Просмотр кода страницы Факториал

'''Факториа́л''' — [[Функция (математика)|функция]], определённая на множестве неотрицательных [[Целое число|целых чисел]]. Название происходит от {{lang-lat|factorialis}} — действующий, производящий, умножающий; обозначается '''{{math|''n''}}!''', произносится ''эн факториа́л''. Факториал [[Натуральное число|натурального числа]] {{math|''n''}} определяется как произведение всех [[Натуральное число|натуральных]] чисел от 1 до {{math|''n''}} включительно:
: <math>n! = 1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n =\prod_{k=1}^n k</math>.

Например,
: <math>5 ! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120</math>.

Из определения факториала следует соотношение <math>(n-1)! = \frac{n!}n </math>, откуда при <math>n = 1</math> формально находим
: <math>0! = 1</math>.
Последнее равенство обычно принимают в качестве соглашения, хотя, как показано выше, оно следует из определения факториала для натуральных чисел при условии, что все значения функции связаны единым рекуррентным соотношением.

{| class="wikitable" style="margin:0 0 0 1em; text-align:right; float:right;"
|+ Факториалы всех чисел составляют {{OEIS|id=A000142}}; значения в научной нотации округляются
|-
! ''n''
! ''n''!
|-
| 0 || 1
|-
| 1 || 1
|-
| 2 || 2
|-
| 3 || 6
|-
| 4 || 24
|-
| 5 || 120
|-
| 6 || 720
|-
| 7 || {{gaps|5|040}}
|-
| 8 || {{gaps|40|320}}
|-
| 9 || {{gaps|362|880}}
|-
| 10 || {{gaps|3|628|800}}
|-
| 11 || {{gaps|39|916|800}}
|-
| 12 || {{gaps|479|001|600}}
|-
| 13 || {{gaps|6|227|020|800}}
|-
| 14 || {{gaps|87|178|291|200}}
|-
| 15 || {{gaps|1|307|674|368|000}}
|-
| 16 || {{gaps|20|922|789|888|000}}
|-
| 17 || {{gaps|355|687|428|096|000}}
|-
| 18 || {{gaps|6|402|373|705|728|000}}
|-
| 19 || {{gaps|121|645|100|408|832|000}}
|-
| 20 || {{gaps|2|432|902|008|176|640|000}}
|-
| 25 
| style="text-align:left" | ≈{{val|1.551121004|e=25}}
|-
| 50 
| style="text-align:left" | ≈{{val|3.041409320|e=64}}
|-
| 70 
| style="text-align:left" | ≈{{val|1.197857167|e=100}}
|-
| 100 
| style="text-align:left" | ≈{{val|9.332621544|e=157}}
|-
| 450 
| style="text-align:left" | ≈{{val|1.733368733|e=1000|sortable=off}}
|-
| {{gaps|1|000}} 
| style="text-align:left" | ≈{{val|4.023872601|e=2567|sortable=off}}
|-
| {{gaps|3|249}} 
| style="text-align:left" | ≈{{val|6.412337688|e=10000|sortable=off}}
|-
| {{gaps|10|000}} 
| style="text-align:left" | ≈{{val|2.846259681|e=35659|sortable=off}}
|-
| {{gaps|25|206}} 
| style="text-align:left" | ≈{{val|1.205703438|e=100000|sortable=off}}
|-
| {{gaps|100|000}} 
| style="text-align:left" | ≈{{val|2.824229408|e=456573|sortable=off}}
|-
| {{gaps|205|023}} 
| style="text-align:left" | ≈{{val|2.503898932|e=1000004|sortable=off}}
|-
| {{gaps|1|000|000}} 
| style="text-align:left" | ≈{{val|8.263931688|e=5565708|sortable=off}}
|-
| [[Гугол|{{val|e=100}}]] || ≈10<sup>{{val|9.956570552|e=101|sortable=off}}
</sup>
|-
| 10<sup>{{val|1000|sortable=off}}</sup>
| ≈10<sup>10<sup>{{val|1003|sortable=off}}</sup></sup>
|-
| 10<sup>{{val|10000|sortable=off}}</sup>
| ≈10<sup>10<sup>{{val|10004|sortable=off}}</sup></sup>
|-
|10<sup>{{val|100000|sortable=off}}</sup>
|≈10<sup>10<sup>{{val|100005|sortable=off}}</sup></sup>
|-
|[[Гуголплекс|10<sup>{{val|10<sup>{{val|100|sortable=off}}</sup>|sortable=off}}</sup>]]
|≈10<sup>{{val|10<sup>{{val|10<sup>{{val|100|sortable=off}}</sup>|sortable=off}}</sup>|sortable=off}}</sup>
|} 

Факториал активно используется в различных разделах математики: [[комбинаторика|комбинаторике]], [[математический анализ|математическом анализе]], [[теория чисел|теории чисел]], [[функциональный анализ|функциональном анализе]] и др.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая [[показательная функция]] или любая [[степенная функция]],  а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако, степенно-показательная функция <math>n^n</math> растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например <math>e^{e^n}</math>.

== Свойства ==

=== Рекуррентная формула ===
Факториал может быть задан следующей [[Рекуррентная формула|рекуррентной формулой]]:
: <math>n!= \begin{cases}
1 & n = 0,\\
n \cdot (n-1)! & n > 0.
\end{cases}</math>

=== Комбинаторная интерпретация ===
В [[комбинаторика|комбинаторике]] факториал натурального числа {{math|''n''}} интерпретируется как количество [[перестановка|перестановок]] (упорядочиваний) [[множество|множества]] из {{math|''n''}} элементов. Например, для множества {''A'',''B'',''C'',''D''} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:
 ABCD  BACD  CABD  DABC
 ABDC  BADC  CADB  DACB
 ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
 ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
 ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
 ADCB  BDCA  CDBA  DCBA

Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения <math>0!=1</math> — количество перестановок пустого множества равно единице. Кроме того, формула для числа [[Размещение|размещений]] из <math>n</math> элементов по <math>m</math>
: <math>A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}</math>
при <math>n=m</math> обращается в формулу для числа [[Перестановка|перестановок]] из <math>n</math> элементов (порядка <math>n</math>), которое равно <math>n!</math>.

=== Связь с гамма-функцией ===
{{Основная статья|Гамма-функция}}
[[Файл:Generalized factorial function.svg|thumb|right|325px|Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.]]
Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением
: <math>n! = \Gamma(n+1)</math>.

Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество [[Вещественное число|вещественных чисел]]. Используя [[аналитическое продолжение]] гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю [[комплексная плоскость|комплексную плоскость]], исключая [[Полюс (комплексный анализ)|особые точки]] при <math>n=-1, -2, -3\ldots</math>.

Непосредственным обобщением факториала на множества вещественных и комплексных чисел служит пи-функция <math>\Pi(z) = \Gamma(z+1)</math>, которая при <math>\mathrm{Re}(z)>-1</math> может быть определена как

: <math>\Pi(z)=\int_0^\infty t^{z} e^{-t}\, \mathrm{d}t</math> (интегральное определение).

Пи-функция натурального числа или нуля совпадает с его факториалом: <math>\Pi(n) = n!</math>. Как и факториал, пи-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению <math>\Pi(z) = z\Pi(z-1)</math>.

=== Формула Стирлинга ===
{{main|Формула Стирлинга}}

'''[[Формула Стирлинга]]''' — [[асимптотическая оценка|асимптотическая формула]] для вычисления факториала:
: <math>n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 + \frac{1}{12 n} + \frac{1}{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3} - \frac{571}{2488320 n^4} + \frac{163879}{209018880 n^5} + \frac{5246819}{75246796800 n^6} + O\left(n^{-7}\right)\right),</math>
см. [[O-большое]]<ref>Коэффициенты этого разложения дают {{OEIS short|A001163}} (числители) и {{OEIS short|A001164}} (знаменатели)</ref>.

Во многих случаях для приближённого вычисления факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:
: <math>n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>
При этом можно утверждать, что
: <math>\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n+1)}< n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{1/(12n)}.</math>

Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Например, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

* 100! ≈ 9,33×10<sup>157</sup>;
* 1000! ≈ 4,02×10<sup>2567</sup>;
* {{formatnum:10000}}! ≈ 2,85×10<sup>{{formatnum:35659}}</sup>.

=== Разложение на простые числа ===
Каждое [[простое число]] {{math|''p''}} входит в [[факторизация|разложение]] {{math|''n''!}} на простые множители в степени
: <math>\left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^2}\right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{p^3}\right\rfloor + \ldots.</math>
Таким образом,
: <math>n! = \prod_{p} p^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor + \lfloor \frac{n}{p^2}\rfloor +\ldots},</math>
где произведение берётся по всем простым числам. Можно заметить, что для всякого простого {{math|''p''}} большего {{math|''n''}} соответствующий множитель в произведении равен 1; следовательно, произведение можно брать лишь по простым {{math|''p''}}, не превосходящим {{math|''n''}}.

=== Связь с производной от степенной функции ===
Для целого неотрицательного числа {{math|''n''}}:
: <math>\left( x^n \right)^{(n)}=n!</math>
Например:
: <math>\left( x^5 \right)^{(5)} 
= \left( 5 \cdot x^4 \right)^{(4)} 
= \left( 5 \cdot 4 \cdot x^3 \right)'''
= \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot x^2 \right)'' 
= \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x \right)' 
= {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5!</math>

=== Другие свойства ===
:Для натурального числа {{math|''n''}}:
:: <math>n!^2 \geqslant n^n \geqslant n! \geqslant n</math>

:Для любого {{math|''n''>1}}:
:: <math>n!</math> не является [[Квадрат (алгебра)|квадратом]] целого числа.

== История ==
Факториальные выражения появились ещё в ранних исследованиях по [[Комбинаторика|комбинаторике]], хотя компактное обозначение <math>n!</math> предложил французский математик [[Крамп, Кристиан|Кристиан Крамп]] только в 1808 году<ref>[http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kramp.html  Крамп, Кристиан]</ref>. Важным этапом стало открытие [[Формула Стирлинга|формулы Стирлинга]], которую [[Стирлинг, Джеймс|Джеймс Стирлинг]] опубликовал в своём трактате «Дифференциальный метод» ({{lang-lat|Methodus differentialis}}, 1730 год). Немного ранее почти такую же формулу опубликовал друг Стирлинга [[Абрахам де Муавр]], но в менее завершённом виде (вместо коэффициента <math>\sqrt{2\pi}</math> была неопределённая константа)<ref>{{citation |last=Pearson |first=Karl |title=Historical note on the origin of the normal curve of errors |journal=Biometrika |year=1924 |volume=16 |pages=402–404 [p. 403]|doi=10.2307/2331714}}: «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна <math>\sqrt{2\pi}</math>. Я считаю, что это не делает его автором теоремы»</ref>.

Стирлинг подробно исследовал свойства факториала, вплоть до выяснения вопроса о том, нельзя ли распространить это понятие на произвольные вещественные числа. Он описал несколько возможных путей к реализации этой идеи и высказал мнение, что:
:  <math>\left({1 \over 2}\right)!=\frac{\sqrt{\pi}}{2}</math>
Стирлинг не знал, что годом ранее решение проблемы уже нашёл [[Леонард Эйлер]]. В письме к [[Гольдбах, Кристиан|Кристиану Гольдбаху]] Эйлер описал требуемое обобщение<ref>{{книга |автор=[[Дональд Кнут]] |место=М. |издательство=[[Мир (издательство)|Мир]] |год=1976 |заглавие=Искусство программирования, том I. Основные алгоритмы |страниц=736 |страницы=79—81 }}</ref>:
: <math>x! = \lim_{m\to\infty} \frac{m^x m!} {(x+1)(x+2)\dots (x+m)}</math>
Развивая эту идею, Эйлер в следующем, 1730 году ввёл понятие [[Гамма-функция|гамма-функции]] в виде классического интеграла. Эти результаты он опубликовал в журнале Санкт-Петербургской Академии наук в 1729—1730 годах.

== Обобщения ==

=== Двойной факториал ===
{{перенаправление|‼|!! (значения)}}
'''Двойной факториал''' числа {{math|''n''}} обозначается {{math|''n''‼}} и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,{{math|''n''}}], имеющих ту же [[Чётные и нечётные числа|чётность]], что и {{math|''n''}}.
* Для чётного {{math|''n''}}:
: <math>n!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n = \prod_{i=1}^{\frac{n}{2}} 2i = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!</math>

* Для нечётного {{math|''n''}}:
: <math>n!! = {1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot n} = \prod_{i=0}^{\frac{n-1}{2}} (2i+1) = \frac{n!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}</math>

Связь между двойными факториалами двух соседних целых неотрицательных чисел и обычным факториалом одного из них.
* Для чётного {{math|''n''}}:
: <math>n!! = \frac{(n+1)!}{(n+1)!!}</math>

* Для нечётного {{math|''n''}}:
: <math>n!! = \frac{n!}{(n-1)!!}</math>

{{Начало скрытого блока |Рамка = |Заголовок = Выведение формул|Выравнивание_заголовка = |Фон_заголовка = |Фон_текста = }}
* '''Формула для чётного {{math|''n''}}:'''
: <math>n!! = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!</math>
{| class="wikitable"
|-
|
: '''Выведение формулы:'''
: <math>\begin{align} n!! & =  {\color{Gray}\underbrace{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n}_{\color{Black}\tfrac{n}{2}}} = {\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{n}{2}}} \; \cdot \; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n \;}{\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{n}{2}}} =
\\ & =  {2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n}{2} \right )} = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )! \end{align}</math>
|}
: '''Пример''', иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:
: <math>\begin{align} 14!! & = 2^{\frac{14}{2}} \cdot \left ( \frac{14}{2} \right )! = 2^7 \cdot 7! = 
\\ & = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7) = 
\\ & = (2 \cdot 1) (2 \cdot 2) (2 \cdot 3) (2 \cdot 4) (2 \cdot 5) (2 \cdot 6) (2 \cdot 7) = 
\\ & = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14 = 645120 \end{align}</math>


* '''Формула для нечётного {{math|''n''}}:'''
: <math>n!! = \frac{n!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}</math>
{| class="wikitable"
|-
|
: '''Выведение формулы:'''
: <math>\begin{align}n!! & = {\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot n}}_{\color{Black}\frac{n+1}{2}}} 
= \frac{{\color{Gray}\overbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}^{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} \cdot {\color{Gray}\overbrace{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot n}^{\color{Black}\frac{n+1}{2}}}}
{\color{Gray}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} =
\\ & = \frac{\color{Gray}\overbrace{\color{Black}1 \cdot {\color{OliveGreen}2} \cdot 3 \cdot {\color{OliveGreen}4} \cdot 5 \cdot {\color{OliveGreen}6} \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot {\color{OliveGreen}(n-1)} \cdot n}^{\color{Black}n}} {\color{Gray}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}}
= \frac{n!}{\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{(n-1)!!} \end{align}</math>
: Таким образом можно показать связь между двойными факториалами двух соседних неотрицательных целых чисел через обычный факториал одного из них. Далее продолжим выведение формулы для двойного факториала нечётного {{math|''n''}}. Вернёмся на шаг назад (до возникновения в явном виде {{math|(''n''-1)!!}}) и осуществим некоторые [[Тождество (математика)|тождественные алгебраические преобразования]] над знаменателем:
: <math>\begin{align}& {\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Black}\frac{n-1}{2}}} = {\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{n-1}{2}}} \; \cdot \; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1) \;}{\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{n-1}{2}}} =
\\ & = {2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{2} \right )} = 2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )! \end{align}</math>
: Подставим полученное выражение для знаменателя обратно в формулу для <math>n!!</math>:
: <math>n!! = \frac{n!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}</math>
|}
'''Пример''', иллюстрирующий использованное выше выведение формулы:
: <math>\begin{align} 15!! & = \frac{15!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\!\! \frac{15-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{15-1}{2} \right )!} 
= \frac{15!}{2^{{\color{white}1}^{\!\!\! 7}} \cdot 7!} =
\\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7)}}} =
\\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15}{(2 \cdot 1) (2 \cdot 2) (2 \cdot 3) (2 \cdot 4) (2 \cdot 5) (2 \cdot 6) (2 \cdot 7)}}} =
\\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}\frac{1 \cdot {\color{OliveGreen}2} \cdot 3 \cdot {\color{OliveGreen}4} \cdot 5 \cdot {\color{OliveGreen}6} \cdot 7 \cdot {\color{OliveGreen}8} \cdot 9 \cdot {\color{OliveGreen}10} \cdot 11 \cdot {\color{OliveGreen}12} \cdot 13 \cdot {\color{OliveGreen}14} \cdot 15}{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14}}} =
\\ & = {\color{white}\overbrace{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15}} = 2027025 \end{align}</math>
{{Конец скрытого блока}}

Осуществив замену <math>n=2k</math> для чётного {{math|''n''}} и <math>n=2k+1</math> для нечётного {{math|''n''}} соответственно, где <math>k</math> — целое неотрицательное число, получим:

* для чётного числа:
: <math>(2k)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2k =\prod_{i=1}^{k} 2i = 2^k\cdot k!</math>

* для нечётного числа:
: <math>(2k+1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2k+1) = \prod_{i=0}^{k} (2i+1) = \frac{(2k+1)!}{2^k\cdot k!}</math>

По договорённости: <math>0!! = 1</math>. Также это равенство выполняется естественным образом:
: <math>0!! = 2^0 \cdot 0! = 1 \cdot 1 = 1</math>
{{Конец скрытого блока}}

Двойной факториал, также как и обычный факториал, определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность значений {{math|''n''!!}} начинается так<ref>{{OEIS long|A006882}}</ref>:
: 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, {{formatnum:10395}}, {{formatnum:46080}}, {{formatnum:135135}}, {{formatnum:645120}}, {{formatnum:2027025}}, {{formatnum:10321920}}, {{formatnum:34459425}}, {{formatnum:185794560}}, {{formatnum:654729075}}, {{formatnum:3715891200}}, {{formatnum:13749310575}}, {{formatnum:81749606400}}, {{formatnum:316234143225}}, {{formatnum:1961990553600}}, {{formatnum:7905853580625}}, {{formatnum:51011754393600}}, …

=== Кратный факториал ===
'''{{math|''m''}}-кратный факториал''' числа {{math|''n''}} обозначается <math>\textstyle n\underbrace{!!\ldots !}_m</math> и определяется следующим образом. Пусть число {{math|''n''}} представимо в виде <math>n=mk-r,</math> где <math>k \in \mathbb{Z},</math> <math>r \in \{0,1,\ldots ,m-1\}.</math> Тогда<ref name="avantaplus">«Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.</ref>

: <math>n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^k (mi-r)</math>

Обычный и двойной факториалы являются частными случаями {{math|''m''}}-кратного факториала для {{math|''m'' {{=}} 1}} и {{math|''m'' {{=}} 2}} соответственно.

Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением<ref name="prooflink">[http://www.wolframalpha.com/input/?i=product+%28m*i-r%29%2C+i%3D1..k wolframalpha.com].</ref>:
: <math>n\underbrace{!!\ldots !}_m = \prod_{i=1}^{k} (mi-r)=m^k \cdot \frac {\Gamma \left (k-\frac {r} {m} +1 \right )} {\Gamma \left ( 1- \frac {r} {m} \right)}.</math>

=== Неполный факториал ===

==== Убывающий факториал ====
'''Убывающим факториалом''' называется выражение
: <math>(n)_k = n^{\underline{k}} = n^{[k]}= n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!} = \prod_{i=n-k+1}^n i</math>.
Например:
: {{math|''n''}} = 7; {{math|''k''}} = 4,
: ({{math|''n'' − ''k''}}) + 1 = 4,
: n<sup><u>k</u></sup> = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.
Убывающий факториал даёт число [[размещение|размещений]] из {{math|''n''}} по {{math|''k''}}.

==== Возрастающий факториал ====
'''Возрастающим факториалом''' называется выражение
: <math>n^{(k)} = n^{\overline{k}} = n\cdot (n+1)\cdot \ldots\cdot (n+k-1) = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}=\prod_{i=n}^{(n+k)-1} i.</math>

=== Праймориал или примориал ===
{{main|Праймориал}}
'''Праймориал''' или '''примориал''' ({{lang-en|primorial}}) числа {{math|''n''}} обозначается {{math|''p<sub>n</sub>''#}} и определяется как произведение {{math|''n''}} первых простых чисел. Например,
: <math>p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310</math>.

Иногда праймориалом называют число <math>n\#</math>, определяемое как произведение всех [[простое число|простых чисел]], не превышающих заданное {{mvar|n}}.

Последовательность праймориалов (включая <math>{\textstyle{1\# \equiv 1}}</math>) начинается так<ref>{{OEIS long|A002110}}</ref>:
: {{ч|1}}, {{ч|2}}, {{ч|6}}, {{ч|30}}, {{ч|210}}, {{ч|2310}}, {{formatnum:30030}}, {{formatnum:510510}}, {{formatnum:9699690}}, {{formatnum:223092870}}, {{formatnum:6469693230}}, {{formatnum:200560490130}}, {{formatnum:7420738134810}}, {{formatnum:304250263527210}}, {{formatnum:13082761331670030}}, {{formatnum:614889782588491410}}, {{formatnum:32589158477190044730}}, {{formatnum:1922760350154212639070}}, …

=== Суперфакториалы ===
[[Нейл Слоан]] и {{Не переведено|:en:Simon Plouffe|Симон Плуффэ}} в [[1995 год]]у определили '''суперфакториал''' как произведение первых {{math|''n''}} факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

: <math> \operatorname{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288</math>

(поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

В общем

: <math>
  \operatorname{sf}(n)
  =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
  =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.
 </math>

Последовательность суперфакториалов чисел <math>n \geqslant 0</math> начинается так<ref>{{OEIS long|A000178}}</ref>:
: 1, 1, 2, 12, 288, {{formatnum:34560}}, {{formatnum:24883200}}, {{formatnum:125411328000}}, {{formatnum:5056584744960000}}, {{formatnum:1834933472251084800000}}, {{formatnum:6658606584104736522240000000}}, {{formatnum:265790267296391946810949632000000000}}, {{formatnum:127313963299399416749559771247411200000000000}}, …

Идея была обобщена в [[2000 год]]у {{Не переведено|:en:Henry Bottomley|Генри Боттомли}}, что привело к '''гиперфакториалам''' ({{lang-en|Hyperfactorial}}), которые являются произведением первых {{math|''n''}} суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел <math>n \geqslant 0</math> начинается так<ref>{{OEIS long|A055462}}</ref>:

: 1, 1, 2, 24, 6912, {{formatnum:238878720}}, {{formatnum:5944066965504000}}, {{formatnum:745453331864786829312000000}}, {{formatnum:3769447945987085350501386572267520000000000}}, {{formatnum:6916686207999802072984424331678589933649915805696000000000000000}}, …

Продолжая [[Рекуррентная формула|рекуррентно]], можно определить '''факториал кратного уровня''', или {{math|''m''}}-уровневый факториал числа {{math|''n''}}, как произведение ({{math|''m''}} − 1)-уровневых факториалов чисел от 1 до {{math|''n''}}, то есть
: <math>\operatorname{mf}(n,m) = \operatorname{mf}(n-1,m)\operatorname{mf}(n,m-1)=\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k}, </math>
где <math>\operatorname{mf}(n,0)=n</math> для <math>n>0</math> и <math>\operatorname{mf}(0,m)=1.</math>

=== Субфакториал ===
{{main|Субфакториал}}

'''Субфакториал''' !{{math|''n''}} определяется как количество [[беспорядок (перестановка)|беспорядков]] порядка {{math|''n''}}, то есть перестановок {{math|''n''}}-элементного [[множество|множества]] без [[неподвижная точка|неподвижных точек]].

== См. также ==
{{wiktionary|факториал}}
{{викиучебник|Примеры реализации функции факториал|Примеры реализации функции факториал}}
* [[Факторион]]

== Примечания ==
{{примечания}}

{{нет ссылок|дата=21 июня 2018}}
{{Математические знаки}}

[[Категория:Целочисленные последовательности]]
[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Комбинаторика]]