Просмотр кода страницы Центр группы

[[Файл:Center of Dihedral group of order 8 subgroup of S4.svg|thumb|[[Таблица Кэли]] {{не переведено 5|Примеры групп#Диэдральная группа восьмого порядка|Dih<sub>4</sub>||Examples of groups}}<br />Центром является {0,7} — строка, начинающаяся с 7 является [[Транспонированная матрица|транспонированием]] столбца, начинающегося с 7, и элементы строки и столбца симметричны относительно диагонали. (Только для нейтрального элемента это возможно во всех группах.)]]
'''Центр группы''' в [[теория групп|теории групп]] — множество элементов данной [[Группа (математика)|группы]], которые [[коммутирующие элементы группы|коммутируют]] со всеми её элементами: 
: <math>Z(G) = \{z \in G \mid \forall g\in G, zg = gz \}</math><ref>Обозначение {{mvar|Z}} пришло от {{lang-de|Zentrum}}</ref>).

Группа <math>G</math> является [[Абелева группа|абелевой]] в том и только в том случае, когда её центр совпадает с ней: <math>Z(G) = G</math>; в этом смысле центр группы может быть рассмотрен как мера её «абелевости». Говорят, что группа ''не имеет центра'', если центр группы тривиален, то есть состоит только из [[Нейтральный элемент|нейтрального элемента]].

Элементы центра иногда называют '''центральными элементами группы'''.

== Подгрупповые свойства ==
Центр группы всегда является её подгруппой: всегда содержит нейтральный элемент (так как он коммутирует с любым элементом группы по определению), замкнут относительно групповой операции и вместе с входящими элементами содержит их [[Обратный элемент|обращения]].

Центр группы {{mvar|G}} всегда является [[Нормальная подгруппа|нормальной подгруппой]] {{mvar|G}}, поскольку он замкнут относительно [[Нормальное замыкание (теория групп)|сопряжения]]. Более того, центр группы — [[характеристическая подгруппа]], но при этом — не {{не переведено 5|Вполне характеристическая подгруппа|вполне характеристическая подгруппа||fully characteristic subgroup}}.

[[Факторгруппа]] <math>G/Z(G)</math> [[Изоморфизм групп|изоморфна]] группе [[Внутренний автоморфизм|внутренних автоморфизмов]] группы <math>G</math>.

== Классы сопряжённости и централизаторы ==
По определению, центр группы — это множество элементов, для которых [[Класс сопряжённости|классом сопряжённости]] каждого элемента является сам элемент.

Центр является также [[Пересечение множеств|пересечением]] всех [[централизатор]]ов всех элементов группы {{mvar|G}}.

== Смежность ==
Ядро отображения <math>f: G \to \operatorname{Aut}(G)</math>, ставящего в соответствие элементу группы <math>g</math> [[Автоморфизм группы|автоморфизм]], заданный формулой:
: <math>\phi_g(h) = ghg^{-1}</math>,
является в точности центром группы {{mvar|G}}, а образ отображения {{mvar|f}} называется [[Внутренний автоморфизм|внутренним автоморфизмом]] группы {{mvar|G}}, который обозначается <math>\operatorname{Inn}(G)</math>; по [[Теоремы об изоморфизме|первой теореме об изоморфизме]] имеет место:
: <math>G/Z(G)\cong \rm{Inn}(G)</math>.
[[Коядро (теория категорий)|Коядром]] отображения {{mvar|f}} является группа <math>\operatorname{Out}(G)</math> {{не переведено 5|Внешний автоморфизм|внешних автоморфизмов||outer automorphism}}; таким образом, имеет место [[точная последовательность]]:
: <math>1 \to Z(G) \to G \to \operatorname{Aut}(G) \to \operatorname{Out}(G) \to 1</math>.

== Примеры ==
* Центром [[Абелева группа|абелевой группы]] {{mvar|G}} является {{mvar|G}}.
* Центром [[Группа Гейзенберга|группы Гейзенберга]] {{mvar|G}} являются матрицы вида:
::: <math>\begin{pmatrix}
 1 & 0 & z\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math>
* Центр [[Абелева группа|неабелевой]] [[Простая группа|простой группы]] тривиален.
* Центр [[Диэдрическая группа|диэдрической группы]] {{math|D<sub>''n''</sub>}} тривиален при нечётном {{mvar|n}}. Если {{mvar|n}} чётно, центр состоит из нейтрального элемента и вращения [[многоугольник]]а на 180°.
* Центр [[Группа кватернионов|группы кватернионов]] <math>Q_8 = \{1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}</math> — <math>\{1, -1\}</math>.
* Центр [[Симметрическая группа|симметрической группы]] {{math|''S''<sub>''n''</sub>}} тривиален для {{math|''n'' ≥ 3}}.
* Центр [[Знакопеременная группа|знакопеременной группы]] {{math|''A''<sub>''n''</sub>}} тривиален для {{math|''n'' ≥ 4}}.
* Центр [[Полная линейная группа|полной линейной группы]] <math>\mbox{GL}_n(F)</math> — это множество [[Скалярная матрица|скалярных матриц]] <math>\{ sI_n | s \in F\setminus\{0\} \}</math>.
* Центром [[Ортогональная группа|ортогональной группы]] <math>O(n, F)</math> является <math>\{ I_n,-I_n \}</math>.
* Центром мультипликативной группы ненулевых [[кватернион]]ов является мультипликативная группа ненулевых вещественных чисел.
* Используя [[Класс смежности|уравнение класса]] можно доказать, что центр любой нетривиальной [[Конечная группа|конечной]] [[Конечная p-группа|p-группы]] нетривиален.
* Если [[факторгруппа]] <math>G/Z(G)</math> является [[Циклическая группа|циклической]], G является [[Абелева группа|абелевой]] (так что G = Z(G), и <math>G/Z(G)</math> тривиальна).
* [[Факторгруппа]] <math>G/Z(G)</math> не изоморфна [[Группа кватернионов|группе кватернионов]] <math>Q_8</math>.

== Центральные ряды ==
Факторизация по центрам групп порождает последовательность групп, которая называется {{не переведено 5|Центральные ряды|верхним центральным рядом||upper central series}}:
: <math>G_0 = G \to G_1 = G_0/Z(G_0) \to G_2 = G_1/Z(G_1) \to \cdots</math>
Ядро отображения <math>G \to G_i</math> — это {{mvar|i}}-й центр группы {{mvar|G}} (''второй центр'', ''третий центр'', и так далее), и они обозначаются <math>Z^i(G)</math>. Конкретно, <math>(i+1)</math>-й центр — это элементы, которые коммутируют со всеми элементами {{mvar|i}}-го центра. При этом можно определить нулевой центр группы как подгруппу из единицы. Верхний центральный ряд можно продолжить на [[Трансфинитное число|трансфинитные числа]] с помощью [[Трансфинитная индукция|трансфинитной индукции]]. Объединение всех центров ряда называется {{не переведено 5|Центральные ряды|гиперцентром||hypercenter}}<ref>Это объединение включает трансфинитные элементы, если ряд верхних центров не стабилизируется за конечное число итераций.</ref>.

Возрастающая последовательность подгрупп:
: <math>1 \leq Z(G) \leq Z^2(G) \leq \cdots</math>
стабилизируется на <math>i</math> (что означает, <math>Z^i(G) = Z^{i+1}(G)</math>) [[тогда и только тогда]], когда <math>G_i</math> не имеет центра.

=== Примеры ===
* Для группы без центра все центры ряда нулевые, что происходит в случае <math>Z^0(G)=Z^1(G)</math>.
* По {{не переведено 5|Лемма Грюна|лемме Грюна ||Grün's lemma}} факторгруппа {{не переведено 5|группа, совпадающая со своим коммутантом|группы, совпадающей со своим коммутантом|en|perfect group}}, по её центру не имеет центра, поскольку все центры более высокого порядка равны центру. Это случай стабилизации <math>Z^1(G)=Z^2(G)</math>.

== См. также ==
* {{не переведено 5|Центр (алгебра)|Центр (алгебра)||center (algebra)}}
* [[Норма (теория групп)]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{книга
 | автор = Michiel Hazewinkel 
 | ISBN = 978-1-55608-010-4
 | издательство = Springer
 | заглавие = Centre of a group, Encyclopedia of Mathematics
 | год = 2011
}}
* {{Из|МЭ|http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/6084|Центр группы|автор = О. А. Иванова}}
* {{Книга:Общая алгебра|2}}

{{rq|refless|style}}

[[Категория:Функциональные подгруппы]]