Просмотр кода страницы Уравнение Кортевега — де Фриза

'''Уравне́ние Кортеве́га — де Фри́за''' ('''уравнение КдФ''', также встречается написание де Вриза, де Фриса, Де Фриса {{lang-en|Korteweg–de Vries equation}}) — [[Нелинейное уравнение|нелинейное]] [[уравнение в частных производных]] третьего [[Порядок дифференциального уравнения|порядка]], играющее важную роль в теории [[Нелинейная волна|нелинейных волн]], в основном [[Гидродинамика|гидродинамического]] происхождения. Впервые было получено [[Буссинеск, Жозеф Валантен|Жозефом Буссинеском]] в [[1877 год в науке|1877 году]]<ref>{{книга|автор=[[Буссинеск, Жозеф Валантен|Boussinesq J.]]|заглавие=Essai sur la theorie des eaux courantes|ссылка= |язык=fr|место= |издательство= |год=1877|страницы=360|страниц=680}}</ref>, но подробный анализ был проведён уже [[Кортевег, Дидерик|Дидериком Кортевегом]] и [[Де Фриз, Густав|Густавом де Фризом]] в [[1895 год в науке|1895 году]]<ref>{{статья|автор=[[Кортевег, Дьедерик|D. J. Korteweg]], [[Де Фриз, Густав|G. de Vries]]|заглавие=On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves|ссылка=https://dx.doi.org/10.1080/14786449508620739|язык=en|издание=[[Philosophical Magazine]]|год=1895|том=39|страницы=422—443}}</ref>.

Уравнение имеет вид:
:<math>\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = 0</math>

== Решения ==
Для уравнения Кортевега — де Фриза найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В том числе, данное уравнение имеет решения [[солитон]]ного типа следующего вида:
: <math>u(x,t) = \frac{2\kappa^2}{\cosh^2\left[\kappa(x-4\kappa^2t-x_0)\right]}</math>
где <math>\kappa</math> — свободный параметр, определяющий высоту и ширину солитона, а также его скорость, <math>x_0</math> — также произвольная константа, зависящая от выбора начала отсчёта оси ''x''. Особое значение солитонам придаёт тот факт, что любое начальное возмущение, [[Экспонента|экспоненциально]] спадающее на бесконечности, с течением времени эволюционирует в конечный набор солитонов, разнесённых в пространстве. Точный поиск этих решений может быть проведён регулярным образом при помощи [[Метод обратной задачи рассеяния|метода обратной задачи рассеяния]].

Периодические решения уравнения Кортевега — де Фриза имеют вид кноидальных волн, описываемых [[Эллиптический интеграл|эллиптическими интегралами]]:
: <math>x-ct-x_0 = \int \left(2E + cu^2 - 2u^3\right)^{-\frac{1}{2}}du</math>
где ''c'', ''E'' — параметры волны, определяющие её [[Амплитуда|амплитуду]] и [[Период волны|период]].

Также уравнение Кортевега — де Фриза допускает [[Автомодельное решение|автомодельные решения]], которые в общем случае могут быть получены при помощи [[Преобразования Беклунда|преобразований Беклунда]] и выражаются через решения [[Уравнение Пенлеве|уравнения Пенлеве]].

== Интегралы ==
Уравнение Кортевега — де Фриза имеет бесконечное множество [[Интегралы движения|интегралов движения]] вида
: <math>I_n = \int P_n\left(u, \frac{\partial u}{\partial x}, ...\right)dx</math>
где <math>P_n\left(u, \frac{\partial u}{\partial x}\right)</math> — [[полином]]ы n-ой степени от неизвестной функции и её пространственных производных, в частности:
: <math>P_0 = u</math>
: <math>P_1 = u^2</math>
: <math>P_2 = u^3 - \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2</math>
: <math>P_3 = \frac{1}{2}\left(5u^2 + 5u\frac{\partial u}{\partial x} + \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right)^2\right)</math>

Можно показать, что уравнение КдФ является [[Интегрируемая гамильтоновая система|интегрируемой гамильтоновой системой]].

== Обобщения ==
При наличии диссипации уравнение Кортевега — де Фриза переходит в [[уравнение Бюргерса — Кортевега — де Фриза]], имеющее вид
: <math>\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>
где параметр <math>\nu</math> характеризует величину диссипации.

В двумерной геометрии обобщением уравнения Кортевега — де Фриза является так называемое [[уравнение Кадомцева — Петвиашвили]], имеющее вид:
: <math>\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^3u}{\partial x^3}\right) = \pm \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}</math>

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П.'' [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intf&paperid=37&option_lang=rus Интегрируемые системы. I.] — Динамические системы — 4, Итоги науки и техн. — {{М}}: ВИНИТИ, 1985. — Т. 4. — С. 179—284. — (Совр. пробл. математики. Фундаментальные направления).
* {{книга|автор=Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П.|заглавие=Теория солитонов: метод обратной задачи|год=1980|страниц=319}}
* {{Из|ФЭ|http://www.femto.com.ua/articles/part_1/1780.html|заглавие=Кортевега — де Фриса уравнение}}
* {{книга
| автор          = Дж. Уизем
| часть          = 13.11. Уравнение Кортевега — де Фриза и Буссинеска
| заглавие       = Линейные и нелинейные волны
| ссылка         = https://books.google.ru/books?id=F54-PgAACAAJ
| издательство   = Мир
| год            = 1977
| страницы       = 443—448
| страниц        = 622
}}
* {{книга|автор=Ньюэлл А.|заглавие=Солитоны в математике и физике|год=1989|страниц=326}}

{{Математическая физика}}

[[Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных]]
[[Категория:Теория волн]]
[[Категория:Нелинейные уравнения]]