Просмотр кода страницы Уравнитель (математика)

'''Уравнитель''' (также '''ядро разности''') в [[Теория категорий|теории категорий]] — обобщение понятия решения некоторого ([[Алгебраическое уравнение|алгебраического]], [[Дифференциальное уравнение|дифференциального]] и т. п.) уравнения, то есть множества, на котором данные [[Отображение|отображения]] совпадают.

[[Двойственная категория|Двойственное]] уравнителю понятие — [[коуравнитель]].

== Определение ==
Уравнитель морфизмов <math>f\colon X\to Y</math> и <math>g\colon X\to Y</math> — это [[Предел (теория категорий)|предел]] (если он существует) [[Диаграмма (теория категорий)|диаграммы]] <math>\downarrow\downarrow</math>, то есть такой морфизм <math>eq\colon E\to X</math>, что <math>f\circ eq = g\circ eq</math> и для любого морфизма <math>m\colon O\to X</math> существует ''единственный'' морфизм <math>u\colon O \to E</math>, для которого следующая диаграмма коммутативна:

[[Файл:Equalizer-01.png|200px|center]]

Равносильно, уравнитель можно определить как [[коуниверсальный квадрат]] для морфизмов <math>f\colon X\to Y</math> и <math>g\colon X\to Y</math>.

== Примеры ==
* В категории [[Множество (математика)|множеств]] <math>\mathcal{S}et</math> уравнитель двух [[Отображение|отображений]] <math>f</math> и <math>g</math> — это естественное вложение во множество <math>X</math> множества, на котором <math>f</math> и <math>g</math> совпадают, то есть множества <math>\{ x\in X: f(x) = g(x)\}</math>.
* Аналогичным образом определяется уравнитель в категории <math>\mathcal{T}op</math> [[Топологическое пространство|топологических пространств]].
* В категории [[Абелева группа|абелевых групп]] <math>\mathcal{A}b</math> уравнитель [[гомоморфизм]]ов совпадает с [[Ядро (алгебра)|ядром]] их разности. Именно поэтому уравнитель в произвольной категории также иногда называют ядром разности, хотя в не [[Предаддитивная категория|предаддитивной]] категории, вообще говоря, разность морфизмов не определена.

== Литература ==
* {{Книга:Категории для работающего математика|3}}

{{rq|refless|empty}}

[[Категория:Теория категорий]]