Просмотр кода страницы Функция (математика)

{{другие значения|функция}}
{{redirect|Отображение}}
[[Файл:Graph of example function.svg|thumb|250px|График функции<br> <math>\begin{align}&\scriptstyle  \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}</math>.]]
'''Фу́нкция''' ('''отображе́ние''', '''опера́тор''', '''преобразова́ние''') — в [[Математика|математике]] соответствие между элементами двух [[Множество|множеств]], установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества соответствует один и только один элемент из другого множества.

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна [[Величина (математика)|величина]] полностью определяет значение другой величины. Так, значение [[Переменная величина|переменной]] <math>x</math> однозначно определяет значение выражения <math>x^2</math>, 
также значение [[месяц]]а однозначно определяет значение следующего за ним месяца.
Другой пример функции: каждому человеку можно однозначно поставить в соответствие его биологическую мать.

Аналогично, задуманный заранее [[алгоритм]] по значению входного данного выдаёт значение выходного данного.

Часто под термином «функция» понимается [[числовая функция]], то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представлять в виде [[График функции|графиков]].

== История ==
Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбницем]] (1692 год). В свою очередь, [[Бернулли, Иоганн|Иоганн Бернулли]] в письме к тому же Лейбницу употребил этот термин в смысле, более близком к современному<ref name="zorich">{{книга
|автор = [[Зорич, Владимир Антонович|{{nobr|В. А. Зорич}}]]|часть = Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция|заглавие = Математический анализ. Часть I|ссылка = |ответственный = |издание = четвертое, исправленное|место = М.|издательство = МЦНМО|год = 2002|том = |страницы = 13, 22, 25, 31|страниц = 664|isbn = 5-94057-056-9}}</ref><ref name="Kol">''[[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А. Н.]], [[Абрамов, Александр Михайлович (математик)|Абрамов А. М.]], Дудницын Ю. П.'' Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. - М., Просвещение, 1994. - ISBN 5-09-006088-6. - C. 86-87</ref>.

Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления<!-- : функция полностью описывается своим аналитическим выражением, при помощи которого при заданном значении аргумента можно получить вполне определённое значение функции-->. Впоследствии появилось определение функции, данное [[Эйлер, Леонард|Эйлером]] (1751 год), затем — у [[Лакруа, Сильвестр Франсуа|Лакруа]] (1806 год), — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но для числовых функций) было дано [[Лобачевский, Николай Иванович|Лобачевским]] (1834 год) и [[Лежён-Дирихле, Петер Густав|Дирихле]] (1837 год)<ref name="shylov">{{книга
|автор        = [[Шилов, Георгий Евгеньевич|{{nobr|Г. Е. Шилов}}]]
|часть = Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График
|заглавие = Математический анализ (функции одного переменного)
|ссылка =
|ответственный=
|издание =
|место = М.
|издательство = Наука
|год = 1969
|том =
|страницы = 69
|страниц = 528
|isbn =
}}</ref>.

К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на [[вектор-функция|векторные функции]], вскоре [[Фреге, Фридрих Людвиг Готлоб|Фреге]] ввёл логические функции ([[1879]]), а после появления [[Теория множеств|теории множеств]] [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинд]] ([[1887]]) и [[Пеано, Джузеппе|Пеано]] ([[1911]]) сформулировали современное универсальное определение<ref name="Kol"></ref>.

== Определения ==
[[Файл:Function color example 3.svg|right|thumb|160 px|Функция, сопоставляющая каждой из четырёх фигур её цвет.]]
Наиболее строгим является теоретико-множественное определение функции (на основе понятия [[Бинарное отношение|бинарного отношения]]). Часто вместо определения функции даётся понятие функции, то есть описание математического объекта с помощью понятий обычного языка, таких как «закон», «правило» или «соответствие».

=== Понятие функции ===
Говорят, что на множестве <math>X</math> имеется '''функция''' ('''''отображение, операция, оператор''''') <math>f</math> со значениями из множества <math>Y</math>, если каждому элементу <math>x</math> из множества <math>X</math> по правилу <math>f</math> поставлен в соответствие некоторый элемент <math>y</math> из множества <math>Y</math><ref name="zorich" />. 

Говорят также, что функция <math>f</math> ''отображает'' множество <math>X</math> в множество <math>Y</math>. Функцию обозначают также записью <math>y=f(x)</math>.  

Если используется термин [[Оператор (математика)|''оператор'']], то говорят, что оператор <math>f</math> ''действует'' из множества <math>X</math> в множество <math>Y</math> и добавляют запись <math>y=fx</math>.  

Если хотят подчеркнуть, что правило соответствия считается известным, то говорят, что на множестве <math>X</math> ''задана'' функция <math>f</math>, принимающая значения из <math>Y</math>. Если функция <math>f</math> должна находиться в результате решения какого-нибудь уравнения, то говорят, что <math>f</math> — неизвестная или неявно заданная функция. Но в любом случае, функция, по смыслу этого понятия, считается заданной, хотя и косвенно. 

Заметим, что в формулировке понятия функции требование соответствия "по правилу" является повтором, поскольку оно содержится в понятии однозначного соответствия. Формулировка  понятия функции без понятия ''правило'' и необходимости его обозначать:

Говорят, что на множестве <math>X</math> задана '''функция''' <math>f</math>, принимающая значения из <math>Y</math>, если каждому элементу <math>x</math> из множества <math>X</math> поставлен в соответствие некоторый элемент <math>y</math> из множества <math>Y</math><ref name="кол">{{книга
|автор        = [[Колмогоров, Андрей Николаевич|{{nobr|А. Н.  Колмогоров}}]], [[Фомин, Сергей Васильевич|{{nobr|С. В. Фомин}}]].
|часть = Глава 1. Элементы теории множеств
|заглавие = Элементы теории функций и функционального анализа
|ссылка =
|ответственный=
|издание = {{nobr|3-е изд}}
|место = М.
|издательство = Наука
|год = 1972
|том =
|страницы = 14—18
|страниц = 496
|isbn =
}}</ref>.

Например, функция, заданная на <math>X</math> таблицей пар элементов <math>x</math> и <math>y</math>, содержит и правило соответствия для каждого элемента из <math>X</math>, поскольку значения функции при переходе от элемента к элементу множества <math>X</math> располагаются по вполне определенному правилу.

Для числовых функций, часто задаваемых формулами, понятие функции формулируется как соответствие между элементами множеств посредством правила. Правило не обозначается, чтобы избежать совпадения обозначений правила и функции:

Если каждому элементу <math>x</math> из множества <math>X</math> по какому-либо правилу ставится в соответствие некоторый элемент <math>y</math> из множества <math>Y</math>, то указанное соответствие называется '''функцией''' <math>y=f(x)</math>, заданной на множестве <math>X</math> со значениями из <math>Y</math><ref name="shylov" /><ref name="ilyin">{{книга
|автор        = [[Ильин, Владимир Александрович (математик)|{{nobr|В. А. Ильин}}]], [[Садовничий, Виктор Антонович|{{nobr|В. А. Садовничий}}]], [[Сендов, Благовест|{{nobr|Бл. Х. Сендов}}]].
|часть = Глава 3. Теория пределов
|заглавие = Математический анализ
|ссылка = http://sci-lib.com/book000401.html
|ответственный= {{nobr|Под ред. [[Тихонов, Андрей Николаевич|А. Н. Тихонова]]}}
|издание = {{nobr|3-е изд.}}, перераб. и доп
|место = М.
|издательство = Проспект
|год = 2006
|том = 1
|страницы = 105—121
|страниц = 672
|isbn = 5-482-00445-7
}}</ref>.

Буква <math>f</math> в этом обозначении — индивидуальный знак функции.

Итак, '''функция'''  <math>y=f(x)</math> (или кратко: '''функция''' <math>f(x)</math> или  <math>f</math>) представляет собой '''''тройку''''' объектов: <math>X,f,Y</math>, где
* множество <math>X</math> называется '''[[Область задания функции|о́бластью задания]]''' или '''[[Область определения функции|областью определения]]''' функции;
* множество <math>Y</math> называется '''[[Область значений функции|о́бластью значе́ний]]''' функции;
* <math>f</math> — правило, по которому каждому элементу <math>x\in X</math> сопоставляется некоторый элемент <math>y\in Y</math>. Для правила здесь использовано то же обозначение, что и для функции.
Обозначенный буквой <math>x</math> каждый элемент множества <math>X</math> называется '''''независимой''''' '''''[[Переменная величина|переменной]]''''' или '''''аргументом''''' функции. Множество <math>X</math> при этом называется областью изменения переменной <math>x</math>.

Элемент <math>y</math>, соответствующий фиксированному элементу <math>x</math> называется '''''частным значением''''' функции в точке <math>x</math>.

Совокупность всех частных значений <math>y</math>, обозначаемая символом <math>\{y\}</math>, называется '''''[[множество значений функции|множеством значений]]''''' функции.

=== Теоретико-множественное определение ===
Понятие множества [[Пара (математика)|упорядоченных пар]] ([[Бинарное отношение|отношения]]) позволяет исключить из формулировки понятия функции не только понятие ''правило'', но и понятие ''соответствие'', к которому сводится понятие функции в обычных формулировках предыдущего подраздела.

Таким образом, для функции можно сформулировать определение, использующее только начальные математические понятия:

: Функцией <math>f</math> называется множество упорядоченных пар <math>(x,y)\in X\times Y</math>, таких, что пары существуют для всех элементов множества <math>X</math>, и, если первые элементы пар совпадают, то совпадают и вторые их элементы<ref name="zorich" />.

При этом:
* Множество <math>X</math> называется '''областью задания''' или '''областью определения''' функции;
* множество <math>Y</math> называется '''областью значений''' функции
* множество всех элементов <math>y\in Y</math>, для которых существует пара <math>(x,y)\in f</math>, <math>x\in X</math>, называется ''' множеством значений''' функции;
* множество упорядоченных пар <math>f\subset X\times Y</math> называется также [[график функции|графиком функции]]; понятие графика функции и понятие функции при таком определении функции совпадают. При обычной формулировке понятия функции её графиком называется множество пар <math>(x,f(x))</math>.
Функции <math>f</math> и <math>g</math> называются равными, если их графики совпадают<ref name="sadov">{{книга
|автор        = [[Садовничий, Виктор Антонович|{{nobr|В. А. Садовничий}}]]
|часть = 
|заглавие = Теория операторов
|ссылка =
|ответственный=
|издание =
|место = М.
|издательство = Дрофа
|год = 2001
|том =
|страницы = 241
|страниц = 381
|isbn = 5-71-074297-X
}}</ref>.

Поскольку равенство функций (в любой формулировке понятия функции) включает в себя не только совпадение правил соответствия между элементами множеств, но и совпадение областей задания, то функции <math>f_1(x) = x : \R \to \R</math> и <math>f_2(x) = x : \R^{+} \to \R</math>, где <math>\R</math> — множество вещественных чисел, а <math>\R^{+}</math> — множество положительных вещественных чисел, являются разными функциями.

Более общим, включающим в себя не только однозначные функции, является следующее определение функции:

Функцией <math>f</math> называется любое множество упорядоченных пар <math>(x,y)\in X\times Y</math><ref name="zorich" />{{нет в источнике|16|11|2018}}.

При этом:
* Множество <math>X</math> называется '''областью отправления''' функции. Множество всех элементов <math>x\in X</math>,  для которых существует пара <math>(x,y)\in f</math>, называется областью задания функции;

* множество <math>Y</math> называется '''областью прибытия''' функции. Множество всех элементов <math>y\in Y</math>, для которых существует пара <math>(x,y)\in f</math>, называется множеством значений функции.

== Обозначения функции ==
Если на множестве <math>X</math> задана функция <math>f</math>, принимающая значения из множества <math>Y</math>, то
* этот факт записывают в виде <math>f \colon X \to Y</math> или <math>X\stackrel{f}{\longrightarrow}Y</math>;
* множество <math>X</math> — область задания функции <math>f</math> — обозначается символом <math>D(f)</math> или <math>\mathrm{dom}\,f;</math>
* множество <math>Y</math> — область значений<ref name="shylov" /> функции <math>f</math>;
* множество значений <math>\{y\}</math> функции <math>f</math> обозначается символом <math>E(f)</math> или <math>\mathrm{cod}\,f</math> (<math>\mathrm{ran}\,f</math>).
* Если область значений <math>Y</math> и множество значений <math>E(f)</math> совпадают, то говорят, что <math>f</math> ''отображает'' множество <math>X</math> ''на'' <math>Y</math>.
* Функция, заданная на множестве <math>X</math>, наиболее часто обозначается как ''соответствие'' между элементами <math>x\in X</math> и <math>y\in Y</math>:
*: <math>y=f(x)</math>, или кратко:<math>f(x)</math> или <math>f</math>;
*: <math display="inline">x\mapsto y</math> или <math>x\mapsto f(x) </math>;
* для сокращения числа обозначений знак функции, заданной на множестве <math>X</math>, может обозначаться той же буквой, что и каждое значение функции:
*: <math>y=y(x)</math>, <math>z=z(x)</math>;
* функция обозначается и как ''функция ''<math>f</math>, которая ''отображает'' множество <math>X</math> в <math>Y</math>с обозначением соответствия между элементами <math>x\in X</math> и <math>y\in Y</math>:
*: <math>f\colon x\mapsto y</math> или <math>f\colon y=f(x)</math>;
* реже используется обозначение функции как соответствие между элементами <math>x\in X</math> и <math>y\in Y</math> без скобок: <math>y=fx</math>, <math>y=f\circ x</math> или <math>y=xf</math>,
* а там, где необходимо подчеркнуть двойственность, используются обозначения со скобками: <math>y=(f,x)</math> или <math>y=(x,f)</math>;
* также существует и операторное обозначение <math>y=x^f</math>, которое можно встретить в [[Абстрактная алгебра|общей алгебре]].
* В [[Лямбда-исчисление|лямбда-исчислении]] Чёрча используется обозначение <math>\lambda x.y</math> .

=== Функции нескольких аргументов ===
[[Файл:Sinx-Sin2y.png|thumb|График функции двух переменных <math>f(x, y) = \sin(x - \sin(2 y))</math>]]

Понятие функции легко обобщается на случай функции многих аргументов.

Если множество <math>X</math> представляет собой [[Прямое произведение|декартово произведение]] множеств <math>X_1,\;X_2,\;\ldots,\;X_n</math>, тогда отображение <math>f\colon X\to Y</math>, где <math>Y</math> — множество вещественных чисел, оказывается <math>n</math>-местным отображением, при этом элементы упорядоченного набора <math>x=(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)</math> называются аргументами (данной <math>n</math>-местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:
: <math>x_i\in X_i</math> где <math>i=\overline{1,n}</math>.
В этом случае запись <math>y=f(x)</math> означает, что <math>y=f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)</math>.

== Способы задания функции ==
<!--[[Файл:Example.jpg]]-->

=== Аналитический способ ===
Функцию можно задать с помощью аналитического выражения (например, формулой). В этом случае её обозначают как соответствие в форме равенства записью <math>y=f(x),</math> где <math>x</math> есть переменная, пробегающая область задания функции, а соответствующие значения переменной <math>y</math> (или, что то же самое, значения выражения {{S|<math>f(x)</math> )}} принадлежат области значений функции. Например, равенство <math>y = x^2</math>, где <math>x</math> пробегает множество вещественных чисел, задает числовую функцию <math>y=f(x).\;</math>

Само по себе равенство <math>y=f(x)</math>, без указания что это функция, заданная на некотором множестве, функцией не является.

Например, <math>y = x^2 </math> есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Аналогично, если <math>f(x)</math> является другим обозначением переменной <math>y</math>, то <math>f(x) = x^2 </math> также есть равенство выражений, содержащих разные переменные. Если же в равенстве <math>f(x) = x^2 </math>слева стоит обозначение выражения, содержащего переменную <math>x</math>, то имеется равенство двух выражений, содержащих одну переменную.

Однако высказывание ''функция'' <math>y = x^2 \;</math>(или ''функция'' <math>f(x) = x^2 </math>) на множестве задания  обозначает соответствие элементов двух множеств. Более того, часто функцию  <math> x\mapsto f(x)</math> (или <math>y=f(x) \;</math> ) для краткости обозначают как ''функцию'' <math>f(x)</math> на множестве задания. Это соглашение является удобным и оправданным.

=== Графический способ ===
[[File:Xto3minus3x.svg|мини|График <math>f(x)=x^3-3x</math>]]
{{main|График функции}}
Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть <math>y = f(x_1, x_2, \ldots , x_n) \;</math> — вещественная функция n переменных.
Тогда её графиком является множество точек в <math>n+1</math>-мерном пространстве:<math>\{(x_1, x_2, \ldots , x_n, f(x_1, x_2, \ldots , x_n) \}</math>.
Это множество точек, часто является [[поверхность]]ю.
В частности при <math>n=1</math>, график функции в некоторых случаях может быть изображён [[кривая|кривой]] в двумерном пространстве. 

Для функций трёх и более аргументов такое графическое представление не применимо. Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвёртой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике).

== Связанные определения ==

=== Сужение и продолжение функции ===
{{main|Сужение и продолжение функции}}
Пусть дано отображение <math>f\colon X\to Y</math> и <math>M\subset X</math>.

Отображение <math>g\colon M\to Y</math>, которое принимает на <math>M</math> те же значения, что и функция <math>f</math>, называется '''суже́нием''' (или, иначе '''ограничением''') функции <math>f</math> на множество <math>M</math>.

Сужение функции <math>f</math> на множество <math>M</math> обозначается как <math>f\big|_M</math>.

Если функция <math>g\colon M\to Y</math> такова, что она является сужением для некоторой функции <math>f\colon X\to Y</math>, то функция <math>f</math>, в свою очередь, называется '''продолжением''' функции <math>g</math> на множество <math>X</math>.

=== Образ и прообраз (при отображении) ===
{{См. также|Область значений функции}}
{{Якорь|Образ|Прообраз}}Элемент <math>y=f(x)</math>, который сопоставлен элементу <math>x</math>, называется '''образом''' элемента (точки) <math>x</math> (при отображении <math>f</math>).

Если взять целиком ''подмножество'' <math>A</math> области задания функции <math>f</math>, то можно рассмотреть совокупность образов всех элементов множества <math>A</math>, а именно подмножество области значений (функции <math>f</math>) вида
: <math>f(A):=\{f(x)\colon x\in A\}</math>,
которое, называется '''образом множества''' <math>A</math> при отображении <math>f</math>. Это множество иногда обозначается как <math>f[A]</math> или <math>A^f</math>.

Наоборот, взяв некоторое подмножество <math>B</math> в области значений функции <math>f</math>, можно рассмотреть совокупность тех элементов области задания функции <math>f</math>, чьи образы попадают в множество <math>B</math>, а именно — множество вида
: <math>f^{-1}(B):=\{x\colon f(x)\in B\}</math>,
которое называется ('''полным''') '''прообразом''' множества <math>B</math> (при отображении <math>f</math>).

В том частном случае, когда множество <math>B</math> состоит из одного элемента, скажем, <math>B=\{y\}</math>, множество <math>f^{-1}(\{y\})=\{x\colon f(x)=y\}</math> имеет более простое обозначение <math>f^{-1}(y)</math>.

=== Тождественное отображение ===
{{main|Тождественное отображение}}
Отображения, у которых совпадают область задания и область значений, называются отображениями заданного множества '''в себя''' или '''преобразованиями'''.

В частности, преобразование <math>f\colon X\to X</math>, которое сопоставляет каждой точке <math>x</math> множества <math>X</math> её саму или, что то же самое,
: <math>f(x)=x</math> для каждого <math>x\in X</math>, называется '''тождественным'''.
Это отображение имеет специальное обозначение: <math>\mathrm{id}_X</math> или, проще, <math>\mathrm{id}</math> (если из контекста понятно, какое множество имеется в виду). Такое обозначение обязано своим происхождением англ. слову ''identity'' («идентичность, тождественность»).<!-- Может, лат. identitas «тождественность» -->

Другое обозначение тождественного преобразования — <math>1_X</math>. Такое отображение является унарной операцией, заданной на множестве <math>X</math>. Поэтому, нередко, тождественное преобразование называют '''единичным'''.

=== Композиция отображений ===
{{main|Композиция функций}}
Пусть <math>f\colon X\to Y</math> и <math>g\colon Y\to Z</math> — два отображения, таких, что область значений первого отображения является подмножеством области задания второго отображения. Тогда для всякого <math>x\in X</math> однозначно определяется элемент <math>y\in Y</math> такой, что <math>y=f(x)</math>, но для этого самого <math>y</math> однозначно определяется элемент <math>z\in Z</math> такой, что <math>z=g(y)</math>. То есть, для всякого <math>x\in X</math> однозначно определяется элемент <math>z\in Z</math> такой, что <math>z=g(f(x))</math>. Другими словами, задано отображение <math>h</math> такое, что
: <math>h(x)=g(f(x))</math> для всякого <math>x\in X</math>.
Это отображение называется '''композицией''' отображений <math>f</math> и <math>g</math>, оно обозначается выражением <math>g\circ f</math> (именно в таком порядке!), которое читается <math>g</math> ''после'' <math>f</math>.

=== Обратное отображение ===
{{main|Обратная функция}}
Если отображение <math>f\colon X\to Y</math> является взаимно однозначным или [[Биекция|биективным]] (см. ниже), то существует отображение <math>f^{-1}\colon Y\to X</math>, у которого
* область задания (множество <math>Y</math>) совпадает с областью значений отображения <math>f</math> <!-- :<math>\mathop{dom} f^{-1}=\mathop{cod} f</math>-->;
* область значений (множество <math>X</math>) совпадает с областью задания отображения <math>f</math><!-- : : <math>\mathop{cod} f^{-1}=\mathop{dom} f</math>-->;
* <math>x=f^{-1}(y)</math> [[тогда и только тогда]], когда <math>y=f(x)</math>.
Отображение <math>f^{-1}</math> называется '''обратным''' по отношению к отображению <math>f</math>.

Отображение, у которого существует обратное, называется '''обратимым'''.

В терминах композиции отображений, свойство обратимости заключается в одновременном выполнении двух условий: <math>f^{-1}\circ f=id_X</math> и <math>f\circ f^{-1}=id_Y</math>.

== Свойства ==

=== Свойства образов и прообразов ===

==== Свойства образов ====
Пусть <math>A</math> и <math>B</math> — подмножества области задания функции <math>f\colon X\to Y</math>. Тогда образы множеств <math>A</math> и <math>B</math>, при отображении <math>f</math>, обладают следующими свойствами:
* <math>f(\varnothing)=\varnothing</math>;
* <math>A\ne\varnothing\Rightarrow f(A)\ne\varnothing</math>;
* <math>A\subset B\Rightarrow f(A)\subset f(B)</math>.

* образ объединения множеств равен объединению образов: <math>f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)</math>;
* образ пересечения множеств является подмножеством пересечения образов <math>f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)</math>.
Последние два свойства допускают обобщение на любое количество множеств.

==== Свойства прообразов ====
Положим, <math>A</math> и <math>B</math> — подмножества множества <math>Y</math>.

Прообразы множеств <math>A</math> и <math>B</math>, при отображении <math>f</math>, обладает следующими двумя очевидными свойствами:
* прообраз объединения равен объединению прообразов: <math>f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)</math>;
* прообраз пересечения равен пересечению прообразов <math>f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)</math>.
Данные свойства допускают обобщение на любое количество множеств.

Если отображение ''обратимо'' (см. [[#Обратимость|ниже]]), прообраз каждой точки области значений одноточечный, поэтому для обратимых отображений выполняется следующее усиленное свойство для пересечений:
* образ пересечения равен пересечению образов: <math>f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)</math>.

=== Поведение функций ===

==== Сюръективность ====
{{main|Сюръекция}}
Функция <math>f</math> называется '''сюръективной''' (или, коротко, <math>f</math> — '''сюръекция'''), если каждому элементу множества <math>Y</math> может быть сопоставлен хотя бы один элемент множества <math>X</math>. То есть, функция <math>f</math> '''сюръективна''', если образ множества <math>X</math> при отображении совпадает с множеством <math>Y</math>: <math>f(X)=Y</math>.

Такое отображение называется ещё '''отображением''' множества <math>X</math> '''''на''''' множество <math>Y</math>.

Другими словами, при сюръекции не бывает так, чтобы какой-то элемент <math>Y</math> не имел прообраза.

Если условие сюръективности нарушается, то такое отображение называют '''отображением''' множества <math>X</math> '''в''' множество <math>Y</math>.

==== Инъективность ====
{{main|Инъекция (математика)|l1 = Инъекция}}
Функция <math>f</math> называется '''инъективной''' (или, коротко, <math>f</math> — '''инъекция'''), если любым двум разным элементам из множества <math>X</math> сопоставляются разные элементы из множества <math>Y</math>. Более формально, функция <math>f</math> '''инъективна''', если для любых двух элементов <math>x_1, x_2\in X</math> таких, что <math>f(x_1)=f(x_2)</math>, следует, что <math>x_1=x_2</math> .

Другими словами, при инъекции не бывает так, чтобы два или больше разных элементов из множества <math>X</math> отображались в один и тот же элемент из <math>Y</math>. 

==== Биективность ====
{{main|Биекция}}
Если функция является и ''сюръективной'', и ''инъективной'', то такую функцию называют '''биективной''' или '''взаимно однозначной'''.

==== Возрастание и убывание ====
{{main|Монотонная функция}}
Пусть дана функция <math>f\colon M \subset \R \to \R.</math> Тогда

* функция <math>f</math> называется '''неубывающей''' на <math>M</math>, если
:: <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y);</math>
* функция <math>f</math> называется '''возраста́ющей''' на <math>M</math>, если
:: <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y);</math>
* функция <math>f</math> называется '''невозраста́ющей''' на <math>M</math>, если
:: <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y);</math>
* функция <math>f</math> называется '''убыва́ющей''' на <math>M</math>, если
:: <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y).</math>

Невозрастающие и неубывающие функции называются монотонными.

Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.

==== Периодичность ====
{{main|Периодическая функция}}
Функция <math>f\colon M \to N</math> называется периодической с '''пери́одом''' <math>T \not= 0</math> , если выполняется равенство
: <math>f(x+T) = f(x), \quad \forall x \in M</math>.

Если это [[Равенство (математика)|равенство]] не выполнено ни для какого <math>T \in M,\, T \not=0</math> , то функция <math>f</math> называется '''апериоди́ческой'''.

==== Чётность ====
{{main|Нечётные и чётные функции}}
* Функция <math>f\colon X \to \mathbb{R}</math> называется нечётной, если справедливо [[равенство (математика)|равенство]]
: <math>f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in X.</math>
* Функция <math>f</math> называется чётной, если справедливо равенство
: <math>f(-x) = f(x),\quad \forall x \in X.</math>

==== Экстремумы функции ====
{{main|Экстремум}}
Пусть задана функция <math>f\colon X \to \R,</math> и <math>x_0 \in X</math> — внутренняя точка области задания <math>f.</math> Тогда
* <math>x_0</math> называется точкой локального максимума, если существует окрестность <math>M</math> точки <math>x_0</math> такая, что
*: <math>\forall x\in M, x\ne x_0:\quad f(x) < f(x_0);</math>
* <math>x_0</math> называется точкой локального минимума, если существует окрестность <math>M</math> точки <math>x_0</math> такая, что
*: <math>\forall x\in M, x\ne x_0:\quad f(x) > f(x_0).</math>

== Свойства множеств и функций ==
В зависимости от того, какова природа области задания и области значений, различают следующие случаи областей:
# абстрактные множества — множества без какой-либо дополнительной структуры;
# множества, которые наделены некоторой структурой.
В случае '''1''' рассматриваются отображения в самом общем виде и решаются наиболее общие вопросы. Таким общим вопросом, например, является вопрос о сравнении множеств по мощности: если между двумя множествами существует взаимно однозначное отображение (биекция), то два данных множества называют ''эквивалентными'' или ''[[Мощность множества|равномощными]]''.
Это позволяет провести классификацию множеств в виде единой шкалы, начальный фрагмент выглядит следующим образом:
* [[Конечное множество|конечные множества]] — здесь мощность множества совпадает с количеством элементов;
* [[Счётное множество|счётные множества]] — множества, эквивалентные множеству натуральных чисел;
* [[Континуум (теория множеств)|множества мощности континуума]] (например, отрезок вещественной прямой или сама вещественная прямая).
В соответствии с этим, имеет смысл рассматривать следующие примеры отображений:
* конечные функции — отображения конечных множеств;
* [[Последовательность|последовательности]] — отображение счётного множества в произвольное множество;
* континуальные функции — отображения несчётных множеств в конечные, счётные или несчётные множества.

В случае '''2''', основной объект рассмотрения — заданная на множестве структура (дополнительные свойства элементов множества) и то, что происходит с этой структурой при отображении: если при взаимно однозначном отображении сохраняются свойства заданной структуры, то говорят, что между двумя структурами установлен [[изоморфизм]]. Таким образом, изоморфные структуры, заданные в различных множествах, невозможно различить, поэтому в математике принято говорить, что данная структура рассматривается «с точностью до [[изоморфизм]]а».

Существует большое разнообразие структур, которые могут быть заданы на множествах. Сюда относится:
* структура порядка — [[Частично упорядоченное множество|частичный]] или [[Линейно упорядоченное множество|линейный порядок]] элементов множества;
* алгебраическая структура — [[Магма (алгебра)|группоид]], [[полугруппа]], [[Группа (математика)|группа]], [[Кольцо (математика)|кольцо]], [[Тело (алгебра)|тело]], область целостности или [[Поле (алгебра)|поле]], заданные на элементах множества;
* структура метрического пространства — на элементах множества задаётся [[Метрика (математика)|функция расстояния]];
* структура евклидового пространства — на элементах множества задаётся [[скалярное произведение]];
* структура топологического пространства — на множестве задаётся совокупность  «открытых множеств»;
* структура измеримого пространства — на множестве задаётся [[сигма-алгебра]] подмножеств исходного множества (например, посредством задания [[Мера множества|меры]] с данной сигма-алгеброй в качестве области задания функции)

Функции с конкретным свойством могут не существовать на множествах, не обладающих соответствующей структурой. Например, формулировка свойства ''непрерывности'' функции, заданной на множестве, требует задания на этом множестве ''топологической структуры''. <!-- Будем рассматривать всевозможные функции вида <math>f\colon X\to Y</math>. <math>X</math> и <math>Y</math> .-->

== Обобщения ==

=== Частично определённые функции ===
''Частично определённая функция'' <math>f</math> из множества <math> X</math> в множество <math>Y</math> есть функция <math>f\colon X'\to Y</math> с областью задания <math>X'={\rm Dom}f\subset X</math>.

Некоторые авторы понимают под функцией частично определённую функцию. Это имеет свои преимущества, например, возможна запись <math>f\colon \R\to\R</math>, где <math>f(x)=1/x</math> в этом случае <math>\mathop{\rm Dom}f=\R\backslash\{0\}</math>.

=== Многозначные функции ===
{{main|Многозначная функция}}
В силу определения функции, заданному значению аргумента соответствует ровно одно значение функции. Несмотря на это, нередко можно услышать про так называемые [[многозначная функция|многозначные функции]]. В действительности, это не более чем удобное обозначение функции, область значений которой сама является семейством множеств.

Пусть <math>f\colon X\to \mathbb{B}</math>, где <math>\mathbb{B}</math> — семейство подмножеств множества <math>Y</math>. Тогда <math>f(x)</math> будет множеством для всякого <math>x\in X</math>.

Функция '''однозначна''', если каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции. Функция '''многозначна''', если хотя бы одному значению аргумента соответствует два или более значений функции<ref>[http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., 1973 г. Глава 4. Функции и пределы, дифференциальное и интегральное исчисление. 4.2. Функции. 4.2-2. '''Функции со специальными свойствами'''. ('''а'''), стр.99.]</ref>.

== См. также ==
* [[Функциональное уравнение]]
* [[Алгоритм]]
* [[Уравнение]]
* [[Булева функция]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
* ''Клейн Ф.'' [[s:Элементарная математика с точки зрения высшей/Общее понятие функции|Общее понятие функции]]. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М.—Л., 1933.
* {{книга
 |автор = [[Лавров, Игорь Андреевич|{{nobr|И. А. Лавров}}]], [[Максимова, Лариса Львовна|{{nobr|Л. Л. Максимова}}]].
 |часть = Часть I. Теория множеств
 |заглавие = Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов
 |ссылка =
 |ответственный=
 |издание = {{nobr|3-е изд}}
 |место = М.
 |издательство = Физматлит
 |год = 1995
 |том =
 |страницы = 13—21
 |страниц = 256
 |isbn = 5-02-014844-X
}}
* {{книга
 |автор        = [[Келли, Дж Л|{{nobr|Дж. Л. Келли}}]].
 |часть = Глава 0. Предварительные сведения
 |заглавие = Общая топология
 |ссылка =
 |ответственный=
 |издание = {{nobr|2-е изд}}
 |место = М.
 |издательство = Наука
 |год = 1981
 |том =
 |страницы = 19—27
 |страниц = 423
 |isbn =
}}
* {{Статья в Кванте
 |автор = [[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогоров]]
 |название = Что такое функция
 |номер = 1
 |год = 1970
 |страницы = 27—36
 |url = 1970/01/chto_takoe_funkciya.htm
}}

*{{Статья в Кванте
 |автор    = [[Виленкин, Наум Яковлевич|Виленкин Н.]]
 |название = Как возникло и развивалось понятие функции
 |год      = 1977 
 |номер    = 7
 |страницы = 41—45
 |url      = 1977/07/kak_vozniklo_i_razvivalos_pony.htm
}}
* {{cite web
 |url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Functions.html
 |title = The function concept
 |work = MacTutor History of Mathematics archive
 |author = J. J. O'Connor, E. F. Robertson
 |publisher = School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
 |date = 2005-10
}}

[[Категория:Теория множеств]]
[[Категория:Функции| ]]