Просмотр кода страницы Уравнения Навье — Стокса

{{Механика сплошных сред}}
'''Уравне́ния Навье́ — Сто́кса''' — система [[Дифференциальное уравнение в частных производных|дифференциальных уравнений в частных производных]], описывающая движение вязкой [[Ньютоновская жидкость|ньютоновской жидкости]]. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в [[гидродинамика|гидродинамике]] и применяются в [[математическое моделирование|математическом моделировании]] многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика [[Навье, Анри|Анри Навье]] и британского математика [[Стокс, Джордж Габриель|Джорджа Стокса]].

В случае [[Несжимаемая жидкость|несжимаемой жидкости]] система состоит из двух уравнений:
* [[Уравнение движения сплошной среды|уравнения движения]],
* [[Уравнение неразрывности#Гидродинамика и механика деформируемого твёрдого тела|уравнения неразрывности]].
В [[Гидродинамика|гидродинамике]] обычно уравнением Навье — Стокса называют только одно векторное уравнение движения<ref>{{книга |автор=Седов Л. И. |заглавие=Механика сплошной среды |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Sedov_MSS_t1_1970ru.djvu |место=М. |издательство=Наука |год=1970 |том=1 |страниц=492}}</ref><ref>Ландау, Лифшиц, с. 73.</ref><ref>{{книга |автор=[[Прандтль, Людвиг|Прандтль Л.]] |заглавие=Гидроаэромеханика |ссылка=http://libgen.org/book/index.php?md5=9B89B99CB6361E775F97B48B9F816F25 |место=М.–Ижевск |издательство=НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» |год=2000 |страниц=576 |страницы=147 |isbn=5-93972-015-2}}{{Недоступная ссылка|date=Июнь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}</ref><ref>{{книга |автор=[[Кочин, Николай Евграфович|Кочин Н. Е.]], [[Кибель, Илья Афанасьевич|Кибель И. А.]], [[Розе, Николай Владимирович|Розе Н. В.]] |заглавие=Теоретическая гидромеханика |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/KochinKibelRoze_ch2_1963ru.djvu |место=М. |издательство=Физматлит |год=1963 |том=2 |страниц=728 |страницы=387}}</ref><ref>{{книга |автор=[[Бэтчелор, Джордж|Бэтчелор Дж.]] |заглавие=Введение в динамику жидкости |ответственный=Пер. с англ. под ред. [[Степанов, Георгий Юрьевич|Г. Ю. Степанова]] |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Betchelor1973ru.djvu |место=М. |издательство=Мир |год=1973 |страниц=760 |страницы=194}}</ref><ref>{{Из БСЭ|заглавие=Навье — Стокса уравнения|автор=[[Тарг, Семён Михайлович|Тарг С. М.]]}}</ref>. Впервые уравнение Навье — Стокса было получено Навье (1822, несжимаемая жидкость<ref>{{статья |автор=Navier |заглавие= Mémoire sur les lois du mouvement des fluides |ссылка= http://gidropraktikum.narod.ru/navier-1827.djvu |издание= Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France |год= 1822 |том= 6 |язык=fr}}</ref>) и [[Пуассон, Симеон Дени|Пуассоном]] (1829, сжимаемая жидкость<ref>{{статья |автор= Poisson |заглавие= Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides |ссылка= http://gidropraktikum.narod.ru/poisson-1831.djvu |издание= Journal de l'École Polytechnique |год=1831 |том=13 |язык=fr}}</ref>), которые исходили из модельных представлений о молекулярных силах. Позже феноменологический вывод уравнения был дан [[Сен-Венан, Адемар Жан-Клод Барре де|Сен-Венаном]]<ref>{{статья |автор= de Saint-Venant |заглавие= Note à joindre au Mémoire sur la dynamique des fluides, présenté le 14 avril 1834 |ссылка= http://gidropraktikum.narod.ru/saint-venant-1843.djvu |издание= Comptes rendus |год=1843 |том=17 |номер=22 |язык=fr}}</ref> и Стоксом<ref>{{статья |автор= Stokes |заглавие= On the theories of internal friction of fluids in motion, and of the equilibrium and motion of elastic solids |ссылка= http://gidropraktikum.narod.ru/stokes-1845.djvu |издание= Transactions of the Cambridge Philosophical Society |год=1845 |том=8 |язык=en}}</ref>.

В векторном виде для жидкости они записываются следующим образом:
: <math>\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} = -(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} + \nu \Delta\vec{v} - \frac{1}{\rho} \nabla p + \vec{f},</math>
где <math>\nabla</math> — [[оператор набла]], <math>\Delta</math> — [[векторный оператор Лапласа]], <math>t</math> — время, <math>\nu</math> — коэффициент [[Кинематическая вязкость|кинематической вязкости]], <math>\rho</math> — [[плотность]], <math>p</math> — [[давление]], <math>\vec{v} = (v^1,\;\ldots,\;v^n)</math> — [[векторное поле]] скорости, <math>\vec{f}</math> — векторное поле [[массовая сила|массовых сил]]. Неизвестные <math>p</math> и <math>\vec{v}</math> являются функциями времени <math>t</math> и координаты <math>x \in \Omega</math>, где <math>\Omega \subset \R^n</math>, <math>n = 2,\;3</math> — плоская или трёхмерная область, в которой движется жидкость.

Для несжимаемой жидкости уравнения Навье — Стокса следует дополнить [[Уравнение неразрывности|уравнением несжимаемости]]:
: <math>\nabla \cdot \vec{v} = 0.</math>

Обычно в систему уравнений Навье — Стокса добавляют краевые и начальные условия, например:
: <math>\vec{v}|_{\partial\Omega} = 0,</math>
: <math>\vec{v}|_{t=0} = \vec{v}_0.</math>
Иногда в систему уравнений Навье — Стокса дополнительно включают уравнение теплопроводности и уравнение состояния.
<!--:<math> \frac{\partial T}{\partial t} = a \nabla T + ( \eta / c_p ) \cdot \Phi + Q1 / c_p \rho  </math>-->
<!--:<math>T</math> — температура, <math>c_p</math> — [[теплоемкость]] при постоянном давлении…-->

При учёте сжимаемости уравнения Навье — Стокса принимают следующий вид:
: <math>\rho\left(\frac{\partial v_i}{\partial t} + v_k \frac{\partial v_i}{\partial x_k}\right) = -\frac{\partial p}{\partial x_i} + \frac{\partial}{\partial x_k} \left\{\eta\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i} - \frac{2}{3} \delta_{ik} \frac{\partial v_l}{\partial x_l}\right)\right\} + \frac{\partial}{\partial x_k} \left(\zeta\frac{\partial v_l}{\partial x_l} \delta_{ik}\right),</math>
где <math>\eta</math> — коэффициент динамической вязкости (сдвиговая [[вязкость]]), <math>\zeta</math> — «вторая [[вязкость]]», или [[объёмная вязкость]], <math>\delta_{ik}</math> — [[Символ Кронекера|дельта Кронекера]]. Это уравнение при условии постоянства вязкостей <math>\eta</math> и <math>\zeta</math> сводится к векторному уравнению
: <math>\rho \left(\frac{\partial \vec v}{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla) \vec v \right) = 
- \nabla p + \eta \Delta\vec v + \left(\zeta + \frac{\eta}{3}\right) \nabla\operatorname{div}\vec v.</math>

[[Уравнение неразрывности]] для сжимаемой жидкости примет вид
: <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec v) = 0.</math>

== Анализ и решение уравнений ==
{{Main|Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса}}
В анализе решений уравнений заключается суть одной из семи «[[Проблемы тысячелетия|проблем тысячелетия]]», за решение которых [[Математический институт Клэя]] назначил премию в 1 млн долларов США. Необходимо доказать или опровергнуть существование глобального гладкого решения [[Задача Коши|задачи Коши]] для трёхмерных уравнений Навье — Стокса. Нахождение общего аналитического решения системы Навье — Стокса для пространственного или плоского потока осложняется тем, что оно нелинейное и сильно зависит от начальных и граничных условий.

Некоторые точные решения:
# Стационарные течения в простых каналах ([[течение Пуазёйля]], [[течение Куэтта — Тейлора]], [[течение Куэтта]] и пр.).
# ''Солитоны и нелинейные волны''. Обычный [[солитон]] может{{нет АИ|20|05|2013}} являться решением системы при очень сложных граничных условиях. Впервые он наблюдался экспериментально в канале инженером Скотом Расселом.
# ''Решение, которое существует конечное время'' (так называемые «режимы с обострением», {{lang-en|blow-up}}). Гипотеза об этом выдвинута [[Лере, Жан|Жаном Лере]] ({{lang-fr|Jean Leray}}) в 1933 году. Он предположил, что в жидкости турбулентность ([[хаос]]) образуется благодаря образованию точек или вихревой нити, на которой некоторая компонента скорости становится бесконечной.
# ''Звуковые колебания''. При малой амплитуде волн они также становятся решением{{нет АИ|20|05|2013}}. Нелинейные члены уравнения можно отбросить, так как они не влияют на решение. Решением являются гармонические функции синуса или косинуса, то есть звуковые колебания.

В 2017 году сотрудник [[Государственный астрономический институт имени П. К. Штернберга|Государственного астрономического института имени П. К. Штернберга МГУ имени М. В. Ломоносова]] обнаружил схожую структуру в [[Уравнения Эйлера — Пуассона|уравнении Эйлера — Пуассона]] и уравнении Эйлера и Навье — Стокса, опубликовал в журнале [[Acta Mechanica]] издательства [[Springer Science+Business Media|Springer]]<ref>[http://sai.msu.ru/news/2017/05/18/ns_equations.html Астроном МГУ связал между собой уравнения из разных разделов механики].</ref>.

== Основные свойства системы Навье — Стокса ==
# При превышении [[число Рейнольдса|числа Рейнольдса]] некоторой критической величины аналитическое точное решение для пространственного или плоского потока даёт хаотический вид течения (так называемая [[турбулентность]]). В частном случае оно связано с [[сценарий Фейгенбаума|теорией Фейгенбаума]] или другими сценариями перехода к хаосу. При уменьшении числа Рейнольдса ниже критического решение опять даёт нехаотический вид течения.
# Исключительная чувствительность к изменению коэффициентов уравнения при турбулентном режиме: при изменении числа Re на 0,05 % решения совершенно отличаются друг от друга.

== Применение ==
Будучи дополненной уравнениями [[теплопроводность|переноса тепла]] и [[диффузия|переноса массы]], а также соответствующих массовых сил, система уравнений Навье — Стокса может описывать [[конвекция|конвекцию]], [[термодиффузия|термодиффузию]] в жидкостях, поведение многокомпонентных [[смесь|смесей]] различных жидкостей и т. п.

Если же в уравнение в качестве массовой силы ввести [[сила Лоренца|силу Лоренца]] и дополнить систему [[уравнения Максвелла|уравнениями Максвелла]] для поля в сплошной среде, то модель позволяет описывать явления электро- и [[Магнитная гидродинамика|магнитогидродинамики]]. В частности, такие модели успешно применяются при моделировании поведения [[плазма|плазмы]], [[межзвёздный газ|межзвёздного газа]].

Система уравнений Навье — Стокса лежит в основе [[геофизическая гидродинамика|геофизической гидродинамики]], в том числе, применяется для описания течений в [[мантия Земли|мантии Земли]] («проблема [[динамо-эффект|динамо]]»).

Также вариации уравнения Навье — Стокса используются в [[динамическая метеорология|динамической метеорологии]] для описания движения воздушных масс атмосферы, в частности при формировании прогноза погоды. Для описания реальных течений в различных технических устройствах приемлемую точность численного решения можно получить только при такой расчётной сетке, ячейки которой меньше самого мелкого вихря. Это требует очень больших затрат расчётного времени на современных компьютерах. Поэтому были созданы различные [[модели турбулентности]], упрощающие расчёт реальных потоков.

== См. также ==
* [[Открытые математические проблемы]]
* [[Уравнение Эйлера]] (для невязкой жидкости)
* [[Метод решёточных уравнений Больцмана]]
* [[Уравнения мелкой воды]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
|автор          = Темам Р.
|заглавие       = Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ
|издание        = 2-е изд
|место          = М.
|издательство = Мир
|год = 1981
|страниц = 408
}}
* {{Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Гидродинамика|1988}}
* {{книга
|автор          = Кутепов А. М., Стерман Л. С., Стюшин Н. Г.
|заглавие       = Гидродинамика и теплообмен при парообразовании
|издание        = 3-е изд., испр
|место          = М.
|издательство = Высшая школа
|год = 1986
|страниц = 448
}}
* {{книга
|автор          = Кутепов А. М., Полянин А. Д., Запрянов З. Д., Вязьмин А. В., Казенин Д. А.
|заглавие       = Химическая гидродинамика
|место          = М.
|издательство = Квантум
|год = 1996
|страниц = 336
|тираж = 1500
}}
* {{Статья |автор = Durmagambetov A. A. |заглавие = Navier-Stokes Equations—Millennium Prize Problems |издание = Natural Science. Scientific Research an Academic Publisher |год = 2015 |том = 7 |номер = 2 |страницы = 88—99 |issn = |doi = 10.4236/ns.2015.72010 |автор издания = Asset A. Durmagambetov, Leyla S. Fazilova}}

== Ссылки ==
{{Математическая физика}}

[[Категория:Гидродинамика]]
[[Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных|Навье — Стокса]]
[[Категория:Физические законы и уравнения|Навье — Стокса]]
[[Категория:Нелинейные уравнения|Навье — Стокса]]
[[Категория:Логические гипотезы]]
[[Категория:Именные законы и правила|Навье — Стокса]]