Просмотр кода страницы Четырёхмерное пространство

[[Файл:8-cell-simple.gif|frame|right|3D проекция [[Тессеракт|тессеракта]], простое вращение]]
{{redirect|четвёртое измерение|Четвёртое измерение (значения)}}
'''Четырёхмерное пространство''' (обозначения: '''4D''' или <math>\mathbb{R}^4</math>) — [[математический объект]], обобщающий свойства [[Трёхмерное пространство|трёхмерного пространства]]. Его не следует путать с четырёхмерным [[Пространство-время|пространством-временем]] [[Теория относительности|теории относительности]] ([[пространство Минковского|пространством Минковского]]).

[[Алгебра]]ически четырёхмерное пространство может быть построено как множество [[Вектор (математика)|векторов]] с четырьмя вещественными координатами. Геометрически в простейшем случае четырёхмерное пространство рассматривается как [[евклидово пространство]] четырёх измерений, в более общем рассмотрении оно имеет неевклидову [[Метрика (метрическая геометрия)|метрику]], переменную от точки к точке.

Далее для краткости приставка '''4-''' указывает на четырёхмерность следующего за ней понятия. Сокращение '''3D''' обозначает трёхмерное пространство.

== Геометрия четырёхмерного евклидова пространства ==

=== Векторы ===
[[Точка (геометрия)|Точки]] и [[вектор (геометрия)|векторы]] в трёхмерном пространстве с заданной [[Система координат|системой координат]] определяются тремя координатами; аналогично точки и векторы в 4D имеет четыре координаты. Пример 4-вектора:
: <math>\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix}.</math>
Сложение и вычитание векторов происходит покомпонентно, как и в трёх измерениях. [[Скалярное произведение]] 4-векторов определяется формулой:
: <math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + a_4 b_4.</math>
Как и в трёхмерном случае, [[квадратный корень]] из скалярного квадрата вектора <math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}</math> есть его [[Норма (математика)|норма]]: <math>\Vert\mathbf{a}\Vert = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}</math>. [[Угол]] между векторами определяется по той же формуле, что и в трёхмерном пространстве:
:<math> \theta = \arccos{\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\Vert\mathbf{a}\Vert\cdot\Vert\mathbf{b}||}}.</math>

В отличие от трёхмерного случая, в 4D нет прямого аналога [[векторное произведение|векторного произведения]]. Вместо него можно использовать [[бивектор]] [[Внешняя алгебра|внешнего произведения]].

=== Стереометрия ===
Геометрия тел в 4D гораздо сложнее, чем в 3D. В трёхмерном пространстве [[многогранник]]и ограничены двумерными [[многоугольник]]ами (гранями), соответственно в 4D существуют [[Четырёхмерный многогранник|4-многогранники]], ограниченные 3-многогранниками.

В 3D существуют 5 правильных многогранников, известных как [[Правильный многогранник|Платоновы тела]]. В 4-х измерениях есть 6 [[Правильный четырёхмерный многогранник|правильных выпуклых 4-многогранников]], это аналоги Платоновых тел. Если ослабить условия правильности, получатся дополнительно 58 выпуклых полуправильных 4-многогранников, аналогичных 13 полуправильным [[Архимедово тело|Архимедовым телам]] в трёх измерениях. Если снять условие выпуклости, получатся дополнительно ещё 10 невыпуклых регулярных 4-многогранников.
{| class="wikitable"
|+ Правильные [[политоп]]ы четырёхмерного пространства<br>
(Показаны ортогональные проекции для каждого [[Число Коксетера|числа Коксетера]])
!A<sub>4</sub>, [3,3,3]
! colspan="2" |B<sub>4</sub>, [4,3,3]
!F<sub>4</sub>, [3,4,3]
! colspan="2" |H<sub>4</sub>, [5,3,3]
|- align="center"
|[[Файл:4-simplex_t0.svg|120x120пкс|altN=4-simplex]]<br>
[[Пятиячейник]]<br>
[[File:CDel_node_1.png|ссылка=]][[File:CDel_3.png|ссылка=]][[File:CDel_node.png|ссылка=]][[File:CDel_3.png|ссылка=]][[File:CDel_node.png|ссылка=]][[File:CDel_3.png|ссылка=]][[File:CDel_node.png|ссылка=]]
|[[Файл:4-cube_t0.svg|120x120пкс|altN=4-cube]]<br>
[[Тессеракт]]<br>
[[File:CDel_node_1.png|ссылка=]][[File:CDel_4.png|ссылка=]][[File:CDel_node.png|ссылка=]][[File:CDel_3.png|ссылка=]][[File:CDel_node.png|ссылка=]][[File:CDel_3.png|ссылка=]][[File:CDel_node.png|ссылка=]]
|[[Файл:4-cube_t3.svg|120x120пкс|altN=4-orthoplex]]<br>
[[Шестнадцатиячейник]]<br>
[[File:CDel_node.png|ссылка=]][[File:CDel_4.png|ссылка=]][[File:CDel_node.png|ссылка=]][[File:CDel_3.png|ссылка=]][[File:CDel_node.png|ссылка=]][[File:CDel_3.png|ссылка=]][[File:CDel_node_1.png|ссылка=]]
|[[Файл:24-cell_graph.svg|120x120пкс|altN=24-cell]]<br>
[[Двадцатичетырёхячейник]]<br>
[[File:CDel_node_1.png|ссылка=]][[File:CDel_3.png|ссылка=]][[File:CDel_node.png|ссылка=]][[File:CDel_4.png|ссылка=]][[File:CDel_node.png|ссылка=]][[File:CDel_3.png|ссылка=]][[File:CDel_node.png|ссылка=]]
|[[Файл:120-cell_graph_H4.svg|120x120пкс|altN=120-cell]]<br>
[[Стодвадцатиячейник]]<br>
[[File:CDel_node_1.png|ссылка=]][[File:CDel_5.png|ссылка=]][[File:CDel_node.png|ссылка=]][[File:CDel_3.png|ссылка=]][[File:CDel_node.png|ссылка=]][[File:CDel_3.png|ссылка=]][[File:CDel_node.png|ссылка=]]
|[[Файл:600-cell_graph_H4.svg|120x120пкс|altN=600-cell]]<br>
[[Шестисотячейник]]<br>
[[File:CDel_node.png|ссылка=]][[File:CDel_5.png|ссылка=]][[File:CDel_node.png|ссылка=]][[File:CDel_3.png|ссылка=]][[File:CDel_node.png|ссылка=]][[File:CDel_3.png|ссылка=]][[File:CDel_node_1.png|ссылка=]]
|}

В трёхмерном пространстве кривые могут образовывать [[Узел (математика)|узлы]], а [[поверхность|поверхности]] не могут (если они не являются самопересекающимися). В 4D положение меняется: узлы из кривых можно легко развязать, используя четвёртое измерение, а из двумерных поверхностей можно сформировать нетривиальные (не самопересекающиеся) узлы<ref>''J. Scott Carter, Masahico Saito.'' [https://books.google.com/books?id=TIGVq4GeEM4C Knotted Surfaces and Their Diagrams]</ref>. Поскольку эти поверхности двумерны, они могут образовывать более сложные узлы, чем в 3-мерном пространстве. Примером такого узла из поверхностей является широко известная «[[бутылка Клейна]]».

== Способы визуализации четырёхмерных тел ==

=== Проекции ===
[[Файл:Clifford-torus.gif|thumb|right|256px|[[Стереографическая проекция]] [[тор Клиффорда|тора Клиффорда]]: множество точек (cos(a), sin(a), cos(b), sin(b)), который является подмножеством [[3-сфера|3-сферы]].]]
Проекция — изображение n-мерной фигуры на так называемом картинном (проекционном) подпространстве способом, представляющим собой геометрическую идеализацию оптических механизмов.
Так, например, в реальном мире, контур тени предмета — это проекция контура этого предмета на плоскую или приближённую к плоской поверхность — проекционной плоскости. При рассмотрении проекций четырёхмерных тел проецирование осуществляется на трёхмерное пространство, то есть, по отношению к четырёхмерному пространству, на картинное (проекционное) подпространство (то есть пространство, с числом измерений или, иначе говоря, размерностью, на 1 меньшей, чем число измерений (размерность) самого того пространства, в котором находится проецируемое тело).
Проекции бывают параллельными (проекционные лучи параллельны) и центральными (проекционные лучи исходят из некоторой точки). Иногда применяются также стереографические проекции. Стереографическая проекция — центральная проекция, отображающая n-1-сферу n-мерного шара (с одной выколотой точкой) на гиперплоскость n-1. N-1-сферой (гиперсферой) называют обобщение сферы, гиперповерхность в n-мерном (с числом измерений или размерностью n) евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы, гипершаром — тело (область гиперпространства), ограниченное гиперсферой.

=== Сечения ===
[[File:Сечение пентахорона тетраэдром в центральной проекции.png|thumb|left|Сечение [[пентахорон]]а [[тетраэдр]]ом в центральной проекции]]
Сечение — изображение фигуры, образованной рассечением тела плоскостью без изображения частей за этой плоскостью.
Подобно тому, как строятся двухмерные сечения трёхмерных тел, можно построить трёхмерные сечения четырёхмерных тел, причём также как двухмерные сечения одного и того же трёхмерного тела могут сильно отличаться по форме, так и трёхмерные сечения будут ещё более разнообразными, так как будут менять и количество граней, и количество сторон у каждой грани сечения.
Построение трёхмерных сечений сложнее, чем создание проекций, поскольку проекции можно (особенно для несложных тел) получить по аналогии с двухмерными, а сечения строятся только логическим путём, при этом рассматривается каждый конкретный случай отдельно.

=== Развёртки ===
[[Файл:Tesseract net.svg|thumb|Развертка [[тессеракт]]а]]
Развёртка гиперповерхности — фигура, получающаяся в гиперплоскости (подпространстве) при таком совмещении точек данной гиперповерхности с этой плоскостью, при котором длины линий остаются неизменными. Аналогично тому, как трёхмерные многогранники можно сложить из бумажных развёрток, многомерные тела могут быть представлены в виде [[Развёртка многогранника|развёрток]] своих гиперповерхностей.

== Попытки научного исследования ==
После того, как [[Бернхард Риман]] в 1853 году теоретически обосновал возможность существования ''n''-мерного пространства, попытки обнаружить и исследовать гипотетические дополнительные измерения пространства неоднократно предпринимали как серьёзные учёные, так и всевозможные оккультисты и эзотерики. Английский математик {{нп5|Хинтон, Чарльз|Чарльз Хинтон||Charles Howard Hinton}} опубликовал ряд книг на эту тему и глубоко изучил проблему визуализации. По его мнению, наш трёхмерный мир разделяет невидимый нам четырёхмерный на две части (аналогично тому, как плоскость делит пополам наше пространство). Эти части он условно назвал по-гречески ''Ана'' (верхний мир) и ''Ката'' (нижний мир){{sfn |Ибаньес, Рауль|2014|с=59—60, 71.}}.

Во второй половине XIX — начале XX века изучение этой темы было основательно дискредитировано [[спиритизм]]ом, который рассматривал невидимые измерения как обиталище душ умерших, а миры Ана и Ката зачастую отождествлялись с адом и раем; свой вклад внесли философы и теологи. Вместе с тем вопрос привлекал внимание таких крупных учёных, как физики [[Уильям Крукс]] и [[Вебер, Вильгельм Эдуард|Вильгельм Вебер]], астроном [[Иоганн Карл Фридрих Цёлльнер]] (автор книги «Трансцендентальная физика»), нобелевские лауреаты [[Стретт, Джон Уильям (лорд Рэлей)|лорд Рэлей]] и [[Томсон, Джозеф Джон|Джозеф Джон Томсон]]{{sfn |Ибаньес, Рауль|2014|с=75—81.}}. Русский физик [[Бобылёв, Дмитрий Константинович|Дмитрий Бобылёв]] написал [[ЭСБЕ|энциклопедическую]] [[s:ЭСБЕ/Четырехмерное пространство|статью]] по теме.

Физик и философ [[Эрнст Мах]] неоднократно высказывал предположение, что число измерений пространства не обязательно равно трём, например, в статье 1872 года: «Что до сих пор не удалось создать удовлетворительную теорию электричества, это зависит, может быть, от того, что электрические явления непременно хотели объяснить молекулярными процессами в пространстве с тремя измерениями» В 1914 году [[Гуннар Нордстрём]] опубликовал свой вариант новой теории тяготения, основанный на четырёхмерном пространстве в пятимерном [[Пространство-время|пространстве-времени]] (модель 4+1); эта теория не соответствовала наблюдениям и была отвергнута. В 1920-е годы появилась близкая по геометрической структуре (та же модель 4+1) [[теория Калуцы — Клейна]], объединяющая [[Общая теория относительности|общую теорию относительности]] [[Эйнштейн, Альберт|Эйнштейна]] и [[электромагнетизм]] [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелла]], все эффекты объяснялись геометрическими свойствами пространства и времени. В современной [[Теория струн|теории струн]] пространство-время имеет 11 измерений, см. [[старшие размерности]]{{sfn |Владимиров Ю. С.|2010|с=63—68}}.

== В литературе ==
: {{main|Четвёртое измерение в литературе}}
Тема дополнительных измерений пространства и близкая к ней тема [[Мультивселенная|параллельных миров]] давно стала популярной в фантастической и философской литературе. [[Герберт Уэллс]], одним из первых описавший [[Машина времени (роман)|путешествие во времени]], во многих других своих произведениях затронул также и невидимые измерения пространства: «Чудесное посещение», «Замечательный случай с глазами Дэвидсона», «Хрустальное яйцо», «Украденное тело», «Люди как боги», «История  Платтнера». В последнем рассказе человек, выброшенный катастрофой из нашего мира и затем вернувшийся, претерпевает пространственное отражение — например, сердце у него оказывается с правой стороны. [[Владимир Набоков]] описал аналогичное изменение пространственной ориентации в романе «Смотри на арлекинов!» (1974). В научной фантастике второй половины XX века четвёртое измерение использовали такие крупные писатели, как [[Айзек Азимов]], [[Артур Кларк]], [[Фредерик Пол]], [[Клиффорд Саймак]] и многие другие. Создание четырёхмерного [[тессеракт]]а лежит в основе сюжета рассказа [[Хайнлайн, Роберт|Роберта Хайнлайна]], названного в русском переводе «Дом, который построил Тил»{{sfn |Ибаньес, Рауль|2014|с=87—102.|name=IR87}}.

[[Валерий Брюсов]] в 1924 году написал стихотворение «Мир N измерений»<ref>[http://scanpoetry.ru/poetry/9228 Мир N измерений]</ref>.

В мистической литературе четвёртое измерение нередко описывается как обиталище демонов или душ умерших. Эти мотивы встречаются, например, у [[Макдональд, Джордж|Джорджа Макдональда]] (роман «Лилит»), в нескольких рассказах [[Бирс, Амброз|Амброза Бирса]], в рассказе [[Чехов, Антон Павлович|А. П. Чехова]] «Тайна». В романе [[Конрад, Джозеф|Дж. Конрада]] и [[Форд, Форд Мэдокс|Ф. М. Форда]] «Наследники» (''The Inheritors'', 1901) обитатели четвёртого измерения пытаются захватить нашу Вселенную<ref name=IR87/>.

== В изобразительном искусстве ==
: {{main|Четвёртое измерение в изобразительном искусстве}}
Концепция четвёртого измерения оказала значительное влияние на изобразительное искусство. Роль перспективы снизилась; например, [[Кубизм|кубисты]] ([[Пикассо, Пабло|Пикассо]], [[Метценже, Жан|Метценже]] и другие) в своих картинах часто изображали людей и предметы одновременно в различных ракурсах, тем самым как бы добавляя им измерения (см., например, картину «[[Авиньонские девицы]]»). [[Гийом Аполлинер]] в 1913 году писал{{sfn |Ибаньес, Рауль|2014|с=133—155.|name=IR133}}.:
{{начало цитаты}}
Сегодня учёные больше не ограничивают себя тремя измерениями Евклида. И художники, что совершенно естественно (хотя кто-то и скажет, что только благодаря интуиции), привлекли новые возможности пространственных  измерений, что на языке современных студий стало называться четвёртым измерением. Существуя в сознании образом пластики предмета, четвёртое измерение зарождается благодаря трём известным измерениям: оно представляет собой необъятность пространства во всех направлениях в каждый данный момент. Это само пространство, само измерение бесконечности; четвёртое измерение одаряет предметы пластичностью.
{{конец цитаты}}
Поиском новых средств занимался [[Сюрреализм|сюрреалист]] [[Марсель Дюшан]], хорошо знакомый с многомерной математикой и методами её визуализации. Среди наиболее характерных образцом его творчества — картины «Обнажённая на лестнице, № 2» и «Большое стекло». Аналогичные мотивы прослеживаются у [[Футуризм|футуристов]], [[Супрематизм|супрематистов]] («''работы Малевича этого периода напоминают плоские сечения объектов из высших измерений''») и сюрреалистов. У [[Дали, Сальвадор|Сальвадора Дали]] есть картины «Распятие, или Гиперкубическое тело» и «В поисках четвёртого измерения»<ref name=IR133/>.

== См. также ==
* [[N-мерная евклидова геометрия]]
* [[Гиперкуб]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Владимиров, Юрий Сергеевич|Владимиров Ю. С.]] |ref=Владимиров Ю. С.
  |заглавие=Пространство-время: явные и скрытые размерности |год=2010
  |издание=Изд. 2-е, перераб. и доп |место=М.|издательство=Книжный дом «ЛИБРОКОМ» |страниц=208
  |серия=Науку — всем! Шедевры научно-популярной литературы |isbn=978-5-397-01072-6}}
* {{книга |автор=Ибаньес, Рауль. |заглавие=Четвёртое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной?
   |место=М. |издательство=Де Агостини |год=2014 |страниц=160 |isbn=978-5-9774-0631-4  
  |серия=Мир математики: в 45 томах, том 6 |ref=Ибаньес, Рауль }}

== Ссылки ==
* [http://www.dimensions-math.org/Dim_RU.htm Dimensions — видео-прогулка по математическим размерностям, различные представления многомерных объектов, подробные примечания со ссылками]{{ref-ru}}
* [http://www.math.union.edu/~dpvc/math/4D/welcome.html Покадровая анимация 4D—3D аналогий]{{ref-en}}
* [http://www.urticator.net/maze/ Найти выход из лабиринта в 3Д и 4Д. Удобное управление на клавиатуре. Java]{{ref-en}} или [http://physmatik.narod.ru/Math/_html/Maze3D4D.htm для WinXP]
* [http://www.math.cmu.edu/~fho/jenn/ Jenn3D]{{ref-en}} — управляемый полет в 3-[[стереографическая проекция|стереографической проекции]] 4-[[политоп]]ов, например, [[тессеракт]]а
* [http://eusebeia.dyndns.org/4d/index.html 4D евклидово пространство]{{ref-en}}
* [http://math.eretrandre.org/4dbb/ 4D Building Blocks — Interactive game to explore 4D space]{{ref-en}}
* [http://pagesperso-orange.fr/famille_jf_bigot/informatique/factor/4DNav.htm 4DNav — Простой инструмент для просмотра 4-мерного объекта в четырёх 3-мерных проекциях]{{ref-fr}} использует [https://web.archive.org/web/20120723192433/http://www.flowerfire.com/ADSODA/ алгоритм прямолинейного проектирования ADSODA]{{ref-en}}
* [http://tetraspace.alkaline.org Вики-сборник 4-мерия Гаррета Джонса]{{ref-en}}

{{Размерность}}

[[Категория:Многомерная евклидова геометрия]]
[[Категория:Размерность пространства]]