Просмотр кода страницы ADE-классификация

{{DISPLAYTITLE:''ADE''-классификация}}
[[Файл:Simply Laced Dynkin Diagrams.svg|thumb|[[Диаграмма Дынкина|Однониточные диаграммы Дынкина]] классифицируют различные математические объекты.]]
'''<math>ADE</math>-классификация''' — полный список [[Диаграмма Дынкина#Однониточные диаграммы|однониточных диаграмм Дынкина]] — диаграмм, в которых отсутствуют кратные рёбра, что соответствует простым корням в [[Система корней|системе корней]], образующим углы <math>\pi/2</math> (отсутствие ребра между вершинами) или <math>2\pi/3</math> (одиночное ребро между вершинами). Список состоит из:

: <math>A_n, \, D_n, \, E_6, \, E_7, \, E_8</math>.
Список содержит два из четырёх семейств диаграмм Дынкина (не входят <math>B_n</math> и <math>C_n</math>) и три из пяти исключительных диаграмм Дынкина (не входят <math>F_4</math> и <math>G_2</math>).

Список не является избыточным, если принять <math>n \geqslant 4</math> для <math>D_n</math>. Если расширить семейства, то получаются {{не переведено 5|Исключитеьный изоморфизм|исключительные изоморфизмы||exceptional isomorphism}}
: <math>D_3 \cong A_3, E_4 \cong A_4, E_5 \cong D_5,</math>
и соответствующие изоморфизмы классифицируемых объектов.

Вопрос о создании общего начала такой классификации (а не выявление параллелей опытным путём) был поставлен [[Арнольд, Владимир Игоревич|Арнольдом]] в докладе «Проблемы современной математики»{{sfn|Arnold|1976}}.

Классы <math>A</math>, <math>D</math>, <math>E</math> включают также однониточные [[Группа Коксетера|конечные группы Коксетера]] с теми же диаграммами — в этом случае диаграммы Дынкина в точности совпадают с диаграммами Коксетера, поскольку нет кратных рёбер.

== Алгебры Ли ==
В терминах комплексных полупростых алгебр Ли:
* <math>A_n</math> соответствует <math>\mathfrak{sl}_{n+1}(\mathbf{C}),</math> {{не переведено 5|Специальная линейная алгебра Ли|специальной линейной алгебре Ли||special linear Lie algebra}} операторов с нулевым [[След матрицы|следом]],
* <math>D_n</math> соответствует <math>\mathfrak{so}_{2n}(\mathbf{C}),</math> чётной [[Ортогональная группа|специальной ортогональной алгебре Ли]] [[Кососимметричная матрица|кососимметрических операторов]]
* <math>E_6, E_7, E_8</math> являются тремя из пяти исключительных алгебр Ли.

В терминах {{не переведено 5|Компактная алгебра Ли|компактных алгебр Ли||compact Lie algebra}} и соответствующих [[Простая группа Ли|однониточных групп Ли]]:
* <math>A_n</math> соответствует <math>\mathfrak{su}_{n+1},</math> алгебре [[Специальная унитарная группа|специальной унитарной группы]] <math>SU(n+1)</math>;
* <math>D_n</math> соответствует <math>\mathfrak{so}_{2n}(\mathbf{R}),</math> алгебре чётной {{не переведено 5|Проективная ортогональная группа|проективной ортогональной группы||projective special orthogonal group}} <math>PSO(2n)</math>,
* <math>E_6, E_7, E_8</math> являются тремя из пяти исключительных {{не переведено 5|Компактная алгебра Ли|компактных алгебр Ли||compact Lie algebra}}.

== Бинарные полиэдральные группы ==
Та же самая классификация подходит для дискретных подгрупп <math>SU(2)</math>, {{не переведено 5|Бинарная полиэдральная группа|бинарной полиэдральной группы||binary polyhedral group}}. По сути, бинарные полиэдральные группы соответствуют однониточным ''аффинным'' [[Диаграмма Дынкина|диаграммам Дынкина]] <math>\tilde A_n, \tilde D_n, \tilde E_k</math>, и [[Задание группы|задания]] этих групп можно понять в терминах этих диаграмм. Эта связь известна как '''{{не переведено 5|соответствие Маккея |||McKay correspondence}}''' (в честь {{не переведено 5|Маккей, Джон|Джона Маккея||John McKay (mathematician)}}). Связь с [[Правильный многогранник|правильными многогранниками]] описана в книге Диксона «Algebraic Theories» {{sfn|Dickson|1959}}. Соответствие использует построение {{не переведено 5|Граф Маккея|графов Маккея||McKay graph}}.

При этом <math>ADE</math>-соответствие не является соответствием правильных многогранников их {{не переведено 5|Группа отражений|группам отражений||reflection group}}. Например, в <math>ADE</math>-соответствии [[тетраэдр]], [[куб]]/[[октаэдр]] и [[додекаэдр]]/[[икосаэдр]] соответствуют <math>E_6, E_7, E_8</math>, в то время как группы отражений тетраэдра, куба и октаэдра, додекаэдра и икосаэдра являются заданиями [[Группа Коксетера|групп Коксетера]] <math>A_3, BC_3</math> и <math>H_3.</math>

[[Орбиобразие]] <math>\mathbf{C}^2</math>, построенное с помощью всех дискретных подгрупп, приводит к сингулярности типа <math>ADE</math> в начале координат, которая называется {{не переведено 5|дювалевская особенность|дювалевской особенностью||du Val singularity}}.

Соответствие Маккея можно распространить и на многониточные диаграммы Дынкина при использовании ''пары'' бинарных полиэдральных групп. Это соответствие известно как '''соответствие Слодови''' (по имени немецкого математика {{не переведено 5|Слодови, Петер|Петера Слодови||Peter Slodowy}}){{sfn|Stekolshchik|2008}}.

== Помеченные графы ==
<math>ADE</math>-графы и расширенные (аффинные) <math>ADE</math>-графы можно описать в терминах маркировки некоторыми свойствами{{sfn|Proctor|1993|с=937–941}}, которые можно сформулировать в терминах [[Дискретный оператор Лапласа|дискретных операторов Лапласа]] {{sfn|Proctor|1993|с=940}} или [[Матрица Картана|матриц Картана]]. Доказательства в терминах матриц Картана можно найти в книге Каца «Infinite dimensional Lie algebras» {{sfn|Kac|1990|с=47–54}}.

Аффинные <math>ADE</math>-графы — это графы, допускающие позитивную маркировку (когда вершины помечаются положительными вещественными числами) со следующими свойствами:
: Любая метка является полусуммой смежных вершин.
То есть существуют принимающие лишь положительные значения функции с собственным значением 1 дискретного лапласиана (сумма смежных вершин минус значение в вершине) — положительное решение однородного уравнения:
: <math>\Delta \phi = \phi </math>.
Эквивалентно, положительные функции в ядре <math>\Delta - I</math>. Результирующая нумерация является единственной с точностью до постоянного множителя, а с нормализацией, при которой минимальное число равно 1, состоит из малых целых чисел — от 1 до 6, которые зависят от графа.

Обычные <math>ADE</math>-графы — это только графы, допускающие положительную маркировку со следующими свойствами:
: Любая метка равна полусумме смежных вершин плюс единица.
В терминах лапласианов это положительное решение однородного уравнения:
: <math>\Delta \phi = \phi - 2 </math>.
Результирующая нумерация является единственной (с точностью до постоянного множителя, значение которого определяется числом «2») и состоит из целых чисел. Для <math>E_8</math> эти числа лежат в пределах от 58 до 270{{sfn|Бурбаки|1972}}.

== Другие классификации ==
[[Теория катастроф|Элементарные катастрофы]] также классифицируются с помощью <math>ADE</math>-классификации.

Диаграммы <math>ADE</math> являются в точности {{не переведено 5|Колчан (теория графов)|колчанами||quiver (mathematics)}} конечного типа вследствие {{не переведено 5|Теорема Габриэля|теоремы Габриэля||Gabriel's theorem}}.

Существует также связь с [[Обобщённый четырёхугольник|обобщёнными четырёхугольниками]], так как три невырожденных обобщённых четырёхугольника с тремя точками на каждой прямой соответствуют исключительным корням систем <math>E_6</math>, <math>E_7</math> и <math>E_8</math>={{sfn|Cameron, Goethals, Seidel, Shult|1976|с=305—327}}.
Классы <math>A</math> и <math>D</math> соответствуют вырожденным случаям, где множество прямых пусто или все прямые проходят через одну точку, соответственно{{sfn|Chris, Royle|2001}}.

Существует глубокая связь между этими объектами, скрытыми за этой классификацией, и некоторые из этих связей можно понять через [[Теория струн|теорию струн]] и [[Квантовая механика|квантовую механику]]{{Уточнить}}.

== Троицы ==
Арнольд предложил много других связей под рубрикой «математические троицы»<ref>Владимир Арнольд, 1997, Лекции в Тороното, ''[http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem/Arnold/arn-papers.html Lecture 2: Symplectization, Complexification and Mathematical Trinities],'' June 1997 (last updated August, 1998). [http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem/Arnold/a2src.zip TeX], [http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem/Arnold/arnlect2.ps.gz PostScript], [http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/arnold4.pdf PDF]</ref><ref>''[http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem/Arnold/arn-papers.html Polymathematics: is mathematics a single science or a set of arts?]'' На сервере с 10/03/99, [http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem/Arnold/Polymath.txt Abstract], [http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem/Arnold/Polymath.tex.gz TeX], [http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem/Arnold/Polymath.ps.gz PostScript], [http://www.neverendingbooks.org/DATA/ArnoldPolymathics.pdf PDF]; см. таблицу на стр. 8</ref>, а Маккей расширил эти соответствия. Арнольд использовал термин «[[Троица|троицы]]» с намёком на религию и предположил, что (в настоящее время) эти параллели скорее ближе к вере, чем к строгим доказательствам, хотя некоторые параллели хорошо проработаны. Далее троицы были подхвачены и другими авторами<ref>''[http://math.univ-lyon1.fr/~chapoton/trinites.html Les trinités remarquables],'' [http://math.univ-lyon1.fr/~chapoton/ Frédéric Chapoton] {{fr icon}}</ref>{{sfn|le Bruyn|2008}}{{sfn|le Bruyn|2008—2}}. Троицы Арнольда начинаются с <math>\R, \Complex, \mathbb{H}</math> (вещественные числа, комплексные числа и кватернионы), которые, как он заметил, «все знают», и продолжены другими троицами, такими как «комплесизация» и «кватернизация» классических (вещественных) математических объектов по аналогии с поисками симплектических аналогий римановой геометрии, которые он предложил до этого в 1970-х годах. Кроме примеров из дифференциальной топологии (таких как [[Характеристический класс|характеристические классы]]), Арнольд рассматривает три симметрии правильных многогранников (тетраэдральная, октаэдральная, икосаэдральная) как соответствующие вещественным числам, комплексным числам и кватернионам, которые связаны с дальнейшими алгебраическими соответствиями Маккея.

Проще всего поддаются описанию {{не переведено 5|Соответствие Маккея|соответствия Маккея||McKay correspondence}}. Во-первых, расширенные диаграммы Дынкина <math>\tilde E_6, \tilde E_7, \tilde E_8</math> (соответствующие тетраэдральной, октаэдральной и икосаэдральной симметрий) имеют группы симметрии <math>S_3, S_2, S_1</math>, соответственно, и ассоциированные [[Диаграмма Дынкина|свёртки]] — диаграммы <math>\tilde G_2, \tilde F_4, \tilde E_8</math> (при менее аккуратной записи признак расширения — тильда — часто опускается). Что более существенно, Маккей предположил соответствие между вершинами <math>\tilde E_8</math> диаграмм и некоторыми классами смежности [[Монстр (группа)|монстра]], что известно как ''замечание Маккея о <math>E_8</math>''{{sfn|Duncan|2009}}{{sfn|le Bruyn|2009}}. Маккей далее соотносит вершины <math>\tilde E_7</math> с классами смежности в <math>2.B</math> (раширение порядка 2 {{не переведено 5|Группа Бэби-Монстр|группы Бэби-Монстр||baby monster group}}), а вершины <math>\tilde E_6</math> с классами смежности в <math>3.Fi_{24}'</math> (расширение порядка 3 [[Группа Фишера|группы Фишера]]){{sfn|le Bruyn|2009}}. Это три самые большие [[Спорадическая группа|спорадические группы]], притом порядок расширения соответствует симметриям диаграммы.

Если перейти от больших простых групп к малым, группы, соответствующие правильным многогранникам, <math>A_4, S_4</math> и <math>A_5</math> имеют связь с [[Проективная группа|проективными специальными группами]] <math>PSL(2,5)</math>, <math>PSL(2,7)</math> и <math>PSL(2,11)</math> (порядка 60, 168 и 660){{sfn|Kostant|1995|с=959–968}}{{sfn|le Bruyn|2008}}. Эти группы являются единственными (простыми) группами со значением <math>p</math>, таким, что <math>PSL(2,p)</math> [[Проективная группа|действует нетривиально на <math>p</math> точек]], факт, который восходит к работам [[Галуа, Эварист|Эвариста Галуа]] 1830-х годов. Фактически, группы разлагаются на произведение множеств (но не произведение групп) следующим образом: <math>A_4 \times Z_5,</math> <math>S_4 \times Z_7</math> и <math>A_5 \times Z_{11}.</math> Эти группы связаны также с различными геометриями (начиная с работ [[Клейн, Феликс|Феликса Клейна]] 1870-х годов){{sfn|Kostant|1995}}. Ассоциированные геометрии (мозаики на [[Риманова поверхность|римановых поверхностях]]), в которых можно видеть действие на <math>p</math> точек, следующие: <math>PSL(2,5)</math> является группой симметрий икосаэдра (род 0) на [[Соединение пяти тетраэдров|соединении пяти тетраэдров]] как 5-элементном множестве, <math>PSL(2,7)</math> является группой симметрий {{не переведено 5|Квартика Клейна|квартики Клейна||Klein quartic}} (род 3) на вложенной [[Плоскость Фано|плоскости Фано]] как 7-элементном множестве (двойная плоскость порядка 2) и <math>PSL(2,11)</math> является группой симметрий поверхности [[Фуллерен|бакминстерфуллерена]] (род 70) на вложенной {{не переведено 5|Двойная плоскость Палея|двойной плоскости Палея||Paley biplane}} как 11-элементном множестве ([[Блок-дизайн|двойная плоскость]] порядка 3){{sfn |Martin, Singerman|17/04/2008}}. Из перечисленных икосаэдры известны ещё с древности, квартики Клейна были введены Клейном в 1870-х годах, а бакибо́л-поверхности введены Пабло Мартином и Сигерманом в 2008 году.

Маккей связывает также <math>E_6</math>, <math>E_7</math> и <math>E_8</math> соответственно с {{не переведено 5|27 прямых на кубической поверхности|27 прямыми на кубической поверхности||27 lines on a cubic surface}}, 28 {{не переведено 5|Дважды касательные прямые квартики|двойными касательными квартики||Bitangents of a quartic}} и 120 трижды касательными плоскостями канонической кривой шестого порядка с родом 4<ref>Arnold 1997, стр. 13</ref>{{sfn|McKay, Sebbar|2007|с=373–386}}.

== См. также ==
* {{не переведено 5|Эллиптическая поверхность|||Elliptic surface}}

== Примечание ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга
|серия=Элементы математики
|автор= Н. Бурбаки
|год= 1972 
|заглавие = Группы и алгебры Ли 
|глава= Chapters 4–6 
| издательство = «Мир»
|место = Москва
|ref= Бурбаки
}}
* {{книга 
|автор=Vladimir Arnold
|url = https://books.google.com/books?id=BLnRsA-wRsoC&pg=PA46 46
|год= 1976 
|заглавие= Mathematical developments arising from Hilbert problems 
|издательство = [[American Mathematical Society]] 
|ответственный= [[Felix E. Browder]] 
|вклад= Problems in present day mathematics 
|серия = Proceedings of symposia in pure mathematics 
|том = 28 
|ref= Arnold
}} (Problem VIII. The ''A-D-E'' classifications).
* {{книга 
|часть=XIII: Groups of the Regular Solids; Quintic Equations 
|url = https://books.google.com/books?id=RmlOoBznB8wC&lpg=PA220
|автор= Leonard E. Dickson
|заглавие= Algebraic Theories 
|издательство= Dover Publications 
|место= New York 
|год= 1959 
|ref= Dickson
}}
* {{статья
|автор=P.J. Cameron, J.M. Goethals, J.J. Seidel, E. E. Shult
|заглавие=Line graphs, root systems and elliptic geometry
|издание=Journal of Algebra
|год=1976
|выпуск=43
|ref= Cameron, Goethals, Seidel, Shult
}}
* {{статья 
|автор=Pablo Martin, David Singerman 
|ref= Martin, Singerman
|заглавие= From Biplanes to the Klein quartic and the Buckyball 
|url= http://www.neverendingbooks.org/DATA/biplanesingerman.pdf 
|год= 17/04/2008 
}}
* {{книга
|url=http://arxiv4.library.cornell.edu/abs/0810.1465
|вклад=Arithmetic groups and the affine E<sub>8</sub> Dynkin diagram
|автор=John F. Duncan
|ref= Duncan
|ответственный=John Harnad, Pavel Winternitz
|серия=CRM Proceedings & lecture notes
|том=47
|год=2009
|издательство=American Mathematical Society
|место=Providence, Rhode Island
|isbn=978-08218-4481-6
|заглавие=Groups and symmetries: from Neolithic Scots to John McKay
}}
* {{книга
|заглавие=The Graph of the Truncated Icosahedron and the Last Letter of Galois 
|автор= Bertram Kostant 
|издание=Notices Amer. Math. Soc. 
|том=42 
|выпуск=4 
|год=1995
|ref= Kostant
|url=http://www.ams.org/notices/199509/kostant.pdf
}} См. The Embedding of PSl(2, 5) into PSl(2, 11) and Galois’ Letter to Chevalier.
* {{статья
 |автор       = Lieven le Bruyn
 |ref              = le Bruyn
 |url              = http://www.neverendingbooks.org/index.php/galois-last-letter.html
 |заглавие = Galois’ last letter
 |год           = 2008
 |archiveurl       = https://web.archive.org/web/20100815034546/http://www.neverendingbooks.org/index.php/galois-last-letter.html
 |archivedate      = 2010-08-15
}}
* {{статья 
|автор=Michiel Hazewinkel, Hesseling, JD. Siersma, F. Veldkamp 
|заглавие=The ubiquity of Coxeter Dynkin diagrams. (An introduction of the A-D-E problem)
|издание=Nieuw Archief v. Wiskunde 
|том= 35 
|выпуск = 3 
|год= 1977 
|страницы= 257–307 
| url = http://math.ucr.edu/home/baez/hazewinkel_et_al.pdf
}}
* {{статья 
|автор=John McKay  
|заглавие = Graphs, singularities and finite groups 
|издание = Proc. Symp. Pure Math. 
|том= 37 
|издательство= Amer. Math. Soc. 
|год = 1980 
|страницы= 183-,265-}}
* {{статья 
|автор= John McKay
|часть = Representations and Coxeter Graphs 
|заглавие= The Geometric Vein, Coxeter Festschrift 
|год= 1982 
|издательсво= [[Springer-Verlag]] 
|место= Berlin 
|страницы= 549–
}}
* {{книга
 |автор=Victor G. Kac 
|заглавие=Infinite-Dimensional Lie Algebras 
|издание=3rd 
|издательство=[[Cambridge University Press]]
|место=Cambridge 
|год= 1990 
|isbn=0-521-46693-8 
|ref=Kac
}}
* {{статья 
|автор =John McKay
|url= http://math.ucr.edu/home/baez/ADE.html
|заглавие= A Rapid Introduction to ADE Theory 
|год=  01/01/2001  
}}
* {{статья
| doi = 10.2307/2324217
| issn = 0002-9890
| том = 100
| выпуск = 10
| автор = R. A. Proctor
| заглавие = Two Amusing Dynkin Diagram Graph Classifications
| издание = [[The American Mathematical Monthly]]
|год=1993
| jstor = 2324217
|ref= Proctor
}}
* {{книга
|ref=McKay, Sebbar
| doi = 10.1007/978-3-540-30308-4_10 
|заглавие=Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry, II 
|год= 2007
|вклад=Replicable Functions: An introduction
|издательство=Springer
|автор=J. McKay, Abdellah Sebbar
}}
* {{книга
| заглавие = Notes on Coxeter Transformations and the McKay Correspondence 
| серия = Springer Monographs in Mathematics 
|автор= R. Stekolshchik
| год = 2008 
| isbn = 978-3-540-77398-6
| doi = 10.1007/978-3-540-77398-3 
|ref= Stekolshchik
}}
* {{книга
|автор=Godsil Chris, Gordon Royle
|заглавие=Algebraic Graph Theory
|серия=Graduate Texts in Mathematics
|том=207
|издательство=Springer
|isbn=0-387-95241-1
|ref=Chris, Royle
|год=2001
|место=New York
}} Chapter 12
* {{статья 
| автор = Lieven le Bruyn
| заглавие = Arnold’s trinities 
| url = http://www.neverendingbooks.org/arnolds-trinities 
| год = 2008—2
|ref= le Bruyn
}}
* {{статья 
|автор=Lieven le Bruyn 
|заглавие= Arnold’s trinities version 2.0 
| url = http://www.neverendingbooks.org/arnolds-trinities-version-20 
|год= 2008—3
|ref= le Bruyn
}}
* {{статья
 |автор       = Lieven le Bruyn
 |заглавие = the monster graph and McKay’s observation
 |url              = http://www.neverendingbooks.org/index.php/the-monster-graph-and-mckays-observation.html
 |год           = 2009
 |ref              = le Bruyn
 |archiveurl       = https://web.archive.org/web/20100814193607/http://www.neverendingbooks.org/index.php/the-monster-graph-and-mckays-observation.html
 |archivedate      = 2010-08-14
}}
* {{статья
 |автор               = Joris van Hoboken
 |заглавие         = Platonic solids, binary polyhedral groups, Kleinian singularities and Lie algebras of type A,D,E
 |серия               = Master's Thesis
 |издательсвто = University of Amsterdam
 |год                   = 2002
 |url                      = http://www.jorisvanhoboken.nl/wp-content/uploads/2007/03/platonic-solids-binary-polyhedral-groups-kleinian-singularities-and-lie-algebras-of-type-ade.pdf
 |deadlink                 = да
 |archiveurl               = https://web.archive.org/web/20120426001310/http://www.jorisvanhoboken.nl/wp-content/uploads/2007/03/platonic-solids-binary-polyhedral-groups-kleinian-singularities-and-lie-algebras-of-type-ade.pdf
 |archivedate              = 2012-04-26
}}

== Ссылки ==
* [[John C. Baez|John Baez]], [http://math.ucr.edu/home/baez/TWF.html This Week’s Finds in Mathematical Physics]: [http://math.ucr.edu/home/baez/week62.html Week 62], [http://math.ucr.edu/home/baez/week63.html Week 63], [http://math.ucr.edu/home/baez/week64.html Week 64], [http://math.ucr.edu/home/baez/week65.html Week 65], August 28, 1995 through October 3, 1995, and [http://math.ucr.edu/home/baez/week230.html Week 230], May 4, 2006
* [http://www.valdostamuseum.com/hamsmith/McKay.html The McKay Correspondence], Tony Smith

{{rq|checktranslate|style}}

[[Категория:Группы Ли]]