Просмотр кода страницы Эллипс

{{distinguish|Эллипсис}}

[[Файл:Ellipse with focus.svg|thumb|300px|Эллипс, его фокусы и главные оси]]

[[Файл:ConicSection ellipse.PNG|thumb|right|300px|Эллипс как коническое сечение, его фокусы и директрисы, получаемые геометрически с помощью [[шары Данделена|шаров Данделена]].]]

'''Э́ллипс''' ({{lang-grc|ἔλλειψις}} «опущение; нехватка, недостаток ([[эксцентриситет]]а до 1)») — замкнутая кривая на плоскости, которая может быть получена как пересечение [[Плоскость (геометрия)|плоскости]] и кругового [[цилиндр]]а или как [[ортогональная проекция]] [[окружность|окружности]] на [[Плоскость (геометрия)|плоскость]].

[[Окружность]] является частным случаем эллипса. Наряду с [[гипербола (математика)|гиперболой]] и [[парабола|параболой]], эллипс является [[коническое сечение|коническим сечением]] и [[квадрика|квадрикой]].

== Определение ==
'''Эллипс''' — [[геометрическое место точек]] ''M'' [[Евклидова плоскость|евклидовой плоскости]], для которых сумма расстояний до двух данных точек <math>F_1</math> и <math>F_2</math> (называемых [[Фокус (в математике)|фокусами]]) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

: <math>|F_1M|+|F_2M|=2\cdot a, </math> причём <math> |F_1F_2|<2\cdot a.</math>

=== Комментарии ===
* Эллипс также можно определить как
** фигуру, которую можно получить из [[Окружность|окружности]], применяя [[аффинное преобразование]]
** [[Ортогональная проекция|ортогональную проекцию]] [[Окружность|окружности]] на [[Плоскость (геометрия)|плоскость]].
** Пересечение [[Плоскость (геометрия)|плоскости]] и [[Цилиндр|кругового цилиндра]]

== Связанные определения ==
* Проходящий через фокусы эллипса отрезок AB, концы которого лежат на эллипсе, называется '''большой осью''' данного эллипса. Длина большой оси равна 2{{math|''a''}} в вышеприведённом уравнении.
* Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется '''малой осью''' эллипса.
* Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его '''центром'''.
* Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, '''большой полуосью''' и '''малой полуосью''' эллипса, и обозначаются {{math|''a''}} и {{math|''b''}}.
* Расстояния <math>r_1</math> и <math>r_2</math> от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются '''фокальными радиусами''' в этой точке.
* Расстояние <math>c=\frac{|F_1 F_2|}{2}</math> называется '''фокальным расстоянием'''.
* Величина <math>e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}</math> называется '''[[эксцентриситет]]ом'''.
* '''Диаметром''' эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. '''Сопряжёнными''' диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
* '''Радиус''' эллипса в данной точке это отрезок, соединяющий центр эллипса с точкой, а также его длина, которая вычисляется по формуле <math>r=\frac{ab}{\sqrt{b^2 \cos^2\varphi + a^2 \sin^2\varphi}} = \frac{b}{\sqrt{1 - e^2 \cos^2\varphi}}</math>, где <math>\varphi</math> — угол между радиусом и большой полуосью.
* '''Фокальным параметром''' <math>p=\frac{b^2}{a}</math> называется половина длины [[Хорда (геометрия)|хорды]], проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
* Отношение длин малой и большой полуосей называется '''коэффициентом сжатия''' эллипса или '''эллиптичностью''': <math>k = \frac{b}{a}.</math> Величина, равная <math>(1-k) = \frac{a-b}{a},</math> называется '''сжатием''' эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент сжатия и эксцентриситет эллипса связаны соотношением <math>k^2=1-e^2.</math>
* Для каждого из фокусов существует прямая, называемая '''директрисой''', такая, что отношение расстояния от произвольной точки эллипса до его фокуса к расстоянию от этой точки до данной прямой равно эксцентриситету эллипса. Весь эллипс лежит по ту же сторону от такой прямой, что и фокус. Уравнения директрис эллипса в каноническом виде записываются как <math>x = \pm\frac{p}{e\left(1+e\right)}</math> для фокусов <math>\left(\mp\frac{p}{1+e},\,0\right)</math> соответственно. Расстояние между фокусом и директрисой равно <math>\frac{p}{e}.</math>

== Соотношения между элементами эллипса ==
[[Файл:Ellipse parameters 3.svg|thumb|right|420px|Части эллипса (описание см. в разделе «Связанные определения»)]]

* <math>\boldsymbol a</math> — большая полуось;
* <math>\boldsymbol b</math> — малая полуось;
* <math>\boldsymbol c</math> — фокальное расстояние (полурасстояние между фокусами);
* <math>\boldsymbol p</math> — фокальный параметр;
* <math>\boldsymbol r_p</math> — перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);
* <math>\boldsymbol r_a</math> — апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);

<math>a^2 = b^2 + c^2</math>

<math>e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\;\;\;(0 \leqslant e < 1).</math>.

<math>p = \frac{b^2}{a}</math>

{| class="wide" border="3"
|- align="center" |
!
! <br><math>\boldsymbol a</math><br>
! <br><math>\boldsymbol b</math><br>
! <br><math>\boldsymbol c</math><br>
! <br><math>\boldsymbol p</math><br>
! <br><math>\boldsymbol {r_p}</math><br>
! <br><math>\boldsymbol {r_a}</math><br>
|- align="center" |
| align="left" |<math>\boldsymbol a</math> — большая полуось
| <math>\boldsymbol a</math>
| <math>a = \frac{b}{\sqrt{1-e^2}}</math>
| <math>a = \frac{c}{e}</math>
| <math>a = \frac{p}{1-e^2}</math>
| <math>a = \frac{r_p}{1-e}</math>
| <math>a = \frac{r_a}{1+e}</math>
|- align="center" |
| align="left" | <math>\boldsymbol b</math> — малая полуось
| <math>b = a \sqrt{1-e^2}</math>
| align="center" | <math>\boldsymbol b</math>
| <math>b = \frac{c~\sqrt{1-e^2}}{e}</math>
| <math>b = \frac{p}{\sqrt{1-e^2}}</math>
| <math>b = r_p\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}</math>
| <math>b = r_a\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}</math>
|- align="center" |
| align="left" | <math>\boldsymbol c</math> — фокальное расстояние
| <math>c = ae</math>
| <math>c = \frac{be}{\sqrt{1-e^2}}</math>
| align="center" | <math>\boldsymbol c</math>
| <math>c = \frac{pe}{1-e^2}</math>
| <math>c = \frac{r_pe}{1-e}</math>
| <math>c = \frac{r_ae}{1+e}</math>
|- align="center" |
| align="left" | <math>\boldsymbol p</math> — фокальный параметр
| <math>p = a(1-e^2)</math>
| <math>p = b~\sqrt{1-e^2}</math>
| <math>p = c~\frac{1-e^2}{e}</math>
| align="center" | <math>\boldsymbol p</math>
| <math>p = r_p (1+e)</math>
| <math>p = r_a (1-e)</math>
|- align="center" |
| align="left" | <math>\boldsymbol r_p</math> — перифокусное расстояние
| <math>r_p = a(1-e)</math>
| <math>r_p = b~\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}</math>
| <math>r_p = c~\frac{1-e}{e}</math>
| <math>r_p = \frac{p}{1+e}</math>
| align="center" | <math>\boldsymbol r_p</math>
| <math>r_p = r_a\frac{1-e}{1+e}</math>
|- align="center" |
| align="left" | <math>\boldsymbol r_a</math> — апофокусное расстояние
| <math>r_a = a(1+e)</math>
| <math>r_a = b~\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}</math>
| <math>r_a = c~\frac{1+e}{e}</math>
| <math>r_a = \frac{p}{1-e}</math>
| <math>r_a = r_p~\frac{1+e}{1-e}</math>
| align="center" | <math>\boldsymbol r_a</math>
|}

== Координатное представление ==

=== Эллипс как кривая второго порядка ===
Эллипс является центральной невырожденной [[Кривая второго порядка|кривой второго порядка]] и удовлетворяет общему уравнению вида
: <math>a_{11}x^2 + a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,</math>
при [[Инвариант (математика)|инвариантах]] <math>D > 0</math> и <math>\Delta I < 0,</math> где:
: <math>\Delta=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix},</math>
: <math>D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22} - a_{12}^2,</math>
: <math>I=tr\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}=a_{11}+a_{22}.</math>

Соотношения между инвариантами кривой второго порядка и полуосями эллипса (верно только при условии, что центр эллипса совпадает с началом координат и <math style="vertical-align:-15%;">a_{33}=-1</math>):
: <math>\Delta = -\frac{1}{a^2}\frac{1}{b^2},</math>
: <math>D = \frac{1}{a^2}\frac{1}{b^2},</math>
: <math>I = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}.</math>

{{Hider|
  title = Соотношения|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Если переписать общее уравнение в виде
:<math>A X^2 + B X Y + C Y^2 + D X + E Y + F = 0,</math>

то координаты центра эллипса:
:<math>h = \frac{B E - 2 C D}{4 A C - B^2}, k = \frac{B D - 2 A E}{4 A C - B^2},</math>

угол вращения определяется из выражения
:<math>tg(2 \Theta) = \frac{B}{A - C}.</math>

Направления векторов осей:
:<math>\begin{pmatrix}
B & (C-A+\sqrt{(C-A)^2+B^2})
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
B & (C-A-\sqrt{(C-A)^2+B^2})
\end{pmatrix}</math>

отсюда
:<math>tg(\Theta) = \frac{C-A \pm \sqrt{(C-A)^2+B^2}}{B}</math>

Длины полуосей определяются выражениями

:<math>a=\sqrt{\frac{2 F' (\sqrt{(A-C)^2+B^2}+A+C)}{4 A C-B^2}}</math>
:<math>b=\sqrt{\frac{2 F'}{\sqrt{(A-C)^2+B^2}+A+C}}</math>

Обратное соотношение - коэффициенты общего уравнения из параметров эллипса - можно получить, подставив в каноническое уравнение (см. раздел ниже) выражение для поворота системы координат на угол Θ и переноса в точку <math>(x_c, y_c)</math>:
:<math>\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}=1</math>
:<math>x'=(x-x_c) cos\Theta + (y-y_c) sin\Theta</math>
:<math>y'=-(x-x_c) sin\Theta + (y-y_c) cos\Theta</math>

Выполнив подстановку и раскрыв скобки, получим следующие выражения для коэффициентов общего уравнения:
:<math>A=a^2 (sin\Theta)^2+b^2 (cos\Theta)^2</math>
:<math>B=2(b^2-a^2) sin\Theta cos\Theta</math>
:<math>C=a^2 (cos\Theta)^2+b^2 (sin\Theta)^2</math>
:<math>D=-2 A x_c-B y_c</math>
:<math>E=-B x_c-2 C y_c</math>
:<math>F=A x_c^2+C y_c^2+ B x_c y_c-a^2 b^2</math>
Если ввести только угол, а центр эллипса оставить в начале координат, то
:<math>D=0</math>
:<math>E=0</math>
:<math>F=-a^2 b^2</math>

Следует заметить, что в уравнении общего вида эллипса, заданного в Декартовой системе координат, коэффициенты <math style="vertical-align:-15%;">A, B, C, D, E, F</math> (или, что то же самое, <math style="vertical-align:-20%;">a_{11}, 2a_{12}, a_{22}, 2a_{13}, 2a_{23}, a_{33}</math>) являются определёнными с точностью до произвольного постоянного множителя, т.е. приведённая выше запись и
:<math>A k X^2 + B k X Y + C k Y^2 + D k X + E k Y + F k = 0</math>
где <math style="vertical-align:-25%;">k \ne 0</math>, являются эквивалентными. Нельзя ожидать, что выражение
:<math>1/a^2 + 1/b^2 = A k+C k</math>
будет исполнено при любом <math style="vertical-align:+0%;">k</math>.

Соотношение между инвариантой <math style="vertical-align:+0%;">I</math> и полуосями в общем виде выглядит следующим образом:
:<math>\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} = \frac{A+C}{F \cdot (A \cdot h^2+B \cdot h \cdot k+C \cdot k^2 - 1)} = \frac{I}{F'}</math>

где <math style="vertical-align:-30%;">F' = F \cdot (A \cdot h^2+B \cdot h \cdot k+C \cdot k^2 - 1)</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp; - коэффициент <math style="vertical-align:+0%;">F</math> при переносе начала координат в центр эллипса, когда уравнение приводится к виду
:<math>A X^2 + B X Y + C Y^2 + F' = 0</math>

Другие инварианты находятся в следующих соотношениях:
:<math>-\frac{\Delta}{F'^3} = \frac{D}{F'^2} = \frac{1}{a^2}\frac{1}{b^2}</math>
}}

=== Каноническое уравнение ===
Для любого эллипса можно найти [[Декартова система координат|декартову систему координат]] такую, что эллипс будет описываться уравнением:
: <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.</math>
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Оно описывает эллипс с центром в начале координат, оси которого совпадают с осями координат.
<ref>Если же в правой части стоит единица со знаком минус, то получившееся уравнение:
: <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1.</math>
описывает мнимый эллипс, он не имеет точек на вещественной плоскости.</ref>

{{Hider|
  title = Соотношения|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Для определённости положим, что <math>0 < b \leqslant a.</math> В этом случае величины <math>a</math> и <math>b</math> — соответственно, большая и малая полуоси эллипса.

Зная полуоси эллипса можно вычислить его фокальное расстояние и эксцентриситет:
:<math>\left|F_1F_2\right|=2\sqrt{a^2-b^2},\;\;\;e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}< 1.</math>

Координаты фокусов эллипса:
:<math>\left(ae,\,0\right),\;\;\;\left(-ae,\,0\right).</math>

Эллипс имеет две директрисы, уравнения которых можно записать как
:<math>x=\frac{a}{e},\;\;\;x=-\frac{a}{e}.</math>

Фокальный параметр (т. е. половина длины [[Хорда (геометрия)|хорды]], проходящей через фокус и перпендикулярной оси эллипса) равен
:<math>p=\frac{b^2}{a}.</math>

Фокальные радиусы, т. е. расстояния от фокусов до произвольной точки кривой <math>\left(x,\,y\right):</math>
:<math>r_1 = a + ex,\;\;\;r_2 = a - ex.</math>

Уравнение [[диаметр]]а, сопряжённого хордам с угловым коэффициентом <math>k:</math>:
:<math>y=-\frac{b^2}{a^2k}x.</math>

Уравнение касательной к эллипсу в точке <math>(x_0,y_0)</math> имеет вид <math>:</math>
:<math>\frac{xx_0}{a^2} + \frac{yy_0}{b^2} =1.</math>

Условие касания прямой <math>y=mx+k</math> и эллипса <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math> записывается в виде соотношения <math>:</math> <math>k^2=m^2a^2 + b^2</math>

Уравнение [[Касательная|касательных]], проходящих через точку <math>\left(x_1, y_1\right):</math>
:<math>\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{-x_1y_1 \pm \sqrt{b^2x_1^2 + a^2y_1^2 - a^2b^2}}{a^2 - x_1^2}</math>

Уравнение касательных, имеющих данный угловой коэффициент <math>k</math>:
:<math>y=kx \pm \sqrt{k^2a^2 + b^2};</math>
точки касания такой прямой эллипса (или что то же самое, точки эллипса где касательная имеет угол с тангенсом <math>k</math>):
:<math>x=\mp\frac{ka^2}{\sqrt{k^2a^2 + b^2}}, y=\pm\frac {b^2}{\sqrt{k^2a^2 + b^2}}.</math>

Уравнение [[Нормаль|нормали]] в точке <math>\left(x_1, y_1\right):</math>
:<math>\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{a^2y_1}{b^2x_1}.</math>
}}

=== Уравнения в параметрической форме ===
[[Файл:Parametric ellipse.gif|thumb|210px|right|Геометрическая иллюстрация параметризации эллипса (анимация).]]
Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:
: <math>\begin{cases} x = a\,\cos t \\ y = b\,\sin t \end{cases}\;\;\; 0 \leqslant t \leqslant 2\pi,</math>
где <math>t</math> — параметр.

'''Только''' в случае [[Окружность|окружности]] (то есть при <math>a=b</math>) параметр <math>t</math>
является '''углом''' между положительным направлением [[Ось абсцисс|оси абсцисс]] и [[радиус-вектор]]ом данной точки.

=== В полярных координатах ===
Если принять фокус эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в [[Полярные координаты|полярных координатах]] <math>\left(\rho, \varphi\right)</math> будет иметь вид
: <math>\rho = \frac{p}{1 \pm e \cos \varphi},</math>
где {{math|''e''}} — [[эксцентриситет]], а {{math|''p''}} — фокальный параметр.
Знак минус соответствует помещению полюса полярных координат в левый фокус, а знак плюс — в правый.

{{Hider|
  title = Вывод|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Пусть {{math|''r''<sub>1</sub>}} и {{math|''r''<sub>2</sub>}} — расстояния до данной точки эллипса от первого и второго фокусов.
Пусть также полюс системы координат находится в первом фокусе, а угол <math>\varphi</math> отсчитывается от направления на второй фокус.
Тогда, из определения эллипса,
:<math>r_1 + r_2 = 2a.</math>
Отсюда,
:<math>r_2^2=\left( 2a - r_1 \right)^2 = 4a^2 - 4ar_1 + r_1^2.</math>
С другой стороны, из [[теорема косинусов|теоремы косинусов]]
:<math>r_2^2 = r_1^2 + 4c^2 - 4r_1c \cos \varphi.</math>
Исключая <math>r_2</math> из последних двух уравнений, получаем
:<math>r_1 = \frac{a^2-c^2}{a-c \cos \varphi}.</math>
Учитывая, что
:<math>p = a(1 - e^2),</math>
получаем искомое уравнение.
}}

Если принять центр эллипса за полюс, а большую ось — за полярную ось, то его уравнение в полярных координатах <math>\left(\rho, \varphi\right)</math> будет иметь вид
: <math>\rho = \frac{b}{\sqrt{1-e^2 \cos^2 \varphi}} = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \varphi + b^2 \cos^2 \varphi}}.</math>

[[Файл:Ellipse arc length.gif|thumb|right|Длина дуги эллипса (s) в зависимости от его параметра (θ)]]

== Длина дуги эллипса ==
Длина дуги плоской линии определяется по формуле:
: <math>l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right) ^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \,dt.</math>

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса, получаем следующее выражение:
: <math>l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t}\,dt.</math>

После замены <math>b^2 = a^2 \left(1 - e^2 \right)</math> выражение для длины дуги принимает окончательный вид:
: <math>l = a \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt,\;\;\; e < 1.</math>

Получившийся интеграл принадлежит семейству [[Эллиптический интеграл|эллиптических интегралов]], которые в элементарных функциях не выражаются, и сводится к [[Эллиптический интеграл#Нормальный эллиптический интеграл 2-го рода (неполный)|эллиптическому интегралу второго рода]] <math>E \left(t,e \right)</math>. В частности, периметр эллипса равен:
: <math>l = 4a \int \limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt = 4aE(e)</math>,
где <math>E \left(e \right)</math> — [[Эллиптический интеграл#Полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода|полный эллиптический интеграл второго рода]].

=== Приближённые формулы для периметра ===
<math>L \approx 4\frac{\pi ab + (a-b)^2}{a+b}.</math>

Максимальная погрешность этой формулы ~0,63 % при эксцентриситете эллипса ~0,988 (соотношение осей ~1/6,5). Погрешность всегда положительная.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:

<math>L \approx 4 \cdot \left(a^x+b^x\right)^\left(1/x\right)</math>, где <math>x=\frac{\ln 2}{\ln\frac{\pi}{2}}.</math>

Максимальная погрешность этой формулы ~0,36 % при эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5). Погрешность также всегда положительная.

Существенно лучшую точность при <math>0,05<a/b<20</math> обеспечивает формула [[Сриниваса Рамануджан Айенгор|Рамануджана]]:

<math>L \approx \pi\left[ 3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)} \right] .</math>

При эксцентриситете эллипса ~0,980 (соотношение осей ~1/5) погрешность составляет ~0,02 %. Погрешность всегда отрицательная.

Ещё точней оказалась вторая формула Рамануджана:

<math>L \approx \pi (a+b)\left [1+\frac{3 \left (\frac{a-b}{a+b} \right )^2}{10+\sqrt{4-3 \left (\frac{a-b}{a+b} \right )^2}} \right ] </math>

=== Точные формулы для периметра ===
[[Айвори, Джеймс ()|Джеймс Айвори]]<ref>{{статья
|ref={{harvid|Ivory|1798}}
|заглавие=A new series for the rectification of the ellipsis
|издание=Transactions of the Royal Society of Edinburgh
|том=4
|страницы=177—190
|ссылка=https://books.google.com/books?id=FaUaqZZYYPAC&pg=PA177
|doi=10.1017/s0080456800030817
|язык=und
|автор=[[Айвори, Джеймс (математик)|Ivory, J.]]
|год=1798}}</ref> и [[Бессель, Фридрих Вильгельм|Фридрих Бессель]]<ref>{{статья
|ref={{harvid|Bessel|1825}}
|заглавие=The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements (1825)
|издание=[[Astronomische Nachrichten|Astron. Nachr.]]
|том=331
|страницы=852—861
|arxiv=0908.1824
|doi=10.1002/asna.201011352
|язык=en
|тип=journal
|автор=[[Бессель, Фридрих Вильгельм|Bessel, F. W.]]
|год=2010}} Englisch translation of {{статья |doi=10.1002/asna.18260041601 |bibcode=1825AN......4..241B |заглавие=&Uuml;ber die Berechnung der geographischen L&auml;ngen und Breiten aus geod&auml;tischen Vermesssungen |издание=[[Astronomische Nachrichten|Astron. Nachr.]] |том=4 |страницы=241—254 |язык=de |тип=magazin |автор=Bessel, F. W. |год=1825}}</ref> независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:
: <math>L = \pi (a+b) \left [1+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{(2n-1)!!}{(2n-1)\cdot 2^n \cdot n!}\left ( \frac {a-b}{a+b}\right )^n \right ]^2\right ]</math>

Альтернативная формула
: <math>L = \frac{2 \pi a N(1-e^2)}{M(\sqrt{1-e^2})},</math>
где <math>M(x)</math> — [[Арифметико-геометрическое среднее]] 1 и <math>x</math>,
а <math>N(x)</math> — [[АГС метод Гаусса#Модифицированное арифметико-геометрическое среднее|модифицированное арифметико-геометрическое среднее]] 1 и <math>x</math>, которое было введено С. Ф. Адлаем в статье 2012 года.<ref>


{{Citation |title=An eloquent formula for the perimeter of an ellipse |url = http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf
| last = Adlaj
| first = Semjon
| journal = [[Notices of the American Mathematical Society|Notices of the AMS]]
| issn = 1088-9477
| volume = 76
| issue = 8
| date = September 2012
| pages = 1094–1099 | doi=10.1090/noti879}}
</ref>

== Площадь эллипса и его сегмента ==
[[Площадь фигуры|Площадь]] эллипса вычисляется по формуле
: <math>S = \pi a b.</math>

Площадь [[Сегмент (геометрия)|сегмента]] между {{iw|Дуга (геометрия)|дугой|en|Arc (geometry)}}, выпуклой влево, и вертикальной [[Хорда (геометрия)|хордой]], проходящей через точки <math>\left(x,\,y\right)</math> и <math>\left(x,\,-y\right):</math>, можно определить по формуле{{sfn|Корн|1978|с=68}}:
: <math>S = \frac{\pi a b}{2} - \frac{b}{a} \left(x\,\sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \arcsin \frac{x}{a} \right).</math>

Если эллипс задан уравнением
<math>A x^2+ B x y +  C y^2 = 1 </math>, то площадь можно определить по формуле

: <math>S = \frac{2\pi}{\sqrt{ 4 A C - B^2 }}</math>.

== Построение эллипса ==
{|align="right" cellpadding="0" cellspacing="0" style="margin-left:1em"
|-valign="top"
|[[Файл:Trammel of Archimedes Small White.gif|200px|thumb|[[Эллипсограф]] в действии]]
|[[Файл:ElipseAnimada.gif|thumb|200px|Построение эллипса с помощью иголок, нитки и карандаша.]]
|}

''Основная статья — статья «[[:b:Построение эллипса|Построение эллипса]]» в [[Викиучебник]]е''.

Инструментами для рисования эллипса являются:
* [[эллипсограф]];
* две иголки, воткнутые в фокусы эллипса и соединённые ниткой длиной ''2a'', которую оттягивают карандашом.

При помощи циркуля или циркуля и линейки можно построить любое количество точек, принадлежащих эллипсу, но не весь эллипс целиком.

== Эллипсы, связанные с треугольником ==
* ''Эллипс Брокара'' — эллипс с ''фокусами'' в [[точки Брокара|точках Брокара]]
* [[Эллипс Мандарта]]
* [[Эллипс Штейнера]]

== Другие свойства ==
* Оптические
** Свет от источника, находящегося в одном из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи пересекутся во втором фокусе.
** Свет от источника, находящегося вне любого из фокусов, отражается эллипсом так, что отраженные лучи ни в каком фокусе не пересекутся.
* Если <math>F_1</math> и <math>F_2</math> — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой <math>(F_1X)</math> равен углу между этой касательной и прямой <math>(F_2X)</math>.
* Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет [[построение с помощью циркуля и линейки|построением с помощью циркуля и линейки]] легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
** Эквивалентная формулировка: через середины двух любых параллельных хорд эллипса проходит какой-либо диаметр эллипса. В свою очередь, любой диаметр эллипса всегда проходит через центр эллипса. 
* [[Эволюта|Эволютой]] эллипса является [[астроида]], вытянутая вдоль вертикальной оси.
* Точки пересечения эллипса с осями являются его ''[[Вершина кривой|вершинами]]''.
* ''[[Эксцентриситет]]'' эллипса, то есть отношение <math>e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\;\;\;(0 \leqslant e < 1),</math> характеризует вытянутость эллипса. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
** Если эксцентриситет эллипса равен нулю (что то же самое, что фокальное расстояние равно нулю: <math>F_1 F_2=0</math>), то эллипс вырождается в [[окружность]].
* Экстремальные свойства<ref name=Тот>[[Фейеш Тот, Ласло|Фейеш Тот]] Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве//М., Физматгиз, 1958. 364 с.; глава II, § 4,6</ref>
** Если <math>F</math> — выпуклая фигура и <math>T_n</math> — вписанный в <math>F</math> <math>n</math>-угольник максимальной площади, то
**: <math>S(T_n)\ge S(F)\cdot\frac{n}{\sin(2\cdot\pi/n)}{2\cdot\pi},</math>
:: где <math>S(F)</math> обозначает [[площадь фигуры]] <math>F</math>.
::* Более того: равенство достигается в том и только в том случае, если <math>F</math> ограничено эллипсом.
:* Среди всех выпуклых замкнутых кривых, ограничивающих данную площадь, эллипсы и только они имеет максимальную [[Аффинная длина|аффинную длину]].
* Если произвольный эллипс вписан в треугольник ''ABC'' и имеет фокусы ''P'' и ''Q'', тогда для него справедливо соотношение<ref>Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, «Proving a nineteenth century ellipse identity», ''Mathematical Gazette'' 96, March 2012, 161—165.</ref>
:: <math>\frac{\overline{PA} \cdot \overline{QA}}{\overline{CA} \cdot \overline{AB}} + \frac{\overline{PB} \cdot \overline{QB}}{\overline{AB} \cdot \overline{BC}} + \frac{\overline{PC} \cdot \overline{QC}}{\overline{BC} \cdot \overline{CA}} = 1.</math>
* Если лестницу (бесконечно тонкий отрезок прямой) прислонить к вертикальной стенке с горизонтальным полом, и один конец лестницы будет скользить по стенке (всё время касаясь её) а второй конец лестницы будет скользить по полу (всё время касаясь его), тогда любая фиксированная точка лестницы (не на её концах), будет двигаться по дуге некоторого эллипса. Это свойство остаётся верным, если мы возьмём точку не внутри лестницы-отрезка, а на её мыслимом продолжении. Последнее свойство используется в описанном выше{{переход|#Построение эллипса|back}} [[эллипсограф]]е.

* Касательная, проходящая через точку <math>(x_0,y_0)</math>, принадлежащую эллипсу, имеет следующее уравнение:
: <math>\frac{x x_0}{a^2}+\frac{y y_0}{b^2}=1.</math>

== См. также ==
{{Навигация
|Тема=Эллипс
|Викисловарь=эллипс
}}
* [[Кривая второго порядка]]
* [[Парабола]]
* [[Каустика]]
* [[Эллипсоид]]
* [[Эллипсограф]]
* Кривая постоянной разности расстояний между двумя точками — [[Гипербола (математика)|гипербола]],
* постоянного отношения — [[окружность Аполлония]],
* постоянного произведения — [[овал Кассини]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Корн Г., Корн Т.|заглавие=Справочник по математике|часть=Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол|издание=4-е издание|место={{М.}}|издательство=Наука|год=1978|страницы=70—73|ref=Корн}}
* {{ВТ-ЭСБЕ|Эллипс|[[Селиванов, Дмитрий Фёдорович|Селиванов Д. Ф.]]}}
* ''А. В. Акопян, А. А. Заславский''. [http://math.ru/lib/452 Геометрические свойства кривых второго порядка,] — М.: [[Московский центр непрерывного математического образования|МЦНМО]], 2007. — 136 с.
* ''И. Бронштейн''. [http://kvant.mccme.ru/1970/09/ellips.htm Эллипс] // [[Квант (журнал)|Квант]], № 9, 1970.
* ''А. И. Маркушевич.'' [https://web.archive.org/web/20080914045448/http://ilib.mirror1.mccme.ru/plm/ann/a04.htm Замечательные кривые] // «[[Популярные лекции по математике]]», выпуск 4.

== Ссылки ==
* [http://www.ebyte.it/library/docs/math05a/EllipsePerimeterApprox05.html S.Sykora, Approximations of Ellipse Perimeters and of the Complete Elliptic Integral E(x). Review of known formulae]
* ''Grard P. Michon''. [https://web.archive.org/web/20111027163442/http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2005.1/gma06077/arquivos/ellipse.pdf Perimeter of an Ellipse (Final Answers)], 2000—2005. — 20 c.
* [https://www.youtube.com/watch?v=7UD8hOs-vaI Видео: Как нарисовать эллипс]

{{внешние ссылки}}
{{Кривые}}
{{Конические сечения}}

[[Категория:Кривые]]
[[Категория:Конические сечения]]
[[Категория:Планиметрия]]
[[Категория:Стереометрия]]