Просмотр кода страницы Abc-гипотеза

{{DISPLAYTITLE:{{mvar|abc}}-гипотеза}}
{{другие значения|ABC}}
'''{{mvar|abc}}-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера)''' — утверждение в [[Теория чисел|теории чисел]], сформулированное независимо друг от друга математиками [[Массер, Дэвид|Дэвидом Массером]] в [[1985 год в науке|1985 году]]<ref>{{статья
 |автор    = D. W. Masser
 |заглавие = Open problems
 |ссылка   = 
 |ответственный = W. W. L. Chen
 |язык     = en
 |издание  = Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory
 |год      = 1985
 |том      = 25
 |место         = London
 |издательство  = Imperial College
}}</ref> и [[Эстерле, Джозеф|Джозефом Эстерле]] в [[1988 год в науке|1988 году]]<ref>{{статья
 |автор    = J. Oesterlé
 |заглавие = Nouvelles approches du "théorème" de Fermat
 |ссылка   = http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SB/SB_1987-1988__30_/SB_1987-1988__30__165_0/SB_1987-1988__30__165_0.pdf
 |язык     = fr
 |издание  = Séminaire N. Bourbaki
 |тип      = 
 |год      = 1988
 |том      = 694
 |номер    = 
 |страницы = 165–186
 |issn     = 0303-1179}}</ref>.

Доказательство {{mvar|abc}}-гипотезы долгое время было одной из главных нерешённых проблем теории чисел; статус этой проблемы в настоящее время спорный.

== Формулировка ==
Для любого <math>\varepsilon>0</math> существует постоянная <math>K(\varepsilon)</math>, при которой для любых трёх [[Взаимно простые числа|взаимно простых]] целых чисел <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math>, таких, что <math>a+b=c</math>, выполняется неравенство
: <math>\max\big(|a|, |b|, |c|\big) \leqslant K(\varepsilon) \cdot \big(\operatorname{rad}(abc)\big)^{1+\varepsilon},</math>
где <math>\operatorname{rad}(abc)</math> — [[радикал целого числа]].

== Замечания ==
* Не теряя общности, можно рассматривать только упорядоченные по возрастанию [[натуральные числа]] <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math>. Тогда неравенство сводится к следующему:
*: <math>c \leqslant K(\varepsilon) \cdot \big(\operatorname{rad}(abc)\big)^{1+\varepsilon}.</math>
* Условие <math>\varepsilon > 0</math> необходимо. Для любого <math>K</math> существует тройка взаимно простых чисел <math>a, b, c = a + b</math> таких, что <math>c > K \cdot \operatorname{rad}(abc)</math>. Например тройка вида <math>a = 1, b = 2^{2 \cdot 3^n} - 1, c = 2^{2 \cdot 3^n}</math>, где <math>K < 3^{n-1}</math>.

== Следствия ==

=== Гипотеза Била и Великая теорема Ферма ===
Из справедливости {{mvar|abc}}-гипотезы следует справедливость [[Гипотеза Била|гипотезы Била]] для достаточно больших <math>z</math>, а из неё — справедливость [[Великая теорема Ферма|великой теоремы Ферма]] для достаточно больших степеней<ref>{{статья
 |автор    = R. Daniel Mauldin
 |заглавие = A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem
 |ссылка   = http://www.ams.org/notices/199711/beal.pdf
 |язык     = en
 |издание  = Notices of the AMS
 |год      = 1985
 |том      = 44
 |номер    = 11
 |страницы = 1436—1437
}}</ref>.

{{Сокрытие
 |hidden = 1
 |title = Доказательство гипотезы Била на основе ''abc''-гипотезы
 |content = 
Согласно гипотезе Била, если <math>A^x+B^y=C^z</math> (<math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> — натуральные и <math>x,\;y,\;z>2</math>), то <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> имеют общий делитель.

Докажем гипотезу Била для достаточно больших <math>z</math> [[Доказательство от противного|от противного]]. Предположим, существует бесконечное количество <math>z</math>, для которых гипотеза Била неверна. Применим {{mvar|abc}}-гипотезу, согласно которой:
:<math>C^z\leqslant K(\varepsilon)\cdot \left(\operatorname{rad}(A^xB^yC^z)\right)^{1+\varepsilon}</math>
Учтём, что <math>\operatorname{rad}(A^xB^yC^z)=\operatorname{rad}(ABC)\leqslant ABC</math>. Поэтому:
:<math>C^z\leqslant K(\varepsilon)\cdot \left(\operatorname{rad}(ABC)\right)^{1+\varepsilon}\leqslant K(\varepsilon)\cdot(ABC)^{1+\varepsilon}</math>
Поскольку из условий теоремы очевидно, что <math>A<C</math> и <math>B<C</math>, то <math>ABC\leqslant C^3</math>. Тогда:
:<math>C^z \leqslant K(\varepsilon)\cdot C^{3+3\varepsilon}</math>
Прологарифмировав обе части неравенства и разделив на <math>\log C</math>, получим ограничение сверху на величину <math>z</math>:
:<math>z\leqslant \frac{\log K(\varepsilon)}{\log C}+3+3\varepsilon</math>,{{nbsp|8}}(*)
причём, отношение <math>\frac{\log K(\varepsilon)}{\log C}</math> должно быть конечным, поскольку, по условию <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> — натуральные (то есть <math>A,B\geqslant 1\;\Rightarrow\; C\geqslant 2</math>)

Таким образом, можно найти некоторое конечное значение <math>z</math>, для которого неравенство (*) не выполняется, то есть {{mvar|abc}}-гипотеза здесь несправедлива, а значит сделанное предположение о неверности гипотезы Била для достаточно больших <math>z</math> ошибочно. Для оставшегося конечного количества <math>z</math> справедливость гипотезы Била можно доказать численно.
}}

=== Гипотезы Пиллаи и Каталана ===
Из справедливости {{mvar|abc}}-гипотезы следует справедливость [[Гипотеза Пиллаи|гипотезы Пиллаи]], а из неё — справедливость [[Гипотеза Каталана|гипотезы Каталана]].
{{якорь|motidzuki}}

== Доказательство Мотидзуки ==
В [[Август 2012 года|августе 2012 года]] авторитетный японский математик [[Мотидзуки, Синъити|Синъити Мотидзуки]] заявил, что ему удалось доказать {{mvar|abc}}-гипотезу<ref>{{cite news |title=Японский математик заявил о доказательстве АВС-гипотезы |url=http://lenta.ru/news/2012/09/11/math/ |work=[[Lenta.ru]] |publisher= |date=2012-09-11 |accessdate=2012-09-11}}</ref><ref name=Mochizukiweb>Mochizuki, Shinichi (August 2012). ''Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters'', ''Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation'', ''Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice.'', ''Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations'', доступны на странице http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html</ref>. Предложенное им доказательство оказалось исключительно сложным даже с точки зрения математиков-специалистов<ref name="Roberts2019">{{публикация|статья|автор=David Michael Roberts|заглавие=A Crisis of Identification|ссылка=https://inference-review.com/article/a-crisis-of-identification|издание=Inference|volume=4|issue=3|год=2019}}</ref>.

Опубликовав доказательство в интернете, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Они публикуют отчёты о ходе этой работы<ref>[http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUTeich%20Verification%20Report%202013-12.pdf IUTeich Verification Report 2013-12], [http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUTeich%20Verification%20Report%202014-12.pdf IUTeich Verification Report 2014-12]</ref>. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах<ref>[http://lenta.ru/news/2015/10/08/shinichimochizuki/ «Японский Перельман» согласился объяснить главнейшую тайну математики.] // Lenta.ru, 2015-10-08</ref>. На конец 2017 года в мире насчитывается от 10 до 20 специалистов по теории, созданной Мотидзуки<ref name="NewScientist2017">{{cite web|author=Timothy Revell|title=Baffling ABC maths proof now has impenetrable 300-page ‘summary’|url=https://www.newscientist.com/article/2146647-baffling-abc-maths-proof-now-has-impenetrable-300-page-summary/|date=2017-09-07|work=[[New Scientist]]|accessdate=2017-12-08}}</ref>.

Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для [[Математическое доказательство|математических доказательств]]<ref name="NewScientist2017" /><ref>{{cite web|author=Caroline Chen|title=The Paradox of the Proof|url=http://projectwordsworth.com/the-paradox-of-the-proof/|date=2013-05-04|accessdate=2016-09-06}} Перевод: {{cite web|url=https://habrahabr.ru/post/183374/|title=Парадокс доказательства|author=Даниил Басманов|date=2013-06-17|accessdate=2016-09-06}}</ref> (в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки).

В 2018 году [[Шольце, Петер|Петер Шольце]] и Якоб Стикс — специалисты в областях, связанных с {{mvar|abc}}-гипотезой и работами Мотидзуки, — объявили, что в ключевом для доказательства {{mvar|abc}}-гипотезы месте теории Мотидзуки (которое давно вызывало особые трудности у математиков, пытавшихся разобраться в теории) имеется непоправимая ошибка<ref>{{cite news|last=Klarreich|first=Erica|title=Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture|url=https://www.quantamagazine.org/titans-of-mathematics-clash-over-epic-proof-of-abc-conjecture-20180920/|accessdate=2018-09-21|work=Quanta|date=2018-09-20}} Перевод: [https://habr.com/post/426033/ Титаны от математики схлестнулись над эпичным доказательством abc-гипотезы]</ref><ref name="Roberts2019" />. Мотидзуки ответил, что Стикс и Шольце неправильно интерпретировали некоторые ключевые аспекты его доказательства и поэтому сделали недопустимые упрощения<ref>{{ cite web | url= http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Rpt2018.pdf | title= Report on Discussions, Held during the Period March 15 – 20, 2018, Concerning Inter-Universal Teichmüller Theory |first= Shinichi |last= Mochizuki | accessdate=2019-01-18 }}<br>
{{ cite web | url= http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Cmt2018-05.pdf | title= Comments on the manuscript by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory |first= Shinichi |last= Mochizuki | accessdate=2019-01-18 }}<br>
{{ cite web | url= http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Cmt2018-08.pdf | title= Comments on the manuscript (2018-08 version) by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory
 |first= Shinichi |last= Mochizuki | accessdate=2019-01-18 }}</ref>.

На начало 2019 года доказательство Мотидзуки всё ещё пребывает в неопределённом статусе.

Несколько новых семинаров по IUTT<ref>Синъити Мотидзуки называет свою теорию {{lang-en|Inter-universal Teichmuller Theory}}: дословно «Интеруниверсальная теория [[Тайхмюллер, Освальд|Тайхмюллера]]», также встречается «арифметическая теория пространств Тейхмюллера»</ref> пройдут в 2020—2021 годах. Первый из них начнётся 18-22 мая 2020 года<ref>{{ cite web | url= https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/files/May2020.html | title= New Workshops on IUTT |first= Shinichi |last= Mochizuki | accessdate=2019-02-01 }}</ref>.

== См. также ==
* [[гипотеза Холла]]
* [[теорема Мэйсона — Стотерса]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld|urlname=abcConjecture|title=abc Conjecture}}
* Лекции про ABC-гипотезу: [http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=7258 Лекция 1], [http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=7313 Лекция 2], [http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=7348 Лекция 3], [http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=7357 Лекция 4] (by Keith Conrad).

== Литература ==
* {{книга |автор=[[Стюарт, Иэн (математик)|Иэн Стюарт]] |заглавие=«Величайшие математические задачи» |место=М. |издательство=«[[Альпина нон-фикшн]]» |год=2016 |страниц=460 |isbn=978-5-91671-507-1 |ref=Стюарт}}

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Математические гипотезы]]