ref>.
* Неизвестно, является ли первое [[число Скьюза]] <math>e^{e^{e^{79}}}</math> целым числом.

== См. также ==
* [[Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{Из|Кругосвет|http://krugosvet.ru/node/41097|заглавие=Число e}}
* {{статья|автор=[[Горобец, Борис Соломонович|Горобец Б. С.]]|ссылка=http://www.nkj.ru/archive/articles/4774/?ELEMENT_ID=4774|заглавие=Мировые константы в основных законах физики и физиологии|издание=[[Наука и жизнь]]|год=2004|номер=2}} (статья с примерами физического смысла констант <math>\pi</math> и <math>e</math>)
* {{cite web
 |url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/e.html
 |title = История числа ''e''
 |work = MacTutor History of Mathematics archive
 |author = J. J. O'Connor, E. F. Robertson
 |publisher = School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
 |date = 2001-09
}}{{ref-en}}
* [https://web.archive.org/web/20041209035415/http://www.pballew.net/arithm10.html#euler_e e for 2.71828…]{{ref-en}} (история и правило Джексона)
* «[http://ru.yasno.tv/article/math/34-eksponenta-i-chislo-e-prosto-i-ponyatno Экспонента и число е: просто и понятно]» — перевод статьи [http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/ An Intuitive Guide To Exponential Functions & Number e | BetterExplained]{{ref-en}}
*Простое доказательство трансцендентности чисел e (на школьном уровне) и [[Пи (число)|π]] см. стр. 520-535 Веберъ Г., Вельштейнъ И. Энциклопедiя элементарной математики. Том 1. Элементарная алгебра и анализъ. 1906

{{Числа с собственными именами}}
{{Иррациональные числа}}
{{Производные буквы E}}

[[Категория:Математические константы]]
[[Категория:Числа с собственными именами]]
[[Категория:Трансцендентные числа]]
[[Категория:Логарифмы]]
[[Категория:Положительные числа]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера]]