Просмотр кода страницы Функциональный интеграл

'''Функциональный интеграл''' (континуальный интеграл, интеграл по траекториям, фейнмановский интеграл по траекториям, интеграл Фейнмана) — запись или результат функционального интегрирования (интегрирования по траекториям). Находит наибольшее применение в квантовой физике ([[Квантовая теория поля|квантовой теории поля]], [[Теория струн|теории струн]] и т. д.) и статистической физике, а также при изучении ряда классов стохастических процессов вообще.

Под '''''функциональным интегрированием''''' формально имеется в виду вычисление интеграла некоторого [[Функционал|функционала]] Ф по пространству функций ''x''(''t'') или какому-то подмножеству<ref>Наиболее типичный пример области интегрирования в пространстве функций является множество всех функций заданного пространства, удовлетворяющих условию фиксирования их значения в двух точках (на концах отрезка).</ref> такого пространства:

: <math>\int Dx \, \Phi[x],</math>

который определяется как предел (конечномерного) интеграла по пространству неких конечномерных аппроксимаций функций ''x''(''t'') при стремлении размерности этих аппроксимаций к бесконечности; обычный и наиболее простой способ заключается в рассмотрении функции ''x'' на конечном множестве точек <math>t_1, t_2, \dots, t_N</math>, определяя тогда функциональный интеграл в простейшем случае равномерного разбиения, которым можно и ограничиться, как

: <math>\lim_{N \to \infty}\int\int\dots\int dx_1 \, dx_2 \dots dx_N \, \Phi[x_1, x_2, \dots, x_N],</math>

где под <math>\Phi[x_1, x_2, \dots, x_N]</math> имеется в виду соответствующая аппроксимация функционала Ф[''x''], интегрирование же подразумевается отдельно по <math>x_1, x_2, \dots, x_N</math> от <math>-\infty</math> до <math>+\infty</math> (в случае фиксированных <math>x_1</math> и <math>x_N</math> по ним интегрировать не нужно).

Корректность уже этого определения находится под вопросом в том смысле, что не доказано даже для многих из тех случаев, которые представляют физический интерес, не говоря уж о более общей постановке вопроса, само существование предела (в частности, его одинаковость при выборе разных типов разбиения; более того, в ряде примеров разные типы дают разный результат) и нет во многих случаях способа указания чётких критериев выбора «правильного» типа разбиения, который приведёт именно к нужному результату, а значит корректность определения меры интегрирования не доказана даже для многих из тех случаев, которые представляют физический интерес, по крайней мере в обычном смысле.

Также серьёзную трудность представляет точное вычисление таких интегралов (за исключением гауссова случая).

Тем не менее, уже то, что точно вычисляются хотя бы интегралы гауссова типа, дает очень много для применения метода функционального интегрирования. В частности, этот результат можно принять за определение функционального интеграла для этого случая и доказать, что, будучи так определённым, он действительно обладает свойствами интеграла: допускает интегрирование по частям, замены переменных и т. д.<ref>[http://femto.com.ua/articles/part_2/4433.html Статья в Физической энциклопедии] (А. А. Славнов).</ref>

Физический смысл функционального интеграла сводится обычно к тому, чтобы вычислить сумму (суперпозицию) некоторой величины (обычно это вероятность для классической статфизики или амплитуда вероятности для квантовой механики) по «всем» траекториям (то есть по всем доступным классической частице в случае броуновского движения и по всем, какие можно вообразить, в случае квантовой механики).

== Основное применение ==

== Модели ==
{{нет источников в разделе|дата=2017-03-06}}
Обычное случайное блуждание способно порождать при переформулировке интеграл по траекториям с определённым действием. Это в общем-то сравнительно очевидно в простых случаях.

Было показано, что подобный способ порождения континуального интеграла с обычным действием работает и в двумерном случае — для получения действия для струны (двумерного объекта, учитывая временное измерение).

== Физические аналогии ==
Аналогией интеграла по траекториям для точечной частицы является статистическая сумма (статистический вес) для полимерной нити{{sfn|Поляков|1999}}.

== Вычисление ==

=== Точное вычисление ===
{{нет источников в разделе|дата=2017-03-06}}
Как уже упоминалось выше, точное вычисление функционального интеграла вида

:<math>\int Dx \, e^{kS[x]},</math>

где ''k'' может быть чисто мнимым в квантовом случае или действительным в случае классической диффузии, возможно лишь в случае, когда он относится к гауссовскому типу, то есть, когда действие ''S'' квадратично по ''x'' ([[лагранжиан]] квадратичен по ''x'' и его производным, или, может быть, ещё в некоторых подобных случаях: главное, чтобы ''S'' было квадратичной формой, в вещественном случае отрицательно определенной).

Способ сводится к написанию дискретного варианта, в соответствии с определением в начале статьи. Затем (обычные) интегралы, входящие в формулу, точно берутся (как [[гауссов интеграл|гауссовы]]), и тогда можно перейти к пределу.

=== Приближенное вычисление ===

=== Численные методы ===
Вычислительные методы, связанные с нахождением значений континуальных интегралов при помощи ЭВМ, в том числе [[Численное интегрирование|квадратурные формулы]] типа [[Метод Симпсона|формул Симпсона]] и другие методы к 2010 году разработаны довольно обширно, хотя используются в основном лишь узкими специалистами и в большинстве своём не известны физикам.

== История ==
Первое появление интегралов по траекториям относится, по-видимому, к работам [[Эйнштейн, Альберт|Эйнштейна]] и [[Смолуховский, Мариан|Смолуховского]]{{уточнить}} по теории [[броуновское движение|броуновского движения]].

Основы математической теории таких интегралов связаны с работами [[Норберт Винер|Винера]] [[1920-е годы|1920-х годов]]. Однако до сих пор строгая и достаточно полная их математическая теория встречается с существенными трудностями (связанными с вопросом корректного введения меры на пространстве функций, с проблемой доказательства независимости предела от типа разбиения в достаточно общем случае).

В [[1933 год]]у (в работе «Лагранжиан в квантовой механике») [[Дирак, Поль Адриен Морис|Дирак]] предложил идею использования интеграла по траекториям в квантовой механике.

[[Ричард Фейнман|Фейнман]] в конце [[1940-е годы|1940-х годов]] реализовал эту программу, разработав формализм континуального интеграла, оказавшийся крайне плодотворным в теоретической физике. Это означало появление технически нового (имевшего — кроме чисто технических — к тому же ряд интуитивных преимуществ) метода построения квантовых теорий, ставшего впоследствии едва ли не самым популярным среди теоретиков. Уже сам Фейнман на основе формализма континуального интеграла построил такую базовую технику [[Квантовая теория поля|квантовой теории поля]], как [[диаграммы Фейнмана]].

С помощью использования континуального интеграла были получены такие фундаментальные результаты, как, например, доказательство перенормируемости [[Теория Янга — Миллса|теории Янга — Миллса]] ([[Людвиг Фаддеев|Фаддеевым]] и [[Попов, Виктор Николаевич (физик)|Поповым]]).

== См. также ==
* [[Формулировка через интегралы по траекториям]]
* [[Континуальное распределение Гаусса]]
* [[Теорема Вика для функционального интеграла]]
* [[Квантовополевая теория возмущений в статистической физике]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
|автор       = Simon B. 
|заглавие    = Functional Integration and Quantum Physics
|год         = 1979
|издательство = Academic Press
}}
* {{книга
 |автор        = Березин Ф. А.
 |заглавие     = Метод вторичного квантования
 |город        = М.
 |издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год          = 1986
 |страниц      = 320
 }}
* {{книга
 |автор        = Зинн-Жюстен Ж.
 |заглавие     = Континуальный интеграл в квантовой механике
 |город        = М.
 |издательство = [[Физматлит]]
 |год          = 2010
 |страниц      = 360
 }}
* {{статья
 |автор        = Лобанов Ю. Ю.
 |заглавие     = Методы приближенного функционального интегрирования для численного исследования моделей в квантовой физике (диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук)
 |место        = М.
 |год          = 2009
 }}
* {{книга
 |автор        = Поляков А. М.
 |заглавие     = Калибровочные поля и струны
 |город        = Ижевск
 |издательство = РХД
 |год          = 1999
 |страниц      = 316
 |ref=Поляков
 }}
* {{книга
 |автор        = Попов В. Н.
 |заглавие     = Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической механике
 |город        = М.
 |издательство = [[Атомиздат]]
 |год          = 1976
 |страниц      = 256
 }}
* {{книга
 |автор        = Славнов А. А., Фаддеев Л. Д.
 |заглавие     = Введение в квантовую теорию калибровочных полей
 |город        = М.
 |издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год          = 1988
 |страниц      = 272
 }}
* {{книга
 |автор        = Смолянов О. Г., Шавгулидзе Е. Т.
 |заглавие     = Континуальные интегралы
 |город        = М.
 |издательство = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год          = 1990
 |страниц      = 150
 }}
* {{книга
 |автор        = Фейнман Р., Хибс А.
 |заглавие     = Квантовая механика и интегралы по траекториям
 |город        = М.
 |издательство = [[Мир (издательство)|Мир]]
 |год          = 1968
 |страниц      = 384
 }}
* {{книга
 |автор        = Шестакова Т. П.
 |заглавие     = Метод континуального интеграла в квантовой теории поля
 |город        = Ижевск
 |издательство = ИКИ
 |год          = 2005
 |страниц      = 228
 }}

{{нет сносок|дата=21 июня 2018}}

[[Категория:Интегралы]]
[[Категория:Квантовая механика]]
[[Категория:Квантовая теория поля]]