Просмотр кода страницы Уравнение Гамильтона — Якоби

{{другие значения термина|Гамильтон|Гамильтон}}
{{другие значения термина|Якоби|Якоби}}
{{Классическая механика}}
В [[физика|физике]] и [[математика|математике]], '''уравнением [[Гамильтон, Уильям Роуан|Гамильтона]] — [[Якоби, Карл Густав Якоб|Якоби]]''' называется уравнение следующего вида

: <math>H\left(q_1,\dots,q_n;\frac{\partial S}{\partial q_1},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_n};t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.</math>

Здесь ''S'' обозначает классическое [[действие (физическая величина)|действие]], <math>H(q_1,\dots,q_n;p_1,\dots,p_n;t)</math> — классический [[Функция Гамильтона|гамильтониан]], <math>q_i</math> — обобщенные координаты.

Непосредственно относится к классической (не квантовой) механике, однако хорошо приспособлено для установления связи между классической механикой и [[квантовая механика|квантовой]], так как его можно, например, получить практически прямо из [[уравнение Шрёдингера|уравнения Шрёдингера]] в приближении быстроосциллирующей волновой функции (больших частот и волновых чисел).

В классической механике возникает обычно из специального [[Каноническое преобразование|канонического преобразования]] классического [[Функция Гамильтона|гамильтониана]], которое приводит к этому нелинейному [[дифференциальные уравнения|дифференциальному уравнению]] первого порядка, решение которого описывает поведение динамической системы.

Следует отличать уравнение Гамильтона — Якоби от [[уравнения Гамильтона|уравнений движения Гамильтона]] и [[уравнения Эйлера — Лагранжа|Эйлера — Лагранжа]]. Хотя это уравнение и выводится из них, но представляет собой ''одно'' уравнение, описывающее динамику механической системы с любым количеством степеней свободы ''s'', в отличие от 2''s'' уравнений Гамильтона и ''s'' уравнений Эйлера — Лагранжа.

Уравнение Гамильтона — Якоби помогает элегантно решить [[законы Кеплера|задачу Кеплера]].

== Каноническое преобразование ==

Уравнение Гамильтона — Якоби немедленно следует из того факта, что для любой производящей функции
''S(q, p',t)'' (пренебрегая индексами), уравнения движения не изменяются для ''H(q, p, t)'' и ''H'(q',p',t)''

: <math>
(1) \qquad
{\partial S \over \partial q} = p, \qquad
{\partial S \over \partial p'} = q', \qquad
H' = H + {\partial S \over \partial t} .
</math>

Новые уравнения движения становятся

: <math>
(2) \qquad {\partial H' \over \partial q'} = - {dp' \over dt}, \qquad
{\partial H' \over \partial p'} = {dq' \over dt}.
</math>

Уравнение Гамильтона — Якоби появляется из специфической производящей функции S, которая делает H' тождественной нулю. В этом случае все его производные зануляются и

: <math> (3) \qquad {dp' \over dt} = {dq' \over dt} = 0. </math>

Таким образом, в штрихованной системе координат система совершенно стационарна в [[фазовое пространство|фазовом пространстве]]. Однако, мы еще не определили, при помощи какой производящей функции S достигается преобразование в штрихованную систему координат. Мы используем тот факт, что

: <math>
H'(q',p',t) = H(q,p,t) + {\partial S \over \partial t} = 0.
</math>

Поскольку уравнение (1) даёт <math>p=\partial S/\partial q,</math> можно записать

: <math>
H\left(q,{\partial S \over \partial q},t\right) + {\partial S \over \partial t} = 0,
</math>

что является уравнением Гамильтона — Якоби.

== Решение ==
Уравнение Гамильтона — Якоби часто решают [[метод разделения переменных|методом разделения переменных]]. Пусть некоторая координата (для определённости будем говорить о <math>q_1</math>) и соответствующий ей импульс <math>\frac{\partial S}{\partial q_1}</math> входят в уравнение в форме
: <math>\frac{\partial S}{\partial t} + H\left( f_1 \left(q_1,\frac{\partial S}{\partial q_1}\right), q_2,\ldots,q_n,\frac{\partial S}{\partial q_2},\ldots,\frac{\partial S}{\partial q_n}\right) =0 .</math>

Тогда можно положить
: <math>f_1 \left(q_1,\frac{\partial S}{\partial q_1}\right) = \alpha_1</math>
: <math>\frac{\partial S}{\partial q_1} = g_1(q_1,\alpha_1) ,</math>

где <math>\alpha_1</math> — произвольная постоянная, <math>g_1</math> — обратная функция, и решать уравнение Гамильтона — Якоби уже с меньшим числом переменных. Если процесс можно продолжить по всем переменным, то решение уравнения примет вид
: <math>S = - \int H(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) dt + \int g_1(q_1,\alpha_1)dq_1 + \int g_2(q_2,\alpha_1,\alpha_2)dq_2 + \ldots + \int g_n(q_n,\alpha_1,\dots,\alpha_n)dq_n + k, </math>

где <math>\alpha_i</math> — произвольные постоянные, <math>k</math> — константа интегрирования. Напомним, что при этом <math>S</math> является функцией конечной точки <math>(q_1,\dots,q_n)</math>. Так как действие задаёт [[каноническое преобразование]] гамильтоновой системы, то его производные по координатам — это импульсы в новой системе координат, поэтому они должны сохраняться:

: <math>\beta_i={\partial S \over \partial \alpha_i}(\mathbf{q},\alpha_1,\dots,\alpha_n,t) .</math>

Совместно с уравнениями на импульсы это определяет движение системы.

Также если в [[Голономная система|голономной системе]] с <math>s</math> степенями свободы [[кинетическая энергия]] <math>T</math> имеет вид <math>T=\frac{1}{2}f\sum_{m=1}^{s}A_{m}(\dot{q}_{m}^{2})</math> и [[потенциальная энергия]] <math>\Pi</math> имеет вид <math>\Pi=\frac{1}{f}f\sum_{m=1}^{s}\Pi_{m}(q_{m})</math>, где <math>f=\sum_{m=1}^{s}F_{m}(q_{m})</math>, то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (решение можно представить в виде комбинации 
[[Элементарные функции|элементарных функций]] и интегралов от них) ([[Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби]]).{{sfn|Бутенин|с=167|1971}}

== См. также ==
* [[Гамильтонова механика]]
* [[Уравнения Гамильтона]]
* [[Квазиклассическое приближение]]
* [[Уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана]]
* [[Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* [http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0667.html Статья в Физической энциклопедии]
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Gantmaxer1966ru.djvu ''Гантмахер Ф. Р.'' Лекции по аналитической механике. 2-е издание М.: Наука, 1966.]
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Dobronravov1976ru.djvu ''Добронравов В. В.'' Основы аналитической механики. М.: Высшая школа, 1976.]
* {{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Механика|2004|авторы}}
* [http://book.plib.ru/download/15396.html ''Ланцош К.'' Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1965.]
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Lich1961ru.djvu ''Лич Дж. У.'' Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.]
* ''[[Павленко, Юрий Григорьевич|Павленко Ю. Г.]]'' Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Pars1971ru.djvu ''Парс Л. А.'' Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971.]
* {{книга
 | автор           = [[Бутенин, Николай Васильевич|Бутенин Н.В.]]
 | заглавие      = Введение в аналитическую механику
 | место          = М.
 | издательство  = Наука
 | год           = 1971
 | страниц    = 264
 | ref             = Бутенин
 }}

[[Категория:Физические законы и уравнения|Гамильтона — Якоби]]
[[Категория:Симплектическая геометрия]]
[[Категория:Теоретическая механика]]
[[Категория:Гамильтонова механика]]
[[Категория:Именные законы и правила|Гамильтона — Якоби]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Уильяма Роуэна Гамильтона]]