Просмотр кода страницы Фрактальная размерность

{{anchor|coastline}}
{{Кратное изображение
 |зона           = right
 |направление    = horizontal
 |заголовок      = 
 |зона_заголовка = 
 |фон_заголовка  = 
 |подпись        = ''Рисунок 1.'' Общая длина береговой линии [[Великобритания (остров)|Великобритании]] возрастает, когда длина измерительной палки (шеста) уменьшается{{sfn|Мандельброт Б.|2002}}.
 |зона_подписи   = 
 |фон_подписи    = 
 |ширина         = 80

 |изобр1         = britain-fractal-coastline-200km.png
 |ширина1        = 
 |подпись1       =  <small>11.5 x 200 = 2300 км</small>

 |изобр2         = britain-fractal-coastline-100km.png
 |ширина2        = 
 |подпись2       = <small>28 x 100 = 2800 км</small>

 |изобр3         =  britain-fractal-coastline-50km.png
 |ширина3        = 
 |подпись3       = <small>70 x 50 = 3500 км</small>
}}
'''Фракта́льная разме́рность''' ({{lang-en|fractal dimension}}) — один из способов определения размерности множества в [[метрическое пространство|метрическом пространстве]]. Фрактальную размерность ''n''-мерного множества можно определить с помощью формулы:

: <math>D= - \lim\limits_{\varepsilon\to0}\frac{\ln(N_\varepsilon)}{\ln(\varepsilon)}</math>, где <math>N_\varepsilon</math> — минимальное число ''n''-мерных «шаров» [[радиус]]а <math>\varepsilon</math>, необходимых для покрытия множества.

Фрактальная размерность может принимать не целое числовое значение{{sfn|Божокин С.В.|2001}}.

Основная идея «дробной» ({{lang-en|fractured}}) [[Размерность пространства|размерности]] имеет долгую историю в области математики, но именно сам термин введён в оборот [[Мандельброт, Бенуа|Бенуа Мандельбротом]] в 1967 году в {{нп5|Какой длины побережье Великобритании? Статистическое самоподобие и фрактальная размерность| его статье||How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension}} о [[Самоподобие|самоподобии]], в которой он описал «дробную» ({{lang-en|fractional}}) размерность{{sfn|Mandelbrot B.|1967}}. В этой статье Мандельброт ссылался на предыдущую работу [[Ричардсон, Льюис Фрай|Льюиса Фрайя Ричардсона]], описывающую противоречащую здравому смыслу идею о том, что измеренная длина береговой линии зависит от длины мерной палки (шеста) ([[#coastline|см. Рис. 1]]). Следуя этому представлению, фрактальная размерность береговой линии соответствует отношению числа шестов (в определенном масштабе), нужных для измерения длины береговой линии, к выбранному масштабу шеста{{sfn| Benoit B. Mandelbrot|1983}}. Есть несколько формальных математических определений{{переход|#Примеры}} фрактальной размерности, которые строятся на этой базовой концепции, об изменении в элементе с изменением в масштабе.

Одним из элементарных примеров является фрактальная размерность [[Кривая Коха|снежинки Коха]]. Её [[Размерность Лебега|топологическая размерность]] равна 1, но это ни в коем случае не [[Длина кривой|спрямляемая кривая]], поскольку [[длина кривой]] между любыми двумя точками снежинки Коха — [[Длина кривой|бесконечность]]. Никакая сколько угодно малая часть кривой не является отрезком прямой. Скорее, снежинка Коха состоит из бесконечного числа сегментов, соединённых под разными углами. Фрактальную размерность кривой можно объяснить интуитивно, предполагая, что фрактальная линия — это объект слишком детальный (подробный), чтобы быть одномерным, но недостаточно сложный, чтобы быть двумерным{{sfn|Harte D.|2001}}. Поэтому её размерность лучше описывать не обычной топологической размерностью 1, но её фрактальной размерностью, равной в этом случае числу, лежащему в интервале между 1 и 2.

== Введение ==
{{Anchor|32seg}}
[[Файл:32 segment fractal.jpg|thumb|225px|''Рисунок 2. ''32 квадратных сегмента образуют [[fractal#iterated|фрактал]] и просматриваются через прямоугольную лупу разных размеров. Узор иллюстрирует [[самоподобие]]. Теоретическая фрактальная размерность для этого фрактала равна T {{дробь|log32|log8}} = 1.67. Его эмпирическая фрактальная размерность от емкостного анализа равна ±1 %{{sfn|Balay-Karperien А.|2004}}.]]

'''[[Фрактал]]ьная размерность''' — коэффициент, описывающий [[фрактал]]ьные структуры или [[Множество|множества]] на основе количественной оценки иx {{нп5|Сложность (математика)|сложности||Complexity}}, как коэффициент изменения в детали с изменением масштаба{{sfn| Benoit B. Mandelbrot|1983}}{{rp|1}}. Некоторые типы фрактальной размерности можно измерить теоретически и {{нп5|Фрактальный анализ|эмпирически||Fractal analysis}}([[#seg32|см. Рис. 2]]){{sfn|Vicsek T.(1992)|1992|с=10}}{{sfn|Losa Gabriele A., Nonnenmacher Theo F.|2005}}. Фрактальные размерности используются для характеристики широкого спектра объектов от абстрактных{{sfn|Falconer K.|2003}}{{sfn|Vicsek T.(1992)|1992|с=10}} до практических явлений, например: турбулентность,{{sfn| Benoit B. Mandelbrot|1983}}{{rp|97–104}} речные сети,{{rp|246–247}} рост городов,{{sfn|Chen Y|2011}} физиология человека,{{sfn|Popescu D. P.|2010}}{{sfn|King  R. D.|2009}} медицина{{sfn|Losa Gabriele A., Nonnenmacher Theo F.|2005}} и рыночные тренды{{sfn|Peters E.|1996}}. Основная идея ''дробной'' или ''фрактальной'' [[Размерность Хаусдорфа|размерности]] имеет долгую историю в математике, которую можно проследить с 1600 года,{{sfn| Benoit B. Mandelbrot|1983}}{{rp|19}}{{sfn|Gerald E.|2004}} но сами термины ''фрактал'' и ''фрактальная размерность'' были введены математиком Бенуа Мандельбротом в 1975{{sfn|Falconer K.|2003}}{{sfn| Benoit B. Mandelbrot|1983}}{{sfn|Losa Gabriele A., Nonnenmacher Theo F.|2005}}{{sfn|Peters E.|1996}}{{sfn| Albers Alexanderson, Gerald L. Alexanderson|2008}}.

''Фрактальная размерность'' была впервые введена как коэффициент, описывающий геометрически сложные формы, для которых детали являются более важными, чем полный рисунок{{sfn| Albers Alexanderson, Gerald L. Alexanderson|2008}}. Для множеств, описывающих обычные геометрические формы, теоретическая фрактальная размерность равна обычной [[Евклидова геометрия|Евклидовой]] или [[Размерность Лебега|топологической размерности]]. Таким образом, для множеств, описывающих точки, теоретическая фрактальная размерность равна 0; 1 для множеств, описывающих прямую (множества, имеющие только длину); 2 для множеств, описывающих поверхность (имеющие длину и ширину); 3 для множеств, описывающих объём (множества, имеющие длину, ширину и высоту). Но это меняется для фрактальных множеств. Если теоретическая фрактальная размерность множества превышает топологическую размерность, то считают, что множество имеет фрактальную геометрию{{sfn| Mandelbrot Benoit|2004}}.

В отличие от топологической размерности, фрактальный коэффициент может принимать не [[Целое число|целочисленное]] значение{{sfn|Sharifi-Viand А.,Mahjani  M. G., Jafarian M.|2012}}, показывая то, что фрактальное множество заполняет пространство не так как его заполняет обычное геометрическое множество{{sfn|Falconer K.|2003}}{{sfn|Sagan H.|1994}}{{sfn|Vicsek T.(1992)|1992|с=10}}. Например, кривая с фрактальной размерностью очень близкой к 1, скажем 1.10, ведёт себя вполне как обычная линия, но кривая с фрактальной размерностью 1.9 намотана в пространстве, почти как поверхность. Подобным образом, ведет себя поверхность с фрактальной размерностью 2.1. Она заполняет пространство почти как обычная поверхность, но поверхность с фрактальной размерностью 2.9 сворачивается и стремится заполнить пространство почти как объём{{sfn| Mandelbrot Benoit|2004}}{{rp|48}}<ref group=notes>См. {{нп5|Список фракталов размерности Хаусдорфа|графическое представление различных фрактальных размерностей||List of fractals by Hausdorff dimension}}</ref>. Эту общую связь можно увидеть на 2 изображении фрактальной кривой на [[#seg32|см. Рис. 2]] и [[#kline|см. Рис. 3]] — 32 сегмента, контур на '''Рис.2''', запутанный и заполняющий пространство. Эта фрактальная кривая имеет размерность 1.67 по сравнению с менее сложной кривой Коха на '''Рис.3''', которая имеет фрактальную размерность 1.26.

{{anchor|kline}}
[[Файл:blueklineani2.gif|225px|thumb|alt=a Koch curve animation|''Рисунок 3.'' [[Кривая Коха]] — классическая {{нп5|Итерация(математика)|итерированная||Iteration}} фрактальная кривая. Берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины {{дробь|1|3}}. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев. Предельная кривая и есть кривая Коха]]

Отношение между возрастающей фрактальной размерностью и заполняющим пространством может быть принято за фрактальную размерность измеренной плотности, но это не так. Эти два параметра не строго коррелируют{{sfn|Balay-Karperien А.|2004}}. Вместо этого, фрактальная размерность измеряет сложность. Это понятие связано с определенными особенностями фракталов: [[самоподобие]], [[Фрактал|шаблон и неравномерность]]<ref group="notes">См. [[Фрактал|Фрактальные параметры]]</ref>. Эти свойства встречаются в примерах фрактальных кривых, которые описаны выше. Обе кривые с [[Размерность Лебега|топологической размерностью]] равной 1 так, что можно надеяться, что можно измерить их длину или [[угловой коэффициент]], как с обычными линиями. Но мы не можем сделать что-либо из этих вещей, потому что фрактальные кривые имеют сложность в виде самоподобия и шаблонов, чего нет у обычных линий{{sfn|Benoit B. Mandelbrot|1983}}. ''Самоподобие'' лежит в бесконечном масштабе, а ''шаблон'' в определяющих элементах каждого множества. [[Длина кривой|Длина]] между любыми двумя точками этих кривых [[Длина кривой|не определена]], потому что теоретически данные конструкции никогда не останавливаются, а повторяют себя бесконечное количество раз{{sfn|Helge von Koch, «On a continuous curve without tangents constructible from elementary geometry»|2004}}. Каждая меньшая часть состоит из бесконечного числа масштабных сегментов, которые выглядят в точности как в первой итерации. Это не [[Длина кривой|спрямляемые кривые]], то есть мы не можем разбить их на отдельные сегменты и вычислить приблизительно длину. Мы не можем описать с помощью длины и углового коэффициента. Однако, их фрактальные размерности могут быть определены. Они показывают, как заполняют пространство больше, чем обычные линии, но меньше, чем поверхности, также это позволяет сравнивать их между собой.

Заметим, что две фрактальные кривые, описанные выше, показывают тип самоподобия, который в точности повторяет начальный шаблон, что легко визуализировать. Структуры такого рода могут встречаться и в других пространствах (например, {{нп5|Список фракталов размерности Хаусдорфа|фракталы||List of fractals by Hausdorff dimension}}). Если Кривую Коха расширить в 3-мерное пространство, то её теоретическая фрактальная размерность будет равна 2.5849. Однако, существует сложность при подсчете фрактальной размерности для следующего примера{{sfn|Vicsek T.(1992)|1992|с=10}}{{sfn|Peters E.|1996}}: побережье Великобритании представляет собой приближенную модель с приближенным масштабом{{sfn| Benoit B. Mandelbrot|1983}}{{rp|26}}. В целом, [[фрактал]]ы могут быть разных [[Фрактал|типов, степеней самоподобия]] и шаблонов, которые сложно визуализировать. Они включают в себя, в качестве примеров, странные [[аттрактор]]ы: гладкие участки нагромождения{{sfn| Mandelbrot Benoit|2004}}{{rp|49}}, [[множество Жюлиа]] и частота сердцебиения{{sfn|Tan Can Ozan, Cohen Michael A., Eckberg Dwain L., Taylor J. Andrew|2009}}. Фрактальную сложность не всегда просто вычислить, не опираясь на сложные аналитические методы, которые по-прежнему ведут к ответу через фрактальные размерности{{sfn| Benoit B. Mandelbrot|1983}}{{rp|197; 262}}.

== История ==
Термины фрактальная размерность и фрактал были введены Мандельбротом в 1975 году{{sfn| Albers Alexanderson, Gerald L. Alexanderson|2008}}, примерно через 10 лет после того, как он опубликовал свою статью о самоподобии побережья Великобритании. Мандельброт объединил и применил сложную теоретическую математику и инженерную работу в новом варианте изучения сложной геометрии. Это послужило вызовом обычным линейным терминам{{sfn|Gerald E.|2004}}{{sfn|Nigel G.|2000}}{{sfn|MacTutor History of Mathematics}}. Самые ранние корни, которые Мандельброт обобщил в понятии «фрактальная геометрия», были четко прослежены в сочинениях о недифференцируемости, бесконечности самоподобных функций, которые являются важными в математическом определении фракталов. Примерно в то время, [[Математический анализ|анализ]] был опубликован (в середине 1600-х годов){{sfn| Benoit B. Mandelbrot|1983}}{{rp|405}}. Был перерыв в публикации работ о таких функциях. Начиная с конца 1800-х с создания математических функций и множеств, которые сегодня называют каноническими фракталами (такие как одноименные работы [[Кох, Нильс Фабиан Хельге фон|фон Коха]],{{sfn|Helge von Koch, «On a continuous curve without tangents constructible from elementary geometry»|2004}} [[Серпинский, Вацлав|Серпинского]], [[Жюлиа, Гастон Морис|Жюлиа]]), началось обновление в этой сфере. В это время их формулировка часто рассматривалась, как сильно противоречащей математическим «монстрам»{{sfn|Gerald E.|2004}}{{sfn|MacTutor History of Mathematics}}. Эти работы сопровождались, по-видимому, предположениями, что они являются наиболее ключевым моментом в развитии концепции фрактальной геометрии, через работы [[Хаусдорф, Феликс|Хаусдорфа]] в начале 1900-х. Хаусдорф определил «дробную размерность», которая сейчас называется его именем и часто привлекается в определении современных [[фрактал]]ов{{sfn|Mandelbrot B.|1967}}{{sfn|Benoit B. Mandelbrot|1983}}{{rp|44}}{{sfn|Mandelbrot Benoit|2004}}{{sfn|Nigel G.|2000}}.

''Смотреть [[Фрактал|историю фракталов]] подробнее''.

== Роль масштаба ==
{{anchor|unity}}
[[Файл:Fractaldimensionexample.PNG|right|thumb|width=300px|alt=Lines, squares, and cubes.|''Рисунок 4.'' Традиционное представление геометрии об определении масштаба и размерности.]]

Идея фрактальной размерности лежит в нетрадиционном представлении масштаба и размерности{{sfn|Iannaccone, Khokha|1996}}. Это видно на [[#unity|Рис. 4]], иллюстрирующего традиционные понятия геометрии, которые формируют масштаб предсказуемо и согласно понятным и знакомым представлениям о пространстве, в котором они содержатся. Например, возьмем линию, поделим её на три равные части, то каждая часть будет длиной в 3 раза меньше, длины изначальной линии. Также это имеет место в плоскости. Если измерить площадь квадрата, а затем измерить площадь квадрата со стороной длинною {{дробь|1|3}} от длины стороны начального квадрата, то она окажется в 9 раз меньше площади начального квадрата. Этот масштаб может быть определён математически с помощью правила масштаба по Уравнению 1, где <math>N</math> — число деталей, <math>\epsilon</math> — коэффициент масштаба, <math>D</math> — фрактальная размерность:
{{Нумерованная формула|:|<math>{{N \propto \epsilon^{-D}}}</math>|1}}

Символ <math>\propto</math> означает пропорциональность. Это правило масштаба подтверждает традиционные правила геометрии масштаба, поскольку для линии — <math>N</math>=3, когда <math>\epsilon</math>={{дробь|1|3}}, то <math>D</math>=1, и для квадратов, потому что <math>N</math>=9, когда <math>\epsilon</math>={{дробь|1|3}}, <math>D</math>=2.

{{anchor|koch}}
[[Файл:KochFlake.svg|width=300|right|thumb|alt=A fractal contour of a koch snowflake|''Рисунок 5.'' Первые 4 [[Итерация (математика)|итерации]] [[Кривая Коха|Снежинки Коха]], которая имеет приблизительную [[размерность Хаусдорфа]] 1.2619.]]

То же правило относится и к фрактальной геометрии, но менее интуитивно. Чтобы посчитать для фрактальной линии единичной длины, на первый взгляд, уменьшаем масштаб в 3 раза, в этом случае <math>N</math>=4 , когда <math>\epsilon</math>={{дробь|1|3}} и значение <math>D</math> можно найти преобразовав Уравнение 1:
{{Нумерованная формула|:|<math>{{\log_{\epsilon}{N}={-D}=\frac{\log{N}}{\log{\epsilon}}}}</math>|2}}

Таким образом, для фрактала, описанного через <math>N</math>=4, когда <math>\epsilon</math>={{дробь|1|3}}, <math>D</math>=1.2619. В этом случае размерность принимает не целое значение, следовательно, можно предполагать, что фрактал имеет размерность не равную размерности пространства, в которое он встроен{{sfn|Vicsek T.(1992)|1992|с=10}}.Этот же масштаб используется для[[#kline|Кривой Коха]] и [[#koch|снежинки Коха]]. Следует отметить, что сами эти изображения не являются истинными фракталами, поскольку масштабирование описано значением <math>D</math> не может продолжать бесконечно по той простой причине, что изображения, существует только в наименьшей точке — пикселя. Теоретическая структура, которая представляет цифровое изображение, не имеет дискретных пикселей, как куски, а состоит из [[Бесконечность|бесконечного]] числа сегментов под разными углами с фрактальной размерностью равной 1.2619{{sfn| Benoit B. Mandelbrot|1983}}{{sfn|  Iannaccone, Khokha|1996}}.

== Размерность — не единственный параметр ==
{{anchor|statistical koch like scaling image}}
[[Файл:onetwosix.png|300px|thumb|right|''Рисунок 6.'' Две L-системы, которые на каждой итерации получают 4 детали масштаба в {{дробь|1|3}} раз меньше предыдущей итерации. Имеют такую же фрактальную размерность, как и для кривой Коха{{sfn|Balay-Karperien А.|2004}}.]]

Как в случае с размерностью, определенной для линии, квадрата и куба, фрактальные размерности — общие характеристики, что не позволяет однозначно определить структуру{{sfn|  Iannaccone, Khokha|1996}}{{sfn|Vicsek T.(2001)|2001}}. Значение <math>D</math> для фрактала Коха приводилось выше, например, количественной структуре свойственен масштаб, но этого не достаточно, чтобы построить его. Многие фрактальные структуры и узоры можно построить с таким же масштабом, как у кривой Коха, но всё равно они будут отличаться от кривой Коха ([[#statistical koch like scaling image|см. Рисунок 6]]).

''Примеры фракталов: см. [[Фрактал]], [[Треугольник Серпинского]], [[Множество Мандельброта]], {{нп5|Диффузия ограниченной агрегации|Диффузия ограниченной агрегации||Diffusion limited aggregation}}, {{нп5|L-Системы|L-Системы||L-System}}.''

{{anchor|specific definitions}}

== Примеры ==
{{anchor|cantordust}}
[[Файл:Cantordamm i sju iterationer.png|Cantor set, in seven iterations|500px|thumb|right|''Рисунок 7.'' Берётся отрезок прямой единичной длины. Затем он делится на три равные части, и вынимается средний отрезок. На втором шаге аналогичной процедуры подвергаются оставшиеся отрезки. Так процесс продолжается до бесконечности.]]
Понятие фрактальной размерности, описанное в этой статье, есть классический вид сложной структуры. Примеры, описанные здесь, были выбраны для наглядности. Масштаб и коэффициент известны уже давно. На практике, однако, фрактальные размерности могут быть определены с помощью методов, которые берут приблизительный масштаб. В качестве определения фрактальной размерности в книге Божокина С. В. и Паршина Д. А. «Фракталы и мультифракталы»{{sfn|Божокин С.В.|2001}} используют следующую формулу:

: <math>D=-  \lim\limits_{\varepsilon\to0}\frac{\ln(N_\varepsilon)}{\ln(\varepsilon)}</math>, где <math>N_\varepsilon</math> — минимальное число n-мерных «шаров» [[радиус]]а <math>\varepsilon</math>, необходимых для покрытия множества.

Согласно этой формуле, для изолированной точки, отрезка длиной <math>L</math>, поверхности площади <math>S</math>, пространства объёма <math>V</math> фрактальная размерность совпадает с обычной Евклидовой размерностью.

Используя эту формулу, можно вычислить фрактальную размерность, например, [[Канторово множество|множества Кантора]] ([[#cantordust|см. Рисунок 7]]). Очевидно, что на <math>n</math>-ом шаге получим <math>2^n</math> отрезков длиной <math>\frac{1}{3^n}</math>, из чего следует, что фрактальная размерность для множества Кантора равна 0, 6309{{sfn|Божокин С.В.|2001}}.

Несколько формальных определений разных типов фрактальной размерности приведены ниже. Несмотря на то, что для некоторых классических фракталов все эти размерности совпадают, в общем случае они не эквивалентны:

* [[Размерность Минковского]]: D оценивается как экспоненты степенного закона.
: <math>D_0 = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\log N(\epsilon)}{\log\frac{1}{\epsilon}}.</math>
* Информационная размерность: D рассматривается как средняя [[Информационная энтропия|информация]] необходимая для выявления занятой емкости с размером этой емкости;<math>p</math> — вероятность.
: <math>D_1 = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{-\langle \log p_\epsilon \rangle}{\log\frac{1}{\epsilon}}</math>
* {{нп5|Корреляционная размерность|Корреляционная размерность||Correlation dimension}} D основана на <math>M</math> и ''g''<sub>ε</sub>, где <math>M</math> — число точек, использованных, чтобы представить фрактал, ''g''<sub>ε</sub> — число пар точек ближе, чем ε друг с другом.
: <math>D_2 = \lim_{\epsilon \rightarrow 0, M \rightarrow \infty} \frac{\log (g_\epsilon / M^2)}{\log \epsilon}</math>
* Обобщенные размерности Реньи
: Размерность Минковского, информационная и корреляционная размерности можно рассматривать как частный случай непрерывного спектра обобщенных размерностей порядка α, определенных следующим образом:
: <math>D_\alpha = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1-\alpha}\log(\sum_{i} p_i^\alpha)}{\log\frac{1}{\epsilon}}</math>
* [[Размерность Хигути]]{{sfn|Higuchi T.}}
<math>D = \frac{d\ \log(L(k))}{d\ \log(k)}</math>
* [[Мультифрактал]]ьные размерности: специальные случай Размерности Реньи, когда поведение масштаба меняется в разных частях рисунка.
* {{нп5|Неопределённость показателя|Неопределённость показателя||Uncertainty exponent}}
* [[Размерность Хаусдорфа]]
* {{нп5|Упаковочная размерность|Упаковочная размерность||Packing dimension}}
* {{нп5|Размерность Ассойда|Размерность Ассойда||Assouad dimension}}
* [[Локально связанная размерность]]{{sfn|Jelinek A.|2008}}

== Оценка реальных данных ==
Многие реальные явления показывают ограниченные или статистические фрактальные свойства и фрактальные размерности, которые могут быть оценены из [[Выборка|выборки]] данных, используя компьютер на основе методов {{нп5|Фрактальный анализ|фрактального анализа||Fractal analysis}}. Практически, измерения фрактальной размерности зависит от различных методологических вопросов, и чувствительны к численному или экспериментальному шуму и ограничены в объёме данных. Тем не менее область быстро развивается в оценке фрактальной размерности для статистический самоподобных явлений. Фрактальная размерность имеет много практический приложений в различных областях, включающих диагностическую визуализацию,{{sfn|Landini G.|1995}}{{sfn|Cheng Qiuming|1997}} физиологию,{{sfn|Popescu D. P.|2010}} нейробиологию,{{sfn|King  R. D.|2009}} медицину,{{sfn|Liu Jing Z.|2003}}{{sfn|Smith T. G.|1996}}{{sfn|Li J.|2009}} физику,{{sfn|Dubuc B.|1989}}{{sfn|Roberts A.|1996}} анализ изображений,{{sfn|Al-Kadi O.S.|2008}}{{sfn|Pierre S.|1996}}{{sfn|Tolle C. R.|2003}}{{sfn|Gorsich D. J.|1996}} акустику,{{sfn|Maragos P.|1999}} нули дзета-функции Римана{{sfn|Shanker O.|2006}} и электрохимические процессы{{sfn|Eftekhari A.|2004}}.

Альтернативой к непосредственному измерению является математическая модель, которая напоминает формирование реального фрактального объекта. В этом случае, проверка также может быть сделана путём сравнения других фрактальных свойств, вытекающих из модели, с данными измерений. В [[Коллоидные системы|коллоидной физике]], системы состоят из частиц с различными фрактальными размерностями. Чтобы описать эти системы, используют [[Распределение вероятностей|вероятностное распределение]] фрактальной размерности. И в конце концов, время эволюция последних: это процесс, который обусловлен сложным взаимодействием между {{нп5|Агрегация частиц|агрегацией||Particle aggregation}} и [[Коалесценция|коалесценцией]]{{sfn|Kryven I.|2014}}.

== См. также ==
* {{нп5|Список фракталов с вычисленной размерностью Хаусдорфа|Список фракталов с вычисленной размерностью Хаусдорфа||List of fractals by Hausdorff dimension}}
* {{нп5|Лакунарность(математика)|Лакунарность||Lacunarity}}
* [[Мультифрактал|Мультифрактальный анализ]]
* [[Дробная производная]]

== Замечания ==
{{примечания|group="notes"}}

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{статья
|автор    =Al-Kadi O.S, Watson D.
 |заглавие =  Texture Analysis of Aggressive and non-Aggressive Lung Tumor CE CT Images
 |ссылка   = http://sro.sussex.ac.uk/1919/1/tbme.pdf
 |язык     = 
 |издание  =  IEEE Transactions on Biomedical Engineering
 |тип      = 
 |год       =2008
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =  55
 |номер    =7
 |страницы =1822–1830 
 | doi=10.1109/tbme.2008.919735
 |issn     = 
|pmid = 
 |bibcode = 
 |arxiv         = 
 |ref =Al-Kadi O.S.
}}
* {{книга
 | автор         = Alexanderson Albers , Alexanderson Gerald L. 
 | часть         = Benoit Mandelbrot: In his own words
 | ссылка часть  = 
 | заглавие      =Mathematical people : profiles and interviews
 | ссылка        = 
 | викитека      = 
 | ответственный = 
 | издание       = 
 | место         =  Wellesley, Mass
 | издательство  = AK Peters
 | год           =2008
 | volume        = 
 | pages         = 
 | columns       = 
 | allpages      = 214
 | серия         = 
 | isbn = 978-1-56881-340-0
 | doi           = 
 | тираж         = 
 | ref           =Albers Alexanderson, Gerald L. Alexanderson
}}
* {{книга
 | автор         = Balay-Karperien А.
 | часть         = 
 | ссылка часть  = 
 | заглавие      =Defining Microglial Morphology: Form, Function, and Fractal Dimension
 | ссылка        = http://trove.nla.gov.au/work/162139699 
 | викитека      = 
 | ответственный = 
 | издание       = 
 | место         = 
 | издательство  =Charles Sturt University
 | год           = 2004
 | volume        = 
 | pages         = 3
 | columns       = 
 | allpages      = 86
 | серия         = 
 |isbn = 
 | doi           = 
 | тираж         = 
 | ref           =Balay-Karperien А.
}}
* {{книга
 | автор         = Божокин С.В., Паршин Д.А.
 | часть         = 
 | ссылка часть  = 
 | заглавие      = Фракталы и мультифракталы
 | ссылка        = 
 | викитека      = 
 | ответственный = 
 | издание       = 
 | место         = 
 | издательство  =
 | год           = 2001
 | volume        = 
 | страницы        = 15-18
 | columns       = 
 |страниц    =  128
 | серия         = 
 |isbn= 5-93972-060-9
 | doi           = 
 | тираж         = 
 | ref           = Божокин С.В.
}}
* {{статья
 |автор    = Chen Y.
 |заглавие = Modeling Fractal Structure of City-Size Distributions Using Correlation Functions
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  = PLoS ONE
 |тип      = 
 |год      = 2011
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      = 6
 |номер    = 9
 |страницы = e24791
 |doi = 10.1371/journal.pone.0024791 
 |issn     = 
|pmid = 21949753
 |bibcode = 2011PLoSO...624791C
 |arxiv         = 1104.4682
 |ref = Chen Y
}}
* {{статья
 |автор    = Cheng  Qiuming 
 |заглавие = Multifractal Modeling and Lacunarity Analysis
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  = Mathematical Geology
 |тип      = 
 |год       = 1997 
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =  29
 |номер    = 7
 |страницы = 919-932 
 |  doi =  10.1023/A:1022355723781
 |issn     = 
|pmid = 7499097
 |bibcode = 
 |arxiv         = 
 |ref = Cheng Qiuming 
}}
* {{статья
 |автор    =Dubuc B., Quiniou J., Roques-Carmes C., Tricot C., Zucker S.
 |заглавие = Evaluating the fractal dimension of profiles
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  = Physical Review A
 |тип      = 
 |год       = 1989
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =  39
 |номер    =3
 |страницы =1500–1512
 |doi = 10.1103/PhysRevA.39.1500
 |issn     = 
|pmid =  9901387
 |bibcode = 1989PhRvA..39.1500D
 |arxiv         = 
 |ref =Dubuc B.
}}
* {{статья
|автор    =Eftekhari A.
 |заглавие =Fractal Dimension of Electrochemical Reactions 
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  =Journal of the Electrochemical Society
 |тип      = 
 |год       =2004
|часть = Wavelet and fractal analysis of ground-vehicle images
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =  151
 |номер    = 9
 |страницы =E291–E296 
 |doi = 10.1149/1.1773583
 |issn = 
| pmid =
 |bibcode =
 |arxiv         = 
 |ref=Eftekhari A.
}}
* {{книга
 | автор        = Falconer K.
 | заглавие     = Fractal Geometry
 | издательство = Wiley
 | место = New York
 | год          = 2003
|pages         = 27–37
 | страниц      = 308
 | ref          = Falconer K.
 | isbn = 978-0-470-84862-3
}}
* {{книга
 | автор         = Gerald E.
 | часть         = 
 | ссылка часть  = 
 | заглавие      = Classics on Fractals
 | ссылка        = 
 | викитека      = 
 | ответственный = 
 | издание       = 
 | место         = Boulder
 | издательство  = Westview Press
 | год           = 2004
 | volume        = 
 | pages         = 25–46
 | columns       = 
 | allpages      = 86
 | серия         = 
 |isbn = 978-0-8133-4153-8
 | doi           = 
 | тираж         = 
 | ref           = Gerald E.
}}
* {{книга
 | автор         = Gerald Edgar
 | часть         = Helge von Koch, «On a continuous curve without tangents constructible from elementary geometry»
 | ссылка часть  = 
 | заглавие      =Classics on Fractals
 | викитека      = 
 | ответственный = 
 | издание       = 
 | место         = Boulder
 | издательство  =Westview Press
 | год           = 2004
 | volume        = 
 | pages         = 25–46
 | columns       = 
 | allpages      =
 | серия         = 
 |   isbn=978-0-8133-4153-8
 | doi           = 
 | тираж         = 
 | ref           = Helge von Koch, «On a continuous curve without tangents constructible from elementary geometry»
}}
* {{статья
|автор    =Gorsich D. J., Tolle C. R., Karlsen R. E., Gerhart G. R.
 |заглавие = Wavelet Applications in Signal and Image Processing IV
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  = IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence
 |тип      = 
 |год       =1996
|часть = Wavelet and fractal analysis of ground-vehicle images
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =  2825
 |номер    =
 |страницы =109
 | doi = 10.1117/12.255224
 |issn = 
|pmid = 
 |bibcode = 
 |arxiv         = 
 |ref=Gorsich D. J.
}}
* {{книга
 | автор         = Harte D.
 | часть         = 
 | ссылка часть  = 
 | заглавие      = Multifractals 
 | ссылка        = 
 | викитека      = 
 | ответственный = 
 | издание       = 
 | место         = London
 | издательство  = Chapman & Hall
 | год           =2001
 | volume        = 
 | pages         = 3-4
 | columns       = 
 | allpages      = 
 | серия         = 
 |isbn = 978-1-58488-154-4
 | doi           = 
 | тираж         = 
 | ref           = Harte D.
}}
* {{cite web
|title=Approach to an irregular time series on the basis of the fractal theory
|work=
|author=Higuchi T.
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160304032803/http://tswww.ism.ac.jp/higuchi/index_e/papers/PhysicaD-1988.pdf
|archivedate=2016-03-04
|url=http://tswww.ism.ac.jp/higuchi/index_e/papers/PhysicaD-1988.pdf
|year=1987
|ref=Higuchi T.
|accessdate=2016-01-16
|deadlink=yes
}}
* {{книга
 | автор         =  Iannaccone, Khokha
 | часть         = 
 | ссылка часть  = 
 | заглавие      =Fractal Geometry in Biological Systems
 | ссылка        = 
 | викитека      = 
 | ответственный = 
 | издание       = 
 | место         = 
 | издательство  =
 | год           =1996
 | volume        = 
 | pages         = 
 | columns       = 
 | allpages      =
 | серия         = 
 |   isbn=978-0-8493-7636-8
 | doi           = 
 | тираж         = 
 | ref           = Iannaccone, Khokha
}}
* {{статья
 |автор    = Jelinek A., Jelinek H. F., Leandro J. J., Soares J. V., Cesar Jr R. M., Luckie A.
 |заглавие = Automated detection of proliferative retinopathy in clinical practice
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  = Journal of Electroanalytical Chemistry
 |тип      = 
 |год      =2008
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =   2
 |номер    = 1
 |страницы = 109–122
 |  doi = 10.2147/OPTH.S1579 
 |issn     = 
|pmid = 19668394
 |bibcode = 
 |arxiv         = 
 |ref = Jelinek A.
}}
* {{статья
 |автор    = King  R. D.
 |заглавие = Characterization of Atrophic Changes in the Cerebral Cortex Using Fractal Dimensional Analysis
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  = Brain Imaging and Behavior
 |тип      = 
 |год      =2009
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =  3
 |номер    =2
 |страницы = 154–166
 |doi = 10.1007/s11682-008-9057-9
 |issn     = 
|pmid =20740072
 |bibcode = 
 |arxiv         = 
 |ref =King  R. D.
}}
* {{статья
|автор    = Kryven I., Lazzari S., Storti G.
 |заглавие = Population Balance Modeling of Aggregation and Coalescence in Colloidal Systems
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  =Macromolecular Theory and Simulations
 |тип      = 
 |год       =2014
|часть = Wavelet and fractal analysis of ground-vehicle images
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =  23
 |номер    = 3
 |страницы =170
 |doi = 10.1002/mats.201300140
 |issn = 
| pmid =
 |bibcode =
 |arxiv         = 
 |ref=Kryven I.
}}
* {{статья
 |автор    = Landini G., Murray P. I., Misson G. P. 
 |заглавие = Local connected fractal dimensions and lacunarity analyses of 60 degrees fluorescein angiograms 
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  = Investigative Ophthalmology & Visual Science 
 |тип      = 
 |год       = 1995 
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =  36 
 |номер    = 13
 |страницы = 2749–2755 
 |  doi = 
 |issn     = 
|pmid = 7499097
 |bibcode = 
 |arxiv         = 
 |ref = Landini G.
}}
* {{статья
 |автор    =Li J., Du Q., Sun C. 
 |заглавие =  An improved box-counting method for image fractal dimension estimation
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  = Pattern Recognition
 |тип      = 
 |год       = 2009
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =  42
 |номер    =11
 |страницы =2460 
 | doi = 10.1016/j.patcog.2009.03.001
 |issn     = 
|pmid = 8946315
 |bibcode = 2003BpJ....85.4041L 
 |arxiv         = 
 |ref =Li J. 
}}
* {{статья
 |автор    =Liu Jing Z., Zhang Lu D., Yue Guang H.
 |заглавие = Fractal Dimension in Human Cerebellum Measured by Magnetic Resonance Imaging
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  = Biophysical Journal
 |тип      = 
 |год       =2003 
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =  85
 |номер    =6
 |страницы =4041–4046
 |  doi = 10.1016/S0006-3495(03)74817-6
 |issn     = 
|pmid = 14645092
 |bibcode = 2003BpJ....85.4041L 
 |arxiv         = 
 |ref = Liu Jing Z.
}}
* {{книга
 | автор         = Losa Gabriele A., Nonnenmacher Theo F.
 | часть         = 
 | ссылка часть  = 
 | заглавие      = Fractals in biology and medicine
 | ссылка        = https://books.google.com/books?id=t9l9GdAt95gC
 | викитека      = 
 | ответственный = 
 | издание       = 
 | место         = 
 | издательство  = Springer
 | год           = 2005
 | volume        = 
 | pages         = 
 | columns       = 
 | allpages      = 
 | серия         = 
 |isbn=978-3-7643-7172-2
 | doi           = 
 | тираж         = 
 | ref           = Losa Gabriele A., Nonnenmacher Theo F.
}}
* {{статья
 |автор    = Mandelbrot B.
 |заглавие = How Long is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  = Science
 |тип      = 
 |год      = 1967
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      = 156
 |номер    = 3775
 |страницы = 636–638 
 |doi = 10.1126/science.156.3775.636
 |issn     = 
|pmid =  17837158
 |bibcode = 1967Sci...156..636M
|ref = Mandelbrot B.
}}
* {{книга
 | автор         = Mandelbrot Benoit B.
 | часть         = 
 | ссылка часть  = 
 | заглавие      = The fractal geometry of nature
 | ссылка        = https://books.google.com/books?id=0R2LkE3N7-oC
 | викитека      = 
 | ответственный = 
 | издание       = 
 | место         = 
 | издательство  = Macmillan
 | год           = 1983
 | volume        = 
 | pages         = 
 | columns       = 
 | allpages      = 
 | серия         = 
 | isbn=978-0-7167-1186-5
 | doi           = 
 | тираж         = 
 | ref           = Benoit B. Mandelbrot
}}
* {{книга
 | автор        = Мандельброт Б. 
 | заглавие     =  Фрактальная геометрия природы
 | издательство = 
 | место = 
 | год          = 2002
|страницы = 46
 | страниц      = 666
 | ref          = Мандельброт Б.
 | isbn=
}}
* {{книга
 | автор         =  Mandelbrot Benoit
 | часть         = 
 | ссылка часть  = 
 | заглавие      =Fractals and Chaos
 | ссылка        = 
 | викитека      = 
 | ответственный = 
 | издание       = 
 | место         =  Berlin
 | издательство  =Springer
 | год           =2004
 | volume        = 
 | pages         = 38
 | columns       = 
 | allpages      = 
 | серия         = 
 |  isbn = 978-0-387-20158-0
 | doi           = 
 | тираж         = 
 | ref           =Mandelbrot Benoit
}}
* {{статья
|автор    =Maragos P., Potamianos A.
 |заглавие =Fractal dimensions of speech sounds: Computation and application to automatic speech recognition
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  = The Journal of the Acoustical Society of America
 |тип      = 
 |год       =1999
|часть = Wavelet and fractal analysis of ground-vehicle images
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =  105
 |номер    = 3 
 |страницы =1925-1932
 | doi = 10.1121/1.426738
 |issn = 
| pmid =  10089613
 |bibcode = 1999ASAJ..105.1925M
 |arxiv         = 
 |ref=Maragos P.
}}
* {{книга
 | автор         =  Nigel G.
 | часть         = 
 | ссылка часть  = 
 | заглавие      =Introducing fractal geometry
 | ссылка        = 
 | викитека      = 
 | ответственный = 
 | издание       = 
 | место         =  Duxford
 | издательство  =Icon
 | год           =2000
 | volume        = 
 | pages         = 71
 | columns       = 
 | allpages      =
 | серия         = 
 |   isbn = 978-1-84046-123-7
 | doi           = 
 | тираж         = 
 | ref           =Nigel G.
}}
* {{книга
 | автор         = Peters E.
 | часть         = 
 | ссылка часть  = 
 | заглавие      = Chaos and order in the capital markets : a new view of cycles, prices, and market volatility
 | ссылка        = 
 | викитека      = 
 | ответственный = 
 | издание       = 
 | место         = New York
 | издательство  = Wiley
 | год           = 1996
 | volume        = 
 | pages         = 
 | columns       = 
 | allpages      = 
 | серия         = 
 |isbn = 0-471-13938-6
 | doi           = 
 | тираж         = 
 | ref           =Peters E.
}}
* {{статья
 |автор       = Pierre S., Jean-F. Rivest
 |заглавие = On the Validity of Fractal Dimension Measurements in Image Analysis
 |ссылка     = http://mdigest.jrc.ec.europa.eu/soille/soille-rivest96.pdf
 |язык         = 
 |издание   = Journal of Visual Communication and Image Representation
 |тип           = 
 |год           = 1996
 |месяц       = 
 |число       = 
 |том           = 7
 |номер       = 3
 |страницы = 217-229
 |doi              = 10.1006/jvci.1996.0020
 |issn             = 1047-3203
 |pmid             = 
 |bibcode          = 
 |arxiv            = 
 |ref              = Pierre S.
 |archiveurl       = https://web.archive.org/web/20110720161245/http://mdigest.jrc.ec.europa.eu/soille/soille-rivest96.pdf
 |archivedate      = 2011-07-20
}}
* {{статья
 |автор    = Popescu, D. P., Flueraru, C., Mao, Y., Chang, S., Sowa, M. G. 
 |заглавие =Signal attenuation and box-counting fractal analysis of optical coherence tomography images of arterial tissue
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  = Biomedical Optics Express
 |тип      = 
 |год      = 2010
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =  1
 |номер    =1
 |страницы = 268–277
 |doi = 10.1364/boe.1.000268
 |issn     = 
|pmid =21258464
 |bibcode = 
 |arxiv         = 
 |ref =Popescu D. P.
}}
* {{статья
|автор    =Roberts A., Cronin A.
 |заглавие =  Unbiased estimation of multi-fractal dimensions of finite data sets
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  =  Physica A: Statistical Mechanics and its Applications
 |тип      = 
 |год       = 1996
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =  233
 |номер    =3-4
 |страницы =867
 | doi = 10.1016/S0378-4371(96)00165-3 
 |issn     = 
|pmid = 
 |bibcode = 1996PhyA..233..867R 
 |arxiv         = 
 |ref =Roberts A. 
}}
* {{книга
 | автор        = Sagan H.
 | заглавие     = Space-Filling Curves 
 | издательство = Springer-Verlag
 | место =Berlin
 | год          = 1994
 | страниц      = 156
| ref = Sagan H.
 | isbn = 0-387-94265-3
}}
* {{статья
|автор    =Shanker O.
 |заглавие =Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  = Journal of Physics A: Mathematical and General
 |тип      = 
 |год       =2006
|часть = Wavelet and fractal analysis of ground-vehicle images
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =  39
 |номер    = 45
 |страницы =13983
 |doi = 10.1088/0305-4470/39/45/008 
 |issn = 
| pmid =
 |bibcode = 2006JPhA...3913983S
 |arxiv         = 
 |ref=Shanker O.
}}
* {{статья
 |автор    = Sharifi-Viand А.,Mahjani  M. G., Jafarian M.
 |заглавие = Investigation of anomalous diffusion and multifractal dimensions in polypyrrole film
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  = Journal of Electroanalytical Chemistry
 |тип      = 
 |год      =2012
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =  671
 |номер    =
 |страницы = 51
 | doi = 10.1016/j.jelechem.2012.02.014 
 |issn     = 
|pmid =
 |bibcode = 
 |arxiv         = 
 |ref = Sharifi-Viand А.,Mahjani  M. G., Jafarian M.
}}
* {{статья
 |автор    =Smith T. G., Lange G. D., Marks W. B.
 |заглавие =  Fractal methods and results in cellular morphology — dimensions, lacunarity and multifractals
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  = Journal of Neuroscience Methods
 |тип      = 
 |год       = 1996
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =  69
 |номер    =2
 |страницы =123–136 
 |  doi = 10.1016/S0165-0270(96)00080-5
 |issn     = 
|pmid = 8946315
 |bibcode = 2003BpJ....85.4041L 
 |arxiv         = 
 |ref =Smith T. G. 
}}
* {{статья
 |автор    = Tan Can Ozan, Cohen Michael A., Eckberg Dwain L., Taylor J. Andrew 
 |заглавие = Fractal properties of human heart period variability: Physiological and methodological implications
 |ссылка   = 
 |язык     = 
 |издание  = Journal of Electroanalytical Chemistry
 |тип      = 
 |год      =2009
 |месяц    = 
 |число    = 
 |том      =   587
 |номер    = 15
 |страницы =  3929
 |  doi = 10.1113/jphysiol.2009.169219
 |issn     = 
|pmid =
 |bibcode = 
 |arxiv         = 
 |ref =Tan Can Ozan, Cohen Michael A., Eckberg Dwain L., Taylor J. Andrew 
}}
* {{статья
 |автор       = Tolle C. R., McJunkin T. R., Gorsich D. J.
 |заглавие = Suboptimal minimum cluster volume cover-based method for measuring fractal dimension
 |ссылка     = http://mdigest.jrc.ec.europa.eu/soille/soille-rivest96.pdf
 |язык         = 
 |издание   = IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence
 |тип           = 
 |год           = 2003
 |месяц       = 
 |число       = 
 |том           = 25
 |номер       = 
 |страницы = 32
 |doi              = 10.1109/TPAMI.2003.1159944
 |issn             = 
 |pmid             = 
 |bibcode          = 
 |arxiv            = 
 |ref              = Tolle C. R.
 |archiveurl       = https://web.archive.org/web/20110720161245/http://mdigest.jrc.ec.europa.eu/soille/soille-rivest96.pdf
 |archivedate      = 2011-07-20
}}
* {{cite web
|title=A History of Fractal Geometry
|work=MacTutor History of Mathematics
|author=Trochet, Holly
|archiveurl=http://www.webcitation.org/65DCT2znx
|archivedate=4 February 2012
|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/fractals.html
|year=2009
|ref =MacTutor History of Mathematics
}}
* {{книга
 | автор        = Vicsek T.
 | заглавие     = Fractal growth phenomena
 | издательство = World Scientific
 | место = Singapore New Jersey
 | год          = 1992
 | страниц      = 165
 | ref          = Vicsek T.(1992)
 | isbn          = 5-09-002630-0
}}
* {{книга
 | автор        = Vicsek T.
 | заглавие     =  Fluctuations and scaling in biology
 | издательство = Oxford University Press
 | место = Oxford [Oxfordshire]
 | год          = 2001
 | страниц      = 
 | ref          = Vicsek T.(2001)
 | isbn=0-19-850790-9
}}

== Дополнительная литература ==
* [[Мандельброт, Бенуа|Mandelbrot, Benoit B.]], ''The (Mis)Behavior of Markets, A Fractal View of Risk, Ruin and Reward'' (Basic Books, 2004)

== Ссылки ==
{{Навигация
 |Портал       = 
 |Викисловарь  = фрактальная размерность
 |Викиучебник  = 
 |Викицитатник = 
 |Викитека     = 
 |Викивиды     = 
 |Викиновости  = 
 |Викисклад    = 
 |Викигид      = 
 |Метавики     = 
 |Проект       = Математика
}}
* [http://www.trusoft-international.com TruSoft’s Benoit], fractal analysis software product calculates fractal dimensions and hurst exponents.
* [http://www.stevec.org/fracdim/ A Java Applet to Compute Fractal Dimensions]
* [http://rsb.info.nih.gov/ij/plugins/fraclac/FLHelp/Fractals.htm Introduction to Fractal Analysis]
* {{cite web|last=Bowley|first=Roger|title=Fractal Dimension|url=http://www.sixtysymbols.com/videos/fractal.htm|work=Sixty Symbols|publisher=[[Brady Haran]] for the [[University of Nottingham]]|year=2009}}

{{Фракталы}}
{{Размерность}}
[[Категория:Фракталы]]
[[Категория:Фрактальные кривые]]
[[Категория:Топология]]