Просмотр кода страницы Тор (поверхность)

{{значения|Тор}}
[[Файл:torus cycles.png|thumb|right|Красным — образующая [[окружность]]]]

'''Тор''' (тороид) — [[поверхность вращения]], получаемая вращением образующей [[окружность|окружности]] вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей её<ref>Матем.энциклопедия, 1985, т.5, стр. 405</ref>.

Обобщенно, тор — [[топологическое пространство]] или [[гладкое многообразие]], эквивалентное такой поверхности.

Иногда не требуют, чтобы ось вращения не пересекала образующую окружность. В таком случае, если ось вращения пересекает образующую окружность (или касается её), то тор называют '''закрытым''', иначе '''открытым'''<ref name=королёв/>.

Понятие тора определяется и в многомерном случае. Тор является примером коммутативной [[алгебраическая группа|алгебраической группы]] и примером [[группа Ли|группы Ли]].

== История ==
Тороидальная поверхность впервые была рассмотрена древнегреческим математиком [[Архит Тарентский|Архитом]] при решении задачи об удвоении куба. Другой древнегреческий математик, [[Персей (математик)|Персей]], написал книгу о ''спирических линиях'' — сечениях тора плоскостью, параллельной его оси.

== Ось тора ==
Ось вращения может пересекать окружность, касаться её и располагаться вне окружности. В первых двух случаях тор называется закрытым, в последнем — открытым, или кольцом<ref name=королёв>{{Книга|автор=Королёв Юрий Иванович|заглавие=Начертательная геометрия: Учебник для вузов. 2-е изд.|ссылка=https://books.google.com/books?id=2oWNuKRG7ssC&pg=PA172|ответственный=|издание=|место=|издательство=Издательский дом "Питер"|год=2008|страницы=172|страниц=256|isbn=9785388003669|isbn2=}}</ref>.
<gallery caption="Изменение расстояния до оси вращения">
Файл:Standard_torus-ring.png
Файл:Standard_torus-horn.png
Файл:Standard_torus-spindle.png
Файл:Les_trois_types_de_tores.PNG
Файл:Sphere-like degenerate torus.gif
Файл:Kepler_hodograph_family.png
</gallery>
Окружность, состоящая из центров образующих окружностей, называется направляющей окружностью.

== Топологические свойства ==
Тор является поверхностью [[Род поверхности|рода]] 1 (сфера с одной ручкой). Тор является [[Компактное пространство|компактным]] топологическим пространством.

Тор имеет [[Характеристика Эйлера — Пуанкаре|характеристику Эйлера — Пуанкаре]] χ=0.

== Уравнения ==
[[Файл:Torus 3d.png|thumb]]

=== Параметрическое ===
Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения ''R'' и с радиусом образующей окружности ''r'' может быть задано параметрически в виде:

:<math>
\left\{
\begin{matrix}
x(\varphi,\psi) = & (R + r \cos \psi) \cos \varphi \\
y(\varphi,\psi) = & (R + r \cos \psi) \sin \varphi  \\
z(\varphi,\psi) = & r \sin \psi \\
\end{matrix}
\right.
\qquad \varphi \in [0,2\pi), \psi \in [-\pi,\pi)
</math>

=== Алгебраическое ===
Непараметрическое уравнение в тех же координатах и с теми же радиусами имеет четвёртую степень:
: <math>\left( x^2+y^2+z^2+R^2-r^2 \right)^2-4R^2\left(x^2+y^2\right)=0</math>
Такая поверхность имеет четвёртый порядок.

Существуют другие поверхности, диффеоморфные тору, имеющие другой порядок.
: <math>y^2=x^3+x+1</math>, где x, y комплексные числа. Комплексная [[эллиптическая кривая]], кубическая поверхность.
: <math> \left\{
\begin{matrix}
x^2+y^2 = 1 \\
z^2+t^2 = 1 \\
\end{matrix}
\right.
</math> Вложение тора в 4-мерное пространство. Это поверхность 2 порядка. [[Гауссова кривизна|Кривизна]] этой поверхности равна 0.

== Кривизна поверхности ==
{{TODO}}
Тор в трёхмерном пространстве имеет точки положительной и отрицательной [[Кривизна Гаусса|кривизны]]. {{нет АИ2|У тора, вложенного в четырёхмерное пространство, кривизна во всех точках равна нулю|13|02|2017|напомнить=— [[У:Alexei Kopylov|Алексей Копылов]] 07:28, 13 февраля 2017 (UTC)}}.

В соответствии с [[Формула Гаусса — Бонне|теоремой Гаусса-Бонне]] [[Поверхностные интегралы|интеграл]] кривизны по всей поверхности тора равен нулю.

== Групповая структура ==
{{TODO}}

== Свойства ==
[[Файл:Inside-out torus (animated, small).gif|thumb|left|Этапы выворачивания тора]]
[[Файл:Projection color torus.png|thumb|Вариант окраски участков тора]]
* [[Площадь поверхности]] тора как следствие из первой [[Теорема Гюльдена|теоремы Гюльдена]]: <math>S=4\pi^2 R r</math>.
* [[Объём (геометрия)|Объём тела]], ограничиваемого тором ([[Полноторие|полнотория]]), как следствие из второй [[теоремы Паппа — Гульдина|теоремы Паппа — Гюльдена]]: <math>V=2\pi^2 R r^2</math>.
* Тор с вырезанным диском («проколотый») можно вывернуть наизнанку непрерывным образом ([[Топология|топологически]], то есть серией [[диффеоморфизм]]ов). При этом две пересекающиеся перпендикулярно окружности на нём («параллель» и «меридиан») поменяются местами.<ref>Этапы выворачивания тора были приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бейли «Топология» в [[Scientific American]] в январе 1950 г.</ref>
* Два таких «дырявых» тора, сцепленных между собой, можно продеформировать так, чтобы один из торов «проглотил» другой.<ref>Подробности приведены в статье М. Гарднера в [[Scientific American]] за март 1977. Другие парадоксы, связанные с торами, можно найти в статьях М. Гарднера, опубликованных в Scientific American в декабре 1972 и декабре 1979 гг.</ref>
* Минимальное число цветов, необходимое для раскрашивания участков тора так, чтобы соседние были разного цвета, равно 7. См. также [[Проблема четырёх красок]].

=== Сечения ===
[[Файл:Villarceau circles.gif|thumb|right|300px|Анимация, показывающая разрезание тора бикасательной плоскостью и две получающиеся '''окружности Вилларсо''']]
[[Файл:Blue cut-torus.gif|thumb|left|170px|Сечения]]
* При сечении тора [[касательная плоскость|бикасательной плоскостью]] получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей называемых [[окружность Вилларсо|окружностями Вилларсо]].
** В частности, открытый тор может быть представлен как поверхность вращения окружности зацепленной за ось вращения
* Одно из сечений открытого тора — [[лемниската Бернулли]], другие кривые линии являются графическими линиями и называются кривыми [[Персей (математик)|Персея]]<ref>[http://window.edu.ru/window/library/pdf2txt?p_id=26408&p_page=12 Теоретические основы решения задач по начертательной геометрии: Учебное пособие]</ref> (спирическими линиями, сечениями тора плоскостью, параллельной его оси)
* Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью внешне напоминают [[эллипс]] (кривую 2-го порядка). Получаемая таким образом кривая выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка<ref>[http://www.nachert.ru/course/?lesson=15&id=113 Пересечение сферы и тора плоскостью. Пример построения «линии среза» на поверхности комбинированного тела вращения]</ref>.

== Обобщения ==

=== Многомерный тор ===
{{не завершён}}

[[Файл:Clifford-torus.gif|thumb|250px|Стереографическая проекция]]
Обобщением 2-мерного тора является многомерный тор (также '''''n'''-тор'' или ''гипертор''):
: <math>\mathbf{T}^n = \underbrace{S^1 \times \cdots \times S^1}_n.</math>

=== Поверхность вращения ===
Тор — частный случай [[Поверхность вращения|поверхности вращения]].

== См. также ==
* [[Полноторие]]
* [[Цилиндрические шахматы|Цилиндрические и тороидальные шахматы]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* Савёлов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7

{{rq|sources|topic=math}}

{{Компактные топологические поверхности}}

{{algebra-stub}}
{{geometry-stub}}

[[Категория:Геометрические тела]]
[[Категория:Группы Ли]]
[[Категория:Поверхности]]
[[Категория:Стереометрия]]