Просмотр кода страницы Теория Купмана — фон Неймана

{{Классическая механика}}
'''Теорией Ку́пмана — фон Не́ймана''' (KvN-теорией) в [[математическая физика|математической физике]] называется оригинальная переформулировка [[Классическая механика|классической статистической механики]], созданная американскими математиками [[Джон фон Нейман|Джоном фон Нейманом]] и [[Купман, Бернард|Бернардом Купманом]]. Формализм механики Купмана — фон Неймана максимально приближен к формализму [[релятивизм|нерелятивистской]] [[квантовая механика|квантовой механики]]: состояние динамической системы в ней описывается при помощи классической волновой функции, являющейся аналогом квантовомеханической [[волновая функция|волновой функции]], классическое [[уравнение Лиувилля]] приобретает математическую структуру [[уравнение Шредингера|уравнения Шрёдингера]] и т. д.

Идеологически KvN-теория диаметрально противоположна [[Функция Вигнера|представлению Вигнера]], в котором сходная идея унификации математического аппарата классической статистической и квантовой физики достигается, наоборот, путём преобразования волновой функции, которая появляется в уравнении Шрёдингера, в функцию Вигнера, определённую в классическом [[Фазовое пространство|фазовом пространстве]]. Знаменательно, что обе эти теории были созданы практически одновременно — в [[1931 год|1931]]—[[1932 год]]ах.

== История создания ==
Истоки KvN-теории тесно вплетены в историю возникновения [[эргодическая теория|эргодической теории]] как самостоятельного раздела математики. К началу [[1931 год]]а серьёзной проблемой теоретической физики оставалось отсутствие приемлемого математического обоснования [[эргодическая гипотеза|эргодической гипотезы]], сформулированной [[Людвиг Больцман|Л. Больцманом]] ещё в [[1887 год]]у. Это, в частности, мешало последовательно вывести законы термодинамики газов, взяв за исходный пункт микроскопическую картину движения большого ансамбля молекул, происходящего в соответствии с [[законы Ньютона|законам ньютоновской механики]]<ref name=BOOK_LegacyJvN/>.

Прямой предпосылкой к решению проблемы может считаться работа [[1930 год]]а американского математика [[Стоун, Маршалл|Маршалла Стоуна]] по спектральной теории однопараметрических групп унитарных операторов<ref name=1930-Stone/>. Уже в следующем году была опубликована ключевая работа Купмана<ref name=1931-Koopman/>, который заметил, что фазовое пространство классической системы, эволюционирующей в соответствии со стандартными законами классической механики, может быть преобразовано в [[гильбертово пространство]] путём постулирования естественного правила интегрирования по точкам фазового пространства в качестве определения скалярного произведения<ref name=$Weil_contrib/>. Замечательно, что эволюция физических переменных при этом начинает описываться унитарными операторами, образующими однопараметрическую группу, для которой справедливы результаты Стоуна.

Такое операторное представление классической механики было в то время совершенно новой идеей; оно побудило фон Неймана, одного из основателей квантовой механики и ведущего эксперта в теории операторов, попробовать применить теоретико-операторный подход к решению эргодической проблемы. Опираясь на результаты Купмана и [[Андре Вейль|А. Вейля]], он завершил создание операторного формализма классической механики, ныне известного как теория Купмана — фон Неймана, и уже в 1932 году опубликовал серию работ, которые стали основополагающими для современной эргодической теории (в данных работах была, в частности, доказана знаменитая {{нп5|статистическая эргодическая теорема|||Ergodic theory#Mean ergodic theorem}})<ref name=1932-Neumann/>. Любопытно, что в этом же году фон Нейман опубликовал также книгу «Mathematical Foundations of Quantum Mechanics», содержавшую первое полное, строгое и систематическое изложение квантовой механики на современном языке гильбертовых пространств.

== Основные положения и свойства ==
Отправной точкой KvN-теории является введение гильбертова пространства комплекснозначных и квадратично
интегрируемых функций <math>\Psi(t, p, q)</math> координат <math>q</math> и импульсов <math>p</math>, оснащённого следующим скалярным произведением:
: {{EF|:|<math>\langle\Psi_1(t)|\Psi_2(t)\rangle = \int\limits_p \int\limits_q \Psi_1^*(t, p, q) \Psi_2(t, p, q) \,dq\,dp,</math>|ref=1}}
где звёздочка означает комплексное сопряжение (для достижения наиболее наглядной аналогии с квантовой механикой здесь и далее для обозначения элементов гильбертова пространства будет применяться [[Бра и кет|алгебраический формализм Дирака]])<ref name=2002-Mauro/>. Квадрат модуля таких функций постулируется равным классической плотности вероятности <math>\rho(p, q, t)</math> нахождения частицы в заданной точке <math>(p, q)</math> фазового пространства в момент времени <math>t</math>:
: {{EF|:|<math>\rho(t, p, q) = |\Psi(t, p, q)|^2.</math>|ref=2}}
Из данного постулата и определения ({{eqref|1}}) помимо условия нормировки <math>\langle\Psi(t)|\Psi(t)\rangle = 1</math> следует, что среднее значение <math>\langle X\rangle</math> произвольной физической величины <math>X</math>, заданной действительной функцией <math>X(p, q)</math> может быть найдено по формуле
: {{EF|:|<math>\langle X\rangle(t) = \langle\Psi(t)|\hat X\Psi(t)\rangle = \langle\Psi(t)\hat X|\Psi(t)\rangle = \langle\Psi(t)|\hat X|\Psi(t)\rangle,</math>|ref=3}}
которая формально совпадает с аналогичным выражением Шрёдингеровской квантовой механики (смысл крышечки над <math>X</math> будет раскрыт ниже). Это делает правомерным присвоить функции <math>\Psi(t, p, q)</math> название ''классической волновой функции''.

Центральным утверждением теории является постулат о том, что закон эволюции классической волновой функции по форме должен в точности совпадать с уравнением Лиувилля <math>i \frac{\partial}{\partial t}\rho = \hat L \rho</math> для классического распределения плотности вероятности <math>\rho(t, p, q)</math> в фазовом пространстве:
: {{EF|:|<math>i \frac{\partial}{\partial t} |\Psi\rangle =  \hat L |\Psi\rangle,</math>|ref=4}}
где
: {{EF|:|<math>\hat L = -i H_p(x, p) \frac{\partial}{\partial x} + i H_x(x, p) \frac{\partial}{\partial p}</math>|ref=5}}
есть классический [[Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма#Запись с использованием оператора Лиувилля|оператор Лиувилля]]. Из данного постулата с учетом свойств ({{eqref|2}}) и ({{eqref|3}}) классической волновой функции можно получить для неё наиболее общее выражение:
: {{EF|:|<math>\Psi(t, p, q) = \sqrt{\rho(t, p, q)} e^{i \phi(t, p, q)},</math>|ref=6}}
в котором фаза <math>\phi(t, p, q)</math> является произвольной действительной функцией своих аргументов.

Важной особенностью теории Купмана — фон Неймана является то, что выражения ({{eqref|5}}) и ({{eqref|6}}) являются лишь одним из множества возможных эквивалентных ''представлений'' динамических уравнений. Наиболее общая современная форма генератора движения ({{eqref|5}}) имеет следующий вид:
: {{EF|:|<math>\hat L = -H_p(\hat x, \hat p) \hat\lambda_x + H_x(\hat x, \hat p) \hat\lambda_p,</math>|ref=7}}
где <math>\hat x, \hat p, \hat\lambda_x, \hat\lambda_p</math> являются [[эрмитов оператор|самосопряжёнными операторами]], удовлетворяющими следующим коммутационным соотношениям:
: {{EF|:|<math>[\hat x, \hat\lambda_x] = i;
 \quad [\hat p, \hat\lambda_p] = i;
 \quad [\hat p, \hat x] = [\hat\lambda_p, \hat\lambda_x] = [\hat p, \hat \lambda_x] = [\hat\lambda_p, \hat x] = 0,</math>|ref=8}}
в которых скобками <math>[\cdot, \cdot]</math> обозначен [[коммутатор операторов]]. Соотношения ({{eqref|8}}) представляют собой классический аналог [[Каноническое коммутационное соотношение|канонических коммутационных соотношений]] квантовой механики. Легко проверить, что выражение ({{eqref|5}}) получается из ({{eqref|8}}) при выборе
<math>\hat x = x</math>, <math>\hat p = p</math>, <math>\hat\lambda_x = -i \frac{\partial}{\partial x}</math>, <math>\hat\lambda_p = -i \frac{\partial}{\partial p}</math>. Однако, как и в квантовой механике, выбор специфической алгебраической формы данных операторов несущественен и определяется лишь соображениями удобства.

Аналогичным образом, любой физической величине <math>X(p, q)</math> ставится в соответствие эрмитов оператор ''классической наблюдаемой'' <math>\hat X = X(\hat p, \hat q)</math>, получаемый путём подстановки операторов вместо соответствующих аргументов. Поучительно, что в отличие от квантовой механики, такая подстановка однозначна благодаря тому, что классические операторы <math>\hat x</math> и <math>\hat p</math> коммутируют. По этой же причине KvN-операторы всех физических величин коммутируют между собой.

Генератор движения ({{eqref|7}}) также представляет собой [[эрмитов оператор]], а следовательно, временная динамика, описываемая уравнением ({{eqref|4}}) описывается некоторым [[Унитарный оператор|унитарным преобразованием]] <math>U_t</math> классической волновой функции: <math>|\Psi(t)\rangle = U_t |\Psi(0)\rangle</math>, причём отображение <math>t \mapsto U_t</math> представляет собой [[Однопараметрическая подгруппа|однопараметрическую группу]]. В этом смысле уравнение ({{eqref|4}}) структурно полностью эквивалентно уравнению Шрёдингера. Именно это наблюдение, сделанное Купманом, и послужило стимулом для развития KvN-теории.

В наши дни возможность вышеизложенной абстрактной операторной формы записи уравнений классической динамики может показаться достаточно очевидной, однако в начале [[1930-е годы|1930-x годов]] эта идея была совершенно новой и революционной. Она открывала неожиданные перспективы прямого подключения квантовомеханического математического аппарата, в частности, теории представлений к анализу классических систем, чем и не преминул воспользоваться фон Нейман для доказательства своей эргодической теоремы.<ref name=BOOK_LegacyJvN/> В качестве примеров более современных заимствований можно указать методы [[Теория возмущений|теории возмущений]] и [[Функциональный интеграл|функционального интегрирования]]<ref name=2003-Liboff/>, [[Диаграммы Фейнмана|фейнмановскую диаграммную технику]]<ref name=2005-Blasone/>.

== Соотнесение с квантовой механикой ==
Несмотря на множество формальных сходств со [[уравнение Шрёдингера|Шрёдингеровской квантовой механикой]], KvN-теория имеет с ней существенные различия. Прямая проверка<ref name=2002-Mauro/> показывает, что эволюция классической волновой функции ({{eqref|6}}) по закону ({{eqref|4}}) распадается на два независимых уравнения для фазы <math>\phi(t, p, q)</math> и предэкспоненциального множителя. Таким образом, фазовый множитель <math>\phi(t, p, q)</math> в KvN-теории выступает в качестве произвольного свободного параметра, который никак не влияет на динамику классических наблюдаемых. Этим классическая волновая функция качественно отличается от квантовой, где аналогичный фазовый множитель несёт важную информацию о [[квантовая когерентность|квантовой когерентности]], которая и является источником всех специфически квантовых эффектов. По той же причине [[Измерение (квантовая механика)|неселективное измерение]] не приводит к изменению классической волновой функции<ref name=2002-Mauro/>.

{|class="wikitable" align="right" width="35%"
 |-valign="top"
 |[[Файл:KvN evolution for Morse potential.ogv|мини|190px|Классическая эволюция <br /> KvN-функции <math>\Psi(t, p, q)</math>]]
 |[[Файл:Wigner function propagation for morse potential.ogv|мини|180px|Квантовая эволюция <br /> функции Вигнера <math>P(t, p, q)</math>]]
 |-
 |colspan="2" |{{hidden|Подробности|Видеофайлы иллюстрируют, соответственно, классическую и квантовую динамику распределения частиц единичной массы в [[потенциал Морзе|потенциале Морзе]]: <math>U(x) = 20 (1 - e^{-0{,}16x})^2</math> для идентичных начальных условий: <math>P(0, p, q) = \Psi(0, p, q)</math>. Чёрные точки изображают перемещения классических частиц в соответствии с [[законы Ньютона|законами ньютоновской динамики]]. Чёрные линии являются уровнями одинаковой полной (кинетическая + потенциальная) энергии частиц.}}
|}

Еще одним фундаментальным отличием KvN-механики является обособленное место генератора движения ({{eqref|7}}) — классического лиувиллиана. Оператор ({{eqref|7}}) — единственный оператор теории, не соответствующий никакой физической величине и не коммутирующий с операторами физических величин (которые, напомним, все коммутируют между собой вследствие соотношений ({{eqref|8}})). По этой причине в KvN-теории для введения генератора движения требуется расширение алгебры операторов физических величин введением специальных вспомогательных «дифференциальных» операторов <math>\lambda_x</math> and <math>\lambda_p</math>. Квантовомеханический случай значительно проще. Квантовый гамильтониан, представляющий генератор движения в [[уравнение Шрёдингера|уравнении Шрёдингера]], одновременно является квантовомеханическим оператором энергии системы и при необходимости может быть выражен через операторы других наблюдаемых, то есть его не нужно искусственно вводить в алгебру квантовых операторов извне. Как знать, не в этом ли различии скрывается фундаментальная философская причина, побудившая Природу «предпочесть» квантовую механику?<ref name=BOOK_Grishanin/>

Интересным и не до конца изученным остается вопрос, является ли модель Купмана — фон Неймана [[Принцип соответствия#Принцип соответствия в квантовой механике|классическим пределом]] какого-либо квантового представления. Ответ, причём достаточно неожиданный, имеется только для случая, когда квантовым «контрагентом» классической волновой функции является [[Чистое состояние|чистое квантовое состояние]].<ref name=2013-Bondar/> Можно показать, что правильный KvN-генератор движения в форме ({{eqref|7}}) получается как классический предел <math>\hbar \to 0</math> в соответствующем генераторе движения для [[функция Вигнера|функции Вигнера]] <math>P(p, q)</math>. Пикантность ситуации заключается в том, что функция Вигнера и соответствующий ей генератор движения определены не в гильбертовом, а классическом фазовом пространстве, воплощая идею перевода описания квантовомеханических процессов на язык классической механики, по сути диаметрально противоположную концепции KvN-теории. Укрощения [[Материалистическая диалектика#Единство и борьба противоположностей|борьбы противоположностей]] можно добиться, введя в классическом фазовом пространстве скалярное произведение в форме ({{eqref|1}}) и постулировав взамен стандартной формулы для вычисления средних
: {{EF|:|<math>\langle X\rangle = \int\limits_p \int\limits_q X(p, q) P(p, q) \,dq\,dp</math>|ref=9}}
правило ({{eqref|3}}) (с подстановкой функции <math>P(p, q)</math> вместо <math>\Psi(p, q)</math>). Доказано, что такое модифицированное представление Вигнера физически корректно для чистых квантовых состояний (т. е. результаты вычисления по формулам ({{eqref|3}}) и ({{eqref|9}}) совпадают) и переходит в уравнения механики Купмана — фон Неймана в классическом пределе <math>\hbar \to 0</math>. Замечательно, что при этом радикальным образом снимается проблема отрицательности [[Функция Вигнера#Физический смысл|«функции квазивероятностного распределения Вигнера»]], поскольку в новой интерпретации вероятностное распределение не совпадает с функцией <math>P(p, q)</math>, а вычисляется по формуле ({{eqref|2}}) и всегда положительно. Однако, существенной слабой стороной изложенной схемы является невозможность её распространения на случай [[Смешанное состояние|смешанных квантовых состояний]].

== Значение ==
За годы своего существования теория Купмана — фон Неймана, в отличие от достаточно широко используемого представления Вигнера, не сумела найти прямого практического применения, и поэтому её упоминание в научной литературе в основном можно встретить на страницах изданий, предназначенных для узкого круга специалистов по математической физике. По причине сравнительно низкой известности теории её историческое значение и методологический потенциал остаются малоисследованными.

В современных работах KvN-теория иногда применяется в качестве конструктивного инструмента, например, для развития фейнмановской диаграммной техники в классической теории возмущений.<ref name=2005-Blasone/> Однако основная её ниша в современной науке заключается в реинтерпретации результатов, полученных другими методами с целью прояснения их физического смысла, обобщения и систематизации. Главным образом, это относится к квазиклассическим случаям, для которых теория является удобным дополнительным инструментом изучения соответствия между классическим и квантовым пределами.

== Примечания ==
{{примечания|refs=

<ref name=1930-Stone>
Подробности о результате Стоуна можно узнать из статьи [[Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве]].
</ref>

<ref name=1931-Koopman>
''Koopman, B. O.'' "Hamiltonian Systems and Transformations in Hilbert Space" // Proceedings of the National Academy of Sciences '''17''' (5), 315 (1931).
</ref>

<ref name=1932-Neumann>
''von Neumann, J.'' "Zur Operatorenmethode In Der Klassischen Mechanik" // Annals of Mathematics '''33''' (3), 587–642 (1932).
<br />
&nbsp;&nbsp;
''von Neumann, J.'' "Zusatze Zur Arbeit "Zur Operatorenmethode..."" // Annals of Mathematics '''33''' (4), 789–791 (1932).
<br />
&nbsp;&nbsp;
''Collected Works of John von Neumann'', Taub, A. H., ed., Pergamon Press, 1963. ISBN 0-08-009566-6
</ref>

<ref name=BOOK_LegacyJvN>
The Legacy of John von Neumann (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol 50), ''edited by James Glimm, John Impagliazzo, Isadore Singer''. — Amata Graphics, 2006. — ISBN 0-8218-4219-6
</ref>

<ref name=$Weil_contrib>Сходные идеи одновременно и независимо разрабатывались [[Андре Вейль|Вейлем]].</ref>

<ref name=2002-Mauro>
''Mauro, D.'' (2002). "Topics in Koopman — von Neumann Theory". [http://arxiv.org/abs/quant-ph/0301172 arXiv:quant-ph/0301172 &#91;quant-ph&#93;]. (существует выборочный перевод на русский язык М.Х. Шульмана: [http://www.timeorigin21.narod.ru/rus_translation/Class_mech_in_hilbert_space.pdf]).</ref>

<ref name=2003-Liboff>{{Cite book| last=Liboff | first=R. L. | title=Kinetic theory: classical, quantum, and relativistic descriptions | publisher=Springer | year=2003 |isbn=9780387955513}}
</ref>

<ref name=2005-Blasone>''Blasone M., Jizba P., Kleinert H.'' «Path-integral approach to 't Hooft’s derivation of quantum physics from classical physics» // Physical Review A '''71'''(5), 052507 (2005).
</ref>

<ref name=BOOK_Grishanin>
''Гришанин Б. А.'' «Классическая механика в квантовой форме: почему природа „предпочла“ квантовую механику», ''в книге:''
Б. А. Гришанин. Избранные работы и воспоминания близких, друзей и коллег (по редакцией В. Н. Задкова и Ю. М. Романовского) — Изд-во МГУ, 2011.
</ref>

<ref name=2013-Bondar>''Bondar D.; Cabrera R.; Zhdanov D.; Rabitz H.'' (2012). «Wigner Function’s Negativity Demystified» // [http://arxiv.org/abs/1202.3628 arXiv:1202.3628&#91;quant-ph&#93;].
</ref>

<!-- Смотрите в [[Википедия:Сноски]] примеры использования тэгов<ref></ref> -->
}}

== Литература ==
* ''Mauro, D.'' (2002). «Topics in Koopman — von Neumann Theory». [http://arxiv.org/abs/quant-ph/0301172 arXiv: quant-ph/0301172 &#91;quant-ph&#93;]. (существует выборочный перевод на русский язык М. Х. Шульмана: [http://www.timeorigin21.narod.ru/rus_translation/Class_mech_in_hilbert_space.pdf]).
* [[Джон фон Нейман|John von Neumann]], ''Mathematical Foundations of Quantum Mechanics'', Princeton University Press, 1955. Reprinted in paperback form.
* H.R. Jauslin, D. Sugny, [http://icb.u-bourgogne.fr/omr/dqnl/sugny/files/MHQP-LN-Jauslin.pdf Dynamics of mixed classical-quantum systems, geometric quantization and coherent states]{{Недоступная ссылка|date=Июнь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}, Lecture Note Series, IMS, NUS, Review Vol., August 13, 2009
* The Legacy of John von Neumann (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol 50), ''edited by James Glimm, John Impagliazzo, Isadore Singer''. — Amata Graphics, 2006. — {{ISBN|0821842196}}

[[Категория:Классическая механика]]
[[Категория:Квантовая механика]]
[[Категория:Теоретическая физика]]
[[Категория:Именные законы и правила|Купмана — фон Неймана]]