Просмотр кода страницы Тождество Эйлера (комплексный анализ)

{{значения|Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера}}
[[Файл:ExpIPi.gif|300px|thumb|right|[[Экспоненциальная функция]] ''e''<sup>''z''</sup> может быть определена как [[предел последовательности]] {{nowrap|(1 + ''z''/''N'')<sup>''N''</sup>}}, при ''N'' стремящемуся к бесконечности, и поэтому ''e''<sup>''iπ''</sup> есть предел {{nowrap|(1 + ''iπ/N'')<sup>''N''</sup>}}. На каждом кадре этой анимации изображены числа {{nowrap|(1 + ''iπ/N'')<sup>''k''</sup>}}, где ''k'' пробегает от 0 до ''N'', а ''N'' принимает различные возрастающие значения от 1 до 100. ]]

'''Тождество Эйлера''' — [[Частный случай (логика)|частный случай]] [[Формула Эйлера|формулы Эйлера]] при <math>x=\pi</math>{{переход|Вывод}}, известное [[тождество (математика)|тождество]], связывающее пять фундаментальных [[Математическая константа|математических констант]]:

: <math>e^{i \pi} + 1 = 0,</math>

где
: <math>e</math> — [[e (число)|число е]], или основание [[Натуральный логарифм|натурального логарифма]],
: <math>i</math> — [[мнимая единица]],
: <math>\pi</math> — [[Пи (число)|пи]], отношение длины [[Окружность|окружности]] к длине её [[диаметр]]а,
: <math>1</math> — [[1 (число)|единица]], [[нейтральный элемент]] по операции [[умножение|умножения]],
: <math>0</math> — [[0 (число)|нуль]], [[нейтральный элемент]] по операции [[Сложение|сложения]].

Тождество Эйлера названо в честь [[Швейцария|швейцарского]], [[Германия|немецкого]] и [[Россия|российского]] математика [[Эйлер, Леонард|Леонарда Эйлера]]{{переход|История}}. Тождество считается образцом [[Красота математики|''математической красоты'']]{{переход|Математическая красота}}, поскольку показывает глубокую связь между самыми фундаментальными числами в математике.

== Вывод ==
[[Файл:Euler's formula.svg|thumb|right|300px]]
Тождество Эйлера — это особый случай [[Формула Эйлера|формулы Эйлера]] из [[Комплексный анализ|комплексного анализа]]:

: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x</math>

для любого [[вещественное число|вещественного]] <math>x</math>. (Заметим, что аргументы [[Тригонометрические функции|тригонометрических функций]] <math>\sin</math> и <math>\cos</math> взяты в [[радиан]]ах). В частности

: <math>e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.</math>

А из того, что

: <math>\cos \pi = -1</math>

и

: <math>\sin \pi = 0,</math>

следует
: <math>e^{i \pi} = -1</math>

что даёт тождество:
: <math>e^{i \pi} +1 = 0.</math>

== Обобщения ==
Тождество Эйлера также является частным случаем более общего тождества, когда <math>n</math>-е [[корни из единицы]], при <math>n > 1</math>, складываются в <math>0</math>:

:<math>\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i \frac{k}{n}} = 0 .</math>

Тождество Эйлера — это случай, когда <math>n = 2</math>.

В другой области математики, используя возведение в степень [[кватернион]]а, можно показать, что подобное тождество также применимо к кватернионам. Пусть {{math|{''i'', ''j'', ''k''}}} — базисные элементы; тогда

:<math>e^{\frac{1}{\sqrt 3}(i \pm j \pm k)\pi} + 1 = 0.</math>

В общем случае, если даны [[Вещественное число|вещественные]] {{math|''a''<sub>1</sub>}}, {{math|''a''<sub>2</sub>}}, и {{math|''a''<sub>3</sub>}} такие, что {{math|''a''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''a''<sub>2</sub><sup>2</sup> + ''a''<sub>3</sub><sup>2</sup> {{=}} 1}}, то

:<math>e^{\left(a_1i+a_2j+a_3k\right)\pi} + 1 = 0.</math>

Для [[Алгебра Кэли|октонионов]], с вещественным {{math|''a''<sub>''n''</sub>}} таким, что {{math|''a''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''a''<sub>2</sub><sup>2</sup> + ... + ''a''<sub>7</sub><sup>2</sup> {{=}} 1}}, и с базисными элементами октонионов {{math|{''i''<sub>1</sub>, ''i''<sub>2</sub>, ..., ''i''<sub>7</sub>}}},

:<math>e^{\left(a_1i_1+a_2i_2+\dots+a_7i_7\right)\pi} + 1 = 0.</math>

== Математическая красота ==
Тождество Эйлера, объединяющее три основные [[Оператор (математика)|математические операции]] ([[сложение]], [[умножение]] и [[возведение в степень]]) и пять фундаментальных математических констант, принадлежащих к четырём классическим [[Разделы математики|областям математики]] (числа <math>0</math> и <math>1</math> относятся к [[Арифметика|арифметике]], [[мнимая единица|мнимая единица <math>i</math>]] — к [[Алгебра|алгебре]], [[Пи (число)|число <math>\pi</math>]] — к [[Геометрия|геометрии]], а [[Число Эйлера|число <math>e</math>]] — к [[Математический анализ|математическому анализу]]<ref>{{книга |автор=Данциг, Тобиас. |заглавие=Числа - язык науки |место=М. |издательство=Техносфера |год=2008 |страницы=111 |isbn=978-5-94836-172-7 }}</ref>), произвело глубокое впечатление на научный мир, [[Мистика|мистически]] истолковывалось как символ единства математики, и часто приводится как пример ''глубокой'' [[Красота математики|математической красоты]]. 

Тождество Эйлера вызвало множество восторженных отзывов.
* [[Гаусс, Карл Фридрих|Карл Фридрих Гаусс]] говорил, что если эта формула сразу не очевидна для студента, то он никогда не превратится в первоклассного математика<ref>''[[Дербишир, Джон (писатель)|Дербишир, Джон]]''. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Астрель, 2010. 464 с. ISBN 978-5-271-25422-2.</ref>.
* Профессор математики, [[натурфилософия|натурфилософии]] и астрономии [[Гарвардский университет|Гарвардского университета]] [[Пирс, Бенджамин|Бенджамин Пирс]] после доказательства на лекции тождества Эйлера заявил, что «это, наверное, правда, но она абсолютно парадоксальна; мы не можем понять её, и мы не знаем, что она значит, но мы доказали её, и поэтому мы знаем, что она должна быть достоверной»<ref>''[[Казнер, Эдвард|Kasner, E.]]'', and ''[[Ньюмен, Джеймс (математик)|Newman, J.]]'' (1940), Mathematics and the Imagination, [[Simon & Schuster]], ''[[Маор, Эли|Maor, Eli]]'' (1998), e: The Story of a number, [[Princeton University Press]] {{ISBN|0-691-05854-7}}.</ref>.
* Физик [[Фейнман, Ричард Филлипс|Ричард Фейнман]] называл (1977) тождество Эйлера «нашим сокровищем» и «самой замечательной формулой в математике»<ref>{{cite book|first=Richard P.|last= Feynman|title=The Feynman Lectures on Physics |volume=I|publisher=Addison-Wesley|year=1977|isbn=0-201-02010-6|page=22-10}}</ref>.
* Профессор математики [[Стэнфордский университет|Стэнфордского университета]] {{нп3|Девлин, Кит|Кит Девлин||Keith Devlin}} в своем эссе «Самое прекрасное уравнение» (2002) сказал: «Как [[Шекспир, Уильям|шекспировский]] [[сонет]] схватывает саму суть любви, или картина раскрывает красоту человеческой формы, намного более глубокую, чем просто кожа, уравнение Эйлера проникает в самые глубины существования»<ref name="qwe">''Nahin, Paul J.'' (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, [[Princeton University Press]] {{ISBN|978-0-691-11822-2}}.</ref>.
* Почётный профессор [[Университет Нью-Гэмпшира|Университета Нью-Гемпшира]] {{нп3|Нахин, Пол|Пол Нахин||Paul J. Nahin}} в своей книге, посвящённой формуле Эйлера и её применению в [[Анализ Фурье|анализе Фурье]], описывает тождество Эйлера как «изысканной красоты»<ref name="qwe"></ref>.
* По мнению популяризатора математики [[Рид, Констанс|Констанс Рид]], это тождество является «самой знаменитой формулой во всей математике»<ref>''Reid, Constance'' (various editions), From Zero to Infinity, [[Математическая ассоциация Америки|Mathematical Association of America]]</ref>.

Опрос читателей, проведённый математическим журналом [[The Mathematical Intelligencer]] в 1990 году, назвал тождество Эйлера «самой красивой теоремой в математике»<ref>''Wells, David'' (1990), «Are these the most beautiful?», The Mathematical Intelligencer, 12: 37–41, doi:10.1007/BF03024015</ref>. В другом опросе читателей, проведённом физическим журналом [[PhysicsWorld]] в 2004 году, тождество Эйлера (вместе с [[Уравнения Максвелла|уравнениями Максвелла]]) было названо «величайшим уравнением в истории»<ref>''Crease, Robert P.'' (10 May 2004), «The greatest equations ever», Physics World</ref>.

Исследование мозга шестнадцати математиков показало, что «эмоциональный мозг» (в частности, медиальная [[орбитофронтальная кора]], реагирующая на прекрасную музыку, поэзию, картины и т. д.) активировался более последовательно в случае тождества Эйлера, чем в отношении любой другой формулы<ref>''Zeki, S.''; ''Romaya, J. P.''; ''Benincasa, D. M. T.''; ''Atiyah, M. F.'' (2014), «The experience of mathematical beauty and its neural correlates», Frontiers in Human Neuroscience, 8, doi:10.3389/fnhum.2014.00068, PMC 3923150</ref>.

== История ==
[[Формула Эйлера|''Формула'' Эйлера]], из которой сразу следует ''тождество'' Эйлера, впервые была приведена в статье [[Великобритания|английского]] математика [[Роджер Котс|Роджера Котса]] (помощника [[Ньютон, Исаак|Ньютона]]) «Логометрия» ({{lang-la|Logometria}}), опубликованной в журнале [[Философские труды Королевского общества|«Философские труды Королевского общества»]] в [[1714 год]]у<ref>{{статья |заглавие=Logometria |издание=[[Philosophical Transactions of the Royal Society|Philosophical Transactions of the Royal Society of London]] |том=29 |страницы=32 |ссылка=http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/29/338-350/5.full.pdf+html |doi=10.1098/rstl.1714.0002 |язык=en |автор=Cotes R. |год=1714-1716 |тип=journal}}</ref> (когда Эйлеру было 7 лет), и перепечатана в книге «Гармония мер» ({{lang-la|Harmonia mensurarum}}) в [[1722 год]]у<ref>{{cite book|author=Cotes R.|title=Harmonia mensurarum|year=1722|pages=28|url=https://books.google.com/books?id=J6BGAAAAcAAJ&pg=PA28}}</ref>.

Эйлер опубликовал формулу Эйлера в её привычном виде в статье [[1740 год]]а и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» ({{lang-la|Introductio in analysin infinitorum}}) ([[1748]])<ref>{{cite book|author=Euler L.|title=Introductio in analysin infinitorum|year=1748|chapter=Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis|pages=104|volume=1|url=https://archive.org/stream/introductioanaly00eule#page/104/mode/2up}}</ref>.

Однако, в работах Эйлера 1740 и 1748 годов не фигурирует именно ''тождество'' Эйлера (в его нынешнем классическом виде), где возможно, что он его никогда не выводил. Есть вероятность, что Эйлер мог получить информацию о формуле Эйлера через своего швейцарского соотечественника [[Бернулли, Иоганн|Иоганна Бернулли]]<ref>{{книга |автор=Sandifer, C. Edward|заглавие=Euler's Greatest Hits|издательство=Mathematical Association of America|год=2007|isbn=978-0-88385-563-8}}</ref>.

По мнению {{нп3|Уилсон, Робин|Робина Уилсона||Robin Wilson (mathematician)}}<ref>{{книга|автор=Wilson, Robin|заглавие=Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics|издательство=Oxford University Press|год=2018}}</ref>:
{{bquote|Мы видели, как оно [тождество Эйлера] может быть легко выведено из результатов Иоганна Бернулли и Роджера Котса, но, похоже, ни один из них этого не сделал. Даже Эйлер, кажется, не записал этого в явном виде — и, конечно, оно не фигурирует ни в одной из его публикаций — хотя он, несомненно, понял, что это немедленно следует из его тождества [в данном случае — [[Формула Эйлера|формулы Эйлера]]], {{nowrap|''e<sup>ix</sup>'' {{=}} cos ''x'' + ''i'' sin ''x''}}. Более того, кажется, неизвестно, кто первым сформулировал результат явно…}}

== В культуре ==
* Тождеству Эйлера посвящён фильм {{нп5|Коидзуми, Такаси|Такаси Коидзуми||Takashi Koizumi}} «{{нп5|Любимое уравнение профессора|||The Professor's Beloved Equation (film)}}».

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Комплексный анализ]]
[[Категория:Тождества]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Леонарда Эйлера]]