Просмотр кода страницы Угловая скорость

{{Физическая величина
| Название    = Угловая скорость
| Символ      = <math>\omega</math>
| Размерность = {{math|''T'' <sup>−1</sup>}}
| СИ          = [[радиан|рад]]/[[секунда|с]] 
| СГС         = рад/с
| другие      = [[Градус (геометрия)|градус]]/с <br /> [[Оборот (единица измерения)|об]]/с <br /> [[Оборот в минуту|об/мин]]
| Примечания  =
}}
'''Углова́я ско́рость''' — величина, характеризующая скорость [[Вращательное движение|вращения]] [[Материальная точка|материальной точки]] вокруг центра вращения. Для вращения в двухмерном пространстве угловая скорость выражается [[скаляр|числом]], в трёхмерном пространстве представляется [[Аксиальный вектор|псевдовектором (аксиальным вектором)]], а в общем случае — [[тензор|кососимметрическим тензором]]<ref>{{книга |автор=[[Ишлинский, Александр Юльевич| Ишлинский А. Ю.]] |заглавие=Классическая механика и силы инерции |ответственный=Отв. ред. [[Раушенбах, Борис Викторович|Б. В. Раушенбах]] |ссылка= |место=М. |издательство=«Наука» |год=1987 |том= |страниц= |страницы=239}}</ref>.

== Угловая скорость в двухмерном пространстве ==
{{Перевести раздел|en|Angular velocity#Particle in two dimensions}}
{{В планах|дата=31 августа 2016}}

== Векторное представление в трёхмерном пространстве ==
В трёхмерном пространстве вектор угловой скорости по величине равен [[угол|углу]] [[поворот]]а точки вокруг центра вращения за единицу времени:
: <math>\omega=\frac{d\varphi}{dt},</math>
а направлен по [[ось вращения|оси вращения]] согласно [[Правило буравчика|правилу буравчика]], то есть в ту сторону, в которую ввинчивался бы [[буравчик]] или [[Винт (простейший механизм)|винт]] с правой резьбой, если бы вращался в эту сторону. Другой мнемонический подход для запоминания взаимной связи между направлением вращения и направлением вектора угловой скорости состоит в том, что для условного наблюдателя, находящегося на конце вектора угловой скорости, выходящего из центра вращения, само вращение выглядит происходящим ''против'' часовой стрелки.

Угловая скорость является аксиальным вектором (псевдовектором). При отражении осей системы координат компоненты обычного вектора (например, радиус-вектора точки) меняют знак. В то же время компоненты псевдовектора (в частности, угловой скорости) при таком преобразовании координат остаются прежними.

== Тензорное представление ==
{{Перевести раздел|en|Angular velocity#Angular velocity tensor}}
{{В планах|дата=31 августа 2016}}

== Единицы измерения ==
'''Единица измерения''' угловой скорости, принятая в [[СИ|Международной системе единиц (СИ)]] и в системах [[СГС]] и [[МКГСС]], — [[радиан]] в [[секунда|секунду]] (русское обозначение: '''рад/с''', международное: '''rad/s''')<ref>{{книга |автор= {{nobr|Деньгуб В. М.}}, {{nobr|Смирнов В. Г.}}|заглавие= Единицы величин. Словарь-справочник|ответственный= |ссылка= |место=М. |издательство=Издательство стандартов |год=1990 |том= |страниц=240 |страницы=98 |isbn= 5-7050-0118-5|ref= }}</ref>{{ref+|[[Плоский угол]], определяемый как отношение длины [[Дуга окружности|дуги окружности]], заключённой между двумя [[радиус]]ами, к длине радиуса, [[Безразмерная величина|безразмерен]], поэтому единицей измерения плоских углов является число ''«один»'', а единицей измерения угловой скорости в системе СИ — [[секунда|с]]{{sup|−1}}. Однако, в случае плоских углов единице ''«один»'' присвоено специальное наименование ''«радиан»'' для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно физическая величина имеется в виду<ref>{{cite web|url=http://www.bipm.org/en/publications/si-brochure/section2-2-3.html |title= Units for dimensionless quantities, also called quantities of dimension one|author= |date=2006; обновлено в 2014|work=SI Brochure: The International System of Units (SI) |publisher=[[Международное бюро мер и весов]]|accessdate=2016-1-29|lang=en}}</ref>.|Комм}}. В технике также используются [[Оборот (единица измерения)|обороты]] в секунду, намного реже — [[Градус, минута, секунда|градусы, минуты, секунды дуги]] в секунду, [[Град, минута, секунда|грады]] в секунду. Часто в технике используют обороты в минуту — это идёт с тех времён, когда частоту вращения тихоходных [[паровая машина|паровых машин]] определяли просто на глаз, подсчитывая число оборотов за единицу времени.

== Свойства ==
[[Файл:Anglespeed1.svg|thumb|right|Угловая скорость (синяя стрелка) в одну единицу по [[Часовая стрелка|часовой стрелке]]]]
[[Файл:Anglespeed2.svg|thumb|right|Угловая скорость (синяя стрелка) в полторы единицы по часовой стрелке]]
[[Файл:Anglespeed3.svg|thumb|right|Угловая скорость (синяя стрелка) в одну единицу против часовой стрелки (вектор угловой скорости направлен навстречу направлению взгляда наблюдателя)]]
Вектор мгновенной скорости любой точки [[Абсолютно твёрдое тело|абсолютно твёрдого тела]], вращающегося с угловой скоростью <math>\vec \omega</math>, определяется формулой:
: <math> \vec v = [\ \vec \omega, \vec r\ ], </math>
где <math>\vec r</math> — радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначено [[векторное произведение]]. Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определённом расстоянии ([[радиус]]е) <math>r</math> от оси вращения можно считать так: <math> v = \omega r .</math> Если вместо радианов применять другие единицы измерения углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.

* В случае плоского вращения, то есть когда все векторы скоростей точек тела всегда лежат в одной плоскости («плоскости вращения»), угловая скорость тела всегда перпендикулярна этой плоскости, и по сути — если плоскость вращения заведомо известна — может быть заменена скаляром — проекцией на ось вращения, то есть на прямую, ортогональную плоскости вращения. В этом случае кинематика вращения сильно упрощается. Однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трёхмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.
* Движение с постоянным вектором угловой скорости называется [[Равномерное движение|равномерным]] вращательным движением (в этом случае угловое ускорение равно нулю). Равномерное вращение является частным случаем плоского вращения.
* [[Производная функции|Производная]] угловой скорости по [[Время|времени]] есть [[угловое ускорение]].
* Угловая скорость (рассматриваемая как свободный вектор) одинакова во всех [[инерциальная система отсчёта|инерциальных системах отсчёта]], отличающихся положением начала отсчёта и скоростью его движения, но двигающихся равномерно прямолинейно и [[Поступательное движение|поступательно]] друг относительно друга. Однако в этих инерциальных системах отсчёта может различаться положение оси или центра вращения одного и того же конкретного тела в один и тот же момент времени (то есть будет различной «точка приложения» угловой скорости).
* В случае движения точки в трёхмерном пространстве можно написать выражение для угловой скорости этой точки относительно выбранного [[начало координат|начала координат]]:
: <math> \vec\omega = \frac{\vec r \times \vec v}{(\vec r,\vec r )},</math> где <math>\vec r</math> — [[радиус-вектор]] точки (из начала координат), <math>\vec v</math> — [[скорость]] этой точки, <math>\vec r \times \vec v</math> — [[векторное произведение]], <math>(\vec r,\vec r )</math> — [[скалярное произведение]] векторов. Однако эта формула не определяет угловую скорость однозначно (в случае единственной точки можно подобрать и другие векторы <math>\vec \omega,</math> подходящие по определению, по-другому — произвольно — выбрав направление оси вращения), а для общего случая (когда тело включает более одной материальной точки) — эта формула не верна для угловой скорости всего тела (так как даёт разные <math>\vec \omega</math> для каждой точки, а при вращении абсолютно твёрдого тела вектора угловой скорости вращения всех его точек совпадают). Однако в двумерном случае (случае плоского вращения) эта формула вполне достаточна, однозначна и корректна, так как в этом частном случае направление оси вращения заведомо однозначно определено.

* В случае равномерного вращательного движения (то есть движения с постоянным вектором угловой скорости) абсолютно твёрдого тела декартовы координаты точек вращающегося так тела совершают [[гармонические колебания]] с [[угловая частота|угловой (циклической) частотой]], равной [[модуль вектора|модулю]] вектора угловой скорости.

* При измерении угловой скорости в оборотах в секунду (об/с) модуль угловой скорости равномерного вращательного движения совпадает с [[Частота#Частота вращения|частотой вращения]] {{math|''f''}}, измеренной в герцах (Гц), то есть в таких единицах <math>\omega = f.</math> В случае использования обычной физической единицы угловой скорости — радианов в секунду — модуль угловой скорости численно связан с частотой вращения так: <math>\omega = {2\pi f}.</math> Наконец, при использовании градусов в секунду численная связь с частотой вращения будет: <math>\omega = {360^\circ f}.</math>

== Связь с конечным поворотом в пространстве ==
* Пусть [[поворот]], изменяющийся во времени, задан величиной угла <math>\;\theta (t)</math> и [[Единичный вектор|ортом]] оси конечного поворота в [[Пространство в физике|пространстве]] <math>\vec{n}(t).</math> Тогда угловая скорость, соответствующая этому повороту, равна
: <math>\vec{\omega} = \vec{n} \dot{\theta} + \dot{\vec{n}} \sin \theta + \vec{n} \times \dot{\vec n} (1 - \cos \theta).</math>

* Если поворот задан [[Матрица поворота|матрицей поворота]] <math>T_{ij} = n_i n_j + (\delta_{ij} - n_i n_j) \cos \theta - n_k \varepsilon_{ijk} \sin \theta,</math> где <math>\;\delta_{ij} </math> — [[символ Кронекера]], <math>\varepsilon_{ijk}</math> — [[символ Леви-Чивиты]] (суммирование ведётся по [[Соглашение Эйнштейна|правилу Эйнштейна]] от 1 до 3), выражение для элементов которой через <math>\;\theta</math> и <math>\vec{n}</math> могут быть получены, например, с помощью [[Формула поворота Родрига|формулы Родрига]], то угловая скорость равна
: <math> \omega_i = \frac{1}{2} \varepsilon_{ijk} T_{jn} \dot{T}_{kn} .</math>

* Если для описания поворота используется [[кватернион]], выражаемый через угол <math>\;\theta</math> и орт оси поворота <math>\vec{n}</math> как <math>q = \bigl(\cos (\theta/2), \vec{n} \sin (\theta/2)\bigr),</math> то угловая скорость находится из выражения <math>\left(0, \vec{\omega}\right) = 2 \, \dot{q} \, \overline {q}.</math>

* В случае, когда поворот описывается с помощью вектора <math>\vec{V} = \vec{n} \operatorname{tg} (\theta/4),</math> изменяющегося во времени, обозначим <math>\vec{W} = d \vec{V} / d t\ \bigl(W_i = d V_i / d t\bigr),</math> а также <math>T_{ij}^{1/2} = n_i n_j + (\delta_{ij} - n_i n_j) \cos (\theta/2) - n_k \varepsilon_{ijk} \sin (\theta/2)</math> — матрица половинного поворота <math>\;\bigl(T_{ij}^{1/2} T_{jk}^{1/2} = T_{ik}\bigr),</math> <math>\;V^2</math> — квадрат модуля вектора <math>\vec{V}.</math> Тогда угловая скорость:
: <math>\omega_i = \frac{4 T_{ij}^{1/2} W_{j}}{1 + V^2}.</math>

== Примечания ==

=== Комментарии ===
{{примечания|group="Комм"}}

=== Источники ===
{{Примечания}}

== См. также ==
* [[Угловая частота]]
* [[Угловое ускорение]]
* [[Момент импульса]] ([[Угловой момент]])

== Литература ==
* {{книга
 | автор         = Лурье А. И.
 | заглавие      = Аналитическая механика
 | место         = М.
 | издательство  = ГИФМЛ
 | год           = 1961
 | страниц      = 824
 | страницы = 100-136
 | isbn          = 
 | ref           = Лурье
}}

[[Категория:Скорость]]
[[Категория:Кинематика]]
[[Категория:Углы]]