Просмотр кода страницы Функция Розенброка

[[Файл:Rosenbrock function.svg|thumb|right|300 px|График функции Розенброка для двух переменных. Глобальный минимум перенесён в точку (0,0).]]
'''Функция Розенброка''' ({{lang-en|Rosenbrock function, Rosenbrock's valley, Rosenbrock's banana function}}) — не[[выпуклая функция]], используемая для оценки производительности [[алгоритм]]ов [[Оптимизация (математика)|оптимизации]], предложенная {{Не переведено|:en:Howard Harry Rosenbrock|Ховард Розенброк|Ховардом Розенброком}} в [[1960 год]]у<ref>{{статья |заглавие=An automatic method for finding the greatest or least value of a function |издание={{Нп3|The Computer Journal}} |том=3 |страницы=175—184 |doi=10.1093/comjnl/3.3.175 |issn=0010-4620 |язык=en |тип=journal |автор=Rosenbrock, H.H. |год=1960}}</ref>. Считается, что поиск глобального минимума для данной функции является нетривиальной задачей.

Является примером тестовой функции для локальных методов оптимизации. Имеет минимум 0 в точке (1,1)<ref>Жилинискас А., Шатлянис В. Поиск оптимума: компьютер расширяет возможности. - М.: Наука, 1989, с. 14, ISBN 5-02-006737-7</ref>.

== Каноническое определение ==
[[Файл:Rosenbrock function.PNG|thumb|right|300 px|Значение функции Розенброка для двух переменных в окрестности точки <math>(x, y)=(0, 0)</math>.]]
Функция Розенброка для двух переменных определяется как:
: <math>f(x, y) = (1-x)^2 + 100(y-x^2)^2 .\quad </math>
Она имеет глобальный минимум в точке <math>(x, y)=(1, 1)</math> где <math>f(x, y)=0</math>.

== Многомерное обобщение ==
Встречаются два классических варианта многомерного обобщения функции Розенброка.

В первом случае, как сумма <math>N/2</math> несвязанных двумерных функций Розенброка:
: <math>f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2, \dots, x_N) = \sum_{i=1}^{N/2} \left[100(x_{2i-1}^2 - x_{2i})^2 + (x_{2i-1} - 1)^2 \right].</math><ref>L C W Dixon, D J Mills. Effect of Rounding errors on the Variable Metric Method. ''Journal of Optimization Theory and Applications'' '''80''', 1994. [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=179711]</ref>

Более сложным вариантом является:
: <math>f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{N-1} \left[  (1-x_i)^2+ 100 (x_{i+1} - x_i^2 )^2 \right] \quad \forall  x\in\mathbb{R}^N.</math><ref>{{cite web|url=http://www.it.lut.fi/ip/evo/functions/node5.html|title=Generalized Rosenbrock's function|accessdate=2008-09-16|work=|publisher=|date=|archiveurl=https://web.archive.org/web/20080926163754/http://www.it.lut.fi/ip/evo/functions/node5.html|archivedate=2008-09-26|deadlink=yes}}</ref>

Существует также вероятностное обобщение функции Розенброка, предложенное {{lang-en|Xin-She Yang}}<ref>Yang X.-S. and Deb S., Engineering optimization by cuckoo search, Int. J. Math. Modelling Num. Optimisation, Vol. 1, No. 4, 330—343 (2010).</ref>:
: <math> f(\mathbf{x}) =\sum_{i=1}^{n-1} \Big[(1-x_i)^2+100 \epsilon_i (x_{i+1}-x_i^2)^2 \Big],</math>
где случайные переменные <math>\epsilon_i (i=1,2,...,n-1) </math> являются [[Непрерывное равномерное распределение|равномерно распределёнными]] Unif(0,1).

== См. также ==
* [[Градиентный спуск]]
* [[Метод Нелдера — Мида]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* [http://nsu.ru/matlab/Exponenta_RU/educat/systemat/krushel/lab_exemp/p3.asp.htm  Методические указания к исследовательской лабораторной работе по дисциплине «Математические основы кибернетики» // Крушель Е. Г., Степанченко О. В.] {{недоступная ссылка|число=13|месяц=05|год=2013|url=http://nsu.ru/matlab/Exponenta_RU/educat/systemat/krushel/lab_exemp/p3.asp.htm}}
* {{Citation | last1=Rosenbrock | first1=H. H. | title=An automatic method for finding the greatest or least value of a function | doi=10.1093/comjnl/3.3.175  | id={{MathSciNet | id = 0136042}} | year=1960 | journal=The Computer Journal | issn=0010-4620 | volume=3 | pages=175-184}}

== Ссылки ==
* [http://www.gnuplot.info/screenshots/figs/pm3d-Rosenbrock.png Rosenbrock function plot in 3D]{{ref-en}}.
* [http://demonstrations.wolfram.com/MinimizingTheRosenbrockFunction/ Minimizing the Rosenbrock Function] by Michael Croucher, [[The Wolfram Demonstrations Project]]{{ref-en}}.
* {{MathWorld|title=Rosenbrock Function |urlname=RosenbrockFunction}}{{ref-en}}
* [http://blogs.msdn.com/b/solverfoundation/archive/2010/11/15/solving-non-linear-models-with-compact-quasi-newton-solver-part-1.aspx Solving non-linear models with Compact Quasi Newton solver part 1]{{ref-en}}.

{{Стандартные тестовые объекты}}

[[Категория:Теория оптимизации]]
[[Категория:Исследование операций]]
[[Категория:Алгоритмы оптимизации]]