Просмотр кода страницы Функция ошибок

[[Файл:Error Function.svg|thumb|right|400px|График функции ошибок]]
'''Функция ошибок''' (также упоминается как интеграл вероятности) — [[Специальные функции|неэлементарная функция]], возникающая в [[Теория вероятностей|теории вероятностей]], [[Математическая статистика|статистике]] и [[математическая физика|теории дифференциальных уравнений в частных производных]]. Она определяется как

: <math>\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt</math>.

'''Дополнительная функция ошибок''', обозначаемая <math>\operatorname{erfc}\,x</math> (иногда применяется обозначение <math>\operatorname{Erf}\,x</math>) определяется через функцию ошибок:

: <math>\operatorname{erfc}\,x = 1-\operatorname{erf}\,x = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int\limits_x^{\infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt</math>.

'''Комплексная функция ошибок''', обозначаемая <math>w(x)</math>, также определяется через функцию ошибок:

: <math>w(x) = e^{-x^2}\operatorname{erfc}\,(-ix)</math>.

== Свойства ==
* Функция ошибок [[Нечётные и чётные функции|нечётна]]:
:: <math>\operatorname{erf}\,(-x) = -\operatorname{erf}\,x.</math>

* Для любого комплексного <math>x</math> выполняется
:: <math>\operatorname{erf}\,\bar{x} = \overline{\operatorname{erf}\,x}  </math>
: где черта обозначает [[комплексное сопряжение]] числа <math>x</math>.

* Функция ошибок не может быть представлена через [[элементарные функции]], но, разлагая интегрируемое выражение в [[ряд Тейлора]] и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:
:: <math>\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\ \cdots\right)</math>
: Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого [[вещественное число|вещественного]] <math>x</math>, так и на всей [[комплексная плоскость|комплексной плоскости]], согласно [[Признак Д’Аламбера|признаку Д’Аламбера]]. Последовательность знаменателей образует {{OEIS|A007680}}.

* Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:
:: <math>\operatorname{erf}\,x= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(x \prod_{i=1}^n{\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{x}{2n+1} \prod_{i=1}^n \frac{-x^2}{i}</math>
: поскольку <math>\frac{-(2i-1) x^2}{i (2i+1)}</math> — сомножитель, превращающий <math>i</math>-й член ряда в <math>(i+1)</math>-й, считая первым членом <math>x</math>.

* Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:

* При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка <math>z=\infty</math> будет для неё существенно особой.

* Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:
:: <math>\frac{d}{dx}\,\operatorname{erf}\,x=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{-x^2}.</math>

* [[Первообразная]] функции ошибок, получаемая способом [[Интегрирование по частям|интегрирования по частям]]:

:: <math>x\operatorname{erf}(x) + \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}.</math>


* '''Обратная функция ошибок''' представляет собой ряд
:: <math>\operatorname{erf}^{-1}\,x=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left (\frac{\sqrt{\pi}}{2}x\right )^{2k+1},</math>
: где ''c''<sub>0</sub> = 1 и
:: <math>c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\ldots\right\}.</math>

: Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):
:: <math>\operatorname{erf}^{-1}\,x=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\left (x+\frac{\pi x^3}{12}+\frac{7\pi^2 x^5}{480}+\frac{127\pi^3 x^7}{40320}+\frac{4369\pi^4 x^9}{5806080}+\frac{34807\pi^5 x^{11}}{182476800}+\dots\right ).</math>[http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/InverseErf/06/01/]

: Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — {{OEIS2C|A092676}} и {{OEIS2C|A132467}} в OEIS; последовательность числителей до сокращения — {{OEIS2C|A002067}} в OEIS.

[[Файл:Error Function Complementary.svg|thumb|right|400px|Дополнительная функция ошибок]]

== Применение ==
Если набор случайных величин подчиняется [[нормальное распределение|нормальному распределению]] со [[стандартное отклонение|стандартным отклонением]] <math>\sigma</math>, то вероятность, что величина отклонится от среднего не более чем на <math>a</math>, равна <math> \operatorname{erf}\,\frac{a}{\sigma \sqrt{2}}</math>.

Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, [[уравнение теплопроводности|уравнения теплопроводности]] с [[Начальные и граничные условия|начальными условиями,]] описываемыми [[Функция Хевисайда|функцией Хевисайда]] («ступенькой»).

В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.

== Асимптотическое разложение ==
При больших <math>x</math> полезно [[асимптотическое разложение]] для дополнительной функции ошибок:
: <math>\operatorname{erfc}\,x = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\left [1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}\right ]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.</math>
Хотя для любого конечного <math>x</math> этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления <math>\operatorname{erfc}\,x</math> с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой
: <math>(\operatorname{erf}\,x)^2\approx 1-\exp\left(-x^2\frac{4/\pi+ax^2}{1+ax^2}\right)</math>
где
: <math> a = \frac{8}{3\pi}\frac{3 - \pi}{\pi - 4}.</math>

== Родственные функции ==
С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с [[нормальное распределение#нормальное интегральное распределение|нормальным интегральным распределением]], обозначаемым <math>\Phi(x)</math>
: <math>\Phi(x) = \frac{1}{2}\biggl(1+\operatorname{erf}\,\frac{x}{\sqrt{2}}\biggl).</math>

[[Обратная функция]] к <math>\Phi</math>, известная как [[нормальная квантильная функция]], иногда обозначается [[Пробит регрессия|<math>\operatorname{probit}</math>]] и выражается через нормальную функцию ошибок как
: <math>
\operatorname{probit}\,p = \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(2p-1).
</math>

Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем [[Функция Миттаг-Леффлера|функции Миттаг-Леффлера]], а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция ([[функция Куммера]]):
: <math>\operatorname{erf}\,x=
\frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2\right).</math>

Функция ошибок выражается также через [[Интегралы Френеля|интеграл Френеля]]. В терминах [[неполная гамма-функция|регуляризованной неполной гамма-функции P]] и [[неполная гамма-функция|неполной гамма-функции]],

: <math>\operatorname{erf}\,x=\operatorname{sign}\,x\,P\left(\frac{1}{2}, x^2\right)={\operatorname{sign}\,x \over \sqrt{\pi}}\gamma\left(\frac{1}{2}, x^2\right).</math>

=== Обобщённые функции ошибок ===
[[Файл:Error Function Generalised.svg|right|thumb|400px|График обобщённых функций ошибок <math>E_n(x)</math>:<br>
серая линия: <math>E_1(x)=(1-e^{-x})/\sqrt{\pi}</math> <br>
красная линия: <math>E_2(x)=\operatorname{erf}\,x</math><br>
зелёная линия: <math>E_3(x)</math><br>
синяя линия: <math>E_4(x)</math><br>
жёлтая линия: <math>E_5(x)</math>.]]

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

: <math>E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int\limits_0^x e^{-t^n}\,\mathrm dt
=\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,.</math>

Примечательными частными случаями являются:
* <math>E_0(x)</math> — прямая линия, проходящая через начало координат: <math>E_0(x)=\frac{x}{e \sqrt{\pi}}</math>
* <math>E_2(x)</math> — функция ошибок <math>\operatorname{erf}\,x</math>.

После деления на <math>n!</math> все <math>E_n</math> с нечётными <math>n</math> выглядят похоже (но не идентично). Все <math>E_n</math> с чётными <math>n</math> тоже выглядят похоже, но не идентично, после деления на <math>n!</math>. Все обобщённые функции ошибок с <math>n>0</math> выглядят похоже на полуоси <math>x>0</math>.

На полуоси <math>x>0</math> все обобщённые функции могут быть выражены через [[гамма-функция|гамма-функцию]]:

: <math>E_n(x) = \frac{\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi},
\quad \quad
x>0</math>

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

: <math>\operatorname{erf}\,x = 1 - \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt\pi}</math>

=== Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок ===
Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как
: <math>
i^n\,\operatorname{erfc}\,z = \int\limits_z^\infty i^{n-1}\,\operatorname{erfc}\,\zeta\,d\zeta.</math>

Их можно разложить в ряд:
: <math>
i^n\,\operatorname{erfc}\,z 
=
 \sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left( 1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,,
</math>
откуда следуют свойства симметрии
: <math>
i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,(-z)
= -i^{2m}\,\operatorname{erfc}\,z
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}
</math>

и

: <math>
i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,(-z)
=i^{2m+1}\,\operatorname{erfc}\,z
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,.
</math>

== Реализации ==
В стандарте языка [[Си (язык программирования)|Си]] (ISO/IEC 9899:1999, пункт 7.12.8) предусмотрены функция ошибок <math>\operatorname{erf}</math> и дополнительная функция ошибок <math>\operatorname{erfc}</math>. Функции объявлены в заголовочных файлах <code>[[math.h]]</code> (для [[Си (язык программирования)|Си]]) или <code>cmath</code> (для [[C++]]). Там же объявлены пары функций <code>erff()</code>, <code>erfcf()</code> и <code>erfl()</code>, <code>erfcl()</code>. Первая пара получает и возвращает значения типа <code>float</code>, а вторая — значения типа <code>long double</code>. Соответствующие функции также [http://www.boost.org/doc/libs/1_38_0/libs/math/doc/sf_and_dist/html/math_toolkit/special/sf_erf/error_function.html содержатся] в библиотеке <code>Math</code> проекта «[[Boost (библиотека)|Boost]]».

В языке [[Java]] стандартная библиотека математических функций <code>[[java.lang.Math]]</code> не содержит<ref>[http://java.sun.com/javase/6/docs/api/java/lang/Math.html Math (Java Platform SE 6)<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref> функцию ошибок. Класс <code>Erf</code> можно найти в пакете <code>org.apache.commons.math.special</code> из не стандартной библиотеки, поставляемой<ref>{{Cite web |url=http://commons.apache.org/math/apidocs/org/apache/commons/math/special/Erf.html#erf(double) |title=Архивированная копия |accessdate=2008-03-28 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080409231410/http://commons.apache.org/math/apidocs/org/apache/commons/math/special/Erf.html#erf(double) |archivedate=2008-04-09 |deadlink=yes }}</ref> [[Apache Software Foundation]].

[[Система компьютерной алгебры|Системы компьютерной алгебры]] [[Maple]][http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=erf], [[Matlab]][http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/techdoc/ref/erf.html], [[Mathematica]] и [[Maxima]][http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/en/maxima_15.html#SEC83] содержат обычную и дополнительную функции ошибок, а также обратные к ним функции.

В языке [[Python]] функция ошибок доступна<ref>[http://docs.python.org/library/math.html#special-functions 9.2. math — Mathematical functions — Python 2.7.10rc0 documentation<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref> из стандартной библиотеки <code>math</code>, начиная с версии 2.7. Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле <code>Special</code> проекта [[SciPy]][https://web.archive.org/web/20080617125252/http://www.scipy.org/SciPyPackages/Special].

В языке [[Erlang]] функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля <code>math</code><ref> Язык [[Erlang]]. [http://erlang.org/doc/man/math.html Описание] функций стандартного модуля <code>math</code>.</ref>.

== См. также ==
* [[Функция Гаусса]]
* [[Функция Доусона]]
* [[Гауссов интеграл]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Citation |last1=Press |first1=William H. |last2=Teukolsky |first2=Saul A. |last3=Vetterling |first3=William T. |last4=Flannery |first4=Brian P. |year=2007 |title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing |edition=3rd |publisher=Cambridge University Press |location=New York |isbn=978-0-521-88068-8 |chapter=Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function |chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=259 }}
* {{книга |автор=Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds |заглавие=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables |ответственный= |ссылка=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_297.htm |место=New York |издательство=Dover |год=1972 |том=7 |страниц= |страницы= |isbn= |ref= }}
* {{cite web |author=Nikolai G. Lehtinen  |url=http://nlpc.stanford.edu/nleht/Science/reference/errorfun.pdf |title=Error functions |lang= |website= |publisher= |date=April 2010 |accessdate=2019-05-25}}

== Ссылки ==
{{Навигация}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Erf.html MathWorld — Erf]
* [http://www.mhtl.uwaterloo.ca/old/courses/me303/calc/func_calc.html Онлайновый калькулятор Erf и много других специальных функций (до 6 знаков)]
* [http://statpages.org/scicalc.html Онлайновый калькулятор, вычисляющий в том числе Erf]

{{ВС}}

[[Категория:Специальные функции]]