Просмотр кода страницы Число Кэрола

'''Число Кэрола''' — это целое вида <math>4^n - 2^{n + 1} - 1</math>.

Эквивалентная форма — <math>(2^n - 1)^2 - 2</math>.

Несколько первых чисел Кэрола:
: {{ч|−1}}, {{ч|7}}, {{ч|47}}, {{ч|223}}, {{ч|959}}, 3967, {{num|16127}}, {{num|65023}}, {{num|261119}}, {{num|1046527}} ({{OEIS|id=A093112}}).

Числа Кэрола впервые изучены Клетусом Эммануэлем (Cletus Emmanuel), назвавшим числа именем своего друга — Кэрола Г. Кирнона (Carol G. Kirnon)<ref>[http://primes.utm.edu/bios/page.php?id=374 Cletus Emmanuel] at [[Prime Pages]].</ref><ref>[http://tech.groups.yahoo.com/group/primenumbers/message/14584 Message to Yahoo primenumbers group] from Cletus Emmanuel.</ref>.

Для ''n'' > 2 двоичное представление ''n''-го числа Кэрола состоит из ''n'' − 2 последовательных единиц, единственного нуля и еще ''n'' + 1 последовательных единиц, или, в алгебраической форме,

: <math>\sum_{i \ne n + 2}^{2n} 2^{i - 1}.</math>

Таким образом, например, 47 выглядит как 101111 в двоичном виде, а 223 как 11011111. Разница между 2''n''-м [[Числа Мерсенна|простым числом Мерсенна]] и ''n''-м числом Кэрола равна <math>2^{n + 1}</math>.
Это даёт ещё одно эквивалентное выражение для чисел Кэрола, <math>(2^{2n} - 1) - 2^{n + 1}</math>.
Разница между ''n''-м [[Число Кайни|числом Кайни]] и ''n''-м числом Кэрола равна (''n'' + 2)-й степени двух.

Начиная с 7 каждое третье число Кэрола делится на 7.

Таким образом, чтобы число Кэрола было [[Простое число|простым числом]], его индекс ''n'' не может иметь вид 3''x'' + 2 для ''x'' > 0.

Первые несколько чисел Кэрола, являющихся также простыми числами:
: 7, 47, 223, 3967, {{num|16127}} ({{OEIS2C|id=A091516}}).

К июлю 2007 года наибольшее известное число Кэрола, являющееся простым, — число для ''n'' = {{num|253987}}, имеющее {{num|152916}} знаков<ref>[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=80384 253987-е число Кэрола] на [[Prime Pages]].</ref><ref>[http://harvey563.tripod.com/Carol_Kynea.txt Carol Primes and Kynea Primes] by Steven Harvey.</ref>. Оно найдено Клетусом Эммануэлем (Cletus Emmanuel) в мае 2007 года, используя программы MultiSieve и PrimeFormGW.
Это 40-е простое Кэрола.

7-е число Кэрола и 5-е простое число Кэрола (16 127) является также простым, если переставить цифры в обратном порядке<ref>{{prime_curios|16127}}.</ref>. 12-е число Кэрола и 7-е простое Кэрола (16 769 023) имеет то же свойство<ref>{{prime_curios|16769023}}.</ref>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld|title=Near-Square Prime|urlname=Near-SquarePrime}}
* [http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=73109 Prime Database entry for Carol(226749)]
* [http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=77385 Prime Database entry for Carol(248949)]

{{rq|checktranslate}}

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Теория простых чисел]]
[[Категория:Целочисленные последовательности]]