Просмотр кода страницы Уравнение теплопроводности

[[Файл:Heat eqn.gif|thumb|Пример численного решения уравнения теплопроводности. Цветом и высотой поверхности передана температура данной точки.]]
'''Уравнение теплопроводности''' — дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, которое описывает распределение температуры в заданной области пространства и ее изменение во времени.

== Вид уравнения ==
В пространстве с произвольной системой координат <math>\mathbf{r}=(r_1, \ldots, r_n)</math> уравнение теплопроводности имеет вид
{{Equation box 1
|equation=<math>\frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \Delta u=f(\mathbf{r},t), </math>
|indent=:
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour=#ECFCF4}}
где <math>a</math> — положительная константа (число <math>a^2</math> является [[коэффициент температуропроводности|коэффициентом температуропроводности]]), 
<math>\Delta = \nabla^2</math> — [[оператор Лапласа]] и <math>f(\mathbf{r},t)</math> — функция тепловых источников<ref>''Тихонов А. Н., Самарский А. А.'' Уравнения математической физики. — гл.&nbsp;III, § 1. — Любое издание.</ref>. Искомая функция <math>u = u(\mathbf{r},t)</math> задает температуру в точке с координатами <math>\mathbf{r}</math> в момент времени <math>t</math>.

В пространстве с [[Прямоугольная система координат|декартовыми координатами]] <math>x = (x_1, \ldots, x_n)</math> уравнение теплопроводности принимает вид
{{Equation box 1
|equation=<math>\frac{\partial u}{\partial t} - a^2 
\left(\frac{\partial^2u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2u}{\partial x_2^2} + \cdots + \frac{\partial^2u}{\partial x_n^2}\right) = f(x,t).</math>
|indent=:
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour=#ECFCF3}}

Уравнение теплопроводности называется ''однородным'', если <math>f(x,t) \equiv 0</math>, т.е. система теплоизолирована.

== Задача Коши для уравнения теплопроводности ==

=== Однородное уравнение ===
Рассмотрим задачу Коши для ''однородного'' уравнения теплопроводности:
{{рамка}}
: <math>\begin{array}{l}
\displaystyle 
\frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \Delta u = 0,
\quad x \in \mathbb{R}^n, \; t>0, \\ 
{}\qquad 
u(x,\;0)=\varphi(x), \quad x \in \mathbb{R}^n, \\
\end{array}</math>
{{конец рамки}}
где <math>\varphi(x)</math> — ''начальная функция'', непрерывная и ограниченная на всём пространстве, и искомая функция <math>u=u(x,t)</math> является '''непрерывной и ограниченной''' при <math>t \geqslant 0</math> и всех значениях аргумента <math>x</math>.

Для однородной задачи Коши имеют место следующие свойства<ref name=autogenerated1>''Петровский И. Г.'' Лекции об уравнениях с частными производными. — гл.&nbsp;IV, § 40. — Любое издание.</ref>:

* '''Принцип максимума (теорема о максимуме и минимуме):''' Решение однородной задачи Коши удовлетворяет неравенствам <math> \inf \varphi \leqslant u(x,t) \leqslant \sup \varphi</math> при всех <math>x \in \mathbb{R}^n</math> и <math>t>0</math>.<ref>Если наряду с ограниченными решениями рассматривать неограниченные, принцип максимума не верен: из ограниченности начальных данных не следует ограниченность решения. Соответственно, нет и единственности решения. См., например, A. Tychonoff, “Théorèmes d'unicité pour l'équation de la chaleur”, Матем. сб., 42:2 (1935), 199–216</ref>
* '''Теорема существования и единственности:''' Для любого <math>T>0</math> решение однородной задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от начальной функции <math>\varphi(x)</math> в полосе <math>S = \{(x,t)\mid 0 \leqslant t \leqslant T, \ x \in \mathbb{R}^n\}</math>. Другими словами, данная задача Коши является [[Корректно поставленная задача|корректно поставленной]]<ref>Утверждения о единственности и непрерывной зависимости решения являются простым следствием принципа максимума.</ref>.
* '''Ядром''' уравнения теплопроводности называется решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности с начальным условием <math>\varphi(x)=\delta(x)</math>, где <math>\delta(x)</math> — [[дельта-функция]] Дирака. Оно имеет вид: 
: <math> 
\Phi(x,t) = \frac{1}{(2a\sqrt{\pi t})^n} \exp \biggl(-\frac{|x|^2}{4a^2 t} \biggr), \ \ x \in \mathbb{R}^n, \ t>0.
</math>
: где <math>|x|^2 = x_1^2 + \cdots+ x_n^2</math> — стандартный [[скалярное произведение|скалярный квадрат]] вектора <math>x \in \mathbb{R}^n</math>. Иногда ядро уравнения теплопроводности называют также его '''фундаментальным решением''', хотя чаще всего под [[Фундаментальное решение|фундаментальным решением]] понимается функция, которая получается из ядра умножением на [[функция Хевисайда|функцию Хевисайда]]. 

* Совпадение формулы для ядра уравнения теплопроводности с [[плотность вероятности|плотностью]] [[Нормальное распределение|нормального распределения]] с нулевым [[математическое ожидание|математическим ожиданием]] и [[Дисперсия случайной величины|дисперсией]], пропорциональной <math>a^2t</math>, не случайно. Оно объясняется тем, что перенос тепла связан с [[Броуновское движение|броуновским движением]] частиц, которое математически описывается с помощью [[Винеровский процесс|винеровского случайного процесса]].
* '''Интеграл Пуассона:''' В пространстве с декартовыми координатами решение однородной задачи Коши задается в виде интегральной формулы, называемой ''интегралом Пуассона''. Именно, <math>u(x,t)</math> при всех <math>t>0</math> есть [[Свёртка (математический анализ)|свёртка]] по пространственной переменной <math>x</math> ядра с начальной функцией:
: <math>u(x,t) = \int \limits_{\mathbf{R}^n} \Phi(x-y,t)\, \varphi(y)\, dy = \frac{1}{(2a\sqrt{\pi t})^n} \int \limits_{\mathbf{R}^n} \exp \biggl(-\frac{|x-y|^2}{4a^2 t} \biggr)\, \varphi(y)\, dy. 
</math>
* Интеграл Пуассона задает единственное непрерывное и ограниченное решение данной задачи Коши (отметим, что неограниченных решений существует бесконечно много).
* '''Физический парадокс:''' из формулы Пуассона следует, что если начальная функция <math>\varphi</math> равна нулю всюду, за исключением некоторой ограниченной области, например, заданной условием <math>|x| < \epsilon</math>, в которой она положительна, то через сколь угодно малый промежуток времени <math>t>0</math> решение <math>u(x,t)</math> будет строго положительным во всех точках пространства, со сколь угодно большими значениями <math>|x|</math>. Отсюда следует парадоксальное с физической точки зрения утверждение, что тепло распространяется с бесконечной скоростью. Объяснение парадокса состоит в том, что уравнение теплопроводности не вполне точно описывает реальный физический процесс распространения тепла. Практика показывает, что в большинстве случаев это уравнение всё же дает достаточно хорошее приближение<ref name=autogenerated1 />.

=== Неоднородное уравнение ===
Рассмотрим задачу Коши для ''неоднородного'' уравнения теплопроводности:
{{рамка}}
: <math>\begin{array}{l}
\displaystyle 
\frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \Delta u = f(x,t),
\quad x \in \mathbb{R}^n, \; t>0, \\ 
{}\qquad 
u(x,\;0)=\varphi(x), \quad x \in \mathbb{R}^n. \\
\end{array}</math>
{{конец рамки}}

В этом случае интеграл Пуассона имеет вид<ref>[http://www.math.uni-leipzig.de/~miersemann/pdebook.pdf ''Erich Miersemann.'' Partielle Differenzialgleichungen, p. 156]</ref>:
: <math>u(x,t) = 
\frac{1}{(2a\sqrt{\pi t})^n} \int \limits_{\mathbf{R}^n} 
\exp \biggl(-\frac{|x-y|^2}{4a^2 t} \biggr)\, \varphi(y)\, dy +
</math>
<math>
+ \int \limits_0^t
\int \limits_{\mathbf{R}^n} \frac{1}{(2a\sqrt{\pi (t-s)})^n}
\exp \biggl(-\frac{|x-y|^2}{4a^2 (t-s)} \biggr)\, f(y,s)\, dy\,ds.
</math>

== Одномерное уравнение теплопроводности ==
Для случая одной пространственной переменной ''x'' (задача о нагревании или охлаждении стержня) уравнение теплопроводности принимает вид
: <math>u_t - a^2 u_{xx} = f(x,t).</math>
Для этого уравнения можно ставить и решать различные [[Краевая задача|краевые задачи]], один из методов решения которых предложен французским математиком [[Фурье, Жан Батист Жозеф|Фурье]] и носит его имя<ref>''Тихонов А. Н., Самарский А. А.'' Уравнения математической физики. — гл.&nbsp;III, § 2. — Любое издание.</ref>

=== Метод разделения переменных (Метод Фурье) ===

==== Однородное уравнение теплопроводности с однородными граничными условиями ====
Рассмотрим следующую задачу:
{{рамка}}
: <math>\begin{array}{l}
u_t=a^2 u_{xx},\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T \\ 
u(x,\;0)=\varphi(x);\quad 0\leqslant x\leqslant l \\
\left.\begin{array}{l}
u(0,\;t)=0, \\ 
u(l,\;t)=0. \\ 
\end{array}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T \\ 
\end{array}</math>
{{конец рамки}}
Требуется найти функцию <math>u(x,\;t)</math> для <math>\forall(x,\;t):0\leqslant x\leqslant l,\;0\leqslant t\leqslant T</math>.

Представим искомую функцию в виде произведения
: <math>u(x,\;t)=X(x)T(t).</math>
Затем предполагаемую форму решения подставим в исходное уравнение, получим
: <math>X(x)T'(t)=a^2 X''(x)T(t).</math>
Разделим выражение на <math>a^2 X(x)T(t)</math>:
: <math>\frac{1}{a^2}\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,\;\lambda=\mathrm{const}.</math>
Так как в левой части уравнения у нас находится функция зависящая только от <math>t</math>, а в правой — только от <math>x</math>, то, фиксируя любое значение <math>x</math> в правой части, получаем, что для любого <math>t</math> значение левой части уравнения постоянно. Таким же образом можно убедиться, что и правая часть постоянна, то есть равна некой константе <math>-\lambda</math> (минус взят для удобства). Таким образом, мы получаем два обыкновенных линейных дифференциальных уравнения:
: <math>\begin{array}{l}
X''(x)+\lambda X(x) = 0, \\ 
T'(t)+a^2\lambda T(t)=0.
\end{array}</math>

Обратим внимание на граничные условия исходной задачи и подставим в них предполагаемый вид уравнения, получим:
: <math>\begin{array}{l}
u(0,\;t)=X(0)T(t)=0, \\ 
u(l,\;t)=X(l)T(t)=0,
\end{array}</math>
откуда <math>X(0)=X(l)=0</math> (<math>T(t)\ne 0</math>, так как в противном случае мы имели бы решение <math>u(x,\;t)=0</math>, а мы ищем только нетривиальные решения).

С учетом полученных граничных условий мы получаем [[Задача Штурма — Лиувилля|задачу Штурма — Лиувилля]]:
: <math>\begin{array}{l}
X''(x)+\lambda X(x)=0; \\ 
X(0)=0, \\ 
X(l)=0. \\ 
\end{array}</math>

Её решение сводится к решению [[Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами|линейного дифференциального уравнения]] и рассмотрению трёх случаев:
# <math>\lambda<0.</math>
#: В этом случае общий вид решения будет следующим:
#: <math>X(x)=C_1 e^{\sqrt{-\lambda}x}+C_2 e^{-\sqrt{-\lambda}x}.</math>
#: Подставив граничные условия, мы убедимся, что решение будет <math>X(x)\equiv 0</math>, а мы ищем только нетривиальные решения, следовательно, этот случай не подходит.
# <math>\lambda=0.</math>
#: Общий вид решения
#: <math>X(x)=C_1 x+C_2.</math>
#: Несложно убедиться, что этот вариант нам также не подходит.
# <math>\lambda>0.</math>
#: Общий вид решения
#: <math>X(x)=C_1\cos(\sqrt\lambda x)+C_2\sin(\sqrt\lambda x).</math>
#: Подставим граничные условия:
#: <math>\begin{array}{l}
X(0)=C_1=0, \\ 
X(l)=C_2\sin(\sqrt\lambda l)=0.
\end{array}</math>
#: Так как мы ищем только нетривиальные решения, <math>C_2=0</math> нам не подходит, следовательно
#: <math>\begin{array}{l}
\sin(\sqrt\lambda l)=0, \\ 
\sqrt\lambda l=\pi n,\quad n=1,\;2,\;\ldots \\ 
\end{array}</math>
#: <math>\lambda_n=\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2,\quad n=1,\;2,\;\ldots</math>
#: Отсюда
#: <math> X_n(x)=C_n\sin\left(\frac{\pi n}{l}x\right),\;\quad n=1,\;2,\;\ldots</math>

C учетом найденных <math>\lambda</math>, выведем общее решение линейного дифференциального уравнения
: <math>T'(t)+a^2\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 T(t)=0.</math>
Должен получиться ответ
: <math>T_n(t)=D_n\exp\left(-a^2\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 t\right),\quad D_n=\mathrm{const}.</math>

Теперь всё готово для того, чтобы записать решение исходной задачи:
: <math>u_n(x,\;t)=X_n(x)T_n(t)=C_n\sin\left(\frac{\pi n}{l}x\right)\exp\left(-a^2\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 t\right),\quad n=1,\;2,\;\ldots</math>
В результате у нас получилось бесконечное количество частных решений уравнения. Все эти частные решения линейно независимы, то есть линейная комбинация любого количества решений равна нулю, только если все коэффициенты при них равны нулю. Поэтому логично предположить, что суммируя все частные решения по <math>n</math> от единицы до бесконечности, мы получим общее решение исходной задачи.
: <math>u(x,\;t)=\sum\limits_{n=1}^\infty u_n(x, \;t)=\sum\limits_{n=1}^\infty C_n\sin\left(\frac{\pi n}{l}x\right)\exp\left(-a^2\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 t\right).</math>
Осталось определить значение константы <math>C</math> (зависящей от <math>n</math>) из начального условия
: <math>u(x,\;0)=\varphi(x).</math>
Для того, чтобы определить значение <math>C_n</math>, необходимо разложить функцию <math>\varphi(x)</math> в [[ряд Фурье]]:
: <math>\begin{array}{l}
\varphi(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty A_n\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}x\right), \\ 
A_n=\dfrac{2}{l}\displaystyle\int\limits_0^l \varphi(\xi)\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}\xi\right)\,d\xi.
\end{array}</math>
Получаем:
: <math>\begin{array}{l}
u(x,\;0)=\sum\limits_{n=1}^\infty C_n\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}x\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty A_n\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}x\right), \\ 
C_n=A_n=\dfrac{2}{l}\displaystyle\int\limits_0^l \varphi(\xi)\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}\xi\right)\,d\xi.
\end{array}</math>
Откуда общее решение:
: <math>u(x,\;t)=\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\dfrac{2}{l}\int\limits_0^l \varphi(\xi)\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}\xi\right)\,d\xi\right)\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}x\right)\exp\left(-a^2\left(\dfrac{\pi n}{l}\right)^2 t\right).</math>
В курсе [[Математическая физика|математической физики]] доказывается, что полученный ряд удовлетворяет всем условиям данной задачи, то есть функция <math>u(x,\;t)</math> дифференцируема (и ряд сходится равномерно), удовлетворяет уравнению в области определения и непрерывна в точках границы этой области.

==== Неоднородное уравнение теплопроводности с однородными граничными условиями ====
Рассмотрим следующую задачу для неоднородного уравнения:
{{рамка}}
: <math>\begin{array}{l}
u_t=a^2 u_{xx}+f(x,\;t),\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T \\ 
u(x,\;0)=0;\quad 0\leqslant x\leqslant l \\ 
\left.\begin{array}{l}
u(0,\;t)=0, \\ 
u(l,\;t)=0. \\ 
\end{array} \right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T
\end{array}</math>
{{конец рамки}}
Пусть
: <math>
\begin{array}{l}
u_n(x,\;t)=X_n(x)T_n(t), \\ 
f_n(x,\;t)=X_n(x)F_n(t), \\ 
X_n(x)=\sin\left(\dfrac{\pi n}{l}x\right).
\end{array}</math>
Тогда, пользуясь очевидным соотношением <math>X''_n(x)=-\left(\frac{\pi n}{l}\right)^2 X_n(x)</math>, перепишем исходное уравнение как:
: <math>\begin{array}{l}
X_n(x)T'_n(t)=- \left(\dfrac{\pi na }{l}\right)^2 X_n(x)T_n(t)+X_n(x)F_n(t), \\ 
T'_n(t)=- \left(\dfrac{\pi n a}{l}\right)^2 T_n(t)+F_n(t).
\end{array}</math>
Решим последнее линейное неоднородное уравнение методом [[Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения)|вариации постоянной]]. Сначала найдём общее решение однородного линейного уравнения
: <math>\begin{array}{l}
T'_n(t) = - \left(\dfrac{\pi n a}{l}\right)^2 T_n(t), \\ 
T_n(t) = D_n \exp\left(- \left(\dfrac{\pi n a}{l}\right)^2 t\right).
\end{array}</math>
В общем решении заменим постоянную <math>D_n</math> на переменную <math>D_n (t)</math> и подставим в исходное уравнение.
: <math>\begin{array}{l}
T_n(t)=D_n (t)\exp\left(- \left(\dfrac{\pi n a}{l}\right)^2 t\right), \\ 
D'_n(t)\exp\left(- \left(\dfrac{\pi n a}{l}\right)^2 t\right)- \left(\dfrac{\pi n a}{l}\right)^2\exp\left(- \left(\dfrac{\pi n a}{l}\right)^2 t\right)D_n(t)=- \left(\dfrac{\pi n a}{l}\right)^2\exp\left(- \left(\dfrac{\pi n a}{l}\right)^2 t\right)D_n(t)+F_n(t), \\ 
D'_n(t)\exp\left(- \left(\dfrac{\pi n a}{l}\right)^2 t\right)=F_n(t), \\ 
D_n(t)=\displaystyle\int F_n(t)\exp\left( \left(\dfrac{\pi n a}{l}\right)^2 t\right)\,dt+A_n, \\ 
T_n(t)=A_n\exp\left(- \left(\dfrac{\pi n a}{l}\right)^2 t\right)+\exp\left(- \left(\dfrac{\pi n a}{l}\right)^2 t\right)\displaystyle\int F_n(t)\exp\left(\left(\dfrac{\pi n a}{l}\right)^2 t\right)\,dt.
\end{array}</math>
Из начального условия получаем:
: <math>\begin{array}{l}
u_n(x,\;0)=X_n(x)T_n(0)=0, \\ 
T_n(0)=0.
\end{array}</math>
С учетом условия для <math>T</math>, получаем
: <math>T_n(t)=\int\limits_0^t \exp\left(-\left(\frac{\pi n a}{l}\right)^2 (t-\tau)\right)F_n(\tau)\,d\tau.</math>
Так как
: <math>f_n(x,\;t)=X_n(x)F_n(t)=\sin\left(\frac{\pi n}{l}x\right)F_n(t),</math>
то <math>F_n(t)</math>, очевидно, является коэффициентом ряда Фурье, и равен
: <math>F_n(t)=\frac{2}{l}\int\limits_0^l f(\xi,\;t)\sin\left(\frac{\pi n}{l}\xi\right)\,d\xi.</math>
В результате, общая формула такова:
: <math>u(x,\;t)=\sum\limits_{n=1}^\infty X_n(x)T_n(t)=\sum\limits_{n=1}^\infty \left[\int\limits_0^t \exp\left(-\left(\frac{\pi n a}{l}\right)^2 (t-\tau)\right)\left\{\frac{2}{l}\int\limits_0^l f(\xi,\;\tau)\sin\left(\frac{\pi n}{l}\xi\right)\,d\xi\right\}\,d\tau\right]\sin\left(\frac{\pi n}{l}x\right).</math>

==== Общая первая краевая задача ====
Во многих случаях удаётся решить неоднородное уравнение теплопроводности с неоднородными краевыми и начальным условиями
{{рамка}}
: <math>\begin{array}{l}
u_t=a^2 u_{xx}+f(x,\;t), \\ 
u(x,\;0)=\varphi(x), \\ 
u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ 
u(l,\;t)=\mu_2(t)
\end{array}</math>
{{конец рамки}}
с помощью методов, описанных выше и следующего несложного приёма. Представим искомую функцию в виде суммы:
: <math>\begin{array}{l}
u(x,\;t)=\tilde u(x,\;t)+U(x,\;t), \\ 
\tilde u(x,\;0)=u(x,\;0)-U(x,\;0)=\varphi(x)-U(x,\;0), \\ 
\tilde u(0,\;t)=0, \\ 
\tilde u(l,\;t)=0.
\end{array}</math>
Найдём функцию <math>U(x,\;t)</math>:
: <math>\begin{array}{l}
U(x,\;t)=Ax+b, \\ 
U(0,\;t)=b=\mu_1(t), \\ 
U(l,\;t)=Al+\mu_1=\mu_2\Rightarrow A=\dfrac{\mu _2(t)-\mu_1(t)}{l}, \\ 
U(x,\;t)=\dfrac{\mu_2(t)-\mu_1(t)}{l}x+\mu_1(t).
\end{array}</math>
Таким образом, исходная задача свелась к следующей:
: <math>\begin{array}{l}
\tilde u_t=a^2\tilde u_{xx}+f(x,\;t)-\dfrac{\mu'_2(t)-\mu'_1(t)}{l}x-\mu'_1(t), \\ 
\tilde u(x,\;0)=\varphi(x)-\dfrac{\mu_2(0)-\mu_1(0)}{l}x-\mu_1(0), \\ 
\tilde u(0,\;t)=0, \\ 
\tilde u(l,\;t)=0.
\end{array}</math>
После того, как мы найдём функцию <math>\tilde u(x,\;t)</math>, искомую функцию найдём по формуле
: <math>u(x,\;t)=\tilde u(x,\;t)+\frac{\mu_2-\mu_1}{l}x+\mu_1.</math>

== Литература ==

=== На русском языке ===
* [[Петровский, Иван Георгиевич|''Петровский И. Г.'']] Лекции об уравнениях с частными производными. — гл.&nbsp;IV, § 40. — Любое издание.
* ''[[Тихонов, Андрей Николаевич|Тихонов А. Н.]], [[Самарский, Александр Андреевич|Самарский А. А.]]'' Уравнения математической физики. — гл.&nbsp;III. — Любое издание.

=== На английском языке ===
* {{Citation
| last = Cannon
| first = John Rozier
| title = The One–Dimensional Heat Equation
| place = Reading-Menlo Park–London–Don Mills–Sidney–Tokyo/ Cambridge–New York–New Rochelle–Melbourne–Sidney
| publisher = [[Addison–Wesley|Addison-Wesley Publishing Company]]/[[Cambridge University Press]]
| year = 1984
| series = Encyclopedia of Mathematics and Its Applications
| volume = 23
| edition = 1st
| pages = XXV+483
| url = https://books.google.com/?id=XWSnBZxbz2oC&printsec=frontcover#v=onepage&q=
| id = 
| mr = 0747979
| zbl = 0567.35001
| isbn =978-0-521-30243-2 }}.

* {{citation|first=J.|last=Crank|last2=Nicolson|first2=P.|title=A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial Differential Equations of the Heat-Conduction Type|journal=Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|year=1947|volume=43|pages=50–67|doi=10.1017/S0305004100023197|last3=Hartree|first3=D. R.|bibcode = 1947PCPS...43...50C }}
* {{citation|last=Einstein|first=Albert|authorlink= Albert Einstein|title=Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen|journal=Ann. Phys. Leipzig 17|pages=549–560|year=1905|doi=10.1002/andp.19053220806|volume=322|bibcode = 1905AnP...322..549E|issue=8 }}
* {{citation|first=L.C.|last=Evans|title=Partial Differential Equations|publisher=American Mathematical Society|address=Providence|year=1998|isbn=0-8218-0772-2}}
* {{citation|first=Fritz|last=John|title=Partial Differential Equations|publisher=Springer|year=1991|edition=4th|isbn=978-0-387-90609-6}}
* {{citation|last=Wilmott|first=P.|last2=Howison|first2=S.|last3=Dewynne|first3=J.|year=1995|title=The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction|publisher=Cambridge University Press}}
* {{citation|last=Carslaw|first=H. S.|last2=Jaeger|first2=J. C.|year=1959|title=Conduction of Heat in Solids|edition=2nd|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-853368-9}}
* {{citation|last=Thambynayagam|first=R. K. M.|year=2011|title=The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers|publisher=McGraw-Hill Professional|isbn=978-0-07-175184-1}}
* {{citation|last=Perona|first=P|last2=Malik|first2=J.|author2-link=Jitendra Malik|year=1990|title=Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion|journal=IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence|volume=12|number=7|pages=629–639}}
* {{citation|last=Unsworth|first=J.|last2=Duarte|first2=F. J.|title=Heat diffusion in a solid sphere and Fourier Theory|journal=Am. J. Phys.|pages=891–893|doi=10.1119/1.11601|volume=47|bibcode = 1979AmJPh..47..981U|issue=11| year=1979 }}

== Ссылки ==
{{навигация}}
* [http://www.mathphysics.com/pde/HEderiv.html Вывод уравнения теплопроводности]
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/heat-toc.pdf Linear heat equations]: Particular solutions and boundary value problems — from EqWorld

== Примечания ==
{{примечания}}
{{Математическая физика}}

[[Категория:Диффузия|теплопроводности уравнение]]
[[Категория:Теплопередача]]