Просмотр кода страницы Уравнения Эйнштейна

{{ОТО}}
'''Уравне́ния Эйнште́йна''' (иногда — '''Эйнштейна — Гильберта'''<ref name=E>О вкладе [[Гильберт, Давид|Гильберта]] и [[Эйнштейн]]а в открытие этих уравнений — см. подробности в статье: [[Эйнштейн, Альберт#Гильберт и уравнения гравитационного поля]].</ref>) — уравнения [[Гравитация|гравитационного поля]] в [[общая теория относительности|общей теории относительности]], связывающие между собой метрику искривлённого [[Пространство-время|пространства-времени]] со свойствами заполняющей его [[материя (физика)|материи]]. Термин используется и в единственном числе: «'''уравне́ние Эйнште́йна'''», так как в [[Тензорное исчисление|тензорной записи]] это одно уравнение, хотя в компонентах представляет собой систему уравнений в частных производных.

Выглядят уравнения следующим образом:

: <math>R_{\mu\nu} - {R \over 2}  g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu},</math>

где <math>R_{\mu\nu}</math> — [[тензор Риччи]], получающийся из [[тензор кривизны|тензора кривизны]] пространства-времени <math>R_{abcd}</math> посредством [[свёртка тензора|свёртки]] его по паре [[Индекс оператора|индексов]], {{math|''R''}} — [[скалярная кривизна]], то есть свёрнутый тензор Риччи, <math>g_{\mu\nu}</math> — [[метрический тензор]], <math>\Lambda</math> — [[космологическая постоянная]], а <math>T_{\mu\nu}</math> представляет собой [[тензор энергии-импульса]] материи, ({{math|π}} — [[число пи]], {{math|''c''}} — [[скорость света]] в вакууме, {{math|''G''}} — [[гравитационная постоянная]] Ньютона).

Уравнение связывает между собой тензоры 4×4, то есть, формально говоря, содержит 16 уравнений. Однако, так как все входящие в уравнения тензоры [[симметрия|симметричны]], то в четырёхмерном пространстве-времени эти уравнения равносильны 4·(4+1)/2=10 [[скаляр]]ным уравнениям. [[Дифференциальное тождество Бьянки|Тождества Бьянки]] приводят к уменьшению числа независимых уравнений с 10 до 6.

В более краткой записи вид уравнений таков:

: <math>G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu},</math>

где <math>G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - {R \over 2}  g_{\mu\nu}</math> — [[тензор Эйнштейна]], который объединяет тензор Риччи, скалярную кривизну и метрический тензор. Тензор Эйнштейна может быть представлен как функция метрического тензора и его частных производных.

Часто лямбда-член {{math|Λ''g''<sub>μν</sub>}} в записи уравнений Эйнштейна принимается равным нулю, поскольку в задачах локальных масштабов, далёких от космологических, он, как правило, мал. Тогда запись ещё более упрощается:

: <math>G_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}.</math>

Наконец, при часто использующемся выборе единиц физических величин таким образом, чтобы скорость света и гравитационная постоянная равнялись безразмерной единице, {{math|''c'' {{=}} ''G'' {{=}} 1}} (т. н. ''геометризованная'' система единиц), запись уравнений Эйнштейна становится наиболее простой; в бескомпонентной форме:

: <math>\mathbf{G} = 8 \pi  \mathbf{T}.</math>

Таким образом, уравнение Эйнштейна связывает геометрию пространства-времени (левая часть уравнения) с материей и её движением (правая часть).

Одним из существенных свойств уравнений Эйнштейна является их [[нелинейность]], приводящая к невозможности использования при их решении [[принцип суперпозиции|принципа суперпозиции]].

== Исторический очерк ==
Работа [[Эйнштейн, Альберт|Эйнштейна]] над теорией гравитации (общей теорией относительности), в одиночку и в соавторстве с рядом людей, длилась с [[1907 год]]а по [[1917 год]]. В середине этих усилий Эйнштейн понимает, что роль гравитационного потенциала должен играть псевдо-риманов [[метрический тензор]] на четырёхмерном пространстве-времени, а уравнение гравитационного поля должно быть тензорным, включающим тензор римановой кривизны и тензор энергии-импульса в качестве источника поля, сводясь в пределе малых энергий и стационарных полей к [[уравнение Пуассона|уравнению Пуассона]] ньютоновской теории гравитации. Затем, в [[1913 год в науке|1913 году]] вместе с [[Гроссман, Марсель|Гроссманом]] получает первый вариант таких уравнений (уравнения Эйнштейна — Гроссмана), совпадающий с правильным только для отсутствия вещества (или для вещества с бесследовым тензором энергии-импульса).

Летом [[1915 год в науке|1915 года]] Эйнштейн приехал в [[Гёттингенский университет]], где прочитал ведущим математикам того времени, в числе которых был и [[Гильберт, Давид|Гильберт]], лекции о важности построения физической теории гравитации и имевшихся к тому времени у него наиболее перспективных подходах к решению проблемы и её трудностях. Между Эйнштейном и Гильбертом завязалась переписка с обсуждением данной темы, которая значительно ускорила завершение работы по выводу окончательных уравнений поля. До недавнего времени считалось, что Гильберт получил эти уравнения на 5 дней раньше, но опубликовал позже: Эйнштейн представил в Берлинскую академию свою работу, содержащую правильный вариант уравнений, 25 ноября, а заметка Гильберта «Основания физики» была озвучена [[20 ноября]] [[1915 год]]а на докладе в Гёттингенском математическом обществе и передана Королевскому научному обществу в Гёттингене, за 5 дней до Эйнштейна (опубликована в [[1916 год]]у). Однако в [[1997 год]]у была обнаружена корректура статьи Гильберта от 6 декабря, из которой видно, что Гильберт выписал уравнения поля в классическом виде не на 5 дней раньше, а на 4 месяца позже Эйнштейна<ref>''Визгин В. П.'' [http://ufn.ru/ru/articles/2001/12/d/ Об открытии уравнений гравитационного поля Эйнштейном и Гильбертом (новые материалы)]. УФН, Том 171 № 12 (2001), стр. 1347—1363.</ref>. В ходе завершающей правки Гильберт также вставил в свою статью ссылки на параллельную декабрьскую работу Эйнштейна<ref name=E/>.

Сначала уравнения Эйнштейна решались приближённо, в частности, из них были выведены как классическая теория [[Ньютон, Исаак|Ньютона]], так и поправки к ней. Первые точные решения были получены [[Метрика Шварцшильда|Шварцшильдом]] для центрально-симметричного случая. Ряд решений был вскоре выведен в рамках релятивистской [[Космология|космологии]].

== Решения ==
{{main|Решения уравнений Эйнштейна}}
'''Решить уравнение Эйнштейна''' — значит найти вид [[метрический тензор|метрического тензора]] {{math|''g''<sub>μν</sub>}} пространства-времени. Задача ставится заданием [[Граничные условия|граничных условий]], координатных условий и написанием [[тензор энергии-импульса|тензора энергии-импульса]] {{math|''T''<sub>μν</sub>}}, который может описывать как точечный массивный объект, распределённую материю или энергию, так и всю Вселенную целиком. В зависимости от вида тензора энергии-импульса '''решения уравнения Эйнштейна''' можно разделить на вакуумные, полевые, распределённые, космологические и волновые. Существуют также чисто математические классификации решений, основанные на топологических или алгебраических свойствах описываемого ими пространства-времени, или, например, на алгебраической симметрии [[тензор Вейля|тензора Вейля]] данного пространства ([[классификация Петрова]]).

== См. также ==
* [[Математическая формулировка общей теории относительности]]
* [[Общая теория относительности]]
* [[Решения уравнений Эйнштейна]]

== Литература ==
* Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сборник статей. — М.: Мир, 1979.
* {{книга
 |автор         = Вейнберг С.
 |заглавие      = Гравитация и космология
 |оригинал      = Gravitation and Cosmology
 |место         = М.
 |издательство  = Мир
 |год           = 1975
 |страниц       = 695
}}
* ''Визгин В. П.'' Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование 1900—1915). — М.: Наука, 1981.
* ''Крамер Д. и др.'' Точные решения уравнений Эйнштейна. — М.: Мир, 1982. — 416 с.
* {{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|1988}}
* ''Паули В.'' Теория относительности. — М.: Наука, 1991.

== Примечания ==
{{примечания}}

{{Вклад Давида Гильберта в науку}}
[[Категория:Объекты, названные в честь Альберта Эйнштейна]]
[[Категория:Общая теория относительности]]
[[Категория:Именные законы и правила|Эйнштейна]]