Просмотр кода страницы Формула Лоренца — Лоренца

{{другие значения термина|Лоренц|Лоренц}}
'''Фо́рмула Ло́ренца — Ло́ренца''' связывает [[показатель преломления]] вещества с [[электронная поляризуемость|электронной поляризуемостью]] частиц ([[атом]]ов, [[ион]]ов, [[молекула|молекул]]), из которых оно состоит. Формулу получили датский физик [[Лоренц, Людвиг Валентин|Людвиг В. Лоренц]] ({{lang-da| Ludvig Valentin Lorenz }}) и голландский физик [[Лоренц, Хендрик Антон|Хендрик А. Лоренц]] ({{lang-nl|Hendrik Antoon Lorentz}}) в 1880 году независимо друг от друга<ref name="ФЭ">{{книга |автор= |часть=Лоренца — Лоренца формула |ссылка часть=http://www.femto.com.ua/articles/part_1/1989.html |заглавие=[[Физическая энциклопедия]] |оригинал= |ссылка= |викитека= |ответственный= Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]] |издание= |место=М. |издательство=[[Советская энциклопедия]] |год=1990 |том=2 |страницы= 611|страниц=704 |серия= |isbn=5-85270-061-4 |тираж=100&nbsp;000}}</ref><ref name="БРЭ">{{БРЭ|статья=Лоренца — Лоренца формула |ссылка=http://bigenc.ru/physics/text/2158282 |id= |автор=Короленко П. В.}}</ref>.

== Определение ==
Если вещество состоит из частиц одного сорта, то формула имеет вид<ref>Здесь и далее используется система единиц измерения [[СГС]].</ref>:
:: <math> \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} = \frac{4 \pi}{3} N \alpha, </math>
где <math>n</math> — [[показатель преломления]], <math>N</math> — количество частиц в единице объёма, а <math>\alpha</math> — их поляризуемость.

Уточним, что под поляризуемостью частицы здесь понимается коэффициент <math>\alpha</math>, связывающий [[напряжённость электрического поля]] <math>\boldsymbol E</math>, действующего на частицу, с [[дипольный момент|дипольным моментом]] <math>\boldsymbol p</math>, образующимся у частицы под действием этого поля<ref>{{книга |автор= Гусев А. А.|часть=Поляризуемость |ссылка часть= http://www.femto.com.ua/articles/part_2/3006.html|заглавие=[[Физическая энциклопедия]] |оригинал= |ссылка= |викитека= |ответственный= Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]] |издание= |место=М. |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Большая Российская энциклопедия]] |год=1994 |том=4 |страницы=72-74 |страниц=704 |серия= |isbn= |тираж=40&nbsp;000}}</ref>:
:: <math>\boldsymbol p=\alpha\boldsymbol E. </math>

Здесь и далее жирным шрифтом выделяются векторные величины.

Формулу записывают также в виде:
:: <math> \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2}\cdot\frac{M}{\rho} = \frac{4 \pi}{3} N_\mathrm A \alpha, </math>
где <math>M</math> — молекулярная масса вещества, <math>\rho </math> — его плотность, а <math>N_\mathrm A</math> — [[постоянная Авогадро]]. При этом величину <math> \frac{4 \pi}{3} N_\mathrm A \alpha </math> называют [[Молекулярная рефракция|молекулярной рефракцией]].

Если вещество состоит из частиц нескольких сортов с поляризуемостями <math> \alpha_i </math> и объёмными концентрациями <math>N_i</math>, то формула принимает вид:
:: <math> \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} = \frac{4 \pi}{3}\left [N_1 \alpha_1+ N_2 \alpha_2+\cdots +N_n \alpha_n\right ].</math>

Вывод формулы основан на рассмотрении микроскопического поля и его взаимодействия с атомами, молекулами и ионами вещества. При выводе предполагается, что среда является изотропной, а составляющие её частицы собственным дипольным моментом не обладают<ref name="Born">{{книга|автор =Борн М., Вольф Э.|заглавие  = Основы оптики. Изд. 2-е|место=М.|издательство =«Наука» |год =1973|страниц =720 |тираж =20 000}}</ref>.

== Обсуждение ==
Воздействие внешнего электромагнитного поля с относительно высокими частотами, соответствующими видимому и УФ-диапазону спектра, приводит к смещению только электронных оболочек относительно атомных ядер, в то время как более массивные частицы (атомы и ионы) за период колебаний поля сместиться с занимаемых ими мест не успевают. Соответственно, в [[Поляризация диэлектриков|поляризацию среды]] вносит вклад только электронная поляризация, и показатель преломления оказывается связан с электронной поляризуемостью частиц формулой Лоренца — Лоренца.

При более низких частотах колебаний поля атомы и ионы успевают смещаться под действием поля, и поэтому вносят свой вклад в общую поляризацию. В результате становится необходимым, помимо электронной поляризуемости, учитывать атомную и ионную поляризуемости. Аналогом формулы Лоренца — Лоренца для постоянных полей является [[формула Клаузиуса — Моссотти]]<ref>{{книга |автор=Леванюк А. П. |часть=Клаузиуса — Мосотти формула |ссылка часть= http://www.femto.com.ua/articles/part_1/1643.html |заглавие=Физическая энциклопедия |оригинал= |ссылка= |викитека= |ответственный= Гл. ред. А. М. Прохоров |издание= |место=М. |издательство=Советская энциклопедия |год=1990 |том=2. Добротность — Магнитооптика |страницы=373-374 |страниц=704 |серия= |isbn=5-85270-061-4 |тираж=100&nbsp;000}}</ref>, описывающая связь [[Относительная диэлектрическая проницаемость|диэлектрической проницаемости]] вещества с поляризуемостями составляющих его частиц:

: <math> \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 2} \cdot \frac{M}{\rho} = \frac{4\pi}{3} N_\mathrm A \alpha.</math>

В полярных [[Диэлектрики|диэлектриках]] частицы среды обладают собственным дипольным моментом, то есть таким, который они имеют и в отсутствие внешнего электрического поля. Непосредственное применение формулы Лоренца — Лоренца в её обычном виде в таких случаях невозможно. Дальнейшим развитием формулы Лоренца — Лоренца, пригодным в том числе и для случая полярных диэлектриков (но для относительно низких частот колебаний поля), стала формула [[формула Ланжевена — Дебая]]<ref>[http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_physics/973/ЛАНЖЕВЕНА ''Ланжевена — Дебая формула''. Статья в Физическом энциклопедическом словаре.]</ref>.

Формула Лоренца — Лоренца лежит в основе структурной [[Рефрактометрия (химия)|рефрактометрии]]. Она широко используется при изучении и контроле составов различных веществ, для исследования их строения и превращений, происходящих в результате протекания химических реакций<ref>{{книга
 |автор         = Бацанов С. С.
 |заглавие      = Структурная рефрактометрия. Изд. 2-е
 |место         = М.
 |издательство  = «Высшая школа»
 |год           = 1976
 |страниц       = 304}}
</ref><ref>{{книга
 |автор         = Иоффе Б. В.
 |заглавие      = Рефрактометрические методы химии
 |место         = Л.
 |издательство  = «Химия», Ленинградское отделение
 |год           = 1983
 |страниц       = 350
}}</ref>.

== Классическая теория дисперсии ==
Формула Лоренца — Лоренца является одним из оснований теории дисперсии света в классическом приближении<ref name="Born" /><ref>{{книга |автор  = Бутиков Е. И. |заглавие = Оптика|издание  = 2-е изд., перераб. и доп.  |место = СПб. |издательство  = Невский Диалект, БХВ-Петербург |год  = 2003 |страниц  = 480 |isbn = 5-94157-380-4 |тираж  = 3&nbsp;000}}</ref>. В этой теории оптические электроны рассматриваются как дипольные осцилляторы, характеризуемые собственной частотой <math>\omega_0</math>. В случае, когда затуханием колебаний электронов можно пренебречь<ref>Затухание мало, если частота света существенно отличается от частот, на которых располагаются линии поглощения вещества.</ref>, уравнение колебаний имеет вид:

:: <math> \ddot \boldsymbol r + \omega_0^2 \boldsymbol r = \frac{e}{m}\boldsymbol E(t), </math>

где <math>\boldsymbol r </math> — смещение электрона из положения равновесия, <math> \ddot \boldsymbol r</math> — вторая производная <math>\boldsymbol r </math> по времени (ускорение электрона), <math>e</math> и <math>m</math> — заряд и масса электрона соответственно, а <math>\boldsymbol E(t)</math> — напряжённость электрического поля.

В результате решения уравнения для монохроматического поля, изменяющегося с частотой <math>\omega</math>, сначала получается зависимость <math>\boldsymbol r(t)</math>, а затем и поляризуемость <math>\alpha</math>:

:: <math>\alpha= \frac{ e^2}{m}\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}.</math>

После подстановки полученного выражения в формулу Лоренца — Лоренца возникает дисперсионная формула вида:

:: <math> \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} = \frac{4 \pi N e^2}{3 m}\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2}. </math>

Обычно свой вклад в формирование показателя преломления вносят несколько линий поглощения с частотами <math>\omega_{0i}</math>. В таком случае дисперсионная формула принимает вид:

:: <math> \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} = \frac{4 \pi N e^2}{3 m}  \sum_i \frac{ f_i}{\omega_{0i}^2-\omega^2}, </math>
где <math>f_i</math> — безразмерные коэффициенты ([[Сила осциллятора|силы осцилляторов]]), показывающие эффективность участия соответствующих осцилляторов в явлениях дисперсии и удовлетворяющие правилу <math>\sum_i f_i=1</math>.

== История ==
{{часть изображения |изобр = H A Lorentz (Nobel).jpg|позиция = left|подпись = Хендрик А. Лоренц | позиция_подписи = center|ширина = 160| общая = 166| верх = 0|право = 0|низ = 0|лево=0| цвет_фона = AliceBlue}}
{{часть изображения | изобр = Ludvig_Valentin_Lorenz.jpg | позиция = right | подпись = Людвиг В. Лоренц | позиция_подписи = center|ширина = 160 |общая = 443|верх = 90|право = 40 |низ = 250|лево = 145| цвет_фона = AliceBlue}}
Статьи Людвига В. Лоренца<ref>[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k152556/f76 ''L. Lorenz''. "Über die Refractionsconstante, " Ann. Phys. 1880. V. 11, 70—103.]</ref> и Хендрика А. Лоренца<ref>[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k15253h/f647  ''H. A. Lorentz'', Über die Beziehung zwischen der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes und der Körperdichte. Ann. Phys. 1880. V. 9, 641—665.]</ref> с сообщениями о получении формулы были опубликованы практически одновременно в 1880 году. [[Борн, Макс|М. Борн]] и Э. Вольф такое одновременное получение результата учёными с почти одинаковыми (в оригинальном написании) фамилиями называют «удивительным совпадением»<ref name="Born" />.

Сам Хендрик Лоренц в своей книге писал так: «…этот результат был найден Лоренцом в Копенгагене за несколько времени до того, как я вывел его из электромагнитной теории света, что, конечно, является любопытным случаем совпадения»<ref>{{книга
 |автор =Лорентц Г. А.|заглавие = Теория электронов и её применение к явлениям света и теплового излучения|место=М.|издательство  =Государственное издательство технико-теоретической литературы|год  =1956|страницы =215 |страниц=472 |серия  = Классики естествознания|тираж  =5 000}}
</ref>.

Хотя Хендрик А. Лоренц не был тем, кто первым вывел формулу, и на эту роль не претендовал, в её наименовании, обычно употребляемом в англоязычной литературе, его имя стоит в начале: «Lorentz — Lorenz equation», «Lorentz — Lorenz formula» или «Lorentz — Lorenz relation».

Ранее, до того, как в русской научно-технической литературе сложилась общепринятая традиция, использовались различные варианты наименования формулы, включая такие, как формула «Лоренц — Лоренца», «Лоренц — Лорентца», «Лорентц — Лоренца» и «Лорентца — Лоренца».

В своё время значение формулы Лоренца — Лоренца не исчерпывалось только тем, что она дала возможность количественного описания формирования значения показателя преломления веществ. Как писали М. Борн и Э. Вольф, «…она служит мостом, связывающим феноменологическую теорию Максвелла с теорией атомного строения вещества»<ref name="Born" />.

Несмотря на солидный «возраст», формулу Лоренца — Лоренца в настоящее время не только достаточно широко применяют, но и продолжают развивать, расширяя возможности её использования<ref>''Mário G. Silveirinha''. Generalized Lorentz-Lorenz formulas for microstructured materials. Phys. Rev. B. 2007, Vol.76, Issue 24, 245117, 17 December 2007.</ref>.

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Физические законы и уравнения]]
[[Категория:Оптика]]
[[Категория:Электродинамика сплошных сред]]
[[Категория:Физическая химия]]
[[Категория:Именные законы и правила|Лоренца — Лоренца]]