Просмотр кода страницы Уравнение Ландау — Лифшица (магнетизм)

{{Электродинамика}}
{{значения|Уравнение Ландау — Лифшица}}
'''Уравне́ние Ланда́у — Ли́фшица''' — уравнение, описывающее движение [[намагниченность|намагниченности]] в приближении континуальной модели в [[Твёрдое тело|твердых телах]]. Впервые введено [[Ландау, Лев Давидович|Л.&nbsp;Д.&nbsp;Ландау]] и [[Лифшиц, Евгений Михайлович|Е.&nbsp;М.&nbsp;Лифшицем]] в [[1935 год|1935]] году.

== Формулировка ==
Для [[Диссипация энергии|бездиссипативной]] среды и в отсутствие спин-поляризированного тока уравнение Ландау — Лифшица обычно записывается в виде
<center><math>\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}],\qquad (1)</math></center>
где <math>\mathbf M\equiv \mathbf M(\mathbf r, t)</math>&nbsp;— плотность [[Магнитный момент|магнитного момента]] (намагниченность), <math>\gamma</math>&nbsp;— некоторая феноменологическая постоянная, <math>\mathbf H^{\mathrm{eff}}\equiv \mathbf H^{\mathrm{eff}}(\mathbf r, t)</math>&nbsp;— так называемое эффективное магнитное поле.

Уравнение в основном используется для [[Ферромагнетики|ферро]]- и [[Ферримагнетики|ферримагнетиков]]. В общем случае постоянная <math>\gamma</math> не совпадает с [[Гиромагнитное отношение|гиромагнитным отношением]] и в рамках феноменологической теории должна рассматриваться как величина, определяемая из эксперимента. Их отличие обусловлено вкладом [[Орбитальный момент|орбитальных моментов]]. Поэтому при условии, что магнитные ионы находятся в <math>S</math>-состоянии (то есть орбитальные моменты отсутствуют), <math>\gamma</math> можно считать равным гиромагнитному отношению с большой степенью точности<ref>Гуревич&nbsp;А.&nbsp;Г., Мелков&nbsp;Г.&nbsp;А. Магнитные колебания и&nbsp;волны. М.: Физматлит, 1994. —&nbsp;464&nbsp;с., —&nbsp;ISBN 5-02-014366-9 на стр.&nbsp;17.</ref>. Это выполняется для CdCr<sub>2</sub>Se<sub>4</sub>, [[железо-иттриевый гранат|железо-иттриевого граната]]&nbsp;Y<sub>3</sub>Fe<sub>5</sub>O<sub>12</sub>, [[Пермаллой|пермаллоя]] Fe<sub>20+x</sub>Ni<sub>80-x</sub> и&nbsp;большинства др. ферро- и ферримагнитных материалов.

Эффективное магнитное поле определяется как вариационная производная [[Свободная энергия Гельмгольца|свободной энергии]] по магнитному моменту<ref>Скроцкий,&nbsp;Г.&nbsp;В. Еще раз об&nbsp;уравнении Ландау — Лифшица. [http://ufn.ru/ru/articles/1984/12/d/ УФН]</ref>
<center><math>\mathbf H^{\mathrm{eff}}(\mathbf r, t) = -\frac{\delta F}{\delta \mathbf M}.\qquad (2)</math></center>
В случае, когда рассматривается [[магнетик]] вдали от [[Температура Кюри|температуры Кюри]] или при нулевой температуре, то свободная энергия <math>F</math> равна [[Внутренняя энергия|внутренней]] <math>E</math>.

В формулировке (1) сохраняется длина вектора намагниченности. Это легко показать, домножив обе части (1) скалярно на <math>\mathbf M</math>, что даст 
<center><math>\frac{\partial \mathbf M^2}{\partial t} = 0.\qquad (3)</math></center>
Этот факт дает основание говорить о прецессии намагниченности.

Строгий вывод уравнения движения намагниченности в континуальном приближении невозможен<ref>Подробнее, этот вопрос был рассмотрен, например, в Ахиезер&nbsp;А.&nbsp;И., Барьяхтар&nbsp;В.&nbsp;Г. Пелетминский&nbsp;С.&nbsp;В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, —&nbsp;368&nbsp;с. на стр.&nbsp;44 и Herring&nbsp;C., Kittel&nbsp;C, On&nbsp;the theory of&nbsp;spin waves in&nbsp;ferromagnetic media. —&nbsp;Phys. Rev., 1951,&nbsp;81  N.&nbsp;5, p.&nbsp;869—880.</ref>, поэтому часто постулируется возможность формального перехода от [[Уравнение Гейзенберга|уравнения движения]] оператора [[спин]]а <math>\mathbf S_n</math>
<center><math>i\hbar\frac{\partial \mathbf S_n}{\partial t} = [\mathcal H, \mathbf S_n],\qquad (4)</math></center>
к уравнению (1) путём замены <math>\mathbf S_n\to -\frac{a^3}{2\mu_B}\mathbf M(\mathbf r_n)</math> и разложения поля намагниченности <math>\mathbf M(\mathbf r_{n+n_0})</math> вблизи точки <math>\mathbf r_n</math> в ряд Тейлора<ref>В этом случае обычно ограничиваются членами второго порядка малости, так как в случае, когда каждый узел решетки является её центром симметрии, содержащее первую производную по координате слагаемое обращается в нуль.</ref>. Тут <math>[\bullet,\bullet]</math>&nbsp;— [[Коммутатор операторов|коммутатор]], <math>\mathcal H</math>&nbsp;— [[Функция Гамильтона|гамильтониан]], <math>\mathbf S_n</math>&nbsp;— оператор спина для n-го узла решетки, а <math>\mathbf r_n</math>&nbsp;— его радиус-вектор, <math>a</math>&nbsp;— [[постоянная решетки]], <math>\mu_B</math>&nbsp;— [[магнетон Бора]].

== Модификации ==
Учет диссипации, влияния температуры или спин-поляризированных токов требует модификации исходного уравнения (1), которая обычно сводится к появлению дополнительных слагаемых в правой части (1). Релаксационные члены могут иметь различную размерность и различное число параметров. Но для приближенного описания процессов в ферромагнетиках при небольшой диссипации может использоваться уравнение в любой из нижеприведенных форм<ref>Гуревич&nbsp;А.&nbsp;Г., Мелков&nbsp;Г.&nbsp;А. Магнитные колебания и&nbsp;волны. М.: Физматлит, 1994. —&nbsp;464&nbsp;с., —&nbsp;ISBN 5-02-014366-9 на стр.&nbsp;27.</ref>. Каждое из них можно преобразовать одно к другому.

=== Релаксационный член в форме Ландау — Лифшица ===
Ландау и Лифшиц предложили<ref>Ландау&nbsp;Л.&nbsp;Д., Лифшиц&nbsp;Е.&nbsp;М. К&nbsp;теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел //&nbsp;Ландау&nbsp;Л.&nbsp;Д. Собрание трудов в&nbsp;2&nbsp;т. Под&nbsp;ред. Е.&nbsp;М.&nbsp;Лифшица. М.:&nbsp;Наука, 1969. Т.&nbsp;1. С.&nbsp;128</ref> следующую модификацию:
<center><math>\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] - \frac{|\gamma|\lambda}{M^2}\left[\mathbf M \times [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}]\right],\qquad (5)</math></center>
где <math>\lambda</math>&nbsp;— параметр диссипации. Иногда за параметр диссипации принимают величину <math>\lambda_1=|\gamma|\lambda</math>.

=== Уравнение Ландау — Лифшица — Гильберта ===
Часто используется релаксационный член в форме Гильберта:
<center><math>\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = - |\gamma| [\mathbf M \times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] + \frac{\alpha}{M}\left[\mathbf M \times \frac{\partial \mathbf M}{\partial t}\right],\qquad (6)</math></center>
где <math>\alpha</math>&nbsp;— параметр диссипации. Формальный переход между уравнениями (5) и (6) можно совершить заменой
<center><math>\gamma\to \frac{\gamma}{1+\alpha^2},\quad \lambda\to \frac{\alpha M}{1+\alpha^2}.\qquad (7)</math></center>
В связи с отрицательным значением гиромагнитного отношения встречаются определения параметров релаксации с противоположными знаками в (5) и (6)<ref>{{cite book   
  | last = Hubert
  | first = Alex 
  | coauthors = Rudolf Schäfer
  | title = Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures
  | publisher = Springer
  | year = 1998
  | pages = 557
  | url = https://books.google.com/books?id=pBE42lLYs-MC&pg=PA557
  | isbn = 3540641084}} на стр.&nbsp;151.</ref>.

=== Уравнение Блоха — Бломергена ===
Примером уравнения с диссипацией, допускающего изменение длины вектора намагниченности может служить модифицированное уравнение [[Блох, Феликс|Блоха]] или уравнение Блоха — [[Бломберген, Николас|Бломергена]]:
<center><math>\frac{\partial \mathbf M}{\partial t} = -|\gamma|[\mathbf M\times \mathbf H^{\mathrm{eff}}] - \omega_r(\mathbf M - \chi_0 \mathbf H^{\mathrm{eff}}),\qquad (8)</math></center>
где <math>\chi_0</math>&nbsp;— так называемая статическая восприимчивость, определяемая как отношение намагниченности насыщения к абсолютной величине эффективного поля, а <math>\omega_r</math>&nbsp;— частота релаксации.

=== Влияние спин-поляризированного тока ===
Спин-поляризированный ток обычно описывают дополнительным слагаемым в правой части (1) вида <math>|\gamma|\mathbf T</math>. Один из подходов к его конкретизации<ref>Звездин&nbsp;А.&nbsp;К.,&nbsp;и&nbsp;др. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и&nbsp;процессы переноса спинового момента в&nbsp;[[Магнитная наноструктура|магнитных наноструктурах]]. [УФН, 178, с.&nbsp;436–442 (2008) [http://ufn.ru/ru/articles/2008/4/i/]</ref> состоит в разложении вектора <math>|\gamma|\mathbf T</math> по осям, направленным вдоль <math>\mathbf M</math>, <math>[\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}]</math> и  <math>\mathbf M \times [\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}]</math>. Тут <math>\mathbf m_{\mathrm{ref}}</math>&nbsp;— единичный вектор вдоль намагниченности опорного слоя. В предположении, что длина вектора намагниченности не меняется, первая проекция будет равна нулю, а две другие
<center><math>\mathbf T_{\parallel} = - \frac{|\gamma|a_J}{M_s}\mathbf M \times [\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}],\quad
\mathbf T_{\perp} = |\gamma|b_J[\mathbf M\times \mathbf m_{\mathrm{ref}}],\qquad (9)</math></center>
где коэффциценты <math>a_J</math> и <math>b_J</math> пропорциональны плотности тока, зависящие от параметров поляризирующей структуры и угла между <math>\mathbf M</math> и <math>\mathbf m_{\mathrm{ref}}</math>.

== Другие формы записи ==
Для аналитического анализа, чаще всего уравнение Ландау — Лифшица записывается в угловых переменных [[Сферическая система координат|сферической системы координат]] <math>\theta</math> и <math>\phi</math>. В таком случае вектор намагничености можно представить как
<center><math>M_x + M_y=M_s\sin\theta e^{i\phi},\quad M_z = M_s\cos\theta,</math></center>
где <math>M_s</math>&nbsp;— намагниченность насыщения. Чтобы перейти в (6) к угловым переменным, домножим уравнение на вариацию намагниченности <math>\delta \mathbf M</math>, выразив в угловых переменных проекцию левой части на ось аппликат. Далее, записав вариации энергии и намагниченности через вариации углов получим
<center><math>\sin\theta \frac{\partial \theta}{\partial t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi},\quad 
\sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \theta}.\qquad (10)</math></center>

Получение уравнений в угловых переменных содержащих дополнительные члены проделывается аналогично. Так для записи в форме Ландау — Лифшица — Гильберта имеем
<center><math>\sin\theta \frac{\partial \theta}{\partial t} = -\frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \phi} - \alpha\sin^2\theta \frac{\partial \phi}{\partial t},\quad 
\sin\theta \frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{|\gamma|}{M_s} \dfrac{\delta E}{\delta \theta} + \alpha \frac{\partial \theta}{\partial t}.\qquad (11)</math></center>

== См. также ==

* [[Ландау, Лев Давидович]]
* [[Лифшиц, Евгений Михайлович]]
* [[Ферромагнетики]]
* [[Ферримагнетики]]

== Примечания ==
<!-- Смотрите в [[Википедия:Сноски]] примеры использования тэгов <ref></ref> -->
{{примечания}}

== Литература ==

* Ахиезер,&nbsp;А.&nbsp;И., Барьяхтар,&nbsp;В.&nbsp;Г. Пелетминский,&nbsp;С.&nbsp;В. Спиновые волны., М.:&nbsp;Наука, 1967, —&nbsp;368&nbsp;с.
* Гуревич,&nbsp;А.&nbsp;Г., Мелков,&nbsp;Г.&nbsp;А. Магнитные колебания и&nbsp;волны. М.:&nbsp;Физматлит, 1994. —&nbsp;464&nbsp;с., &nbsp;ISBN 5-02-014366-9.
* Зависляк,&nbsp;И.&nbsp;В., Тычинский,&nbsp;А.&nbsp;В., Физические основы функциональной микроэлектроники. К.: УМК&nbsp;ВО, 1989, —&nbsp;105.&nbsp;с.
* Звездин,&nbsp;А.&nbsp;К, Звездин,&nbsp;К.&nbsp;А, Хвальковский,&nbsp;А.&nbsp;В. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и&nbsp;процессы переноса спинового момента в&nbsp;магнитных наноструктурах. УФН, 178 436–442, (2008) https://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0178.200804i.0436
* Ландау,&nbsp;Л.&nbsp;Д., Лифшиц,&nbsp;Е.&nbsp;М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел. Phys.&nbsp;Zs.&nbsp;Sowjet., 1935, 8,&nbsp;С.&nbsp;153-169.
* Скроцкий,&nbsp;Г.&nbsp;В. Еще раз об&nbsp;уравнении Ландау — Лифшица. [http://ufn.ru/ru/articles/1984/12/d/ УФН]
* Gilbert,&nbsp;T. A&nbsp;phenomenological theory of&nbsp;damping in&nbsp;ferromagnetic materials. IEEE Transactions on&nbsp;Magnetics, 2004, 40,&nbsp;pp.&nbsp;3443-3449. https://dx.doi.org/10.1109/TMAG.2004.836740
* {{cite book   
  | last = Hubert
  | first = Alex 
  | coauthors = Rudolf Schäfer
  | title = Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures
  | publisher = Springer
  | year = 1998
  | pages = 557
  | url = https://books.google.com/books?id=pBE42lLYs-MC&pg=PA557
  | isbn = 3540641084}}

== Ссылки ==

* [http://math.nist.gov/oommf/ OOMMF — The Object-Oriented Micromagnetic Framework] — свободно распространяемый программный пакет для микромагнитного моделирования, написанный на [[C++]] и [[Tcl]]/[[Tk]].
* [http://nuclphys.sinp.msu.ru/solidst/physmet14.htm Ферромагнитные домены]

{{Математическая физика}}

[[Категория:Магнетизм]]
[[Категория:Электродинамика сплошных сред]]
[[Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных]]
[[Категория:Именные законы и правила|Ландау — Лифшица магнетизма]]