Просмотр кода страницы Тессеракт

{| class="wikitable" style="float:right; margin-left:10px" width="250"
! style="background-color:#e7dcc3" colspan="2" |Тессеракт
|-
| align=center colspan="2"|[[Файл:Schlegel wireframe 8-cell.png|250px]]
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Тип
|[[Правильные четырёхмерные многогранники|Правильный четырёхмерный политоп]]
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Символ Шлефли
|{4,3,3}
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Ячеек||8
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Граней||24
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Рёбер||32
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Вершин||16
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Вершинная фигура||[[Правильный тетраэдр]]
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |[[Двойственный многогранник|Двойственный политоп]]
|[[16-ячейник]]
|}

[[Файл:Tesseract.gif|thumb|300px|Анимированная проекция вращающегося тессеракта]]
'''Тессера́кт''' (от {{lang-grc|τέσσαρες ἀκτῖνες}} — «четыре луча») — четырёхмерный [[гиперкуб]], аналог обычного трёхмерного [[Куб (геометрия)|куба]] в [[Четырёхмерное пространство|четырёхмерном пространстве]]. Другие названия: '''4-куб''', '''тетраку́б''', '''восьмияче́йник'''<ref>{{ВТ-ЭСБЕ|Четырехмерное пространство|[[Бобылёв, Дмитрий Константинович|Д. К. Бобылёв]]}}</ref>, '''октахо́р''' (от {{lang-grc|οκτώ}} «восемь» + {{lang-grc2|χώρος}} «место, пространство»), '''[[гиперкуб]]''' (если число измерений не оговаривается).

Согласно [[Оксфордский словарь|Оксфордскому словарю]], слово «тессеракт» было придумано {{iw|Хинтон, Чарльз Говард|Чарльзом Говардом Хинтоном|en|Charles Howard Hinton}} (1853—1907) и впервые использовано в 1888 году в его книге «Новая эра мысли».

== Геометрия ==
Обычный тессеракт в евклидовом четырёхмерном пространстве определяется как [[выпуклая оболочка]] точек (±1, ±1, ±1, ±1). Иначе говоря, он может быть представлен в виде следующего множества:
: <math>[-1, 1]^4 \equiv \{(x_1,x_2,x_3,x_4) \,:\, -1 \leq x_i \leq 1 \}.</math>

Тессеракт ограничен восемью [[Гиперплоскость|гиперплоскостями]] <math>x_i=\pm 1,\;i=1,2,3,4</math>, пересечение которых с самим тессерактом задаёт его трёхмерные грани (являющиеся обычными кубами). Каждая пара непараллельных трёхмерных граней пересекается, образуя двумерные грани (квадраты), и так далее. Окончательно, тессеракт обладает 8 трёхмерными гранями, 24 двумерными, 32 рёбрами и 16 вершинами.

Четырёхмерный [[гиперобъём]] тессеракта со стороной длиной '''a''' рассчитывается по формуле: <br>
<math>V_4=a^4</math>

Объём же гиперповерхности тессеракта можно найти по формуле:
<br>
<math>V_3(\text{hypersurface})=8a^3</math>

Радиус описанной гиперсферы:
<br>
<math>R=a</math>

Радиус вписанной гиперсферы:
<br>
<math>r=\frac{a}{2}</math>

== Популярное описание ==
Попытаемся представить себе, как будет выглядеть гиперкуб, не выходя из [[Трёхмерное пространство|трёхмерного пространства]].

В одномерном «пространстве» — на линии — выделим [[отрезок]] АВ длиной L.
На двумерной [[Плоскость (геометрия)|плоскости]] на расстоянии L от АВ нарисуем параллельный ему отрезок DC и соединим их концы. Получится [[квадрат]] CDBA. Повторив эту операцию с плоскостью, получим трёхмерный [[куб]] CDBAGHFE. А сдвинув куб в четвёртом измерении (перпендикулярно первым трём) на расстояние L, мы получим [[гиперкуб]] CDBAGHFEKLJIOPNM.

[[Файл:Построение тессеракта.PNG|frame|Построение тессеракта на плоскости|left]]
[[Файл:Tesseract2.svg|frame|right|Развёртка тессеракта]]
Одномерный отрезок АВ служит стороной двумерного квадрата CDBA, квадрат — стороной куба CDBAGHFE, который, в свою очередь, будет стороной четырёхмерного гиперкуба. [[Отрезок]] прямой имеет две граничные точки, [[квадрат]] — четыре вершины, [[куб]] — восемь. В четырёхмерном гиперкубе, таким образом, окажется 16 вершин: 8 вершин исходного куба и 8 сдвинутого в четвёртом измерении. Он имеет 32 ребра — по 12 дают начальное и конечное положения исходного куба, и ещё 8 рёбер «нарисуют» восемь его вершин, переместившихся в четвёртое измерение. Те же рассуждения можно проделать и для граней гиперкуба. В двумерном пространстве она одна (сам квадрат), у куба их 6 (по две грани от переместившегося квадрата и ещё четыре опишут его стороны). Четырёхмерный гиперкуб имеет 24 квадратные грани — 12 квадратов исходного куба в двух положениях и 12 квадратов от двенадцати его рёбер.

Как сторонами квадрата являются 4 одномерных отрезка, а сторонами (гранями) куба являются 6 двухмерных квадратов, так и для «четырёхмерного куба» (тессеракта) сторонами являются 8 трёхмерных кубов. Пространства противоположных пар кубов тессеракта (то есть трёхмерные пространства, которым эти кубы принадлежат) параллельны. На рисунке это кубы: CDBAGHFE и KLJIOPNM, CDBAKLJI и GHFEOPNM, EFBAMNJI и GHDCOPLK, CKIAGOME и DLJBHPNF.

Аналогичным образом можно продолжить рассуждения для гиперкубов большего числа измерений, но гораздо интереснее посмотреть, как для нас, жителей трёхмерного пространства, будет выглядеть четырёхмерный гиперкуб. Воспользуемся для этого уже знакомым методом аналогий.

Возьмём проволочный куб ABCDHEFG и поглядим на него одним глазом со стороны грани. Мы увидим и можем нарисовать на плоскости два квадрата (ближнюю и дальнюю его грани), соединённые четырьмя линиями — боковыми рёбрами. Аналогичным образом четырёхмерный гиперкуб в пространстве трёх измерений будет выглядеть как два кубических «ящика», вставленных друг в друга и соединённых восемью рёбрами. При этом сами «ящики» — трёхмерные грани — будут проецироваться на «наше» пространство, а линии, их соединяющие, протянутся в направлении четвёртой оси. Можно попытаться также представить себе куб не в проекции, а в пространственном изображении.

Подобно тому, как трёхмерный куб образуется квадратом, сдвинутым на длину грани, куб, сдвинутый в четвёртое измерение, сформирует гиперкуб. Его ограничивают восемь кубов, которые в перспективе будут выглядеть как некая довольно сложная фигура. Сам же четырёхмерный гиперкуб состоит из бесконечного количества кубов, подобно тому как трёхмерный куб можно «нарезать» на бесконечное количество плоских квадратов.

Разрезав шесть граней трёхмерного куба, можно разложить его в плоскую фигуру — [[развёртка|развёртку]]. Она будет иметь по квадрату с каждой стороны исходной грани плюс ещё один — грань, ей противоположную. А трёхмерная развёртка четырёхмерного гиперкуба будет состоять из исходного куба, шести кубов, «вырастающих» из него, плюс ещё одного — конечной «гиперграни».

Свойства тессеракта представляют собой продолжение свойств геометрических фигур меньшей размерности в четырёхмерное пространство.

== Развёртки тессеракта ==
[[Файл:Net of tesseract.gif|thumb|Разворачивание поверхности тессеракта в трёхмерное пространство]]
Аналогично тому, как поверхность куба может быть [[Развёртка многогранника|развёрнута]] в [[Гексамино|многоугольник, состоящий из шести квадратов]], поверхность тессеракта может быть развёрнута в трёхмерное [[Поликуб|тело, состоящее из восьми кубов]]{{sfn|Gardner|1989|pp=48—50}}.

Существует 261 развёртка тессеракта{{sfn|Gardner|1989|p=272|quote = Peter Turney, in his 1984 paper „Unfolding the Tesseract“, uses graph theory to show that there are 261 distinct unfoldings.}}.
Развёртки гиперкуба могут быть найдены перечислением «сдвоенных деревьев», где «сдвоенное дерево» (''paired tree'') — это [[Дерево (теория графов)|дерево]] с чётным числом вершин, которые разбиты на пары так, что ни одна пара не состоит из двух смежных вершин. Между «сдвоенными деревьями» с 8 вершинами и развёртками тессеракта существует [[Биекция|взаимно однозначное соответствие]]. Всего существует 23 дерева с 8 вершинами, при разбиении вершин которых на пары несмежных вершин получается 261 «сдвоенное дерево» с 8 вершинами<ref>{{статья
|заглавие=Unfolding the Tesseract
|ссылка=<!--https://web.archive.org/web/20160305105811/-->http://unfolding.apperceptual.com/
|издание=[[Journal of Recreational Mathematics]]
|том=17
|номер=1
|язык=en
|автор=Peter Turney
|год=1984-85
|тип=journal}}</ref>.

Крестообразная развёртка тессеракта является элементом картины [[Дали, Сальвадор|Сальвадора Дали]] «[[Распятие или Гиперкубическое тело|Corpus Hypercubus]]» (1954){{sfn|Gardner|1989|p=50}}.

В рассказе [[Хайнлайн, Роберт|Роберта Хайнлайна]] «Дом, который построил Тил» ({{ll|en|"—And He Built a Crooked House—"|«—And He Built a Crooked House»}}) калифорнийский архитектор Квинтус Тил строит дом в форме развёртки гиперкуба, который во время землетрясения складывается в четырёхмерный тессеракт{{sfn|Gardner|1989|p=50}}.

== Проекции ==

=== На двумерное пространство ===
Данная структура сложна для воображения, но возможно спроецировать тессеракт в [[плоскость (математика)|двумерные]] или [[трёхмерное пространство|трёхмерные пространства]]. Кроме того, [[Проекция (геометрия)|проецирование]] на плоскость позволяет легко понять расположение вершин гиперкуба. Таким образом, можно получить изображения, которые больше не отражают пространственные отношения в пределах тессеракта, но которые иллюстрируют структуру связи вершин, как в предыдущих примерах:

{|align="center"
 |-valign="top"
 |[[Файл:Hypercubecubes.svg|мини|Первая картинка показывает, как тессеракт получен в результате комбинирования двух кубов. Схема подобна построению куба от двух квадратов]]
 |[[Файл:Hypercubestar.svg|мини|Вторая картинка иллюстрирует тот факт, что все рёбра тессеракта имеют одинаковую длину. Она примечательна тем, что все восемь кубов имеют одинаковый вид.]]
 |[[Файл:Hypercubeorder.svg|мини|Третья картинка демонстрирует тессеракт в [[Изометрическая проекция|изометрии]], относительно точки построения. Это изображение представляет интерес при использовании тессеракта как основания для топологической сети, чтобы связать многократные процессоры в параллельных вычислениях.]]
 |}
{{-}}

=== На трёхмерное пространство ===
[[Файл:8-cell.gif|left|thumb|Вращающаяся модель тессеракта. Эта модель показывает грани тессеракта — равные кубы]]
Одна из проекций тессеракта на трёхмерное пространство представляет собой два вложенных трёхмерных куба, соответствующие вершины которых соединены между собой отрезками.
Внутренний и внешний кубы имеют разные размеры в трёхмерном пространстве, но в четырёхмерном пространстве это равные кубы. Для понимания равности всех кубов тессеракта была создана вращающаяся модель тессеракта.

* Шесть усечённых пирамид по краям тессеракта — это изображения равных шести кубов. Однако эти кубы для тессеракта — как квадраты (грани) для куба. Но на самом деле тессеракт можно разделить на бесконечное количество кубов, как куб — на бесконечное количество квадратов, или квадрат — на бесконечное число отрезков.

Ещё одна интересная проекция тессеракта на трёхмерное пространство представляет собой [[ромбододекаэдр]] с проведёнными четырьмя его диагоналями, соединяющими пары противоположных вершин при больших углах ромбов. При этом 14 из 16 вершин тессеракта проецируются в 14 вершин [[ромбододекаэдр]]а, а проекции 2 оставшихся совпадают в его центре. В такой проекции на трёхмерное пространство сохраняются равенство и параллельность всех одномерных, двухмерных и трёхмерных сторон.
{{-}}

=== [[Стереопара]] ===
Стереопара тессеракта изображается как две проекции на плоскость одного из вариантов трёхмерного представления тессеракта. Стереопара рассматривается так, чтобы каждый глаз видел только одно из этих изображений, возникает стереоскопический эффект, позволяющий лучше воспринять проекцию тессеракта на трёхмерное пространство.
[[Файл:44444tes.png|centre|frameless|428x428px]]

[[Файл:3D stereographic projection tesseract.PNG|center|432x432px]]

== Тессеракт в культуре ==
* В рассказе «…И построил он себе скрюченный домишко» (в другом варианте перевода «Дом, который построил Тил») [[Хайнлайн, Роберт|Хайнлайна]] описан восьмикомнатный дом в форме развёрнутого тессеракта.
* Рассказ [[Генри Каттнер]]а «[[Все тенали бороговы]]» описывает развивающую игрушку для детей из далёкого будущего, по строению похожую на тессеракт.
* В рассказе Роберта Шекли «Мисс Мышка и четвёртое измерение» писатель-эзотерик, знакомец автора, пытается увидеть тессеракт, часами глядя на сконструированный им прибор: шар на ножке с воткнутыми в него стержнями, на которые насажены кубы, обклеенные всеми подряд эзотерическими символами. В рассказе упоминается труд Хинтона.
* В фантастическом рассказе [[Клифтон, Марк|Марка Клифтона]] «На ленте Мёбиуса» дети-вундеркинды путешествуют через пространство и время, используя модели [[Лента Мёбиуса|ленты Мёбиуса]], [[Бутылка Клейна|бутылки Клейна]] и тессеракта.
* Во вселенной коммиксов Marvel - является артефактом-носителем 1 из 6 камней бесконечности

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* Charles H. Hinton. Fourth Dimension, 1904. ISBN 0-405-07953-2
* {{книга
 |автор = [[Гарднер, Мартин|Gardner M.]]
 |заглавие = Mathematical Carnival
 |год = 1989
 |издательство = [[Mathematical Association of America|MAA]]
 |место = Washington, D.C.
 |isbn = 0-88385-448-1
 |ref = Gardner
 |pages = 41—54, 272
}}
* Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7
* {{книга
 |автор = [[Гальперин, Григорий Александрович|Гальперин Г.А.]]
 |заглавие = Многомерный куб
 |год = 2015
 |издательство = [[МЦНМО]]
 |место = М.
 |isbn = 978-5-4439-0296-8
 |ref = Гальперин 
 |страниц = 80
}}
* {{статья
 |автор    = Дужин С., Рубцов В.
 |заглавие = Четырехмерный куб
 |издание  = [[Квант (журнал)|Квант]]
 |год      = 1986
 |номер    = 6
 |страницы = 3—7
 |ссылка   = http://kvant.mccme.ru/1986/06/chetyrehmernyj_kub.htm
}}

== Ссылки ==
; На русском языке
* [http://multator.ru/toon/gsaj1gfeel61 Получение из развертки]
* [http://im-possible.info/russian/articles/hypercube/index.html Гиперкуб]
* [http://damateur.narod.ru/t Программа Transformator4D. Формирование моделей трёхмерных проекций четырёхмерных объектов (в том числе и Гиперкуба).]
* [http://aa-shi.narod.ru/graphics/afin4d/ Программа, реализующая построение тессеракта и все его афинные преобразования, с исходниками на С++.]
* [http://elsper.ru/stereokartinki-giperkuby-stereo-giperkuby Стереопара тессеракта с ребрами одинаковой длины.]
* [https://www.youtube.com/watch?v=bIv2pDVZOrs Вращение тессеракта — проекция в трёхмерном пространстве]

; На английском языке
* [http://mathworld.wolfram.com/Tesseract.html Tesseract]
* [https://web.archive.org/web/20001026042753/http://www.maa.org/editorial/knot/tesseract.html Cut The Knot! The Tesseract]
* [http://users.ox.ac.uk/~kch/ballmath/victorian.html#hinton Charles Howard Hinton]
* [https://web.archive.org/web/20070208075504/http://home.rochester.rr.com/jbxroads/4cube.html A four dimensional version of Rubik’s Cube]
* [http://tetraspace.alkaline.org/introduction.htm Fourth Dimension: Tetraspace]
* [http://www.mushware.com/ Mushware Limited] — программа вывода тессеракта ({{lang-en2|Tesseract Trainer}}, лицензия совместима с GPLv2) и шутер от первого лица в четырёхмерном пространстве ({{lang-en2|Adanaxis}}; графика, в основном, трёхмерная; есть версия под GPL в репозиториях ОС).
{{Основные выпуклые правильные и однородные политопы в размерностях 2-10}}
{{Многогранники|nocat=1}}
{{Символ Шлефли}}
{{Размерность}}
[[Категория:Геометрические фигуры]]
[[Категория:Правильные многогранники]]
[[Категория:Многомерная евклидова геометрия]]