Просмотр кода страницы Уравнения Максвелла

{{Электродинамика}}
'''Уравне́ния Ма́ксвелла''' — [[система уравнений]] в [[Дифференциальное уравнение|дифференциальной]] или [[Интегральное уравнение|интегральной]] форме, описывающих [[электромагнитное поле]] и его связь с [[электрический заряд|электрическими зарядами]] и [[электрический ток|токами]] в [[вакуум]]е и [[сплошная среда|сплошных средах]]. Вместе с выражением для [[сила Лоренца|силы Лоренца]], задающим меру воздействия электромагнитного поля на заряженные частицы, эти уравнения образуют полную систему уравнений [[классическая физика|классической]] [[электродинамика|электродинамики]], называемую иногда уравнениями Максвелла — Лоренца. Уравнения, сформулированные [[Максвелл, Джеймс Клерк|Джеймсом Клерком Максвеллом]] на основе накопленных к середине [[XIX век]]а экспериментальных результатов, сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали сильное, зачастую решающее влияние не только на все области физики, непосредственно связанные с [[электромагнетизм]]ом, но и на многие возникшие впоследствии фундаментальные теории, предмет которых не сводился к электромагнетизму (одним из ярчайших примеров здесь может служить [[специальная теория относительности]]).

== История ==
[[Файл:James Clerk Maxwell.jpg|thumb|right|Джеймс Клерк Максвелл]]
Уравнения, сформулированные [[Максвелл, Джеймс Клерк|Джеймсом Клерком Максвеллом]], возникли на основе ряда важных экспериментальных открытий, которые были сделаны в начале [[XIX век]]а. В [[1820 год в науке|1820 году]] [[Эрстед, Ганс Христиан|Ганс Христиан Эрстед]] [[Опыт Эрстеда|обнаружил]]<ref>[[Эрстед, Ганс Христиан|Эрстед Г. Х.]] «Опыты, относящиеся к действию электрического конфликта на магнитную стрелку», в кн. {{Книга:Ампер A.M.: Электродинамика|страницы=433-439}}</ref>, что пропускаемый через провод [[Гальванический элемент|гальванический]] ток заставляет отклоняться магнитную стрелку компаса. Это открытие привлекло широкое внимание учёных того времени. В том же 1820 году [[Био, Жан Батист|Био]] и [[Савар, Феликс|Савар]] экспериментально нашли выражение<ref>[[Био, Жан Батист|J.-B. Biot]] and [[Савар, Феликс|F. Savart]], [http://www.ampere.cnrs.fr/ice/ice_page_detail.php?lang=fr&type=text&bdd=ampere&table=ampere_text&bookId=7&typeofbookDes=Textessci&pageOrder=71&facsimile=off&search=no Note sur le Magnétisme de la pile de Volta]. — Annales Chim. Phys. — vol. 15. — pp. 222—223 (1820)</ref> для порождаемой током магнитной индукции ([[закон Био — Савара]]), а [[Ампер, Андре Мари|Андре Мари Ампер]] обнаружил также, что [[Закон Ампера|взаимодействие]] на расстоянии возникает между двумя проводниками, по которым пропускается ток. Ампер ввёл термин «[[Электродинамика|электродинамический]]» и выдвинул гипотезу, что природный магнетизм связан с существованием в магните круговых токов<ref>{{Книга:Марио Льоцци: История физики|страницы=253-257}}</ref>.

Влияние тока на магнит, обнаруженное Эрстедом, привело [[Фарадей, Майкл|Майкла Фарадея]] к идее о том, что должно существовать обратное влияние магнита на токи. После длительных экспериментов, в [[1831 год в науке|1831 году]], Фарадей открыл, что перемещающийся возле проводника магнит порождает в проводнике [[электрический ток]]. Это явление было названо [[Электромагнитная индукция|электромагнитной индукцией]]. Фарадей ввёл понятие «[[Поле (физика)|поля сил]]» — некоторой среды, находящейся между [[Электрический заряд|зарядами]] и [[Электрический ток|токами]]. Его рассуждения носили качественный характер, однако они оказали огромное влияние на исследования Максвелла.

После открытий Фарадея стало ясно, что старые модели электромагнетизма ([[Ампер, Андре Мари|Ампер]], [[Пуассон, Симеон Дени|Пуассон]] и др.) неполны. Вскоре появилась теория [[Вебер, Вильгельм Эдуард|Вебера]], основанная на [[дальнодействие|дальнодействии]]. Однако к этому моменту вся физика, кроме [[Закон всемирного тяготения|теории тяготения]], имела дело только с близкодействием (оптика, термодинамика, механика сплошных сред и др.). [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]], [[Риман, Георг Фридрих Бернхард|Риман]] и ряд других учёных высказывали догадки, что свет имеет электромагнитную природу, так что теория электромагнитных явлений тоже должна быть близкодейственной. Этот принцип стал существенной особенностью теории Максвелла.

В своём знаменитом «Трактате об электричестве и магнетизме» ([[1873]]) Максвелл писал<ref>{{Книга:Максвелл Дж.К.: Избранные сочинения|страницы=349}}</ref>:
<blockquote>Приступая к изучению труда Фарадея, я установил, что его метод понимания явлений был так же математическим, хотя и не представленным в форме обычных математических символов. Я также нашёл, что этот метод можно выразить в обычной математической форме и таким образом сравнить с методами профессиональных математиков.</blockquote>

Заменяя фарадеевский термин «поле сил» на понятие «напряжённость поля», Максвелл сделал его ключевым объектом своей теории<ref>{{Книга:Максвелл Дж.К.: Избранные сочинения|страницы=632}}</ref>:
<blockquote>Если мы примем эту среду в качестве гипотезы, я считаю, что она должна занимать выдающееся место в наших исследованиях, и что нам следовало бы попытаться сконструировать рациональное представление о всех деталях её действия, что и было моей постоянной целью в этом трактате.</blockquote>

Подобная электродинамическая среда явилась абсолютно новым понятием для ньютоновской физики. Последняя изучала взаимодействие между собой материальных тел. Максвелл же записал уравнения, которым должна подчиняться среда, определяющая взаимодействие [[Электрический заряд|зарядов]] и [[Электрический ток|токов]] и существующая даже в их отсутствие.

[[Файл:Electromagnetism.svg|thumb|200px|Электрический ток создаёт магнитную индукцию (закон Ампера)]]
Анализируя известные эксперименты, Максвелл получил систему уравнений для электрического и магнитного полей. В [[1855 год]]у в своей самой первой статье «О фарадеевых силовых линиях»<ref>''Максвелл Дж. К.'' О фарадеевых силовых линиях в кн. {{Книга:Максвелл Дж.К.: Избранные сочинения|страницы=11—88}}</ref> («On Faraday’s Lines of Force»<ref>
{{статья|автор =Maxwell J. C.|заглавие =On Faraday's Lines of Force|оригинал =|ссылка =http://blazelabs.com/On%20Faraday's%20Lines%20of%20Force.pdf|издание =Transactions of the Cambridge Philosophical Society|тип =|место =|год =1856|том =10|номер =1|страницы =155—229|archiveurl=https://web.archive.org/web/20081217035457/http://blazelabs.com/On%20Faraday's%20Lines%20of%20Force.pdf|archivedate=2008-12-17|deadlink=404}}</ref>) он впервые записал в дифференциальной форме систему уравнений электродинамики, но не вводя ещё [[Ток смещения (электродинамика)|ток смещения]]. Такая система уравнений описывала все известные к тому времени экспериментальные данные, но не позволяла связать между собой заряды и токи и предсказать [[электромагнитные волны]]<ref name="Shapiro">{{статья|автор = Шапиро И. С.|заглавие =К истории открытия уравнений Максвелла |оригинал =|ссылка =http://ufn.ru/ufn72/ufn72_10/Russian/r7210f.pdf|издание = УФН|тип =|место =|год =1972|том = 108|номер = 2|страницы = 319—333}}</ref>. Впервые ток смещения был введён Максвеллом в работе «О физических силовых линиях»<ref>''Максвелл Дж. К.'' О физических силовых линиях в кн. {{Книга:Максвелл Дж.К.: Избранные сочинения|страницы=107—177}}</ref> («On Physical Lines of Force»<ref>{{статья|автор =Maxwell J. C.|заглавие =On Physical Lines of Force|оригинал =|ссылка =http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/On_Physical_Lines_of_Force.pdf|издание =Philosophical Magazine|тип =Ser. 4|место =|год =1861,1862|том =11,13|номер =|страницы =161—175, 281—291, 338—347; 12—23, 85—95}}</ref>), состоящей из четырёх частей и опубликованной в 1861—1862 годах. Обобщая [[закон Ампера]], Максвелл вводит [[Ток смещения (электродинамика)|ток смещения]], вероятно, чтобы связать токи и заряды [[уравнение непрерывности|уравнением непрерывности]], которое уже было известно для других физических величин<ref name="Shapiro"/>. Следовательно, в этой статье фактически была завершена формулировка полной системы уравнений электродинамики. В статье [[1864 год]]а «Динамическая теория электромагнитного поля»<ref>''Максвелл Дж. К.'' Динамическая теория электромагнитного поля в кн. {{Книга:Максвелл Дж.К.: Избранные сочинения|страницы=251—316}}</ref> («A dynamical theory of the electromagnetic field»<ref>{{статья |заглавие=A dynamical theory of the electromagnetic field |ссылка=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/A_Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field.pdf |издание=[[Philosophical Transactions of the Royal Society|Philosophical Transactions of the Royal Society of London]] |том=155 |страницы=459—512 |язык=en |автор=Maxwell J. C. |год=1865 |тип=journal}}</ref>) рассмотрена сформулированная ранее система уравнений из 20 скалярных уравнений для 20 скалярных неизвестных. В этой статье Максвелл впервые сформулировал понятие электромагнитного поля как физической реальности, имеющей собственную энергию и конечное время распространения, определяющее запаздывающий характер электромагнитного взаимодействия<ref name="Shapiro"/>.

[[Файл:Induction1.jpg|thumb|200px|Переменный поток магнитного поля создаёт электрическое поле (закон Фарадея)]]
Оказалось, что не только ток, но и изменяющееся со временем [[электрическое поле]] (ток смещения) порождает [[магнитное поле]]. В свою очередь, в силу [[Электромагнитная индукция|закона Фарадея]], изменяющееся магнитное поле снова порождает электрическое. В результате, в пустом пространстве может распространяться [[электромагнитная волна]]. Из уравнений Максвелла следовало, что её скорость равна [[скорость света|скорости света]], поэтому Максвелл сделал вывод об электромагнитной природе света.

Часть физиков выступила против теории Максвелла (особенно много возражений вызвала концепция тока смещения). [[Гельмгольц, Герман Людвиг Фердинанд|Гельмгольц]] предложил свою теорию, компромиссную по отношению к моделям Вебера и Максвелла, и поручил своему ученику [[Герц, Генрих Рудольф|Генриху Герцу]] провести её экспериментальную проверку. Однако опыты Герца однозначно подтвердили правоту Максвелла.

Максвелл не использовал [[Вектор (математика)|векторных]] обозначений и записывал свои уравнения в достаточно громоздком компонентном виде. В своём трактате<ref>''Maxwell J. C.'' A Treatise on Electricity And Magnetism, 1873</ref> он, кроме того, частично использовал [[кватернионы|кватернионную]] формулировку. Современная форма уравнений Максвелла появилась около [[1884 год в науке|1884 года]] после работ [[Хевисайд, Оливер|Хевисайда]], [[Герц, Генрих Рудольф|Герца]] и [[Гиббс, Джозайя Уиллард|Гиббса]]. Они не только переписали систему Максвелла в векторном виде, но и симметризовали её, переформулировав в терминах поля, избавившись от [[электрический потенциал|электрического]] и [[векторный потенциал#Уравнения Максвелла|магнитного]] потенциалов, игравших в теории Максвелла существенную роль, поскольку полагали, что эти функции являются лишь ненужными вспомогательными математическими абстракциями<ref>{{cite book | title = Oliver Heaviside: the life, work, and times of an electrical genius of the Victorian age | last = Paul J. Nahin | publisher = JHU Press | year = 2002 | isbn = 9780801869099 | pages = 108–112 | url = https://books.google.com/books?id=e9wEntQmA0IC&pg=PA109}}</ref>. Интересно, что современная физика поддерживает Максвелла, но не разделяет негативное отношение его ранних последователей к потенциалам. [[Электромагнитный потенциал]] играет важную роль в [[квантовая физика|квантовой физике]] и проявляется как физически измеряемая величина в некоторых экспериментах, например, в [[Эффект Ааронова — Бома|эффекте Ааронова — Бома]]<ref>{{статья |заглавие=Significance of electromagnetic potentials in quantum theory |издание=[[Physical Review]] |том=115 |страницы=485—491 |doi=10.1103/PhysRev.115.485 |язык=en |тип=journal |автор=Aharonov, Y; Bohm, D. |год=1959}}</ref>.

Система уравнений в формулировке Герца и Хевисайда некоторое время называлась уравнениями Герца — Хевисайда<ref>''Nahin P. J.'' [https://books.google.com/books?id=e9wEntQmA0IC&pg=PA111&dq=nahin+hertz-heaviside+maxwell-hertz&ei=R3c4SpePAojElQSWt-i8BQ#PPA112,M1 Oliver Heaviside: the life, work, and times of an electrical genius of the Victorian age]. — JHU Press. — pp. 108—112. — ISBN 978-0-8018-6909-9</ref>. [[Эйнштейн, Альберт|Эйнштейн]] в классической статье «К электродинамике движущихся тел»<ref name="Einstein">''Einstein A.'' Zur Elektrodynamik bewegter Körper Ann Phys. — 1905. — Bd 17. — S. 891. Перевод: ''[[Эйнштейн, Альберт|Эйнштейн А.]]'' [http://path-2.narod.ru/02/03/kedt.pdf К электродинамике движущихся тел] в {{Книга:Эйнштейн А.: Собрание научных трудов|Т=1|страницы=7-35}}</ref> назвал их уравнениями Максвелла — Герца. Иногда в литературе встречается также название уравнения Максвелла — Хевисайда<ref>{{cite book|title = Modern nonlinear optics|author = Myron Evans| publisher = John Wiley and Sons | year = 2001| isbn = 9780471389316 | page = 240 | url = https://books.google.com/books?id=9p0kK6IG94gC&pg=PA240&dq=maxwell-heaviside+equations&lr=&as_brr=0&ei=wXc4SqfQHZ-OkATL2pi9BQ}}</ref>.

Уравнения Максвелла сыграли важную роль при возникновении [[специальная теория относительности|специальной теории относительности]] (СТО). [[Лармор, Джозеф|Джозеф Лармор]] ([[1900 год в науке|1900 год]])<ref>''Larmor J.'' Aether and matter. — Cambridge. — 1900. — p. 162—193. Перевод: ''Лармор Дж.'' Эфир и материя в кн. {{Книга:Принцип относительности|страницы=47-64}}</ref> и независимо от него [[Лоренц, Хендрик Антон|Хенрик Лоренц]] ([[1904 год в науке|1904 год]])<ref>''Lorentz H. A.'' Electromagnetic Phenomena in a System Moving with any Velocity Smaller than that of Light. — Amst. Proc. — V. 6. — P. 809; 1904. — V. 12. — P. 986. Перевод: ''Лоренц Г. А.'' Электромагнитные явления в системе, движущейся с любой скоростью, меньшей скорости света в кн. {{Книга:Принцип относительности|страницы=67-86}}</ref> нашли преобразования координат, времени и электромагнитных полей, которые оставляют уравнения Максвелла инвариантными при переходе от одной [[инерциальная система отсчёта|инерциальной системы отсчёта]] к другой. Эти преобразования отличались от [[преобразования Галилея|преобразований Галилея]] классической механики и, с подачи [[Пуанкаре, Анри|Анри Пуанкаре]]<ref>''Poincare H.'' Sur la dynainique de l’electron. — Comptes Rendues, Acad. Sci. — Paris. — 1905. — V. 140. — P. 1504. Перевод: ''Пуанкаре А.'' О динамике электрона в кн. {{Книга:Принцип относительности|страницы=90-93}}</ref>, стали называться [[преобразования Лоренца|преобразованиями Лоренца]]. Они стали математическим фундаментом [[специальная теория относительности|специальной теории относительности]].

Распространение электромагнитных волн со [[скорость света|скоростью света]] первоначально интерпретировалось как возмущения некоторой среды, так называемого [[Эфир (физика)|эфира]]<ref>{{Книга:Паули В.: Теория относительности|страницы=13-17}}</ref>. Были предприняты многочисленные попытки (см.[[Специальная теория относительности#Исторический очерк|исторический обзор]]) обнаружить движение Земли относительно эфира, однако они неизменно давали отрицательный результат.<ref>Исключением явились эксперименты Миллера на горе Маунт Вильсон. В дальнейшем повторение этих экспериментов другими исследователями на более точной аппаратуре эффекта не выявили. См. [http://www.ufn.ru/ru/articles/1932/1/g Повторения опыта Майкельсона]</ref> Поэтому [[Пуанкаре, Анри|Анри Пуанкаре]] высказал гипотезу о принципиальной невозможности обнаружить подобное движение ([[принцип относительности]]). Ему же принадлежит постулат о независимости скорости света от скорости его источника и вывод (вместе с Лоренцем), исходя из сформулированного так принципа относительности, точного вида [[преобразования Лоренца|преобразований Лоренца]] (при этом были показаны и групповые свойства этих преобразований). Эти две гипотезы (постулата) легли и в основу статьи [[Эйнштейн, Альберт|Альберта Эйнштейна]] ([[1905 год в науке|1905 год]])<ref name="Einstein" />. С их помощью он также вывел преобразования Лоренца и утвердил их общефизический смысл, особо подчеркнув возможность их применения для перехода из любой инерциальной системы отсчёта в любую другую инерциальную. Эта работа фактически ознаменовала собой построение специальной теории относительности. В СТО преобразования Лоренца отражают общие свойства пространства и времени, а [[Эфир (физика)|модель эфира]] оказывается ненужной. Электромагнитные поля являются самостоятельными объектами, существующими наравне с материальными частицами.

Классическая электродинамика, основанная на уравнениях Максвелла, лежит в основе многочисленных приложений электро- и радиотехники, СВЧ и оптики. До настоящего времени не было обнаружено ни одного эффекта, который потребовал бы видоизменения уравнений. Они оказываются применимы и в квантовой механике, когда рассматривается движение, например, заряженных частиц во внешних электромагнитных полях. Поэтому уравнения Максвелла являются основой микроскопического описания электромагнитных свойств вещества.

Уравнения Максвелла востребованы также в астрофизике и космологии, поскольку многие [[магнитное поле планет|планеты]] и [[магнитные звёзды|звезды]] обладают магнитным полем. Магнитное поле определяет, в частности, свойства таких объектов, как [[пульсар]]ы и [[квазар]]ы.

На современном уровне понимания все фундаментальные частицы являются квантовыми возбуждениями («квантами») различных полей. Например, [[фотон]] — это квант электромагнитного поля, а [[электрон]] — квант [[Спинор|спинорного поля]]<ref>{{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Квантовая электродинамика|2002}}</ref>. Поэтому полевой подход, предложенный Фарадеем и существенно развитый Максвеллом, является основой современной физики фундаментальных частиц, в том числе её [[стандартная модель|стандартной модели]].

Исторически несколько раньше он сыграл важную роль в появлении квантовой механики в [[уравнение Шрёдингера|формулировке Шрёдингера]] и вообще открытии квантовых уравнений, описывающих движение частиц, в том числе и релятивистских ([[уравнение Клейна — Гордона]], [[уравнение Дирака]]), хотя первоначально аналогия с уравнениями Максвелла здесь виделась скорее лишь в общей идее, тогда как впоследствии оказалось, что она может быть понята как более конкретная и детальная (как это описано выше).

Также полевой подход, в целом восходящий к Фарадею и Максвеллу, стал центральным в теории гравитации (включая [[Общая теория относительности|ОТО]]).

== Запись уравнений Максвелла и системы единиц ==
Запись большинства уравнений в физике не зависит от выбора [[Система единиц|системы единиц]]. Однако в электродинамике это не так. В зависимости от выбора системы единиц в уравнениях Максвелла возникают различные коэффициенты (константы). [[Международная система единиц]] (СИ) является стандартом в технике и преподавании, однако споры среди физиков о её достоинствах и недостатках по сравнению с конкурирующей системой единиц [[СГС]] не утихают<ref>{{книга
| автор          = [[Окунь, Лев Борисович|Л. Б. Окунь]]
| часть          = Приложение I
| заглавие       = Физика элементарных частиц
| ссылка         = 
| издание        = 
| место          = М.
| издательство = Наука
| год = 1984
| страниц =
| серия =
| isbn =
| тираж =
}}</ref>; здесь и всюду далее под СГС подразумевается исключительно симметричная гауссова система СГС. Преимущество системы СГС в электродинамике состоит в том, что все поля в ней имеют одну [[размерность физической величины|размерность]], а уравнения, по мнению многих учёных, записываются проще и естественней<ref name="Sivukh">{{статья|автор=[[Сивухин, Дмитрий Васильевич|Д. В. Сивухин]]|заглавие=О международной системе физических величин|ссылка=http://ufn.ru/ru/articles/1979/10/h/|язык=ru|издание=[[УФН]]|год=1979|том=129|номер=10|страницы=335}}</ref>. Поэтому СГС продолжает применяться в научных публикациях по электродинамике и в преподавании теоретической физики, например, в [[Курс теоретической физики Ландау и Лифшица|курсе теоретической физики Ландау и Лифшица]]. Однако для практических применений вводимые в СГС единицы измерений, многие из которых неименованы и неоднозначны, часто неудобны. Система СИ стандартизована и лучше самосогласованна, на этой системе построена вся современная [[метрология]]<ref name="Karsh">{{статья|автор=С. Г. Каршенбойм|заглавие=Фундаментальные физические константы: роль в физике и метрологии и рекомендованные значения|ссылка=http://ufn.ru/ru/articles/2005/3/c/|язык=ru|издание=[[УФН]]|год=2005|том=175|номер=3|страницы=271}}</ref>. Кроме того, система СИ обычно используется в курсах общей физики. В связи с этим все соотношения, если они по-разному записываются в системах СИ и СГС, далее приводятся в двух вариантах.

Иногда (например, в «[[Фейнмановские лекции по физике|Фейнмановских лекциях по физике]]», а также в современной квантовой теории поля) применяется система единиц, в которой скорость света, электрическая и магнитная постоянные принимаются за единицу (<math>c = \varepsilon_0 = \mu_0 = 1</math>). В такой системе уравнения Максвелла записываются вообще без коэффициентов, все поля имеют единую размерность, а все потенциалы — свою единую. Такая система особенно удобна в ковариантной четырёхмерной формулировке законов электродинамики через [[4-потенциал]] и [[Тензор электромагнитного поля|4-тензор электромагнитного поля]].

== Уравнения Максвелла в дифференциальной форме ==
Уравнения Максвелла представляют собой в векторной записи систему из четырёх уравнений, сводящуюся в компонентном представлении к восьми (два векторных уравнения содержат по три компоненты каждое плюс два скалярных<ref>То есть содержащих дивергенции векторных полей, являющиеся скалярами.</ref>) линейным [[Дифференциальное уравнение в частных производных|дифференциальным уравнениям в частных производных]] первого [[Порядок дифференциального уравнения|порядка]] для 12 компонент четырёх [[Вектор (математика)|векторных]] функций (<math>\mathbf{D},\;\mathbf{E},\;\mathbf{H},\;\mathbf{B}</math>):
{|  class="standard" | width="100%"
|-
! width="%15"| <center>Название</center>
! width="%25"| <center>[[СГС]]</center>
! width="%25"| <center>[[СИ]]</center>
! width="%35"| <center>Примерное словесное выражение</center>
|-
! [[Теорема Гаусса#Теорема Гаусса для электрической индукции (электрическое смещение)|Закон Гаусса]]
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{D}=4\pi \rho</math>
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{D}= \rho</math>
| Электрический заряд является источником электрической индукции.
|-
! [[Теорема Гаусса#Теорема Гаусса для магнитной индукции|Закон Гаусса для магнитного поля]]
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>
| Магнитные заряды не обнаружены.<ref name="monopol">Если свободные магнитные [[Магнитный монополь|монополи]] будут экспериментально обнаружены, это потребует введения в закон Гаусса для магнитного поля плотности магнитных зарядов и плотности их токов в закон индукции Фарадея.</ref>
|-
! [[Электромагнитная индукция|Закон индукции Фарадея]]
|
: <math>\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\,\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math>
|
: <math>\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math>
| Изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.<ref name="monopol" />
|-
! [[Теорема о циркуляции магнитного поля#Обобщение|Теорема о циркуляции магнитного поля]]
|
: <math>\nabla\times\mathbf{H}=\frac{4\pi}{c} \mathbf{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}</math>
|
: <math>\nabla\times\mathbf{H}= \mathbf{j}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}</math>
| Электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле
|}

Жирным шрифтом в дальнейшем обозначаются [[Вектор (математика)|векторные]] величины, курсивом — [[скаляр]]ные.

Введённые обозначения:
* <math>\rho\ </math> — объёмная плотность стороннего [[электрический заряд|электрического заряда]] (в единицах [[СИ]] — [[Кулон|Кл]]/[[метр|м]]³);
* <math>\mathbf{j}</math> — [[плотность электрического тока]] (плотность тока проводимости) (в единицах СИ — [[Ампер|А]]/м²); в простейшем случае — случае тока, порождаемого одним типом носителей [[Электрический заряд|заряда]], она выражается просто как <math>\mathbf{j}=\mathbf{u}\rho_1</math>, где <math>\mathbf{u}</math> — (средняя) [[скорость]] движения этих носителей в окрестности данной точки, <math>\rho_1</math> — плотность заряда этого типа носителей (она в общем случае не совпадает с <math>\rho</math>)<ref>Например, в проводнике обычно присутствуют носители заряда как минимум двух типов разного знака, поэтому суммарная плотность заряда в проводнике может быть равна нулю, а ток тем не менее может присутствовать (и его плотность тогда нулю не равна).</ref>; в общем случае это выражение надо усреднить по разным типам носителей;
* <math>c</math> — [[скорость света]] в вакууме (299 792 458 [[метр|м]]/[[секунда|с]]);
* <math>\mathbf E</math> — [[напряжённость электрического поля]] (в единицах СИ — [[Вольт (единица измерения)|В]]/м);
* <math>\mathbf H</math> — [[напряжённость магнитного поля]] (в единицах СИ — А/м);
* <math>\mathbf D</math> — [[электрическая индукция]] (в единицах СИ — Кл/м²);
* <math>\mathbf B</math> — [[магнитная индукция]] (в единицах СИ — [[Тесла (единица измерения)|Тл]] = [[Вебер (единица измерения)|Вб]]/м² = [[Килограмм|кг]]•[[Секунда (единица измерения времени)|с]]<sup>−2</sup>•А<sup>−1</sup>);
* <math>\nabla </math> — дифференциальный [[оператор набла]], при этом:
*: <math>\nabla\times \mathbf{E} \equiv \mathrm{rot}\,\mathbf{E} </math> означает [[Ротор (математика)|ротор]] вектора <math>\mathbf E</math>,
*: <math>\nabla\cdot\mathbf{E}\equiv\mathrm{div}\,\mathbf{E}</math> означает [[Дивергенция|дивергенцию]] вектора '''<math>\mathbf E</math>'''.
Приведённые выше уравнения [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелла]] не составляют ещё полной системы уравнений [[электромагнитное поле|электромагнитного поля]], поскольку они не содержат свойств среды, в которой возбуждено [[электромагнитное поле]]. Соотношения, связывающие величины <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{B}</math>, <math>\mathbf{D}</math>, <math>\mathbf{H}</math> и <math>\mathbf{j}</math> и учитывающие индивидуальные свойства среды, называются [[Уравнения Максвелла#Материальные уравнения|материальными уравнениями]].

== Уравнения Максвелла в интегральной форме ==
При помощи [[Формула Гаусса — Остроградского|формулы Остроградского — Гаусса]] и [[Теорема Стокса|теоремы Стокса]] дифференциальным уравнениям Максвелла можно придать форму [[Интегральное уравнение|интегральных уравнений]]:

{| class="standard" | width="100%"
|-
! width="%15"| <center>Название</center>
! width="%25"| <center>[[СГС]]</center>
! width="%25"| <center>[[СИ]]</center>
! width="%35"| Примерное словесное выражение
|-
! [[Теорема Гаусса#Теорема Гаусса для электрической индукции (электрическое смещение)|Закон Гаусса]]
|
: <math>\oint\limits_{\mathbf{s}}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}=4\pi Q</math>
|
: <math>\oint\limits_\mathbf{s}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}= Q</math>
| Поток электрической индукции через замкнутую поверхность пропорционален величине свободного заряда, находящегося в объёме, ограниченном этой поверхностью.
|-
! [[Теорема Гаусса#Теорема Гаусса для магнитной индукции|Закон Гаусса для магнитного поля]]
|
: <math>\oint\limits_\mathbf{s}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}=0</math>
|
: <math>\oint\limits_\mathbf{s}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}=0</math>
| [[Магнитный поток|Поток магнитной индукции]] через замкнутую поверхность равен нулю (магнитные заряды не обнаружены<ref name="monopol" />).
|-
! [[Электромагнитная индукция|Закон индукции Фарадея]]
|
: <math>\oint\limits_\mathbf{l}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=</math> <math>-\frac{1}{c}\frac{d}{d t}\int\limits_\mathbf{s}  \mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}</math>
|
: <math>\oint\limits_\mathbf{l}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=</math> <math>-\frac{d}{d t}\int\limits_\mathbf{s}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}</math>
| Изменение [[Магнитный поток|потока магнитной индукции]], проходящего через незамкнутую поверхность <math>s</math>, взятое с обратным знаком, пропорционально циркуляции электрического поля на замкнутом контуре <math>l</math>, который является границей поверхности <math>s</math><ref name="monopol" />.
|-
! [[Теорема о циркуляции магнитного поля#Обобщение|Теорема о циркуляции магнитного поля]]
|
: <math>\oint\limits_\mathbf{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=</math> <math>\frac{4\pi}{c} I+\frac{1}{c}\frac{d}{d t}\int\limits_\mathbf{s}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}</math>
|
: <math>\oint\limits_\mathbf{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=</math> <math>I+\frac{d}{d t}\int\limits_\mathbf{s}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{s}</math>
| Полный электрический ток свободных зарядов и изменение потока электрической индукции через незамкнутую поверхность <math>s</math> пропорциональны циркуляции магнитного поля на замкнутом контуре <math>l</math>, который является границей поверхности <math>s</math>.
|}

[[Файл:Volumen en un campo electrico2.png|thumb|200px|Поток электрического поля через замкнутую поверхность]]
Введённые обозначения:
* <math>s\ </math> — двумерная замкнутая в случае теоремы Гаусса поверхность, ограничивающая объём <math>v\ </math>, и открытая поверхность в случае законов Фарадея и Ампера — Максвелла (её границей является замкнутый контур <math>l\ </math>).
* <math>Q=\int\limits_v \rho\, dv\ </math> — [[электрический заряд]], заключённый в объёме <math>v\ </math>, ограниченном поверхностью <math>s\ </math> (в единицах СИ — [[Кулон (единица измерения)|Кл]]);
* <math>I=\int\limits_\mathbf{s} \mathbf{j}\cdot d\mathbf{s}\ </math> — [[электрический ток]], проходящий через поверхность <math>s\ </math> (в единицах СИ — [[Ампер (единица измерения)|А]]).

При интегрировании по замкнутой поверхности вектор элемента площади <math>d\mathbf{s}</math> направлен из объёма наружу. Ориентация <math>d\mathbf{s}</math> при интегрировании по незамкнутой поверхности определяется направлением [[Правило буравчика|правого винта]], «вкручивающегося» при повороте в направлении обхода контурного интеграла по <math>d\mathbf{l}</math>.

Словесное описание законов Максвелла, например, закона Фарадея, несёт отпечаток традиции, поскольку вначале при контролируемом изменении магнитного потока регистрировалось возникновение электрического поля (точнее [[Электродвижущая сила|электродвижущей силы]]). В общем случае в уравнениях Максвелла (как в дифференциальной, так и в интегральной форме) векторные функции <math>\mathbf{E}, \mathbf{B}, \mathbf{D},  \mathbf{H}</math> являются равноправными неизвестными величинами, определяемыми в результате решения уравнений.

== Сила Лоренца ==
{{main|Сила Лоренца}}
При решении уравнений Максвелла распределения зарядов <math>\rho</math> и токов <math>\mathbf{j}</math> часто считаются заданными. С учётом [[Граничные условия для электромагнитного поля|граничных условий]] и [[Уравнения Максвелла#Материальные уравнения|материальных уравнений]] это позволяет определить напряжённость электрического поля <math>\mathbf{E}</math> и магнитную индукцию <math>\mathbf{B}</math>, которые, в свою очередь, определяют силу, действующую на пробный заряд <math>q</math>, двигающийся со скоростью <math>\mathbf{u}</math>. Эта сила называется ''силой Лоренца'':

{| class="standard"  align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{F}=q\,\mathbf{E}+\frac{q}{c}\,[\mathbf{u}\times\mathbf{B}]</math>
|
: <math>\mathbf{F}=q\,\mathbf{E}+q\,[\mathbf{u}\times\mathbf{B}]</math>
|}

Электрическая составляющая силы направлена по электрическому полю (если <math>q>0</math>), а магнитная — перпендикулярна скорости заряда и магнитной индукции. Впервые выражение для силы, действующей на заряд в магнитном поле (электрическая компонента была известна), получил в [[1889 год в науке|1889 году]] [[Хевисайд, Оливер|Хевисайд]]<ref>{{Книга|автор =Болотовский Б. М.|заглавие = Оливер Хевисайд|место = М.|оригинал =|ссылка =http://vivovoco.astronet.ru/VV/BOOKS/HEAVISIDE/CONTENT.HTM|издательство = Наука |год = 1985|isbn = |страниц =260|страницы =43-44}}</ref><ref>O. Haviside, [http://en.wikisource.org/wiki/Electromagnetic_effects_of_a_moving_charge «On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric»], Phil.Mag. S.5 '''27''', p. 324, 1889.</ref> за три года до [[Лоренц, Хендрик Антон|Хендрика Лоренца]], который вывел выражение для этой силы в [[1892 год в науке|1892 году]].

В более сложных ситуациях в классической и [[квантовая физика|квантовой физике]] в случае, когда под действием электромагнитных полей свободные заряды перемещаются и изменяют значения полей, необходимо решение самосогласованной системы из уравнений Максвелла и [[уравнение движения|уравнений движения]], включающих силы Лоренца. Получение точного аналитического решения такой полной системы сопряжено обычно с большими сложностями.

== Размерные константы в уравнениях Максвелла ==
В гауссовой [[СГС|системе единиц СГС]] все поля имеют одинаковую размерность, и в уравнениях Максвелла фигурирует единственная [[Фундаментальные физические постоянные|фундаментальная константа]] <math>c</math>, имеющая [[Размерность физической величины|размерность]] скорости, которая сейчас называется [[скорость света|скоростью света]] (именно равенство этой константы скорости распространения света дало Максвеллу основания для гипотезы об электромагнитной природе света<ref>Карцев В. П. «Приключения великих уравнений», М.: Знание, 1986.</ref>).

В [[СИ|системе единиц СИ]], чтобы связать электрическую индукцию и напряжённость электрического поля в ''[[вакуум]]е'', вводится [[электрическая постоянная]] <math>\varepsilon_0</math> (<math>\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}</math>). [[Магнитная постоянная]] <math>\mu_0</math> является таким же коэффициентом пропорциональности для магнитного поля в ''[[вакуум]]е'' (<math>\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{H}</math>). Названия ''электрическая постоянная'' и ''магнитная постоянная'' сейчас стандартизованы. Ранее для этих величин также использовались, соответственно, названия электрическая (диэлектрическая) и магнитная проницаемости вакуума<ref>{{книга |автор= {{nobr|Деньгуб В. М.}}, {{nobr|Смирнов В. Г.}}|заглавие= Единицы величин. Словарь-справочник|ответственный= |ссылка= |место=М. |издательство=Издательство стандартов |год=1990 |том= |страниц=240 |страницы=213 |isbn= 5-7050-0118-5|ref= }}</ref><ref name="CODATA">Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2008). CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2006. Rev. Mod. Phys. 80: 633—730. {{doi|10.1103/RevModPhys.80.633}}.</ref>.

Скорость электромагнитного излучения в вакууме ([[скорость света]]) в [[СИ]] появляется при выводе
[[Уравнения Максвелла#волновое уравнение|волнового уравнения]]:
<center><math>c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}.</math></center>

В [[СИ|системе единиц СИ]] в качестве ''точной'' размерной константы определена скорость света в вакууме <math>c</math>, а магнитная постоянная <math>\mu_0</math> после [[Изменения определений основных единиц СИ (2018)|изменения 2018—2019 годов]] является экспериментально определяемой величиной. Через них выражается электрическая постоянная <math>\varepsilon_0</math>.

Значения<ref>[http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Category?view=html&Universal.x=83&Universal.y=14 Значения физических постоянных]</ref> [[скорость света|скорости света]], электрической и магнитной постоянных приведены в таблице:
{| class="standard" align="center" width="100%"
! <center>Символ</center>
! <center>Наименование</center>
! <center>Численное значение</center>
! <center>Единицы измерения СИ</center>
|-
|-
|
: <math>c</math>
|
: Постоянная скорости света
|
: <math>299\;792\;458</math> (точно)
|
: [[метр|м]]/[[Секунда (единица измерения времени)|с]]
|-
|
: <math>\mu_0</math>
|
: Магнитная постоянная
|
: <math> 1{,}256\;637\;062(12)\times 10^{-6}</math>
|
: [[Генри (единица измерения)|Гн]]/м
|-
|
: <math>\varepsilon_0=1/(\mu_0 c^2)</math>
|
: Электрическая постоянная
|
: <math> 8{,}854\;187\;812\;8(13)\times 10^{-12}</math>
|
: [[Фарад (единица измерения)|Ф]]/м
|}
Иногда вводится величина, называемая «[[Волновое сопротивление вакуума|волновым сопротивлением вакуума]]», или «импедансом» [[вакуум]]а:
:<math>Z_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=\mu_0 c \approx 120\pi</math> [[Ом]].
В системе [[СГС]] <math>Z_0=1</math>. Эта величина имеет смысл отношения амплитуд напряжённостей электрического и магнитного полей плоской [[Уравнения Максвелла#Плоские электромагнитные волны|электромагнитной волны в вакууме]]. Однако приписать этой величине физический смысл волнового сопротивления нельзя, поскольку в той же системе СГС её размерность не совпадает с [[электрическое сопротивление|размерностью сопротивления]]<ref name="Sena">Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 432 с., ил. ISBN 5-02-013848-7, § 7.5.</ref>.

== Уравнения Максвелла в среде ==
Чтобы получить полную систему уравнений [[электродинамика|электродинамики]], к системе уравнений Максвелла необходимо добавить материальные уравнения, связывающие величины <math>\mathbf{j}</math>, <math>\mathbf{H}</math>, <math>\mathbf{D}</math>, <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{B}</math>, в которых учтены индивидуальные свойства среды. Способ получения материальных уравнений дают молекулярные теории [[Поляризация диэлектриков|поляризации]], [[намагниченность|намагниченности]] и [[электропроводность|электропроводности]] среды, использующие идеализированные модели среды. Применяя к ним уравнения [[классическая механика|классической]] или [[квантовая механика|квантовой механики]], а также методы [[статистическая физика|статистической физики]], можно установить связь между векторами <math>\mathbf{j}</math>, <math>\mathbf{H}</math>, <math>\mathbf{D}</math> с одной стороны и <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{B}</math> с другой стороны.

=== Связанные заряды и токи ===
[[Файл:Polarization and magnetization.svg|thumb|300px|''Слева:'' Совокупность микроскопических диполей в среде образует один макроскопический дипольный момент и эквивалентна двум заряженным с противоположным знаком пластинам на границе. При этом внутри среды все заряды скомпенсированы; ''Справа:'' Совокупность микроскопических циркулярных токов в среде эквивалентна макроскопическому току, циркулирующему вдоль границы. При этом внутри среды все токи скомпенсированы.]]

При приложении электрического поля к [[Диэлектрик|диэлектрическому]] материалу каждая из его молекул превращается в микроскопический [[Диполь (электродинамика)|диполь]]. При этом положительные ядра атомов немного смещаются в направлении поля, а [[Электронная оболочка|электронные оболочки]] в противоположном направлении. Кроме этого, молекулы некоторых веществ изначально имеют дипольный момент. Дипольные молекулы стремятся ориентироваться в направлении поля. Этот эффект называется [[Поляризация диэлектриков|поляризацией диэлектриков]]. Такое смещение связанных зарядов молекул в объёме эквивалентно появлению некоторого распределения зарядов на поверхности, хотя все молекулы, вовлечённые в процесс поляризации остаются нейтральными (см. рисунок).

Аналогичным образом происходит магнитная поляризация ([[Магнетизм#Магнитные явления в материальных средах|намагничивание]]) в материалах, в которых составляющие их атомы и молекулы имеют [[магнитный момент|магнитные моменты]], связанные со [[спин]]ом и [[орбитальный момент|орбитальным моментом]] ядер и электронов. Угловые моменты атомов можно представить в виде циркулярных токов. На границе материала совокупность таких микроскопических токов эквивалентна макроскопическим токам, циркулирующим вдоль поверхности, несмотря на то, что движение зарядов в отдельных магнитных диполях происходит лишь в микромасштабе (связанные токи).

Рассмотренные модели показывают, что хотя внешнее электромагнитное поле действует на отдельные атомы и молекулы, его поведение во многих случаях можно рассматривать упрощённым образом в макроскопическом масштабе, игнорируя детали микроскопической картины.

В среде сторонние электрические и магнитные поля вызывают поляризацию и намагничивание вещества, которые макроскопически описываются соответственно [[поляризация диэлектриков|вектором поляризации]] <math>\mathbf P</math> и [[намагниченность|вектором намагниченности]] <math>\mathbf M</math> вещества, и вызваны появлением связанных зарядов <math>\rho_b\ </math> и токов <math>\mathbf{j}_b</math>. В результате поле в среде оказывается суммой внешних полей и полей, вызванных связанными зарядами и токами.
{| class="standard" align="center" | width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf{P}</math>
: <math>\mathbf{j}_b = c \nabla\times\mathbf{M} + \frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}</math>
|
: <math>\rho_b = -\nabla\cdot\mathbf{P}</math>
: <math>\mathbf{j}_b = \nabla\times\mathbf{M} + \frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}</math>
|}
[[Поляризация диэлектриков|Поляризация]] <math>\mathbf P</math> и [[намагниченность]] вещества <math>\mathbf M</math> связаны с векторами напряжённости и индукции электрического и магнитного поля следующими соотношениями:
{| class="standard" align="center" | width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{D}=\mathbf{E}+4\pi \mathbf{P}</math>
: <math>\mathbf{B}=\mathbf{H}+4\pi \mathbf{M}</math>
|
: <math>\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}</math>
: <math>\mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})</math>
|}

Поэтому, выражая векторы <math>\mathbf{D}</math> и <math>\mathbf{H}</math> через <math>\mathbf{E}</math>, <math>\mathbf{B}</math>, <math>\rho_b\ </math> и <math>\mathbf{j}_b</math>, можно получить математически эквивалентную систему уравнений Максвелла:

{| class="standard" align="center" | width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{E}=4\pi[\rho_f+\rho_b]</math>
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{E}= \frac{1}{\varepsilon_0}[\rho_f+\rho_b]</math>
|-
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>
|-
|
: <math>\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\,\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math>
|
: <math>\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math>
|-
|
: <math>\nabla\times\mathbf{B}=\frac{4\pi}{c} [\mathbf{j}_b+\mathbf{j}_f]+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}</math>
|
: <math>\nabla\times\mathbf{B}= \mu_0[\mathbf{j}_b+\mathbf{j}_f]+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}</math>
|}
Индексом <math>f\ </math> здесь обозначены свободные заряды и токи. Уравнения Максвелла в такой форме являются фундаментальными, в том смысле, что они не зависят от модели электромагнитного устройства вещества. Разделение зарядов и токов на свободные и связанные позволяет «спрятать» в <math>\rho_b\ </math>, <math>\mathbf{j}_b</math>, а затем в <math>\mathbf{P}, \mathbf{M}</math> и, следовательно, в <math>\mathbf{D},\mathbf{B}</math> сложный микроскопический характер электромагнитного поля в среде.

=== Материальные уравнения ===
Материальные уравнения устанавливают связь между <math>\mathbf{D},\mathbf{H}</math> и <math>\mathbf{E},\mathbf{B}</math>. При этом учитываются индивидуальные свойства среды. На практике в материальных уравнениях обычно используются экспериментально определяемые коэффициенты (зависящие в общем случае от частоты электромагнитного поля), которые собраны в различных справочниках физических величин<ref>Например, {{книга
| заглавие       = Таблицы физических величин
| ссылка         = 
| ответственный  = акад. [[Кикоин, Исаак Константинович|И. К. Кикоин]]
| издание        = 
| место          = М.
| издательство = [[Атомиздат]]
| год = 1976
| страниц =
| серия =
| isbn =
| тираж =
}}</ref>.
* В слабых [[электромагнитное поле|электромагнитных полях]], сравнительно медленно меняющихся в пространстве и во [[время|времени]], в случае [[Изотропия|изотропных]], [[ферромагнетик|неферромагнитных]] и [[сегнетоэлектрик|несегнетоэлектрических]] сред справедливо приближение, в котором [[Поляризация диэлектриков|поляризуемость]] и [[намагниченность]] линейно зависят от приложенных полей:

{| class="standard" align="center" | width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{P}=\chi_e\mathbf{E}</math>
: <math>\mathbf{M}=\chi_m\mathbf{H}</math>
|
: <math>\mathbf{P}=\varepsilon_0\chi_e\mathbf{E}</math>
: <math>\mathbf{M}=\chi_m\mathbf{H},</math>
|}
где введены безразмерные константы: <math>\chi_e\ </math> — [[диэлектрическая восприимчивость]] и <math>\chi_m\ </math> — [[магнитная восприимчивость]] вещества (в системе единиц [[СИ]] эти константы в <math>4\pi\ </math> раз больше, чем в гауссовой системе [[СГС]]).
Соответственно, материальные уравнения для электрической и магнитной индукций записываются в следующем виде:

{| class="standard" align="center" | width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}=(1+4\pi\chi_e)\mathbf{E}</math>
: <math>\mathbf{B}=\mu\mathbf{H}=(1+4\pi\chi_m)\mathbf{H}</math>
|
: <math>\mathbf{D}=\varepsilon_0\varepsilon\mathbf{E}=\varepsilon_0(1+\chi_e)\mathbf{E}</math>
: <math>\mathbf{B}=\mu_0\mu\mathbf{H}=\mu_0(1+\chi_m)\mathbf{H},</math>
|}
где <math>\varepsilon\ </math> — [[диэлектрическая проницаемость|относительная диэлектрическая проницаемость]], <math>\mu\ </math> — [[магнитная проницаемость|относительная магнитная проницаемость]]. Размерные величины <math>\varepsilon_0\varepsilon</math> (в единицах СИ — [[Фарад (единица измерения)|Ф]]/[[метр|м]]) и <math>\mu_0\mu</math> (в единицах СИ — [[Генри (единица измерения)|Гн]]/[[метр|м]]), возникающие в системе [[СИ]], называются [[диэлектрическая проницаемость|абсолютная диэлектрическая проницаемость]] и [[магнитная проницаемость|абсолютная магнитная проницаемость]] соответственно.

* В проводниках существует связь между плотностью тока и напряжённостью электрического поля, в хорошем приближении выражаемая [[закон Ома|законом Ома]]:
<center><math>\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E},</math></center>
где <math>\sigma</math> — [[удельная проводимость]] среды (в единицах СИ — [[Ом (единица измерения)|Ом]]<sup>−1</sup>•[[метр|м]]<sup>−1</sup>).
* В [[Анизотропия|анизотропной]] среде <math>\varepsilon</math>, <math>\mu</math> и <math>\sigma</math> являются тензорами <math>\hat\varepsilon</math>, <math>\hat\mu</math> и <math>\hat\sigma</math>. В [[Система координат|системе координат]] [[Главные оси тензора|главных осей]] они могут быть описаны [[Диагональная матрица|диагональными матрицами]]. В этом случае, связь между напряжённостями полей и индукциями имеют различные коэффициенты по каждой координате. Например, в системе [[СИ]]:
<center><math>
\begin{array}{lll}
D_x = \varepsilon_{0}\varepsilon_{xx}\,E_x,~~~~~ & 
D_y = \varepsilon_{0}\varepsilon_{yy}\,E_y,~~~~~ & 
D_z = \varepsilon_{0}\varepsilon_{zz}\,E_z, \\ [3mm]
B_x = \mu_0\mu_{xx}\,H_x,~~~~~ & 
B_y = \mu_0\mu_{yy}\,H_y,~~~~~ & 
B_z = \mu_0\mu_{zz}\,H_z. 
\end{array}</math></center>
* Хотя для широкого класса веществ линейное приближение для слабых полей выполняется с хорошей точностью, в общем случае зависимость между <math>\mathbf{D},\mathbf{H}</math> и <math>\mathbf{E},\mathbf{B}</math> может быть [[Нелинейность|нелинейной]]. В этом случае проницаемости среды не являются константами, а зависят от величины поля в данной точке. Кроме того, более сложная связь между <math>\mathbf{D},\mathbf{H}</math> и <math>\mathbf{E},\mathbf{B}</math> наблюдается в средах с пространственной или временной [[Дисперсия света|дисперсиями]]. В случае пространственной дисперсии токи и заряды в данной точке пространства зависят от величины поля не только в той же точке, но и в соседних точках. В случае временной дисперсии поляризация и намагниченность среды не определяются только величиной поля в данный момент времени, а зависят также от величины полей в предшествующие моменты времени. В самом общем случае нелинейных и неоднородных сред с дисперсией, материальные уравнения в системе СИ принимают интегральный вид:

<center><math>
\mathbf{P}(\mathbf{r}, t) = \varepsilon_0 \int\limits_v\!\int\limits_{-\infty}^t \hat{\chi}_e (\mathbf{r},\mathbf{r}'
,t-t', \mathbf{E}, \mathbf{H})\, \mathbf{E}(\mathbf{r}', t')\,  d t' d^3\mathbf{r}';</math></center>

<center><math>\mathbf{M}(\mathbf{r}, t) =  \int\limits_v\!\int\limits_{-\infty}^t \hat{\chi}_m (\mathbf{r},\mathbf{r}', t-t', \mathbf{E}, \mathbf{H})\, \mathbf{H}(\mathbf{r}', t')\,  d t' d^3\mathbf{r}'.</math></center>

Аналогичные уравнения получаются в гауссовой системе СГС (если формально положить <math>\varepsilon_0=1</math>).

=== Уравнения в изотропных и однородных средах без дисперсии ===
В изотропных и однородных средах без дисперсии уравнения Максвелла принимают следующий вид:

{| class="standard"  align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{E}=4\pi\,\frac{\rho}{\varepsilon}</math>
: <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>
: <math>\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math>
: <math>\nabla\times\mathbf{B}=\frac{4\pi}{c}\,\mu\,\mathbf{j}+\frac{\varepsilon\mu}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}</math>
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon\varepsilon_0}</math>
: <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>
: <math>\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}</math>
: <math>\nabla\times\mathbf{B}={\mu\mu_0}\mathbf{j}+\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}</math>
|}

В оптическом диапазоне частот вместо диэлектрической проницаемости <math>\varepsilon</math> используется [[показатель преломления]] <math>n=\sqrt{\varepsilon\mu}</math>, показывающий отличие скорости распространения монохроматической световой волны в среде от скорости света в вакууме. При этом в оптическом диапазоне диэлектрическая проницаемость обычно заметно меньше чем на низких частотах, а магнитная проницаемость большинства оптических сред практически равна единице. Показатель преломления большинства прозрачных материалов составляет от 1 до 2, достигая 5 у некоторых [[полупроводник]]ов<ref>[http://refractiveindex.info/ Refractive index database]</ref>. В вакууме и диэлектрическая, и магнитная проницаемости равны единице: <math>\varepsilon=\mu=1</math>.

Поскольку уравнения Максвелла в линейной среде являются линейными относительно полей <math>(\mathbf{E},\mathbf{B})</math> и свободных зарядов и токов <math>(\rho,\mathbf{j})</math>, справедлив [[принцип суперпозиции]]:
<blockquote>Если распределения зарядов и токов <math>(\rho_1,\mathbf{j}_1)</math> создают электромагнитное поле с компонентами <math>(\mathbf{E}_1,\mathbf{B}_1)</math>, а другие распределения <math>(\rho_2,\mathbf{j}_2)</math> создают, соответственно, поле <math>(\mathbf{E}_2,\mathbf{B}_2)</math>, то суммарное поле, создаваемое источниками <math>(\rho_1+\rho_2,\mathbf{j}_1+\mathbf{j}_2)</math>, будет равно <math>(\mathbf{E}_1+\mathbf{E}_2,\mathbf{B}_1+\mathbf{B}_2)</math>.
</blockquote>
При распространении электромагнитных полей в линейной среде в [[Уравнения Максвелла#Уравнения без свободных зарядов и токов|отсутствие зарядов и токов]] сумма любых частных решений уравнений будет также удовлетворять уравнениям Максвелла.

=== [[Граничные условия для электромагнитного поля|Граничные условия]] ===
Во многих случаях неоднородную среду можно представить в виде совокупности кусочно-непрерывных однородных областей, разделённых бесконечно тонкими границами. При этом можно решать уравнения Максвелла в каждой области, «сшивая» на границах получающиеся решения. В частности, при рассмотрении решения в конечном объёме необходимо учитывать условия на границах объёма с окружающим бесконечным пространством. Граничные условия получаются из уравнений Максвелла предельным переходом. Для этого проще всего воспользоваться уравнениями Максвелла в интегральной форме.

Выбирая во второй паре уравнений контур интегрирования в виде прямоугольной рамки бесконечно малой высоты, пересекающей границу раздела двух сред, можно получить следующую связь между компонентами поля в двух областях, примыкающих к границе<ref>{{Книга:Стрэттон Дж.А.: Теория электромагнетизма|страницы=42-45}}</ref>:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>(\mathbf{E}_1-\mathbf{E}_2)\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf 0</math>,
: <math>(\mathbf{H}_1-\mathbf{H}_2)\times \mathbf{n}_{1-2} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}_s</math>,
|
: <math>(\mathbf{E}_1-\mathbf{E}_2)\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf 0</math>,
: <math>(\mathbf{H}_1-\mathbf{H}_2)\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf{j}_s</math>,
|}
где <math>\mathbf{n}_{1-2}</math> — единичный вектор нормали к поверхности, направленный из среды 1 в среду 2 и имеющий размерность, обратную длине, <math>\mathbf{j}_s</math> — плотность поверхностных ''свободных'' токов вдоль границы (то есть не включая ''связанных токов'' намагничивания, складывающихся на границе среды из микроскопических молекулярных итп токов). Первое граничное условие можно интерпретировать как непрерывность на границе областей тангенциальных компонент напряжённостей электрического поля (из второго следует, что тангенциальные компоненты напряжённости магнитного поля непрерывны только при отсутствии поверхностных токов на границе).

Аналогичным образом, выбирая область интегрирования в первой паре интегральных уравнений в виде цилиндра бесконечно малой высоты, пересекающего границу раздела так, что его образующие [[перпендикуляр]]ны границе раздела, можно получить:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>(\mathbf{D}_1-\mathbf{D}_2)\cdot \mathbf{n}_{1-2} = -4\pi\rho_s</math>,
: <math>(\mathbf{B}_1-\mathbf{B}_2)\cdot \mathbf{n}_{1-2} = 0</math>,
|
: <math>(\mathbf{D}_1-\mathbf{D}_2)\cdot \mathbf{n}_{1-2} = -\rho_s</math>,
: <math>(\mathbf{B}_1-\mathbf{B}_2)\cdot \mathbf{n}_{1-2} = 0</math>,
|}

где <math>\rho_s\ </math> — поверхностная плотность ''свободных'' зарядов (то есть не включающая в себя ''связанных зарядов'', возникающих на границе среды вследствие диэлектрической поляризации самой среды).

Эти граничные условия показывают непрерывность нормальной компоненты вектора магнитной индукции (нормальная компонента электрической индукции непрерывна только при отсутствии на границе поверхностных зарядов).

Из уравнения непрерывности можно получить граничное условие для токов:
<center><math>(\mathbf{j}_1-\mathbf{j}_2)\cdot \mathbf{n}_{1-2} = \frac{\partial}{\partial t}\rho_s</math>,</center>
Важным частным случаем является граница раздела [[диэлектрик]]а и [[Идеальный проводник|идеального проводника]]. Поскольку идеальный проводник имеет бесконечную проводимость, электрическое поле внутри него равно нулю (иначе оно порождало бы бесконечную плотность тока). Тогда в общем случае переменных полей из уравнений Максвелла следует, что и магнитное поле в проводнике равно нулю. В результате тангенциальная компонента электрического и нормальная магнитного поля на границе с идеальным проводником равны нулю:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{E}_1\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf 0</math>,
: <math>\mathbf{H}_1\times \mathbf{n}_{1-2} = \frac{4\pi}{c}\mathbf{j}_s</math>,
: <math>\mathbf{D}_1 \cdot \mathbf{n}_{1-2} = -4\pi\rho_s</math>,
: <math>\mathbf{B}_1\cdot \mathbf{n}_{1-2} = 0</math>,
|
: <math>\mathbf{E}_1\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf 0</math>,
: <math>\mathbf{H}_1\times \mathbf{n}_{1-2} = \mathbf{j}_s</math>,
: <math>\mathbf{D}_1\cdot \mathbf{n}_{1-2} = -\rho_s</math>,
: <math>\mathbf{B}_1\cdot \mathbf{n}_{1-2} = 0</math>,
|}

== Законы сохранения ==
Уравнения Максвелла содержат в себе законы сохранения заряда и энергии электромагнитного поля.

=== Уравнение непрерывности ===
Источники полей (<math>\rho,~\mathbf{j}</math>) не могут быть заданы произвольным образом. Применяя операцию дивергенции к четвёртому уравнению (закон Ампера—Максвелла) и используя первое уравнение (закон Гаусса), можно получить [[уравнение непрерывности]] для зарядов и токов:

<center><math>\nabla\cdot\mathbf{j}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0.</math></center>
{{Hider|  title = ''Вывод уравнения непрерывности'' |  content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
Дивергенция от ротора равна нулю, поэтому для четвёртого уравнения Максвелла (Закон Ампера—Максвелла) в системе [[СИ]] имеем:
<center>
<math>
0=\nabla\cdot[\nabla\times \mathbf{H}] = \nabla\cdot\mathbf{j}+\frac{\partial \nabla\cdot \mathbf{D}}{\partial t}= \nabla\cdot\mathbf{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t},
</math>
</center>
где в последнем равенстве подставлено первое уравнение (Закон Гаусса).
<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}

Это уравнение при помощи интегральной [[Формула Остроградского|теоремы Остроградского—Гаусса]] можно записать в следующем виде:
<center><math>\oint\limits_\mathbf{s} \mathbf{j}\cdot d\mathbf{s} = - \frac{d}{d t}\int\limits_v \rho\, dv.</math></center>
В левой части уравнения находится полный ток, протекающий через замкнутую поверхность <math>s\ </math>. В правой части — изменение со временем заряда, находящегося внутри объёма <math>v\ </math>. Таким образом, изменение заряда внутри объёма возможно только при его притоке или оттоке через поверхность <math>s\ </math>, ограничивающую объём.

Уравнение непрерывности, эквивалентное закону сохранения заряда, далеко выходит за пределы классической электродинамики, оставаясь справедливым и в квантовой теории. Поэтому это уравнение само по себе может быть положено в основу электромагнитной теории. Тогда, например, ток смещения (производная по времени электрического поля) должен обязательно присутствовать в законе Ампера.

Из уравнений Максвелла для роторов и уравнения непрерывности с точностью до произвольных функций, не зависящих от времени, следуют законы Гаусса для электрического и магнитного полей.
<!-------------------
<center><math>\frac{\partial }{\partial t} (\nabla\mathbf{D}-\rho)=0,~~~~~~~~~~~~~
\frac{\partial }{\partial t} \nabla\mathbf{B}=0,</math></center>
------------------->

=== [[Закон сохранения энергии]] ===
Если умножить третье уравнение Максвелла в [[Уравнения Максвелла#Дифференциальная форма|дифференциальной форме]] (закон Фарадея) [[Скалярное умножение|скалярно]] на <math>\mathbf H</math>, а четвёртое (закон Ампера — Максвелла) на <math>-\mathbf E</math> и сложить результаты, можно получить [[теорема Пойнтинга|теорему Пойнтинга]]:
<center><math>\nabla\cdot\mathbf{S}+\frac{\partial}{\partial t}\left(w_E+w_H\right)=-\mathbf{E}\mathbf{j},</math></center>
где
<center>
{| class="standard" | width="75%"
|-
!width="50%"|[[СГС]]|| width="50%"|[[СИ]]
|-
|
: <math>\mathbf{S}=\frac{c}{4\pi}\mathbf E \times\mathbf H</math>
: <math>w_E = \frac{1}{8\pi}\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}</math>
: <math>w_H = \frac{1}{8\pi}\,\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}</math>
|
: <math>\mathbf{S}=\mathbf E \times\mathbf H</math>
: <math>w_E = \frac{1}{2}\,\mathbf{E}\cdot \mathbf{D}</math>
: <math>w_H = \frac{1}{2}\,\mathbf{H}\cdot\mathbf{B}</math>
|}
</center>
{{Hider|title = ''Вывод теоремы Пойнтинга'' |content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
При помощи третьего и четвёртого уравнения Максвелла в дифференциальной форме, в системе [[СИ]] можно получить:
<center><math>\mathbf{E}\cdot[\nabla\times\mathbf{H}] = \mathbf{E}\mathbf{j} + \mathbf{E}\cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t},~~~~~~~~~~~~~
\mathbf{H}\cdot[\nabla\times\mathbf{E}] = -\mathbf{H}\cdot \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.</math></center>
Разница левых частей уравнений сворачивается по следующей формуле векторного анализа (производная произведения):
<center>
<math>
\nabla\cdot[\mathbf{E}\times\mathbf{H}]=\mathbf{H}\cdot[\nabla\times\mathbf{E}]-\mathbf{E}\cdot[\nabla\times\mathbf{H}]. 
</math>
</center>
В линейных, но, возможно, неизотропных средах, между напряжённостями  
и индукциями существует линейная связь. Например, для электрического поля 
<math>\mathbf{D}=\varepsilon_0\,\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{E} </math>. 
Если <math>\hat{\varepsilon}</math> симметричная матрица, не зависящая от времени, то:
<center>
<math>\mathbf{E}\cdot \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = 
\varepsilon_0\, \mathbf{E}\cdot\hat{\varepsilon}\cdot\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}
=\frac{\varepsilon_0}{2}\,\frac{\partial (\mathbf{E}\cdot\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{E})}{\partial t}
=\frac{1}{2}\frac{\partial (\mathbf{E}\cdot\mathbf{D})}{\partial t}.
</math>
</center>
Аналогично для магнитного поля.
<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}
Вектор <math>\mathbf{S}</math> называется [[вектор Пойнтинга|вектором Пойнтинга]] (вектором плотности потока электромагнитной энергии) и определяет количество электромагнитной энергии, переносимой через единицу площади в единицу времени. Интеграл вектора Пойнтинга по сечению распространяющейся волны определяет её мощность. Важно отметить, что, как впервые указал [[Хевисайд, Оливер|Хевисайд]], физический смысл потока энергии имеет только безвихревая часть вектора Пойнтинга. Вихревая часть, дивергенция которой равна нулю, не связана с переносом энергии. Заметим, что [[Хевисайд, Оливер|Хевисайд]] получил выражение для закона сохранения независимо от [[Пойнтинг, Джон Генри|Пойнтинга]]. В русскоязычной литературе вектор [[Пойнтинг, Джон Генри|Пойнтинга]] часто называется также «вектором [[Умов, Николай Алексеевич|Умова]] — [[Пойнтинг, Джон Генри|Пойнтинга]]».

Величины <math>w_E\ </math> и <math>w_H\ </math> определяют объёмные плотности энергии, соответственно, электрического и магнитного полей. При отсутствии токов и связанных с ними потерь теорема Пойнтинга является [[уравнение непрерывности|уравнением непрерывности]] для энергии электромагнитного поля. Проинтегрировав его в этом случае по некоторому замкнутому объёму и воспользовавшись [[Формула Остроградского|теоремой Остроградского — Гаусса]], можно получить [[закон сохранения энергии]] для электромагнитного поля:
<center><math>\oint\limits_s\mathbf{S}\cdot d\mathbf{s}+\frac{d}{dt}\int\limits_v(w_E+w_H)\,dv=0.</math></center>
Это уравнение показывает, что при отсутствии внутренних потерь изменение энергии электромагнитного поля в объёме происходит только за счёт мощности электромагнитного излучения, переносимого через границу этого объёма.

Вектор Пойнтинга связан с импульсом электромагнитного поля<ref>{{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|1988|страницы=112-113}}</ref>:
<center><math> \mathbf{p} = \frac{1}{c^2}\int \mathbf{S}\,dv,</math></center>
где интегрирование производится по всему пространству.
Электромагнитная волна, поглощаясь или отражаясь от некоторой поверхности, передаёт ей часть своего импульса, что проявляется в форме [[Давление электромагнитного излучения|светового давления]]. Экспериментально этот эффект впервые наблюдался [[Лебедев, Пётр Николаевич|П. Н. Лебедевым]] в [[1899 год в науке|1899 году]].

== Потенциалы ==

=== Скалярный и векторный потенциалы ===
Закон Фарадея и закон Гаусса для магнитной индукции выполняются тождественно, если электрическое и магнитное поля выразить через ''скалярный'' <math>\varphi</math> и [[Векторный потенциал|''векторный'']] <math>\mathbf{A}</math> потенциалы<ref>{{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|1988|страницы=69-76,95-96}}</ref>:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{E}=-\nabla \varphi-\frac{1}{c}\,\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}</math>
: <math>\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}</math>
|
: <math>\mathbf{E}=-\nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}</math>
: <math>\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}</math>
|}

{{Hider|title = ''Доказательство'' |content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
Поскольку согласно закону Гаусса дивергенция индукции магнитного поля <math>\mathbf{B}</math> равна нулю, то по [[Теорема разложения Гельмгольца|теореме Гельмгольца]] существует такая вектор-функция <math>\mathbf{A}</math>, что <math>\mathbf{B}= \nabla\times\mathbf{A}.</math> Тогда ротор вектора <math>\mathbf{E}'=\mathbf{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}</math> (в системе [[СГС]]) или вектора <math>\mathbf{E}'=\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}</math> (в системе [[СИ]]) удовлетворяет условию <math>\nabla\times\mathbf{E}'=0.</math> Например, в системе [[СИ]] получаем:
<center><math>\nabla\times\mathbf{E'}=\nabla\times\left(\mathbf{E}+\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}\right)
=\nabla\times\mathbf{E}+\nabla\times\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}
=\nabla\times\mathbf{E}+\frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)
= -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}+\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}=0.</math></center>
Из условия же равенства нулю ротора согласно [[Теорема разложения Гельмгольца|теореме Гельмгольца]] следует, что существует такая скалярная функция <math>\varphi,</math> что <math>\mathbf{E}'=-\nabla\varphi.</math>

<br />
Обратная подстановка работает аналогично. Если электрическое и магнитное поля выражены через ''скалярный'' <math>\varphi</math> и [[Векторный потенциал|''векторный'']] <math>\mathbf{A}</math> потенциалы согласно приведённым выше формулам, то дивергенция индукции магнитного поля автоматически равна нулю:
<center><math>\nabla\cdot\mathbf{B}= \nabla\cdot[\nabla\times\mathbf{A}]=[\nabla\times\nabla]\cdot\mathbf{A} = 0.</math></center>
Для напряжённости же электрического поля <math>\mathbf{E}</math> будет автоматически выполнен закон Фарадея. Например, в системе [[СИ]] получаем:
<center><math>\nabla\times\mathbf{E}
=\nabla\times\left(-\nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\right)
= -\nabla\times \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}
= -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.</math></center>

<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}

При данных электрическом <math>\mathbf{E}</math> и магнитном <math>\mathbf{B}</math> полях скалярный и векторный потенциалы определены неоднозначно. Если <math>\psi\ </math> — произвольная функция координат и времени, то следующее преобразование не изменит значение полей:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} +\nabla \psi</math>
: <math>\varphi \rightarrow \varphi - \frac{1}{c}\,\frac{\partial \psi}{\partial t}</math>
|
: <math>\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} +\nabla \psi</math>
: <math>\varphi \rightarrow \varphi - \frac{\partial \psi}{\partial t}.</math>
|}
Подобные преобразования играют важную роль в [[Квантовая электродинамика|квантовой электродинамике]]
и лежат в основе локальной [[Калибровочная инвариантность|калибровочной симметрии]] электромагнитного взаимодействия.
Локальная калибровочная симметрия вводит зависимость от координат и времени в фазу глобальной калибровочной симметрии,
которая, в силу [[Теорема Нётер|теоремы Нётер]], приводит к [[Закон сохранения заряда|закону сохранения заряда]].

Неоднозначность определения потенциалов оказывается удобной для наложения на них дополнительных условий, называемых [[Калибровка векторного потенциала|калибровкой]]. Благодаря этому, уравнения электродинамики принимают более простой вид. Рассмотрим, например, [[Уравнения Максвелла#Уравнения в изотропных и однородных средах|уравнения Максвелла в однородных и изотропных средах]] с диэлектрической (<math>\varepsilon</math>) и магнитной (<math>\mu\ </math>) проницаемостями. Для данных <math>\varphi</math> и <math>\mathbf{A}</math> всегда можно подобрать такую функцию <math>f</math>, чтобы выполнялось ''калибровочное условие Лоренца''<ref>{{Книга:Стрэттон Дж.А.: Теория электромагнетизма|страницы=34-35}}</ref>:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{A} + \frac{\varepsilon\mu}{c}\,\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0</math>
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{A} + \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\,\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0.</math>
|}
В этом случае оставшиеся уравнения Максвелла в однородных и изотропных средах могут быть записаны в следующем виде:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\square\varphi = -4\pi\,\frac{\rho}{\varepsilon}</math>
: <math>\square\mathbf{A} = -\frac{4\pi}{c}\,\mu\,\mathbf{j}</math>
|
: <math>\square\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon\varepsilon_0}</math>
: <math>\square\mathbf{A} = -\mu\mu_0\,\mathbf{j},</math>
|}
где <math>\square</math> — [[оператор Д’Аламбера]], который и в системе [[СГС]], и в системе [[СИ]] имеет вид:
<center><math>  \square = \Delta -\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}.</math></center>
Таким образом, 8 уравнений Максвелла для компонент электромагнитного поля (2 векторных и 2 скалярных) при помощи потенциалов могут быть сведены к 4 уравнениям (скалярному для <math>\varphi</math> и векторному для <math>\mathbf{A}</math>). Решения этих уравнений для произвольно двигающегося точечного заряда называются [[Потенциалы Лиенара — Вихерта|потенциалами Лиенара — Вихерта]]<ref name="ReferenceA">{{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|1988|страницы=215-218}}</ref>.

Возможно введение других калибровок. Так, для решения ряда задач удобной оказывается [[Калибровка векторного потенциала#Кулоновская калибровка|кулоновская калибровка]]:
<center><math>\nabla\cdot\mathbf{A} = 0</math></center>
В этом случае:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\Delta\varphi = -4\pi\,\frac{\rho}{\varepsilon}</math>
: <math>\square\mathbf{A} = -\frac{4\pi}{c}\,\mu\,\mathbf{j}_\bot</math>
|
: <math>\Delta\varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon\varepsilon_0}</math>
: <math>\square\mathbf{A} = -\mu\mu_0\,\mathbf{j}_\bot,</math>
|},
где <math>\mathbf{j}_\bot</math> — соленоидальная часть тока (<math>\nabla\mathbf\cdot{j}_\bot=0</math>).

Первое уравнение описывает мгновенное (без запаздывания) действие кулоновской силы, поскольку кулоновская калибровка неинвариантна относительно преобразований Лоренца. При этом энергию кулоновского взаимодействия можно отделить от остальных взаимодействий, что облегчает [[Вторичное квантование|квантование поля]] в [[Гамильтонова система|гамильтоновом формализме]]<ref>{{Книга|автор =[[Гинзбург, Виталий Лазаревич|Гинзбург В. Л.]]|заглавие = Теоретическая физика и астрофизика |место = М.|оригинал = |ссылка = |издательство =Наука |год = 1981|isbn = |страниц =503|страницы =12}}</ref>.

Векторный потенциал играет большую роль в электродинамике и в квантовой теории поля, однако для исследования процессов распространения электромагнитных волн в отсутствие токов и зарядов его введение часто не приводит к упрощению системы, а сводится к простой замене векторов электрического и магнитного поля на другой аналогичный вектор, описываемый теми же уравнениями. Так, для гармонических полей векторный потенциал будет просто пропорционален электрическому полю (скалярный потенциал при этом можно положить равным нулю).

=== Векторы Герца ===
* В [[1887 год в науке|1887 году]] [[Герц, Генрих Рудольф|Генрих Герц]] предложил вместо непосредственного решения '''уравнений Максвелла''' для двух векторных функций электрического и магнитного полей или скалярного и векторного потенциалов перейти к новой единственной векторной функции, которая носит теперь имя ''электрического вектора Герца'' <math>{\mathbf\Pi}^e</math> и позволяет в некоторых случаях упростить решение электродинамических задач, сводя их к решению скалярного волнового уравнения.
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\varphi=-\nabla\cdot\mathbf{\Pi}^e,</math>
: <math>\mathbf{A}=\frac{\varepsilon\mu}{c}\frac{\partial\mathbf{\Pi}^e}{\partial t},</math>
|
: <math>\varphi=-\nabla\cdot\mathbf{\Pi}^e,</math>
: <math>\mathbf{A}=\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial \mathbf{\Pi}^e}{\partial t},</math>
|-
|
: <math>\mathbf {E}^e = \nabla(\nabla\cdot \mathbf{\Pi}^e) - \frac{\mu\varepsilon}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{\Pi}^e}{\partial t^2},</math>
: <math>\mathbf {B}^e = \frac{\mu\varepsilon}{c} \nabla\times \frac{\partial \mathbf{\Pi}^e}{\partial t}.</math>
|
: <math>\mathbf {E}^e = \nabla(\nabla\cdot \mathbf{\Pi}^e) - \frac{\mu\varepsilon}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{\Pi}^e}{\partial t^2},</math>
: <math>\mathbf {B}^e = \frac{\mu\varepsilon}{c^2} \nabla\times \frac{\partial \mathbf{\Pi}^e}{\partial t}.</math>
|}
Заметим, что скалярный <math>\varphi</math> и векторный <math>\mathbf{A}</math> потенциалы, выраженные через вектор Герца, автоматически удовлетворяют [[Калибровка векторного потенциала|калибровочному условию Лоренца]]. Вектор Герца учитывает все поля, связанные со свободными зарядами и их токами.

Подставляя выражения для полей через электрический вектор в два последних уравнения Максвелла, можно получить<ref name="stretton">{{Книга:Стрэттон Дж.А.: Теория электромагнетизма|страницы=37-40}}</ref><ref>''Essex E. A.'' Hertz vector potentials of electromagnetic theory. — [[American Journal of Physics]]. — 45. — 1977. — 1099—1101.</ref>:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\Delta \mathbf {\Pi}^e - \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^e}}{\partial t^2} =- \frac{4\pi}{\varepsilon}\mathbf{P}_f
,</math>
: <math>\Delta \mathbf {\Pi}^e - \frac{\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^e}}{\partial t^2} =- \frac{4\pi}{\varepsilon} \left[\mathbf {P}+\mathbf{P}_f\right].</math>
|
: <math>\Delta \mathbf {\Pi}^e - \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^e}}{\partial t^2} =- \frac{1}{\varepsilon\varepsilon_0}\mathbf {P}_f,</math>
: <math>\Delta \mathbf {\Pi}^e - \frac{\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^e}}{\partial t^2} =- \frac{1}{\varepsilon\varepsilon_0} \left[\mathbf {P}+\mathbf {P}_f\right].</math>
|}
Здесь введён вектор поляризации свободных зарядов и токов:
<center><math>\mathbf j_f = \frac{\partial }{\partial t} {\mathbf P}_f,~~~~~~~~~~~~~~~~ 
\rho_f = - \nabla\cdot {\mathbf P}_f,</math></center>
(при этом уравнение непрерывности для заряда автоматически выполняется).

Таким образом, электрический вектор Герца определяется волновыми уравнениями, в правой части которых стоит поляризуемость, обусловленная свободными, либо свободными и связанными зарядами, то есть электрическими дипольными моментами.
* В [[1901 год в науке|1901 году]] парный электрическому вектору Герца магнитный вектор, который также традиционно называют именем Герца, ввёл итальянский физик [[Риги, Аугусто|Аугусто Риги]]<ref>A. Nisbet, «Hertzian electromagnetic potentials and associated gauge transformations», Proc. of the Royal Soc. of London. Ser. A., 231, #1185, 250—263, 1955.</ref>.
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\varphi=0,</math>
: <math>\mathbf{A}=\nabla\times\mathbf{\Pi}^m,</math>
|
: <math>\varphi=0,</math>
: <math>\mathbf{A}=\frac{1}{c}\nabla\times\mathbf{\Pi}^m,</math>
|-
|
: <math>\mathbf {D}^m = -\frac{\varepsilon\mu}{c} \nabla\times \frac{\partial \mathbf{\Pi}^m}{\partial t},</math>
: <math>\mathbf {H}^m = \nabla\times[\nabla\times \mathbf{\Pi}^m] .</math>
|
: <math>\mathbf {D}^m = -\frac{\varepsilon\mu}{c^2} \nabla\times \frac{\partial \mathbf{\Pi}^m}{\partial t},</math>
: <math>\mathbf {H}^m = \nabla\times[\nabla\times \mathbf{\Pi}^m] .</math>
|}
Поскольку поля, описываемые магнитным вектором Герца, не зависят от свободных зарядов и токов, а магнитные монополи не обнаружены, потенциалы удовлетворяют калибровке Лоренца в вырожденном виде — так называемой [[Калибровка векторного потенциала|кулоновской калибровке]] (<math>\varphi=0</math>, <math>\nabla\cdot\mathbf{A}=0</math>).

Аналогичным образом можно получить уравнения для магнитного потенциала Герца, подставляя выраженные через него поля в третье и четвёртое уравнения Максвелла без тока:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\Delta \mathbf {\Pi}^m - \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^m}}{\partial t^2} = 0,</math>

: <math>\Delta \mathbf {\Pi}^m - \frac{\varepsilon}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^m}}{\partial t^2} =- \frac{4\pi}{\mu} \mathbf {M}
.</math>
|
: <math>\Delta \mathbf {\Pi}^m - \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^m}}{\partial t^2} =0,</math>

: <math>\Delta \mathbf {\Pi}^m - \frac{\varepsilon}{c^2}\frac{\partial^2{\mathbf {\Pi}^m}}{\partial t^2} =- \frac{1}{\mu} \mathbf {M}.</math>
|}

Действие сторонних магнитных полей, связанных с внешними источниками, может быть учтено по аналогии с электрическим вектором Герца введением в правые части дополнительной магнитной поляризации <math>\mathbf {M}_f</math>.

Таким образом, выделяется два типа электромагнитных полей, выражающихся через электрический и магнитный потенциалы Герца, а произвольное поле можно представить в виде суммы таких полей. Поля, выражающиеся через электрический вектор Герца носят название полей электрического типа или поперечно-магнитных <nowiki>(TM)</nowiki> полей, поскольку магнитное поле для них ортогонально направлению вектора Герца. Соответственно, поля, выражающиеся через магнитный вектор Герца, называют полями магнитного типа или поперечно-электрическими полями (TE), электрическое поле в которых ортогонально порождающему вектору Герца. Поля TM можно представить как поля, порождаемые распределёнными в пространстве электрическими диполями, а поля TE, соответственно, магнитными. Векторные потенциалы Герца, в свою очередь, могут быть во многих случаях выражены через скалярные потенциалы.

=== Потенциалы Дебая ===
В электродинамике широко используются скалярные потенциалы, предложенные [[Дебай, Петер Йозеф Вильгельм|Дебаем]]<ref>{{статья|автор=P. Debye|заглавие=Der Lichtdruck auf Kugeln von beliebigem Material|ссылка=|язык=de|издание=[[Annalen der Physik]]|год=1909|том=30|номер=|страницы=57—136}}</ref>.

Волновое уравнение представляет собой систему трёх связанных скалярных уравнений, которые распадаются на три скалярных уравнения Гельмгольца только в [[Декартова система координат|декартовой системе координат]]. Для удобства поиска решений, удовлетворяющих граничным условиям желательно выбирать координатные системы, [[Координатная поверхность|координатные поверхности]] которых близки или совпадают с поверхностями границ. Один из подходов к решению векторного уравнения Гельмгольца состоит во введении скалярных функций <math>\psi</math>, удовлетворяющих скалярному волновому уравнению Гельмгольца, через которые затем могут быть выражены векторные поля<ref>{{Книга:Стрэттон Дж.А.: Теория электромагнетизма|страницы=345-348}}</ref>:
: <math>\nabla^2 {\psi}+ k^2 \psi=0. </math>

: <math>{\mathbf M}_\psi=\nabla\times ({\mathbf f}\psi),</math>

: <math>{\mathbf N}_\psi = \frac{1}{k}\nabla\times\nabla \times({\mathbf f}\psi),</math>

: <math>{\mathbf L}_\psi=\nabla\psi.</math>

Здесь <math>\mathbf f</math> — некоторая векторная функция координат. Вектор <math>{\mathbf L}_\psi</math>, описывает потенциальную часть поля и его можно положить равным нулю при отсутствии свободных зарядов.

Если для некоторой ортогональной координатной системы существует функция <math>{\mathbf f}({\mathbf r})</math>,
пропорциональная координатному вектору, то произвольное векторное поле, удовлетворяющее векторному уравнению Гельмгольца в этой системе, можно представить в виде суммы векторных функций, пропорциональных векторам <math>{\mathbf M}_\psi</math> и <math>{\mathbf N}_\psi</math>. Как следует из уравнений Максвелла, электрическому полю, пропорциональному <math>{\mathbf M}_\psi</math>, соответствует магнитное поле типа <math>{\mathbf N}_\psi</math> и наоборот. При этом векторные потенциалы <math>{\mathbf f}\psi</math> соответствуют векторам Герца. Поскольку в этом случае поле, пропорциональное <math>{\mathbf M}_\psi</math>, [[нормаль]]но вектору <math>{\mathbf f}</math>, его компоненты являются тангенциальными к соответствующей <math>{\mathbf f}</math> координатной поверхности. Если границы в решаемой задаче совпадают с одной из таких координатных поверхностей, то удовлетворение граничным условиям существенно упрощается.

Такое представление возможно только в ограниченном числе ортогональных координатных систем<ref>{{статья|автор=R. Janaswamy|заглавие=A note on the {TE/TM} decomposition of electromagnetic fields in three dimensional homogeneous space|ссылка=|язык=en|издание=[[IEEE Transactions on Antennas and Propagation]]|год=2004|том=52|номер=|страницы=2474—2476}}</ref>. В декартовой системе координат в качестве вектора <math>{\mathbf f}</math> может выступать любой координатный вектор. Соответствующие решения представляют собой плоские волны. Для [[цилиндрическая система координат|цилиндрической системы координат]] <math>{\mathbf f}={\mathbf i}_z</math>, для [[сферическая система координат|сферической]] <math>{\mathbf f}={\mathbf r}</math>. Кроме того, такое представление возможно в [[Конические координаты|конической]], а также относительно оси <math>z</math> в [[Цилиндрические параболические координаты|параболической]] и [[Эллиптические координаты|эллиптической]] цилиндрических системах координат.

=== Векторы Римана — Зильберштейна ===
Если ввести [[Комплексное число|комплексный]] вектор [[Риман, Бернхард|Римана]] — {{нп3|Зильберштейн, Людвиг|Зильберштейна||Ludwik Silberstein}} <math>\mathbf F</math> и [[Комплексное число#Сопряжённые числа|комплексно сопряжённый]] ему вектор <math>\mathbf F^*</math><ref>{{статья|автор=L. Silberstein|заглавие=Electromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung|ссылка=|язык=de|издание=[[Annalen der Physik]]|год=1907|том=22|номер=|страницы=579}}</ref><ref name="Birula">{{статья|автор=I. Bialynicky-Birula|заглавие=Photon wave function|ссылка=|язык=en|издание=[[Progress in Optics]]|год=1996|том=36|номер=|страницы=245—294}}</ref><ref>{{Книга:Стрэттон Дж.А.: Теория электромагнетизма|страницы=40—42}}</ref>:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf F=\frac{1}{\sqrt{8\pi}}\left[\sqrt{\varepsilon}\mathbf E+i\sqrt{\mu}\mathbf H\right],</math>
|
: <math>\mathbf F=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0}\mathbf E+i\sqrt{\mu\mu_0}\mathbf H\right],</math>
<!----------------
|-
|
: <math>\mathbf F^*=\frac{1}{\sqrt{8\pi}}\left[\sqrt{\epsilon}\mathbf E-i\sqrt{\mu}\mathbf H\right],</math>
: <math>\mathbf E=\frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{\varepsilon}}\left[\mathbf F+\mathbf F^*\right],</math>
: <math>\mathbf H=-\frac{i\sqrt{2\pi}}{\sqrt{\mu}}\left[\mathbf F-\mathbf F^*\right],</math>
|
: <math>\mathbf F^*=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0}\mathbf E-i\sqrt{\mu\mu_0}\mathbf H\right],</math>
: <math>\mathbf E=\frac{1}{\sqrt{2\varepsilon\varepsilon_0}}\left[\mathbf F+\mathbf F^*\right],</math>
: <math>\mathbf H=-\frac{i}{\sqrt{2\mu\mu_0}}\left[\mathbf F-\mathbf F^*\right],</math>
---------------->
|}

то уравнения Максвелла сводятся к двум:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\nabla\cdot \mathbf{F}=\sqrt{\frac{2\pi}{\varepsilon}}\rho,</math>
: <math>\nabla\times \mathbf{F}=i\sqrt{2\pi\mu}\mathbf{j}+i\frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\frac{\partial \mathbf F}{\partial t}.</math>
|
: <math>\nabla\cdot \mathbf{F}=\sqrt{\frac{1}{2\varepsilon\varepsilon_0}}\rho,</math>
: <math>\nabla\times \mathbf{F}=i\sqrt{\frac{\mu\mu_0}{2}}\mathbf{j}+i\frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\frac{\partial \mathbf F}{\partial t}.</math>
|}

При отсутствии сторонних зарядов и токов остаётся только второе уравнение (первое из-за равенства дивергенции ротора нулю в этом случае удовлетворяется автоматически с точностью до не зависящей от времени компоненты):

<center>
<math>\nabla\times \mathbf F= i\frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\frac{\partial \mathbf F}{\partial t}.</math>
</center>

В отличие от волнового уравнения, которое получаются в этом случае для векторов поля или потенциала, последнее векторное дифференциальное уравнение имеет первый, а не второй порядок и поэтому в ряде случаев может быть проще для решения.

Для гармонического поля с зависимостью <math>\mathbf F= \mathbf F^\pm e^{\pm i\omega t}</math> вектор <math>\mathbf F</math> является собственным вектором оператора ротора:

<center>
<math>\nabla\times\mathbf F^\pm=\mp k\mathbf F^\pm.</math>
</center>

При выбранной нормировке <math>\mathbf F</math> имеет смысл [[Комплексная амплитуда|комплексной амплитуды]] электромагнитного поля, а его квадрат модуля

<center>
<math>w=|\mathbf F|^2\equiv\mathbf F^*\mathbf F=w_E+w_H</math>
</center>

имеет смысл плотности энергии поля.

[[Вектор Пойнтинга]]:
<center>
<math>\mathbf S=-\frac{ic}{\sqrt{\varepsilon\mu}}{\mathbf F}^*\times{\mathbf F}.</math>
</center>

Векторы <math>\mathbf F</math> и <math>\mathbf F^*</math> можно интерпретировать как [[волновая функция|волновые функции]] циркулярно поляризованных [[фотон]]ов<ref name="Birula"/>.

== Ковариантная формулировка ==
С современной точки зрения, четырёхмерная ковариантная формулировка электродинамики, и в частности — запись уравнений Максвелла в таком виде, является физически наиболее фундаментальной.

Практически она приводит, кроме явной ковариантности, к значительно большей компактности уравнений, а значит определённой красоте и в ряде случаев удобству, и более органично и прямо включает в себя единство электромагнитного поля.

Под ковариантной формулировкой понимают два различающихся, но прямо и непосредственно связанных варианта: [[Лоренц-инвариантность|лоренц-ковариантная]] формулировка в плоском [[Пространство-время|пространстве-времени]] [[Пространство Минковского|Минковского]] и [[Общековариантность|общековариантная]] формулировка для общего случая искривлённого пространства-времени (стандартно рассматриваемая в контексте [[Общая теория относительности|общей теории относительности]]). Второй вариант отличается от первого тем, что [[метрический тензор|метрика]] пространства-времени в нём не постоянна (что может означать как присутствие гравитации, так и просто использование более широкого класса координат, например, соответствующих неинерциальным системам отсчёта), и во многом сводится к замене обычных производных по (четырёхмерным) координатам на [[Ковариантная производная|ковариантные производные]] (в значительной части случаев это сводится к механической замене первых на вторые). Кроме прочего, второй вариант позволяет исследовать взаимодействие электромагнитного поля с гравитацией.

* Ниже сначала рассмотрен (как более простой) первый вариант — вариант лоренц-ковариантной формулировки в плоском пространстве-времени.

=== Четырёхмерные векторы ===
При ковариантной записи уравнений электродинамики производится переход от трёхмерных векторов и скаляров
к [[4-вектор|четырёхмерным векторам]] (4-векторы).
Независимо от системы единиц, четырёхмерные координаты (4-вектор координат, в компоненты которого входят время и трёхмерные пространственные координаты), производная по этим координатам (4-производная) и плотность тока определяются следующим образом<ref>Здесь и ниже используются наиболее употребительные в современной литературе соглашения (о нумерации координат, сигнатуре метрики и т. п.), которые вообще говоря могут быть выбраны и несколько по-другому, что встречается в литературе.</ref>:
<center><math>x^\alpha=(ct, ~\mathbf{r})=(ct,x,y,z),
</math></center>
<center>
<math>\partial_\alpha=\frac{\partial }{\partial x^\alpha}=\Bigl(\frac{1}{c}\,\frac{\partial}{\partial t}, ~\nabla\Bigr)=\Bigl(\frac{1}{c}\,\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\Bigr),</math></center>
<center><math>j^\alpha=\rho \frac{dx^\alpha}{dt}=(c\rho, ~\mathbf{j})=(c\rho,j_x,j_y,j_z).
</math></center>
Индекс 4-вектора принимает значения <math>\alpha=0,1,2,3\ </math>. В компонентной записи вектора сначала идёт нулевая компонента, затем — пространственные. Например, время равно <math>t=x^0/c\ </math>, а плотность заряда <math>\rho=j^0/c\ </math>.
В силу этих определений, закон сохранения заряда в ковариантной форме принимает следующий вид:
<center>
<math>\partial_\alpha j^\alpha=0.
</math>
</center>
По повторяющемуся индексу предполагается суммирование от 0 до 3 ([[правило Эйнштейна]]).
{{Hider|
  title = ''Пример'' |
  content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
Приведенное выше уравнение является компактной записью уравнения непрерывности:
<center>
<math>\partial_0 j^0+\partial_1 j^1+\partial_2 j^2+\partial_3 j^3= \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\mathbf{j}=0.
</math>
</center>
<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}

Введём 4-вектор потенциала, имеющий в системах [[СГС]] и [[СИ]] следующие компоненты:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>A^\alpha  = (\varphi, ~~\mathbf{A})</math>
: <math>A_\alpha  = (\varphi, -\mathbf{A})</math>
|
: <math>A^\alpha = (\varphi/c, ~~\mathbf{A})</math>
: <math>A_\alpha = (\varphi/c, -\mathbf{A})</math>
|}
При ковариантной записи играет роль положение индекса у 4-вектора.
Если индекс находится внизу, то такой вектор называется ковариантным вектором (или ковектором),
и его пространственные компоненты имеют обратный знак по сравнению с компонентами 4-вектора. Поднятие и опускание индексов проводится при помощи [[метрический тензор|метрического тензора]] <math>A_\alpha=g_{\alpha\beta}A^\beta\ </math>, который в четырёхмерном [[пространство Минковского|пространстве Минковского]] имеет диагональный вид с сигнатурой: <math>g_{\alpha\beta}=g^{\alpha\beta}={\rm diagonal}(1,-1,-1,-1)\ </math>.

При помощи такого определения 4-вектора потенциала, калибровочное условие Лоренца в ковариантной форме можно записать следующим образом:
<center>
<math>\partial_\alpha A^\alpha=0.
</math>
</center>
Если это условие выполняется, то уравнения Максвелла для потенциалов в вакууме при наличии зарядов и токов
принимают вид:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\partial^2 A^\alpha  = \frac{4\pi}{c}\,j^\alpha</math>
|
: <math>\partial^2 A^\alpha  = \mu_0\,j^\alpha</math>,
|}
где <math>\partial^2</math> — [[оператор Даламбера]] с обратным знаком:
<center>
<math>\partial^2 = \partial_\alpha\partial^\alpha = -\square = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta.
</math>
</center>
Нулевая компонента уравнений Максвелла для 4-вектора потенциала соответствует уравнению для <math>\varphi</math>, а пространственная — для <math>\mathbf{A}</math>.

=== Тензор электромагнитного поля ===
Определим ковариантный тензор электромагнитного поля при помощи производной от 4-вектора потенциала<ref>{{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|1988|страницы=88-90}}</ref><ref>{{Книга:Muller-Kirsten H.J.W.: Electrodynamics|pages=398,399}}</ref>:
<center><math>F_{\alpha\beta}=\partial_\alpha A_\beta - \partial_\beta A_\alpha.</math></center>
Явный вид этого антисимметричного тензора (<math>F_{\alpha\beta} =-F_{\beta\alpha}\ </math>) может быть представлен в следующем виде:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>F_{\alpha\beta}=\left(\begin{matrix}
0 & E_x & E_y & E_z \\
-E_x & 0 & -B_z & B_y \\
-E_y & B_z & 0 & -B_x \\
-E_z & -B_y & B_x & 0
\end{matrix}\right),</math>
|
: <math>F_{\alpha\beta}=\left(\begin{matrix}
0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
-E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
-E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
-E_z/c & -B_y & B_x & 0
\end{matrix}\right).</math>
|}
Временные компоненты тензора составлены из компонент напряжённости электрического поля, а пространственные — магнитного, что может быть записано следующим образом: <math>F_{\alpha\beta}=(\mathbf{E},\mathbf{B})</math>. В тензоре электромагнитного поля с верхними индексами изменяется знак у нулевых компонент (то есть перед компонентами электрического поля): <math>F^{\alpha\beta}=(-\mathbf{E},\mathbf{B})</math>.

Используя определение тензора электромагнитного поля, несложно проверить выполнение следующего тождества:
<center><math>\partial_\alpha F_{\beta \gamma}+\partial_\beta F_{\gamma\alpha}+\partial_\gamma F_{\alpha \beta}=0.</math></center>
Его можно переписать в более компактном виде, введя дуальный тензор электромагнитного поля:
<center><math>\partial_\alpha \tilde{F}^{\alpha \beta} = 0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\tilde{F}^{\alpha \beta} =\frac{1}{2}\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\, F_{\gamma\delta},</math></center>
где <math>\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}\ </math> — антисимметричный [[символ Леви-Чивиты]]
(<math>\epsilon^{0123}=1\ </math>). Это уравнение является ковариантной записью закона Гаусса для магнитного поля и закона электромагнитной индукции Фарадея. Компоненты дуального тензора <math>\tilde{F}_{\alpha\beta}</math> получаются из тензора <math>F_{\alpha\beta}</math> в результате перестановки электрического и магнитного полей<ref>{{Книга:Muller-Kirsten H.J.W.: Electrodynamics|pages=399}}</ref>:
<math>\tilde{F}_{\alpha\beta}=(\mathbf{B},-\mathbf{E})</math>, <math>\tilde{F}^{\alpha\beta}=(-\mathbf{B},-\mathbf{E})</math>.

Полная система уравнений Максвелла в ковариантной форме имеет вид:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\partial_\alpha \tilde{F}^{\alpha \beta} = 0</math>
: <math>\partial_\alpha F^{\alpha \beta}=\frac{4\pi}{c}j^\beta,</math>
|
: <math>\partial_\alpha \tilde{F}^{\alpha \beta} = 0</math>
: <math>\partial_\alpha F^{\alpha \beta}=\mu_0\,j^\beta.</math>
|}
По повторяющемуся индексу <math>\alpha\ </math> проводится суммирование от 0 до 3, а в правой части второго уравнения находится 4-вектор тока. Нулевая компонента этого уравнения соответствует закону Гаусса, а пространственные — закону Ампера — Максвелла.

При помощи тензора электромагнитного поля можно получить законы преобразований компонент электрического и магнитного полей, измеряемых относительно различных инерциальных систем отсчёта<ref>{{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|1988|страницы=90-91}}</ref><ref>{{Книга:Muller-Kirsten H.J.W.: Electrodynamics|pages=403}}</ref>:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math> E'_y = \gamma\, (E_y - {u \over c} \,B_z),~~~
E'_z = \gamma\,(E_z + {u \over c} \,B_y),</math>
: <math> B'_y = \gamma\,(B_y + {u \over c}\, E_z),~~~
B'_z = \gamma\,(B_z - {u \over c} \,E_y),</math>
|
: <math>E'_y = \gamma\,(E_y - u \,B_z),~~~
E'_z = \gamma\,(E_z + u \, B_y),</math>
: <math>B'_y = \gamma\,(B_y + {u \over c^2}\,E_z),~~
B'_z = \gamma\,(B_z - {u \over c^2}\,E_y),</math>
|}
где «штрихованные» величины измеряются относительно системы отсчёта, движущейся вдоль оси <math>x</math> со скоростью <math>u</math> относительно системы, в которой измеряются «не штрихованные» компоненты полей, а <math>\gamma=1/\sqrt{1-u^2/c^2}</math> — фактор Лоренца. Компоненты полей вдоль направления относительного движения инерциальных систем отсчёта остаются неизменными: <math>E'_x = E_x,~~B'_x = B_x</math>.

Уравнения Максвелла в [[вакуум]]е инвариантны относительно [[преобразования Лоренца|преобразований Лоренца]]. Это послужило одним из толчков к созданию [[специальная теория относительности|специальной теории относительности]].

Электрическое и магнитное поля различным образом изменяются при инверсии осей пространственной системы координат. Электрическое поле является [[Полярный вектор|полярным вектором]], а магнитное — [[Аксиальный вектор|аксиальным вектором]]. Можно построить две инвариантные относительно преобразований Лоренца величины:
<center>
<math>F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}=\mathrm{inv}~~~~~~~~~~~~\varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}F_{\alpha\beta}F_{\gamma\delta}=\mathrm{inv}.</math>
</center>
Первый инвариант является [[скаляр]]ом, а второй — [[псевдоскаляр]]ом, то есть изменяет свой знак при инверсии координатных осей.

=== Лагранжиан ===
[[Действие (физическая величина)|Действие]] <math>S\ </math> и [[лагранжиан]] (функция Лагранжа) <math>L\ </math> для пробного заряда, двигающегося во внешнем
электромагнитном поле в системе [[СГС]] и [[СИ]] имеют вид
<ref>{{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|1988|страницы=70-73}}</ref>
<ref name="ReferenceB">{{Книга:Muller-Kirsten H.J.W.: Electrodynamics|pages=428}}</ref>:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>S = \int(-mc\,ds ~-~ \frac{q}{c} \,A_\alpha\, dx^\alpha)</math>
: <math>L= - mc^2\sqrt{1-\frac{\mathbf{u^2}}{c^2}} + \frac{q}{c}\, \mathbf{A}\cdot\mathbf{u}-q\varphi</math>
|
: <math>S = \int(-mc\,ds ~-~ q \,A_\alpha\, dx^\alpha)</math>
: <math>L= - mc^2\sqrt{1-\frac{\mathbf{u^2}}{c^2}} + q\, \mathbf{A}\cdot\mathbf{u}-q\varphi</math>
|}
где:
* <math>m\ </math> — масса частицы (в единицах СИ — кг);
* <math>\mathbf{u}</math> — её скорость (в единицах СИ — м/с);
* <math>q\ </math> — [[Электрический заряд|заряд]] частицы (в единицах СИ — [[Кл]]);
* <math>ds=\sqrt{dx_\alpha dx^\alpha}</math> — 4-х интервал.

Уравнения движения заряда под воздействием [[Сила Лоренца|силы Лоренца]] в ковариантной записи имеют вид:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>mc \frac{d^2x^\alpha}{ds^2} = \frac{q}{c}\, F^{\alpha\beta}\, \frac{dx_\beta}{ds}</math>
|
: <math>mc \frac{d^2x^\alpha}{ds^2} = q\, F^{\alpha\beta}\, \frac{dx_\beta}{ds}.</math>
|}
Уравнения Максвелла получаются из [[принцип наименьшего действия|принципа наименьшего действия]], в котором динамическими переменными являются 4-х потенциалы электромагнитного поля <math>A^\alpha\ </math>. При этом используется следующее ковариантное выражение для [[Принцип наименьшего действия|действия]]<ref name="ReferenceB"/><ref>{{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|1988|страницы=102}}</ref><ref> Fedosin S.G. [http://vixra.org/abs/1110.0069 The Principle of Least Action in Covariant Theory of Gravitation.] Hadronic Journal, 2012, Vol. 35, No. 1, P. 35 — 70; статья на русском языке: [http://sergf.ru/pnd.htm Принцип наименьшего действия в ковариантной теории гравитации.]</ref>:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>S = -\frac{1}{16\pi c} \int F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\, d^4x - \frac{1}{c^2} \int  A_\alpha\,j^\alpha\,d^4x</math>
|
: <math>S = -\frac{1}{4\mu_0 c} \int F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}\, d^4x - \frac{1}{c} \int  A_\alpha\,j^\alpha\,d^4x,</math>
|}
где производится интегрирование по инвариантному 4-объёму <math>d^4x=c\,dt\,dv</math>.

=== Запись при помощи дифференциальных форм ===
{{main|Дифференциальные формы в электромагнетизме}}
Уравнения Максвелла в ковариантной форме, аналогично векторному представлению в трёхмерном пространстве, можно записать в «безындексной форме». Для этого вводится операция [[Внешняя алгебра|внешнего произведения]] <math>\wedge</math>, обладающая свойством [[Кососимметричность|антисимметричности]]
<math>\mathrm{d}x^\alpha\wedge \mathrm{d}x^\beta=-\mathrm{d}x^\beta\wedge \mathrm{d}x^\alpha</math>. Внешнее произведение позволяет записывать свёрнутые по всем индексам выражения с [[Антисимметричный тензор|антисимметричными тензорами]], такими как <math>F_{\alpha\beta}\ </math>. При этом возникают объекты, называемые
[[Дифференциальная форма|дифференциальными формами]] (или просто формами)<ref>''Болибрух А. А.'' [http://www.mccme.ru/dubna/2001/material/bol1.pdf Уравнения Максвелла и дифференциальные формы], МЦНМО, 2002.</ref>. 1-форма потенциала поля
определяется следующим образом (по индексу <math>\alpha\ </math> — сумма от 0 до 3):
<center>
<math>
\mathrm{A} = A_\alpha \mathrm{d}x^\alpha\ .
</math>
</center>
Из 1-формы, при помощи операции [[Дифференциальная форма|внешнего дифференцирования]] <math>\mathrm{d}\ </math>, получается 2-форма электромагнитного поля (или 2-форма Фарадея):
<center>
<math>
\mathrm{F} = \mathrm{d}\,\mathrm{A} = \mathrm{d}A_\alpha \wedge \mathrm{d}x^\alpha 
=  \partial_\beta A_\alpha ~\mathrm{d}x^\beta \wedge \mathrm{d}x^\alpha 
= \frac{1}{2} F_{\alpha\beta} ~\mathrm{d}x^\alpha\wedge \mathrm{d}x^\beta.
</math>
</center>
Операция внешнего дифференцирования обладает свойством <math>\mathrm{d}^2=0\ </math>, что приводит к закону Гаусса для магнитного поля и закону Фарадея:
<center>
<math>
\mathrm{d}\,\mathrm{F} = \mathrm{d}^2\,\mathrm{A} = \frac{1}{2}\,\partial_\gamma F_{\alpha\beta}\,\mathrm{d}x^\gamma \wedge \mathrm{d}x^\alpha \wedge \mathrm{d}x^\beta = \frac{1}{6}\,(\partial_\gamma F_{\alpha\beta}+\partial_\alpha F_{\beta\gamma}+\partial_\beta F_{\gamma\alpha})~ \mathrm{d}x^\alpha \wedge \mathrm{d}x^\beta \wedge \mathrm{d}x^\gamma  = 0.
</math>
</center>
Для записи оставшихся уравнений Максвелла вводится дуальная к <math>\mathrm{F}\ </math> 2-форма <math>^*\mathrm{F}\ </math>, называемая также 2-формой Максвелла<ref>{{Книга:Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж.: Гравитация|Т=1|страницы=195,196}}</ref>:
<center>
<math>^*\mathrm{F} = \frac{1}{2}\, \tilde{F}_{\alpha\beta} ~ \mathrm{d}x^\alpha \wedge \mathrm{d}x^\beta= \frac{1}{4}\, F^{\alpha\beta} \,\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}~ \mathrm{d}x^\gamma \wedge \mathrm{d}x^\delta,
</math>
</center>
и 3-форма тока:
<center>
<math>
^*\mathrm{J} = -\frac{1}{3!}\,j^{\alpha} \,\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}~ \mathrm{d}x^\beta \wedge \mathrm{d}x^\gamma \wedge \mathrm{d}x^\delta,
</math>
</center>
где <math>\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}\ </math> — абсолютный антисимметричный [[символ Леви-Чивиты]] (<math>\epsilon_{0123}=-1\ </math>). Свёртка с символом Леви-Чивиты внешнего произведения дифференциалов называется [[Звезда Ходжа|оператором звезды Ходжа]].

В этих обозначениях уравнения Максвелла в системах [[СГС]] и [[СИ]]
принимают следующий вид<ref>{{Книга:Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж.: Гравитация|Т=1|страницы=153-155}}</ref>:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\mathrm{d}\,\mathrm{F}=0,</math>
: <math>\mathrm{d}^*\mathrm{F}=\frac{4\pi}{c}\,^*\mathrm{J},</math>
|
: <math>\mathrm{d}\,\mathrm{F}=0,</math>
: <math>\mathrm{d}^*\mathrm{F}=\mu_0\,^*\mathrm{J}.</math>
|}
{{Hider|
  title = ''Доказательство'' |
  content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
Чтобы показать эквивалентность этих уравнений уравнениям Максвелла, необходимо записать их
в трёхмерной векторной форме. В этом случае, в системе [[СГС]], ток и 2-форма Максвелла имеют вид:

<center>
<math>
^*\mathrm{J}=c\rho\mathrm{d}v-\mathbf{j}\mathrm{d}\mathbf{s}\wedge \mathrm{d}t\, c,~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
^*\mathrm{F}= \mathbf{E}\mathrm{d}\mathbf{s}-\mathbf{B}\mathrm{d}\mathbf{r} \wedge \mathrm{d}t\,c,
</math>
</center>

где <math>\mathrm{d}v=\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z</math> - трёхмерный объём, а 
<math>\mathrm{d}\mathbf{s}=(\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z,~\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x, \mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y)</math> - вектор площади поверхности в трёхмерном пространстве. Так как:

<center>
<math>
\mathrm{d}^*\mathrm{F}=(\nabla\mathbf{E})\mathrm{d}v +\Bigl( \frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}- \nabla\times\mathbf{B}\Bigr) \mathrm{d}\mathbf{s} \wedge \mathrm{d}t\,c.
</math>
</center>

то, с учётом уравнений Максвелла в дифференциальной форме, получим <math>^*\mathrm{J}\ </math>. 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}

С учётом тождества <math>\mathrm{d}^2=0\ </math>, последнее уравнение Максвелла, записанное при помощи дифференциальных форм
сразу приводит к уравнению непрерывности (закону сохранения заряда):
<center>
<math>
\mathrm{d}^*\mathrm{J}=0\ .
</math>
</center>
В такой форме уравнения Максвелла остаются справедливыми и на произвольном 4-мерном многообразии, например, в искривлённом пространстве-времени [[Общая теория относительности|общей теории относительности]]. В этом случае, в соотношениях дополнительно появляется определитель метрического тензора <math>g</math>. Например, для тока и внешнего дифференцирования:
<center>
<math>
^*\mathrm{J} = -\frac{1}{3!}\,j^{\alpha} \sqrt{-g}\,\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}~ \mathrm{d}x^\beta \wedge \mathrm{d}x^\gamma \wedge \mathrm{d}x^\delta,
~~~~~~~~~~~~~~
\mathrm{d}^*\mathrm{F} = \frac{1}{4}\,F^{\alpha\beta}_{~~;\alpha}\sqrt{-g}\,\epsilon_{\beta\gamma\delta\eta}~ \mathrm{d}x^\gamma \wedge \mathrm{d}x^\delta \wedge \mathrm{d}x^\eta.
</math>
</center>

=== Общековариантная запись в компонентах ===
На произвольном 4-мерном многообразии, то есть в общем случае, включающем и пространство-время ненулевой кривизны (а также произвольных четырёхмерных координат, включая случаи неинерциальных систем отсчёта) электродинамика может быть сформулирована и в обычных индексных обозначениях.

В основном рецепт перехода от случая нулевой кривизны пространства-времени и лоренцевых систем отсчёта в нём, подробно описанного выше, к общему случаю состоит в замене обычных производных по координатам на [[ковариантная производная|ковариантные производные]], учёт того, что [[метрический тензор|метрика]] в этом случае не постоянна и не имеет специального лоренцева вида (то есть практически произвольна), а также при интегрировании — например, при записи [[действие (физическая величина)|действия]] — учёт того, что метрика входит в элемент объёма (через множитель <math>\sqrt{-g}</math> — корень из минус детерминанта метрики).

В общековариантном виде уравнения Максвелла имеют вид:<ref>{{книга | автор  = [[Дирак, Поль Адриен Морис|Дирак П.А.М.]] | заглавие = Общая теория относительности | место = М. | издательство = Атомиздат | год = 1978 | страниц = 64 | ref = Дирак}}</ref>

: <math>F_{\mu \nu : \sigma} + F_{\nu \sigma : \mu} + F_{\sigma \mu : \nu} = 0</math>
: <math>F^{\mu \nu}_{: \nu}=4 \pi J^{\mu}</math>

Здесь знак ":" означает ковариантную производную, подобно тому, как знак "," означает обычную производную:

:<math>A_{\mu : \nu} = A_{\mu , \nu} - \Gamma_{\mu \nu}^{\alpha}A_{\alpha}</math>,

где <math>\Gamma_{\mu \nu}^{\alpha}</math> -  [[Символы Кристоффеля|символ Кристоффеля]] второго типа.

Закон сохранения электрического заряда в общековариантном виде следует из <math>F^{\mu \nu}_{: \nu}=4 \pi J^{\mu}</math>. Умножая обе части на <math>\sqrt{-g}</math> и используя тождество <math>F^{\mu \nu}_{: \nu} \sqrt{-g} = ( F^{\mu \nu} \sqrt{-g} )_{, \nu} </math> находим <math>( F^{\mu \nu} \sqrt{-g} )_{, \nu}=4 \pi J^{\mu} \sqrt{-g}</math>.

Отсюда получаем закон сохранения электрического заряда в общековариантном виде:

: <math>( J^{\mu} \sqrt{-g} )_{, \mu} = \frac{1}{4 \pi}(F^{\mu \nu}\sqrt{-g})_{, \mu \nu}=0</math>.

== Спинорная формулировка ==
Уравнения Максвелла можно записать в [[спинор]]ной форме:

<math>\partial_{\lambda \dot \sigma} f_{\dot \mu}^{\dot \sigma} + \partial_{\dot \mu \sigma} f_{\lambda}^{\sigma} = 2s_{\dot \lambda \mu}</math>,

<math>\partial_{\lambda \dot \sigma} f_{\dot \mu}^{\dot \sigma} - \partial_{\dot \mu \sigma} f_{\lambda}^{\sigma} = 0</math>,

где спинор второго ранга <math>f</math> определяется уравнением <math>f_{\lambda \mu}=\frac{1}{2}(\partial_{\lambda \dot \sigma} \varphi_{\mu}^{\dot \sigma}+\partial_{\mu \sigma} \varphi_{\sigma}^{\dot \sigma})</math>, <math>\varphi_{\mu \nu}</math> — четырёхмерный потенциал в форме спинора второго ранга, <math>\partial_{\mu \nu}</math> — оператор четырёхмерного градиента в спинорной форме, <math>s_{\mu \nu}</math> — плотность тока в спинорной форме<ref>[[Ван дер Варден, Бартель Леендерт|Ван дер Верден Б. Л.]] Метод теории групп в квантовой механике, М., Едиториал УРСС, 2004, ISBN 5-354-00700-3 </ref><ref>[[Румер, Юрий Борисович|Румер Ю. Б.]] Спинорный анализ, М., НКТП, 104 стр.</ref>

== Спектральное представление ==
В электродинамике большое значение имеют [[гармонические колебания]]. Такие поля можно представить в виде:
<center>
<math>\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{2}\left[\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r})e^{-i\omega t}+ \mbox{c. c.}\right]=\Re[\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r})e^{-i\omega t}],
</math>
</center>

<center>
<math>\mathbf{H}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{2}\left[\tilde{\mathbf{H}}(\mathbf{r})e^{-i\omega t}+\mbox{c. c.}\right]=\Re[\tilde{\mathbf{H}}(\mathbf{r})e^{-i\omega t}].
</math>
</center>

где <math>\omega\ </math> — [[частота]] колебаний поля. Обозначение «c. c.» означает [[комплексное сопряжение]] предыдущего слагаемого. В некоторых работах коэффициент 1/2 в соглашении о гармонических амплитудах не используется, что приводит к соответствующей модификации всех связанных с этим соглашением выражений. В литературе также часто встречается выбор обратного знака в комплексной экспоненте. Рассмотренный здесь вариант согласуется с принятым в [[квантовая теория|квантовой теории]] в [[представление Шрёдингера|представлении Шрёдингера]].

Усреднённые за период плотности энергии электрического и магнитного поля равны, соответственно:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{S}=\frac{c}{16\pi}\left[{\tilde{\mathbf{E}}^*}\times{\tilde{\mathbf{H}}}+{\tilde{\mathbf{E}}}\times{\tilde{\mathbf{H}}^*}\right],</math>

: <math>\langle w_E\rangle = \frac{\tilde{\varepsilon}}{16\pi}\,|\tilde{\mathbf{E}}|^2,</math>

: <math>\langle w_H\rangle = \frac{\tilde{\mu}}{16\pi}\,|\tilde{\mathbf{H}}|^2.</math>
|
: <math>\mathbf{S}=\frac{1}{4}\left[{\mathbf{E}^*}\times{\tilde{\mathbf{H}}}+{\tilde{\mathbf{E}}}\times{\tilde{\mathbf{H}}^*}\right],</math>

: <math>\langle w_E\rangle = \frac{\varepsilon_0\tilde{\varepsilon} |{\tilde{\mathbf{E}}}|^2}{4},</math>

: <math>\langle w_H\rangle = \frac{\mu_0\tilde{\mu} |\tilde{\mathbf{H}}|^2}{4}.</math>
|}

Используя [[преобразование Фурье]], по гармоническим колебаниям можно разложить поля с произвольной временной зависимостью.
<center>
: <math>\mathbf{E}(r,t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\tilde {\mathbf{E}}(\mathbf{r},\omega)e^{-i\omega t} \frac{d\omega}{2\pi},</math>
: <math>\mathbf{H}(r,t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\tilde {\mathbf{H}}(\mathbf{r},\omega)e^{-i\omega t} \frac{d\omega}{2\pi}.</math>
</center>

Переход к спектральным компонентам позволяет сосредоточиться на координатной зависимости полей. Уравнения Максвелла для спектральных компонент в однородных средах при этом принимают вид:

{|  class="standard" align="center" width="70%"
|-

! width="%35"| <center>[[СГС]]</center>
! width="%35"| <center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\nabla\cdot\tilde{\mathbf{E}}=\frac{4\pi\tilde {\rho}}{\tilde{\varepsilon}},</math>
|
: <math>\nabla\cdot\tilde{\mathbf{E}}= \frac{\tilde{\rho}}{\varepsilon_0\tilde{\varepsilon}},</math>
|-
|
: <math>\nabla\cdot\tilde{\mathbf{B}}=0,</math>
|
: <math>\nabla\cdot\tilde{\mathbf{B}}=0,</math>
|-
|
: <math>\nabla\times\tilde{\mathbf{E}}=i\frac{\omega}{c}\tilde{\mathbf{B}},</math>
|
: <math>\nabla\times\tilde{\mathbf{E}}=i\omega\tilde{\mathbf{B}},</math>
|-
|
: <math>\nabla\times\tilde{\mathbf{B}}=-i\tilde{\varepsilon}\tilde{\mu}\frac{\omega}{c}\left[1+i\frac{4\pi \tilde{\sigma}}{\omega\tilde{\varepsilon}}\right]\tilde{\mathbf{E}}.</math>
|
: <math>\nabla\times\tilde{\mathbf{B}}= -i\tilde{\varepsilon}\tilde{\mu}\frac{\omega}{c^2}\left[1+i\frac{\tilde{\sigma}}{\omega\varepsilon_0\tilde{\varepsilon}}\right]\tilde{\mathbf{E}}.</math>
|}

Диэлектрическая и магнитная проницаемости среды в спектральном представлении связаны с восприимчивостями [[Уравнения Максвелла#Материальные уравнения|материальных уравнений]] в интегральном представлении Фурье-преобразованием:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\tilde{\varepsilon}(\omega)=1+4\pi\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\chi_e(\tau)e^{i\omega\tau}d\tau,</math>

: <math>\tilde{\mu}(\omega)=1+4\pi\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\chi_m(\tau)e^{i\omega\tau}d\tau.</math>
|
: <math>\tilde{\varepsilon}(\omega)=1+\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\chi_e(\tau)e^{i\omega\tau}d\tau,</math>

: <math>\tilde{\mu}(\omega)=1+\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!\chi_m(\tau)e^{i\omega\tau}d\tau.</math>
|}

== Уравнения без свободных зарядов и токов ==
В отсутствие свободных зарядов и токов <math>\rho=0</math>, <math>\mathbf{j}=0</math>,
[[Уравнения Максвелла#Уравнения в изотропных и однородных средах без дисперсии|в изотропных и однородных средах без дисперсии уравнения Максвелла]] принимают следующий вид:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{E}=0,~~~~~~~~~~~~~~~
\nabla\cdot\mathbf{B}=0,</math>

: <math>\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},~~~~~~
\nabla\times\mathbf{B}=\frac{\varepsilon\mu}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t},</math>
|
: <math>\nabla\cdot\mathbf{E}=0,~~~~~~~~~~~~~
\nabla\cdot\mathbf{B}=0,</math>

: <math>\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},~~~~~~
\nabla\times\mathbf{B}=\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.</math>
|}
Решениями этих уравнений является напряжённость электрического поля
<math>\mathbf{E}</math> и магнитная индукция <math>\mathbf{B}</math>. Диэлектрическая <math>\varepsilon</math> и магнитная <math>\mu</math> проницаемости определяются свойствами среды.
Для вакуума <math>\varepsilon=1</math>, <math>\mu=1</math>.

=== [[Волновое уравнение]] ===
Уравнения Максвелла являются дифференциальными уравнениями первого порядка по координатам и времени. Однако во второй паре в каждое уравнение входят обе неизвестные векторные функции
<math>\mathbf{E}</math> и <math>\mathbf{B}</math>. При отсутствии зарядов и токов можно перейти к уравнениям второго порядка, каждое из которых зависит только от одного, электрического или магнитного поля:
<center>
<math> \Delta\mathbf{E}-\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}=0,
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\Delta\mathbf{B}-\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf B}{\partial t^2}=0.
</math>
</center>
Такие уравнения называются [[Волновое уравнение|волновыми]].
{{Hider|
  title = ''Вывод волнового уравнения'' |
  content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
Берем ротор от закона Фарадея, и используя закон Ампера-Максвелла, получаем (в системе [[СИ]]):
: <math>\nabla\times[\nabla\times\mathbf E]=\nabla\times\left(-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}\right)=-\frac{\partial}{\partial t}[\nabla\times\mathbf B]=-\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}.</math>
С другой стороны, раскрывая двойное векторное произведение, имеем:
: <math>\nabla\times[\nabla\times\mathbf E]=\nabla\,(\nabla\cdot\mathbf E)-\Delta\mathbf E = -\Delta\mathbf E,</math>
так как дивергенция электрического поля в вакууме равна нулю. Приравнивая эти два выражения, получаем волновое уравнение для электрического поля. Аналогично получается волновое уравнение для магнитного поля.
<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}
В [[Калибровка Лоренца|лоренцевской калибровке]] в отсутствие зарядов и токов волновому уравнению удовлетворяют также скалярный и векторный потенциалы:
<center><math> \Delta\varphi-\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}=0,
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
\Delta\mathbf{A}-\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2}=0.
</math>
</center>

Величина <math>c/\sqrt{\varepsilon\mu}</math>, входящая в волновые уравнения определяет скорость распространения электромагнитных полей в среде. Её максимальное значение <math>c</math> достигается в вакууме, когда <math>\varepsilon=1</math> и <math>\mu=1</math>.

=== [[Уравнение Гельмгольца]] ===
Пусть <math>\omega</math> — [[круговая частота]] гармонического сигнала и зависимость от времени выбрана в виде <math>e^{-i\omega t}</math>. При отсутствии электрических зарядов в среде, уравнение Гельмгольца принимает вид:
<center>
<math>\Delta\mathbf E+k^2\mathbf E= 0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta\mathbf B+k^2\mathbf B= 0,</math>
</center>
где <math>k^2=\mu\varepsilon\frac{\omega^2}{c^2}</math>.

== Некоторые точные решения ==

=== Поле движущегося точечного заряда ===
Если заряд движется с постоянной скоростью <math>\mathbf{u}</math>, то вокруг него возникает магнитное поле <math>\mathbf{B}</math>, а напряжённость электрического перестаёт быть сферически симметричной
<ref>{{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|1988|страницы=128—130}}</ref>:
<!----
<ref name="Landau1988"/>:
----->
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{E}=\frac{Q}{\varepsilon}\, \frac{\mathbf{r}}{r^3}\, \frac{1-u^2/c^2}{(1-[\mathbf{n}\times\mathbf{u}]^2/c^2)^{3/2}}</math>
: <math>\mathbf{B}=\frac{\varepsilon\mu}{c}\,[\mathbf{u}\times \mathbf{E}]</math>
|
: <math>\mathbf{E}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon\varepsilon_0}\, \frac{\mathbf{r}}{r^3}\, \frac{1-u^2/c^2}{(1-[\mathbf{n}\times\mathbf{u}]^2/c^2)^{3/2}}</math>
: <math>\mathbf{B}=\frac{\varepsilon\mu}{c^2}\,[\mathbf{u}\times \mathbf{E}]</math>
|}
Единичный вектор <math>\mathbf{n}=\mathbf{r}/r</math> направлен от заряда к точке измерения напряжённости поля. <math>r</math> — модуль вектора <math>\mathbf r</math>. Если ввести угол <math>\theta</math> между векторами <math>\mathbf{u}</math> и <math>\mathbf{n}</math>, то <math>[\mathbf{n}\times\mathbf{u}]^2=u^2\sin^2\theta</math>. При фиксированном расстоянии от заряда напряжённость электрического поля минимальна в точках, находящихся на линии движения заряда. Максимальное значение достигается в плоскости, проходящей через заряд перпендикулярно его скорости. Магнитная индукция, в силу векторного произведения, перпендикулярна скорости и электрическому полю. Так как заряд движется, в фиксированной точке пространства электрическое и магнитное поля изменяются со временем. Они удовлетворяют уравнениям Максвелла с плотностью заряда и тока, пропорциональных [[Дельта-функция|дельта-функции Дирака]]:
<center><math>\rho(\mathbf{r})=Q\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0),~~~~~~~~~~~
\mathbf{j}(\mathbf{r})=\mathbf{u}\,\rho(\mathbf{r})</math></center>
где <math>\mathbf{r}_0</math> — текущее положение заряда.

На пробный заряд <math>q</math>, двигающийся в той же системе отсчёта, действует [[сила Лоренца]]. Она может быть получена при помощи [[Преобразования Лоренца|преобразований Лоренца]] из закона Кулона и принципа инвариантности заряда<ref>Берклеевский курс физики. Том 2. Парселл Э. Электричество и магнетизм. — М.: Наука, 1971.</ref>. В этом смысле магнитное поле по своей природе является релятивистским эффектом.

Если точечный заряд двигается с ускорением, то создаваемое им поле зависит не только от скорости, но и от ускорения. Составляющая поля, зависящая от ускорения, соответствует излучению электромагнитной волны<ref name="ReferenceA"/>.

=== Плоские электромагнитные волны ===
* Предположим, что напряжённость электрического поля и магнитная индукция являются произвольными функциями следующей комбинации координат и времени:
<center><math>\mathbf{E}(\mathbf r, t)=\mathbf{E}\Bigl(\mathbf{n}\mathbf{r}-\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}} t\Bigr),
~~~~~~~~~~~~~~~
\mathbf{B}(\mathbf r, t)=\mathbf{B}\Bigl(\mathbf{n}\mathbf{r}-\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}} t\Bigr),</math></center>
где <math>\mathbf{n}</math> — некоторый постоянный вектор. В этом случае <math>\mathbf{E}</math> и <math>\mathbf{B}</math> удовлетворяют уравнениям Максвелла в отсутствие зарядов и токов, если между ними существует следующая связь:

{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>\mathbf{B}=\sqrt{\varepsilon\mu}\,[\mathbf{n}\times\mathbf{E}]</math>
|
: <math>\mathbf{B}=\frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\,[\mathbf{n}\times\mathbf{E}]</math>
|}
и они перпендикулярны вектору <math>\mathbf{n}</math>, который должен быть единичным:
<center>
<math>
\mathbf{n}\mathbf{E}=0,~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf{n}\mathbf{B}=0,~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf{n}^2=1.
</math>
</center>
{{Hider|
  title = ''Вывод решения для плоской волны'' |
  content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
Если напряжённость электрического поля зависит от координат и времени в виде следующей их комбинации <math>u=\mathbf{n}\mathbf{r}-c t/\sqrt{\varepsilon\mu}</math>, то для производной <math>j\ </math>-той компоненты вектора <math>\mathbf{E}</math> по <math>i\ </math>-той координате и времени можно записать:
<center>
<math>
 \nabla_i E_j = \frac{\partial E_j}{\partial r_i} 
= \frac{d E_j}{du}\,\frac{\partial u}{\partial r_i} = n_i E_j ,~~~~~~~~~~~~~~~~
\frac{\partial E_j}{\partial t} = -\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}} \frac{d E_j}{du},
</math>
</center>
и аналогично для магнитной индукции. Поэтому уравнения Максвелла в отсутствие зарядов и токов принимают вид (система [[СИ]]): 
<center>
<math>
\frac{d(\mathbf{n}\mathbf{E})}{du}  = 0,~~~~~~~~
\frac{d(\mathbf{n}\mathbf{B})}{du} = 0,~~~~~~~~
\frac{d}{du}\bigl([\mathbf{n}\times \mathbf{E}] - \frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\mathbf{B}\bigr)= 0,~~~~~~~~
\frac{d}{du}\bigl([\mathbf{n}\times \mathbf{B}] + \frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c} \mathbf{E}\bigr)= 0.
</math>
</center>
Интегрируя эти соотношения по <math>u</math> и опуская константы интегрирования, которые соответствуют постоянным полям, получаем:
<center>
<math>\mathbf{n}\mathbf{E}  = 0,~~~~~~~~~
\mathbf{n}\mathbf{B} = 0,~~~~~~~~~
 \mathbf{B} = \frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\,[\mathbf{n}\times \mathbf{E}],~~~~~~~~~
   \mathbf{E}= -\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\, [\mathbf{n}\times \mathbf{B}].
</math>
</center>
Подставляя четвёртое уравнение в третье, получаем <math>\mathbf{n}^2=1</math>.
<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}
Физический смысл решения в виде плоской волны состоит в следующем. Выберем ось <math>z\ </math> [[Прямоугольная система координат|декартовой системы координат]] так, чтобы вектор <math>\mathbf{n}</math> был направлен вдоль неё.
Тогда электрические и магнитные поля волны зависят от координаты <math>z\ </math> и времени <math>t\ </math> следующим образом:
<center>
<math>
\mathbf{E}(z, t)=\mathbf{E}\Bigl(z-\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}} t\Bigr),
~~~~~~~~~~~~~~~
\mathbf{B}(z, t)=\mathbf{B}\Bigl(z-\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}} t\Bigr),
</math>
</center>
Предположим, что в начальный момент времени <math>t=0\ </math> напряжённость поля является произвольной векторной функцией <math>z\ </math>. С течением времени эта функция будет сдвигаться в пространстве вдоль оси <math>z\ </math> со скоростью <math>c/\sqrt{\varepsilon\mu}</math>.

В электромагнитной волне в общем случае напряжённость поля может быть произвольной непериодической функцией <math>u=\mathbf{n}\mathbf{r}-c t/\sqrt{\varepsilon\mu}</math>.
Например, решение в виде плоской волны может описывать электромагнитный импульс, локализованный вдоль направления движения. В плоскости, перпендикулярной <math>\mathbf{n}</math>, электромагнитные поля не изменяются, что означает, что в этой плоскости плоская волна не ограничена и имеет плоский [[фазовый фронт]] (именно поэтому волна называется ''плоской''). Так как электрическое и магнитное поля при распространении плоской волны всё время остаются перпендикулярными вектору <math>\mathbf{n}</math>, такие волны называют [[Поперечное поле|«поперечными»]] или «трансверсальными». Векторы <math>\mathbf{E}</math> и <math>\mathbf{B}</math>, в силу свойств векторного произведения, также перпендикулярны друг другу.

<math>\bullet</math> Плотности энергии электрического и магнитного поля в плоской волне равны друг другу:
{| class="standard" align="center" width="75%"
|-
!width="50%"|<center>[[СГС]]</center>|| width="50%"|<center>[[СИ]]</center>
|-
|
: <math>w_E=w_H = \frac{\varepsilon}{8\pi}\, \mathbf{E}^2</math>
|
: <math>w_E=w_H = \frac{\varepsilon\varepsilon_0}{2} \, \mathbf{E}^2</math>
|}
[[Вектор Пойнтинга]] (плотность потока энергии), независимо от системы единиц, связан с полной плотностью энергии следующим образом:
<center>
<math>
\mathbf{S}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\, \mathbf{n}\, (w_E+w_H).
</math>
</center>
Это соотношение соответствует уравнению связи импульса и энергии для безмассовой частицы в [[Специальная теория относительности|релятивистской теории]]. Однако скорость <math>c/\sqrt{\varepsilon\mu}</math> в среде меньше чем скорость света в вакууме <math>c</math>.

[[Файл:Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light And.Linearly.Polarized.Light.Comparison.svg|thumb|right|300px|Циркулярно и линейно поляризованная плоская электромагнитная волна]]

Плоские и поперечные волны являются математическими абстракциями. Реальные волны конечной [[Апертура (оптика)|апертуры]] из-за эффекта [[дифракция|дифракции]] можно считать плоскими и поперечными лишь в некотором приближении.

<math>\bullet</math> Важный частный случай решения в виде плоских волн возникает, когда напряжённости полей являются гармоническими периодическими функциями.
Выберем координатную ось <math>z</math> вдоль волнового вектора <math>\mathbf{k}</math>.
Тогда вектор электрического поля (как, впрочем, и магнитного) будет лежать в плоскости <math>(x,y)</math>, то есть <math>\mathbf{E}=(E_x,E_y,0)</math>. Если по каждой проекции в этой плоскости электрическое поле совершает периодические колебания, то такую волну называют монохроматической плоской волной:
<center>
<math>
E_x=a\, \cos(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r}+\phi_1),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
E_y=b\, \cos(\omega t-\mathbf{k}\mathbf{r}+\phi_2).
</math>
</center>
Сравнение с общим решением для плоской волны приводит к следующей связи
между вектором <math>\mathbf{k}</math> и константой <math>\omega</math>, которое называется
[[Закон дисперсии|уравнением дисперсии]]:
<center>
<math>
\mathbf{k}= \mathbf{n}\, \frac{\sqrt{\varepsilon\mu}}{c}\,\omega,~~~~~~~~~~~~~\mathbf{k}^2 =  \frac{\varepsilon\mu}{c^2}\,\omega^2.
</math>
</center>
В этом случае, вектор <math>\mathbf{k}</math> называется [[Волновой вектор|волновым вектором]], а <math>\omega</math> — [[круговая частота|круговой частотой]] монохроматической электромагнитной волны. Модуль волнового вектора и круговая частота связаны с длиной волны <math>\lambda</math> и её частотой <math>\nu</math> следующим образом:
<center>
<math>
k = \frac{2\pi}{\lambda},~~~~~~~~~\omega=2\pi\nu,~~~~~~~~~~~\lambda\nu = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}.
</math>
</center>
Константы <math>\phi_1</math> и <math>\phi_2</math> являются сдвигами фазы, а
<math>a</math> и <math>b</math> — амплитудами колебаний вдоль каждой оси.

В фиксированной точке пространства (<math>\mathbf{k}\mathbf{r}=\mathrm{const}</math>) вектор электрического поля, в общем случае, описывает в плоскости <math>(x,y)\ </math> эллипс, поэтому такие волны называются [[Поляризация электромагнитных волн|эллиптически поляризованными]]. Их частным случаем являются волны, поляризованные по кругу. Вырожденный в прямую эллипс соответствует колебаниям напряжённости поля вдоль одной прямой в плоскости <math>(x,y)\ </math>. Такие волны называются линейно поляризованными.
Аналогична ситуация с вектором магнитной индукции, который всё время перпендикулярен напряжённости электрического поля.

== Связь с другими теориями ==
Уравнения Максвелла полностью совместимы с принципами [[Специальная теория относительности|специальной теории относительности]].
Они также применимы при микроскопическом описании вещества, когда заряженные частицы подчиняются принципам [[квантовая механика|квантовой механики]], а электромагнитное поле остаётся классическим (не квантовым). В этом случае квантовые объекты (например, [[электрон]]ы) описываются [[уравнение Шрёдингера|уравнением Шрёдингера]] или [[уравнение Дирака|уравнением Дирака]], однако потенциалы электромагнитного взаимодействия в этих уравнениях определяются классическими уравнениями Максвелла.

Тем не менее, существуют явления, для описания которых требуется более последовательное объединение полевого подхода Фарадея — Максвелла с принципами квантовой механики. Оно осуществляется при помощи методов [[квантовая теория поля|квантовой теории поля]] в [[квантовая электродинамика|квантовой электродинамике]]. В этом случае форма уравнений Максвелла (лагранжиан) остаётся неизменной, однако поля становятся [[Оператор (физика)|операторами]], а уравнения Максвелла — операторными [[уравнение Гейзенберга|уравнениями Гейзенберга]].
Решение подобных уравнений приводит к появлению новых эффектов, отсутствующих в классической теории поля.
Эти эффекты существенны, в частности, в следующих физических ситуациях:
* Сверхсильные поля (<math>E \sim m_e^2c^3/e\hbar</math>≈1.32×10<sup>18</sup> В/м, где <math>m_e\ </math> — масса [[электрон]]а, <math>e\ </math> — его заряд, <math>\hbar</math> — [[постоянная Планка]]) — [[Механическая работа|работа]] такого поля на [[Комптоновская длина волны|комптоновской длине волны]] электрона равна по порядку величины [[Энергия покоя|энергии покоя]] электрона, что приводит к самопроизвольной генерации электрон-позитронных пар из вакуума ([[эффект Швингера]])<ref>{{статья|автор=[[Швингер, Джулиус|Schwinger J.]]|заглавие=On gauge invariance and vacuum polarization|ссылка=|язык=en|издание=[[Phys. Rev. Lett.]]|год=1951|том=82|номер=|страницы=664}}</ref>. В результате возникает эффективное взаимодействие фотонов, которое отсутствует в классической электродинамике, приводящее к эффективному изменению лагранжиана поля (например, в низкоэнергетическом пределе поле описывается [[Лагранжиан Гейзенберга — Эйлера|лагранжианом Гейзенберга — Эйлера]]<ref>{{статья|автор=[[Гейзенберг, Вернер|Heisenberg W.]], Euler H.|заглавие=Folgerungen aus der Dlracschen Theorie des Positrons|ссылка=|язык=de|издание=[[Z. Phys.]]|год=1936|том=98|номер=|страницы=714}}</ref>).
* Сверхслабые поля, с энергией <math>\sim\hbar\omega</math>, где <math>\omega\ </math> — частота поля (см. [[формула Планка]]). В этом случае становятся заметными отдельные кванты электромагнитного поля — [[фотон]]ы.
* Для описания эффектов поглощения и испускания света атомами и молекулами.
* Для описания неклассических, например, [[сжатое состояние поля|сжатых состояний поля]]<ref>А. В. Белинский, А. С. Чиркин {{Из|ФЭ|http://www.femto.com.ua/articles/part_2/3613.html|заглавие=Сжатое состояние}}</ref>.
* На малых расстояниях, сравнимых с [[Комптоновская длина волны|комптоновской длиной волны]] [[электрон]]а, <math>\lambda_e=\hbar/m_ec</math> ≈ 3,86×10<sup>−13</sup> м, когда в результате вакуумных эффектов модифицируется, например, [[закон Кулона#Поправки к закону Кулона в квантовой электродинамике|закон Кулона]].

== Аксиоматический подход ==
Исторически уравнения Максвелла возникли в результате обобщения различных экспериментальных открытий. Однако с аксиоматической точки зрения их можно получить при помощи следующей последовательности шагов<ref>{{Книга:Парселл Э.: Электричество и магнетизм|страницы=149-181}}</ref>:

* Постулируются:
** [[закон Кулона]] (сила <math>\mathbf{F}</math>, действующая на пробный заряд <math>q</math> со стороны неподвижного заряда <math>Q</math>);
** инвариантность заряда в различных инерциальных системах отсчёта;
** [[принцип суперпозиции]].
* При помощи [[преобразования Лоренца|преобразований Лоренца]] получается значение для вектора силы <math>\mathbf{F}</math>, действующей на пробный заряд, со стороны равномерно двигающегося со скоростью <math>\mathbf{u}</math> заряда <math>Q</math>, которое совпадает с [[сила Лоренца|силой Лоренца]].
* [[Дивергенция]] и [[Ротор (математика)|ротор]], вычисленные от электрической (<math>\mathbf{E}</math>) и магнитной (<math>\mathbf{B}</math>) составляющих силы дают уравнения Максвелла для точечного заряда. В силу принципа суперпозиции они записываются для произвольного распределения зарядов и токов. В заключение постулируется применимость этих уравнений и к ускоренному движению зарядов.

Второй подход основан на [[лагранжев формализм|лагранжевом формализме]]
<ref>{{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|1988}}</ref>. При этом постулируется, что электромагнитное поле описывается линейным взаимодействием четырёхмерного потенциала <math>A^\alpha</math>, с четырёх-вектором электрического тока <math>j^\alpha</math>, а свободный лагранжиан пропорционален инвариантной свёртке квадрата тензора электромагнитного поля <math>F^{\alpha\beta}</math>.

Как в первом, так и во втором подходе предполагаются установленными принципы [[специальная теория относительности|теории относительности]]. Хотя исторически она возникла на основе уравнений Максвелла и второго постулата Эйнштейна, известен восходящий к работам Игнатовского
<ref>''von W. v. Ignatowsky'' «Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip» Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 ([http://synset.com/ru/Игнатовский_1910 русский перевод])</ref>,
Франка и Роте
<ref>''von Philipp Frank'' und ''Hermann Rothe'' «Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme» Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855 ([http://synset.com/ru/Франк_Роте_1911 русский перевод])</ref>
аксиоматический способ построения [[специальная теория относительности|СТО]], не использующий постулата об инвариантности скорости света и уравнений Максвелла.

В обоих аксиоматических подходах получаются уравнения Максвелла в вакууме при наличии свободных зарядов. Расширение этих уравнений на электродинамику сплошных сред требует дальнейшего привлечения различных модельных представлений о структуре вещества.

== Единственность решений уравнений Максвелла ==
Уравнения Максвелла являются [[Дифференциальное уравнение в частных производных|дифференциальными уравнениями в частных производных]]. Поэтому для их решения необходимо задать [[начальные и граничные условия]].
При фиксированных функциях плотности заряда и тока для нестационарных полей получаемое решение единственно. Этот факт формулируется в виде теоремы<ref>{{Книга:Стрэттон Дж.А.: Теория электромагнетизма|страницы=429-430}}</ref><ref>''Никольский В. В., Никольская Т. И.'' Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. — C. 128—130</ref><ref>X. L. Zhou
«On independence, completeness of Maxwell’s equations
and uniqueness theorems in electromagnetics»
Progress In Electromagnetics Research, PIER 64, 117—134, '''2006'''
[http://ceta.mit.edu/PIER/pier64/08.06061302.Zhou.pdf pdf] {{Wayback|url=http://ceta.mit.edu/PIER/pier64/08.06061302.Zhou.pdf |date=20100602133223 }}</ref>:

<blockquote>
Если напряженности электрического и магнитного полей заданы в начальный момент времени <math>t=0</math> в каждой точке некоторой области пространства <math>v</math>, и в течениe всего времени <math>t\ge 0</math> заданы тангенциальные (касательные) составляющие напряженности электрического или магнитного поля на границе этой области <math>s</math>, то существует единственное решение уравнений Максвелла.
</blockquote>

{{Hider|
  title = ''Доказательство'' |
  content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
Пусть электрическая и магнитная индукции связаны с напряжённостями полей при помощи следующих материальных уравнений:
<center>
<math>
\mathbf{D}(\mathbf{r}, t)=\hat{\varepsilon}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}, t),
~~~~~~~~~~~~~~~~~
\mathbf{B}(\mathbf{r}, t)=\hat{\mu}(\mathbf{r})\cdot\mathbf{H}(\mathbf{r}, t),
</math>
</center>
где <math>\hat{\varepsilon}(\mathbf{r})</math> и <math>\hat{\mu}(\mathbf{r})</math> - 
положительно определённые, симметричные, стационарные матрицы. Если при данных начальных и граничных условиях существуют два различных решения, то следующие величины будут отличны от нуля:
<center>
<math>
\mathbf{e}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{E}_2(\mathbf{r}, t)-\mathbf{E}_1(\mathbf{r}, t),
~~~~~~~~~~~~~~~~~
\mathbf{h}(\mathbf{r}, t)=\mathbf{H}_2(\mathbf{r}, t)-\mathbf{H}_1(\mathbf{r}, t),
</math>
</center>
где индекс указывает номер решения. Так как начальные и граничные условия
заданы (одинаковые для обоих возможных решений), то:
<center>
<math>
\mathbf{e}(\mathbf{r}, 0)=\mathbf{h}(\mathbf{r}, 0)=0,~~~~~~~~~~~~~~~
[\mathbf{e}_\tau(\mathbf{r}, t) \cup \mathbf{h}_\tau(\mathbf{r}, t)]\Big|_s=0.
</math>
</center>
Первые соотношения соответствуют начальным условиям, а вторые - граничным условиям на поверхности <math>s</math>, где
<math>\mathbf{e}=\mathbf{e}_n+\mathbf{e}_\tau</math>. (Индекс <math>n</math> - нормальная  составляющая к поверхности, а <math>\tau</math> - касательная. Аналогично для <math>\mathbf{h}</math>)
Подстановка функций <math>\mathbf{e}(\mathbf{r}, t)</math> и <math>\mathbf{h}(\mathbf{r}, t)</math> в уравнения Максвелла для роторов приводит к следующим уравнениям:
<center>
<math>
k\,\nabla\times\mathbf{e}=-\frac{\partial (\hat{\mu}\cdot\mathbf{h})}{\partial t},
~~~~~~~~~~~~~~~~~
k\,\nabla\times\mathbf{h}=\frac{\partial (\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{e})}{\partial t},
</math>
</center>
где коэффициент <math>k</math> равен <math>c</math> в системе [[СГС]] и единице в системе [[СИ]]. Если одно из разностных полей <math>\mathbf{e}</math> или <math>\mathbf{h}</math> равно нулю, то в силу нулевых начальных условий, соответственно, из первого или второго уравнения следует равенство нулю неопределенного разностного поля, соответственно, <math>\mathbf{h}</math> или <math>\mathbf{e}</math>, и единственность в этих частных случаях доказана. 

Предположим, что не равны нулю оба разностных поля. Если первое уравнение умножить на <math>\mathbf{h}</math>, а второе на <math>\mathbf{e}</math>, и вычесть друг из друга, то получится следующее выражение:
<center><math>-2k\,\nabla\cdot(\mathbf{e}\times\mathbf{h})=
\frac{\partial (\mathbf{e}\cdot\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{e})}{\partial t}
+\frac{\partial (\mathbf{h}\cdot\hat{\mu}\cdot\mathbf{h})}{\partial t}.
</math></center>
Это выражение можно проинтегрировать по объёму <math>v</math>, и применить [[теорема Гаусса|теорему Гаусса]]:
<center><math>-2k\oint\limits_s [\mathbf{e}\times\mathbf{h}]\,d\mathbf{s}
=
\frac{d}{d t}
\int\limits_v (\mathbf{e}\cdot\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{e}+\mathbf{h}\cdot\hat{\mu}\cdot\mathbf{h})\, dv.</math></center>
Тангенциальные (касательные) к поверхности <math>s</math> компоненты векторов <math>\mathbf{e}_\tau</math> или <math>\mathbf{h}_\tau</math> при любом <math>t\ge 0</math>  равны нулю (граничные условия), поэтому равен нулю и интеграл по поверхности. Следовательно:
<center><math>\frac{d}{d t}
\int\limits_v (\mathbf{e}\cdot\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{e}+\mathbf{h}\cdot\hat{\mu}\cdot\mathbf{h})\, dv = 0.</math></center>
Полученное соотношение интегрируется по времени. Так как в начальный момент времени <math>t=0</math> функции <math>\mathbf{e}(\mathbf{r}, 0)=\mathbf{h}(\mathbf{r}, 0)=0</math>,
то константа интегрирования равна нулю, и при любом <math>t</math>: 
<center><math>\int\limits_v (\mathbf{e}\cdot\hat{\varepsilon}\cdot\mathbf{e}+\mathbf{h}\cdot\hat{\mu}\cdot\mathbf{h})\,dv = 0.</math></center>
Подынтегральная функция является положительно определённой (всегда больше или равна нулю). Интеграл от такой функции равен нулю только в том случае, когда подынтегральная функция тождественно равна нулю. Следовательно, в любой момент времени внутри объёма <math>\mathbf{e}(\mathbf{r}, t)=0</math> и <math>\mathbf{h}(\mathbf{r}, t)=0</math>. Поэтому решения совпадают. 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}

Для единственности решения уравнений Максвелла вместо задания тангенциальных компонент поля можно потребовать выполнение на границе условия импедансного типа
<center><math>\left(\mathbf{E}_\tau - Z [\mathbf{n}\times \mathbf{H}]\right)\Big|_s=0,</math></center>
где [[Электрический импеданс#Определение|импеданс]] <math>Z</math> выбран так, чтобы исключить приток энергии извне. Такое условие позволяет сформулировать теорему единственности и в неограниченном случае, при этом импедансное условие обращается в [[условие излучения Зоммерфельда]] на бесконечности.

Для гармонических во времени процессов единственность решения задачи без начальных условий обеспечивается сколь угодно малым поглощением энергии внутри объёма <math>v</math> или её утечкой через поверхность <math>s</math> (исключающими собственные колебания на действительных [[резонанс]]ных частотах).

В стационарных задачах [[электростатика|электростатики]] и [[магнитостатика|магнитостатики]] единственное решение для установившихся полей определяется только граничными условиями.

== Численное решение уравнений Максвелла ==
С развитием вычислительной техники стало возможным решать многие задачи электродинамики численными методами<ref>{{cite book|last=Chew W. C., Jin J., Michielssen E., Song J.|title=Fast and Efficient Algorithms in Computational Electromagnetics |publisher=Artech House |year=2001|isbn=1-58053-152-0}}</ref>, которые позволяют определить распределение электромагнитного поля при заданных начальных и граничных условиях, используя алгоритмы, основанные на уравнениях Максвелла.

Основными методами являются проекционные, в которых решение проецируется на какой-либо удобный функциональный базис, и дискретизационные — область пространства разбивается на множество малых конечных областей.
* В проекционном [[Метод Галёркина|методе Бубнова — Галёркина]]<ref>''Никольский В. В., Никольская Т. И.'' Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. — C. 416—436</ref> решение граничной задачи рассматривается в виде приближённого конечного разложения по базисным функциям. После подстановки разложения в исходные уравнения с учётом требования ортогональности получающейся [[невязка|невязки]] выбранным базисным функциям получается система линейных уравнений для коэффициентов разложения.

Для компьютерных расчётов чаще применяются более универсальные дискретизационные методы:

* [[Метод конечных элементов]] (FEM), который используется для решения широкого класса задач, сводящихся к уравнениям в частных производных. В теории электромагнетизма чаще используется для расчёта задач электростатики, магнитостатики, распространения волн и квазистационарных явлений<ref>{{Книга|автор =Сильвестер П. и Феррари Р.|заглавие = Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков|место = М.|оригинал =|ссылка =|издательство = Мир |год = 1986|isbn = |страниц =336}}</ref><ref>{{cite book|last=Monk, P.|title=Finite Element Methods for Maxwell's Equations |publisher=Clarendon Press, Oxford |year=2003|isbn=}}</ref>. В методе конечных элементов рассматриваемая область пространства, в которой ищется решение, разбивается на большое число простых дискретных элементов, обычно, но не обязательно, треугольной (в двумерном случае) или тетраэдральной формы (в трёхмерном случае). Форма и плотность элементов адаптируются к требованиям задачи. Поведение отдельных элементов рассматривается как результат линейного взаимодействия соседних узлов решётки разбиения под действием внешних сил и описывается матричными уравнениями. Решение задачи сводится, таким образом, к решению разреженных систем большого числа линейных матричных уравнений. Метод реализован во многих коммерческих и свободных программных пакетах (см. статью [[Метод конечных элементов]]).

* [[Метод конечных разностей во временной области]] (FDTD) для нахождения временны́х и спектральных зависимостей<ref>{{cite book|last=Taflove A. and Hagness S. C.|title=Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method|publisher=Artech House |year=2005|isbn=}}</ref><ref>{{cite book|last=Jin, J.|title=The Finite Element Method in Electromagnetics|edition=2nd |publisher=Wiley-IEEE Press|year=2002|isbn=0-47143-818-9}}</ref> был разработан специально для решения уравнений Максвелла, в которых изменение электрического и магнитного поля во времени зависит от изменения, соответственно, магнитного и электрического поля в пространстве. В рамках этого метода область пространства и временной интервал подвергаются равномерной дискретизации с заданием начальных условий. Полученные из уравнений Максвелла конечно-разностные уравнения решаются в каждый последующий момент временной сетки, пока не будет получено решение поставленной задачи на всем требуемом временном интервале.

== Источники ==
{{примечания|2}}

== Примечания ==
{{примечания|group=~}}

== См. также ==
* [[Электродинамика]]
* [[Квантовая электродинамика]]
* [[Максвелл, Джеймс Клерк]]
* [[Теория Янга — Миллса]]
* [[Потенциалы Лиенара — Вихерта]]
* [[Уравнения Ефименко]]
* [[Закон электромагнитной индукции]]

== Литература ==
;Исторические публикации
{{Wikisource|en:Author:James Clerk Maxwell}}
* {{Книга:Ампер A.M.: Электродинамика}}
* {{Книга:Максвелл Дж.К.: Избранные сочинения}}
* {{Книга|автор = [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелл Дж. К.]]|заглавие = Статьи и речи|место = М.|оригинал = |ссылка =http://ivanik3.narod.ru/linksMaksvStatyRechy.html |издательство = Наука |год = 1968|isbn = |страниц =423}}
* {{Книга:Фарадей М.: Экспериментальные исследования}}
* {{статья|автор =Maxwell J. C.|заглавие =A dynamical theory of the electromagnetic field|ссылка =http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/A_Dynamical_Theory_of_the_Electromagnetic_Field.pdf|издание =Philosophical Transactions of the Royal Society of London|тип =|место =|год =1865|том =155|номер =|страницы =459—512}}
* ''Maxwell J. C.'', [http://posner.library.cmu.edu/Posner/books/book.cgi?call=537_M46T_1873_VOL._1 A Treatise on Electricity And Magnetism — Volume 1 — 1873] — Posner Memorial Collection — Carnegie Mellon University
* ''Maxwell J. C.'', [http://posner.library.cmu.edu/Posner/books/book.cgi?call=537_M46T_1873_VOL._2 A Treatise on Electricity And Magnetism — Volume 2 — 1873] — Posner Memorial Collection — Carnegie Mellon University
* {{книга|автор= Максвелл Дж. К |заглавие= Трактат об электричестве и магнетизме |ссылка=|том= 1 |место= М. |издательство= Наука |год= 1989 }}
* {{книга|автор= Максвелл Дж. К |заглавие= Трактат об электричестве и магнетизме |ссылка= |том= 2 |место= М. |издательство= Наука |год= 1989 }}
* {{статья|автор =Maxwell J. C.|заглавие =On Physical Lines of Force|оригинал =|ссылка =http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/On_Physical_Lines_of_Force.pdf|издание =Philosophical Magazine|тип =Ser. 4|место =|год =1861,1862|том =11,13|номер =|страницы =161—175, 281—291, 338—347; 12—23, 85—95}}
* {{статья|автор =Maxwell J. C.|заглавие =On Faraday's Lines of Force|оригинал =|ссылка =http://blazelabs.com/On%20Faraday's%20Lines%20of%20Force.pdf|издание =Transactions of the Cambridge Philosophical Society|тип =|место =|год =1856|том =10|номер =1|страницы =155—229|archiveurl=https://web.archive.org/web/20081217035457/http://blazelabs.com/On%20Faraday's%20Lines%20of%20Force.pdf|archivedate=2008-12-17|deadlink=404}}

;История развития
* {{Книга|автор =Болотовский Б. М.|заглавие = Оливер Хевисайд|место = М.|оригинал =|ссылка =http://vivovoco.astronet.ru/VV/BOOKS/HEAVISIDE/CONTENT.HTM|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]] |год = 1985|isbn = |страниц =260}}
* {{Книга|автор =Карцев В. П.|заглавие = Максвелл (Жизнь замечательных людей)|место = М.|оригинал =|ссылка =|издательство = [[Молодая гвардия (издательство)|Молодая гвардия]] |год = 1976|isbn = |страниц =336}}
* {{Книга|автор =Карцев В. П.|заглавие = Приключения великих уравнений|место = М.|оригинал =|ссылка =http://n-t.ru/ri/kr/pu.htm|издательство = [[Знание (московское издательство)|Знание]] |год = 1986|isbn = |страниц =288}}
* {{статья|автор = Шапиро И. С.|заглавие =К истории открытия уравнений Максвелла
|оригинал =|ссылка =http://ufn.ru/ufn72/ufn72_10/Russian/r7210f.pdf|издание = [[УФН]]|тип =|место =|год =1972|том = 108|номер = 2|страницы = 319—333}}
* {{Книга|автор =Купер Л.|заглавие = Физика для всех. т.1|место = М.|оригинал =''Leon N. Cooper'' An Introduction to the Meaning and Structure of Phisics, 1968,1970|ссылка =http://www.log-in.ru/books/19216/|издательство = [[Мир (издательство)|Мир]]|год = 1973|isbn =|страниц =}}

;Общие курсы физики
* {{Книга|автор =Астахов А. В., Широков Ю. М.|заглавие = Курс физики, Т. II, Электромагнитное поле |место = М.|оригинал = |ссылка = |издательство =[[Наука (издательство)|Наука]] |год = 1980|isbn = |страниц =360}}
* {{Книга|автор =Баскаков С. И.|заглавие = Основы электродинамики |место = М.|оригинал = |ссылка = |издательство =[[Советское радио]]  |год = 1973|isbn = |страниц =248}}
* {{Книга|автор =[[Калашников, Сергей Григорьевич|Калашников С. Г.]]|заглавие = Электричество (Общий курс физики, т. 2). |место = М.|издание= 6-е изд |ссылка = |издательство = [[Физматлит]]|год = 2003|isbn = 5-9221-0312-1|страниц =624}}
* ''Матвеев А. Н.'' Электричество и магнетизм. — М.: [[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]], 1983.
* ''Никольский В. В., Никольская Т. И.'' Электродинамика и распространение радиоволн. М.: [[Наука (издательство)|Наука]], 1989.
* ''Пеннер Д. И., Угаров В. А.'' Электродинамика и специальная теория относительности. М.: [[Просвещение (издательство)|Просвещение]], 1980.
* ''[[Парселл, Эдвард Миллс|Парселл Э.]]'' Электричество и магнетизм. Берклеевский курс физики. Том 2. М.: [[Наука (издательство)|Наука]], 1971.
* {{Книга:Сивухин Д.В.: Электричество|1996}}
* ''[[Тоннела, Мари-Антуанетт|Тоннела М. А.]]'' [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Tonnela1962ru.djvu Основы электромагнетизма и теории относительности.] М.: ИЛ, 1962.
* ''[[Фейнман, Ричард Филлипс|Фейнман Р.]], Лейтон Р., Сэндс М.'' Фейнмановские лекции по физике. Том 5. Электричество и магнетизм. М.: [[Мир (издательство)|Мир]], 1965
* ''[[Фейнман, Ричард Филлипс|Фейнман Р.]], Лейтон Р., Сэндс М.'' Фейнмановские лекции по физике. Том 6. Электродинамика. М.: [[Мир (издательство)|Мир]], 1966

;Курсы теоретической физики
* ''Баранов А. М., Овчинников С. Г., Золотов О. А., Паклин Н. Н., Титов Л. С.'' [http://www.kirensky.ru/zdoc/lectures_sgo/electrodyn.pdf Теоретическая физика: Электродинамика. Электродинамика сплошных сред. Учебное пособие по курсу «Электродинамика и основы электродинамики сплошных сред»]. — Красноярск: [[СФУ]], 2008. — 198 с.
* {{Книга|автор =Джексон Дж.|заглавие = Классическая электродинамика|место = М.|издательство = [[Мир (издательство)|Мир]] |год = 1965|isbn = |страниц = }}
* {{Книга|автор =Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.|заглавие = Теория поля (Теоретическая физика, т. II)|место = М.|издательство = [[Физматлит]] |год = 2003|isbn = 5-9221-0056-4|страниц =536}}
* {{Книга|автор =Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.|заглавие = Электродинамика сплошных сред (Теоретическая физика, т. VIII)|место = М.|издательство = [[Физматлит]]|год = 2005|isbn = 5-9221-0123-4|страниц =656}}
* {{Книга|автор =Батыгин В. В., Топтыгин И. Н.|заглавие = Современная электродинамика. Часть 1. Микроскопическая теория|место = М.|издательство = НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»|год = 2005|isbn = 5-93972-492-2|страниц =736}}
* {{Книга|автор =Топтыгин И. Н.|заглавие = Современная электродинамика. Часть 2. Теория электромагнитных явлений в веществе|место = М.|издательство = НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»|год = 2005|isbn = 5-93972-493-0|страниц =848}}
* {{Книга:Стрэттон Дж.А.: Теория электромагнетизма}}
* {{Книга|автор =[[Тамм, Игорь Евгеньевич|Тамм И. Е.]]|заглавие = Основы теории электричества|место = М.|издательство = [[Наука (издательство)|Наука]] |год = 1989|isbn = |страниц = }}
* ''Фущич В. И., Никитин А. Г.'' Симметрия уравнений Максвелла. — Киев: [[Наукова думка]], 1983. — C. 200.
* ''Болибрух А. А.'' [http://www.mccme.ru/dubna/2001/material/bol1.pdf Уравнения Максвелла и дифференциальные формы]. — МЦНМО, 2002.

;Решения уравнений Максвелла
* {{Книга|автор =Баландин М. Ю., Шурина Э. П.|заглавие = Векторный метод конечных элементов: Учебное пособие |место = Новосибирск |оригинал = |ссылка =http://window.edu.ru/window_catalog/files/r41184/nstu145.pdf |издательство = [[НГТУ]] |год = 2001 |isbn = |страниц =69}}
* ''[[Вайнштейн, Лев Альбертович|Вайнштейн Л. А.]]'' Электромагнитные волны. — М.: [[Радио и связь]], 1988.
* ''Вонсовский С. В.'' Магнетизм. Магнитные свойства диа-, пара-, ферро-, антиферро-, и ферримагнетиков. — М.: [[Наука (издательство)|Наука]], 1971.
* ''[[Гинзбург, Виталий Лазаревич|Гинзбург В. Л.]]'' Распространение электромагнитных волн в плазме. — 2-е изд. — М.: [[Наука (издательство)|Наука]], 1967.
* {{Книга|автор =Сильвестер П. и Феррари Р. |заглавие = Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков |место = М. |оригинал = |ссылка = |издательство = [[Мир (издательство)|Мир]] |год = 1986|isbn = |страниц =336}}

== Ссылки ==
* [http://elementy.ru/trefil/24 Уравнения Максвелла (Научный портал «Элементы большой науки»)]
* [https://www.youtube.com/watch?v=kc86bB8kefM Основные физические понятия электродинамики]

{{внешние ссылки}}
{{Избранная статья|Физика|Математика}}
{{Статья года|2010}}

{{Математическая физика}}

[[Категория:Электродинамика]]
[[Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных|Максвелла уравнения]]
[[Категория:Физические законы и уравнения|Максвелла уравнения]]
[[Категория:Именные законы и правила|Максвелла]]