Просмотр кода страницы Тождество восьми квадратов

'''Тождество восьми квадратов''' — следующее тождество выражающее произведение сумм восьми квадратов в виде суммы восьми квадратов:

<math>\begin{aligned}(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2+a_7^2+a_8^2)&\cdot (b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2+b_5^2+b_6^2+b_7^2+b_8^2)=
\\
&=(a_1b_1 -a_2b_2 -a_3b_3 -a_4b_4 -a_5b_5 -a_6b_6 -a_7b_7 -a_8b_8)^2+
\\
&+(a_2b_1 +a_1b_2 +a_4b_3 -a_3b_4 +a_6b_5 -a_5b_6 -a_8b_7 +a_7b_8)^2+
\\
&+(a_3b_1 -a_4b_2 +a_1b_3 +a_2b_4 +a_7b_5 +a_8b_6 -a_5b_7 -a_6b_8)^2+
\\
&+(a_4b_1 +a_3b_2 -a_2b_3 +a_1b_4 +a_8b_5 -a_7b_6 +a_6b_7 -a_5b_8)^2+
\\
&+(a_5b_1 -a_6b_2 -a_7b_3 -a_8b_4 +a_1b_5 +a_2b_6 +a_3b_7 +a_4b_8)^2+
\\
&+(a_6b_1 +a_5b_2 -a_8b_3 +a_7b_4 -a_2b_5 +a_1b_6 -a_4b_7 +a_3b_8)^2+
\\
&+(a_7b_1 +a_8b_2 +a_5b_3 -a_6b_4 -a_3b_5 +a_4b_6 +a_1b_7 -a_2b_8)^2+
\\
&+(a_8b_1 -a_7b_2 +a_6b_3 +a_5b_4 -a_4b_5 -a_3b_6 +a_2b_7 +a_1b_8)^2.
\end{aligned}
</math>

== История ==
Впервые открытое [[Дания|датским]] математиком {{Translation|:en:Carl Ferdinand Degen|Деген, Фердинанд|Фердинандом Дегеном|язык=англ.}} около [[1818 год]]а, это замечательное тождество было «переоткрыто» ещё два раза: сначала {{Translation|:en:John_T._Graves|Грейвс, Томас|Томасом Грейвсом}} в [[1843 год]]у, а затем [[Кэли, Артур|Артуром Кэли]] в [[1845 год]]у. Кэли вывел его, работая над обобщением [[кватернион]]ов, названным [[октонион]]ами. В алгебраических терминах тождество означает, что [[Норма вектора|норма]] произведения двух октонионов равняется произведению их норм: <math>\|a\cdot b\| = \|a\|\cdot \|b\|</math>.

Подобное утверждение верно для кватернионов ([[Тождество Эйлера (кватернионы)|«тождество четырёх квадратов»]]), [[комплексное число|комплексных чисел]] ([[Тождество Брахмагупты|«тождество двух квадратов»]]) и действительных чисел. 
В [[1898 год]]у [[Гурвиц, Адольф|Адольф Гурвиц]] доказал, что подобного тождества не существует ни для 16 ([[седенион]]ы), ни для любого другого числа квадратов, кроме 1, 2, 4 и 8.

== Ссылки ==
* [http://mathworld.wolfram.com/DegensEight-SquareIdentity.html Degen’s eight-square identity]{{ref-en}}

{{math-stub}}

[[Категория:Тождества]]
[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Комплексный анализ]]
[[Категория:Аналитическая теория чисел]]
[[Категория:Теоремы алгебры|В]]