Просмотр кода страницы Теорема о распределении простых чисел

'''Теорема о распределении простых чисел''' — теорема [[Теория чисел#Аналитической теории чисел|аналитической теории чисел]], описывающая асимптотику распределения [[простое число|простых чисел]]. А именно, она утверждает, что [[функция распределения простых чисел]] <math>\pi(n)</math> (количество простых чисел на отрезке <math>[1;n]</math>) растёт с увеличением <math>n</math> как <math>\frac{n}{\ln n}</math>, то есть:
: <math> \frac{\pi(n)}{n/\ln n} \to 1,</math> когда <math> n\to \infty.</math>
Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до <math>n</math> шанс оказаться простым примерно равен <math>\frac{1}{\ln n}</math>.

Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована для описания поведения <math>k</math>-го простого числа <math>p_k</math>: она утверждает, что
: <math> p_k \sim k\ln k, \quad k\to\infty </math>
(здесь и далее запись <math>\ f\sim g</math> означает, что <math>f/g \to 1</math> когда аргумент функций стремится к бесконечности).

Более точно распределение простых чисел описывает функция [[Интегральный логарифм|интегрального логарифма]]. При справедливости [[Гипотеза Римана|гипотезы Римана]] верно<ref>[https://dx.doi.org/10.4213/book231 Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11. - с. 30-31]</ref>

: <math>\pi(n)={li}\,(n)+O(\sqrt{n}\ln n).</math>

== История ==
Первым статистическую закономерность в расположении простых чисел подметил [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]]. В письме [[Энке, Иоганн Франц|Энке]] (1849) он сообщил, что ещё в 1792 или 1793 году, чисто эмпирически, обнаружил, что плотность простых чисел «в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму»{{sfn |Дербишир|2010|с=178-179. }}. К этому времени, основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем и [[Вега, Георг|Вегой]], [[Лежандр, Адриен Мари|Лежандр]] предположил (в 1796 году), что [[функция распределения простых чисел]] <math>\pi(x)</math> (число простых чисел, не превосходящих ''x'') может быть приближена выражением:
: <math>\pi(x) \sim \frac{x}{\ln(x)-B}</math>
где <math>B \approx 1{,}08366.</math> Гаусс в упомянутом письме критикует формулу Лежандра и, используя эвристические рассуждения, предлагает другую приближающую функцию — [[интегральный логарифм]]:
: <math>\mathrm{Li}(x)=\int_2^x \frac{1}{\ln x} \, dx</math>
Однако Гаусс нигде не опубликовал эту гипотезу. Оба приближения, как Лежандра, так и Гаусса, приводят к одной и той же предполагаемой асимптотической эквивалентности функций <math>\pi(x)</math> и <math>x / \ln(x)</math>, указанной выше, хотя приближение Гаусса и оказывается существенно лучше, если при оценке ошибки рассматривать разность функций вместо их отношения.

В двух своих работах, [[1848]] и [[1850 год]]а, [[Чебышёв, Пафнутий Львович|Чебышёв]] доказывает<ref>''Ахиезер Н. И.''  П. Л. Чебышёв и его научное наследие.</ref>, что [[верхний предел|верхний]] M и [[нижний предел|нижний]] m пределы отношения
: {{EF|:|<math>\frac{\pi(x)}{x/\ln x} \qquad</math> |ref=1 }}
заключены в пределах <math>0{,}92129 \leqslant m \leqslant M \leqslant 1{,}10555</math>, а также, что ''если'' предел отношения (1) существует, то он равен 1. <!-- Сказать ли, что он также показывает, что единственной точной до x/ln² x формулой может быть формула с B=1 ? --> Позднее (1881) [[Сильвестр, Джеймс Джозеф|Дж. Дж. Сильвестр]] сузил допустимый интервал для предела с 10% до 4%.

В [[1859 год]]у появляется работа [[Риман, Бернхард|Римана]], рассматривающая (введённую [[Эйлер, Леонард|Эйлером]] как функцию вещественного аргумента) [[Дзета-функция Римана|'''ζ'''-функцию]] в комплексной области, и связывающая её поведение с распределением простых чисел. Развивая идеи этой работы, в [[1896 год]]у [[Адамар, Жак|Адамар]] и [[Валле Пуссен, Шарль Жан де ла|Валле-Пуссен]] одновременно и независимо доказывают теорему о распределении простых чисел.

Наконец, в [[1949 год]]у появляется не использующее комплексный анализ доказательство [[Эрдёш, Пол|Эрдеша]]—[[Сельберг]]а.

== Общий ход доказательства ==

=== Переформулировка в терминах пси-функции Чебышёва ===
Общим начальным этапом рассуждений является переформулировка закона распределения простых чисел в терминах [[Функции Чебышёва|пси-функции Чебышёва]], определяемой как
: <math>
\psi(x)=\sum_{p^k \le x} \log p,   \qquad \qquad (*)
</math>
иными словами, пси-функция Чебышёва это [[Арифметическая функция#Операции и связанные понятия|сумма]] [[функция Мангольдта|функции Мангольдта]]:
: <math>
\psi(x)=\sum_{n\le x} \Lambda(n), \qquad
\Lambda(n)=
\begin{cases} 
\log p, & n=p^k, \, k\ge 1, \quad p \,\text{is a prime} \\
0, & \text{otherwise}.
\end{cases} 
</math>

А именно, оказывается, что асимптотический закон распределения простых чисел равносилен тому, что
{{рамка}}
: <math>
\psi(x)\sim x, \quad x\to \infty.
</math>
{{конец рамки}}
Это происходит из-за того, что логарифм «почти постоянен» на большей части отрезка <math>[1,n]</math>, а вклад квадратов, кубов, и т. д. в сумму (*) пренебрежимо мал; поэтому практически все складываемые логарифмы <math>\ln p</math> примерно равны <math>\ln x</math>, и функция <math>\psi(x)</math> асимптотически ведёт себя так же, как <math>\pi(x) \cdot \ln x</math>.

=== Классические рассуждения: переход к дзета-функции Римана ===
Как следует из [[тождество Эйлера|тождества Эйлера]],
: <math>
\zeta(s)=\prod_p \frac{1}{1-p^{-s}},
</math>
[[ряд Дирихле]] («производящая функция»), соответствующий функции Мангольдта, равен минус логарифмической производной дзета-функции:
: <math>
\sum_n \Lambda(n) n^{-s} = - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}.
</math>

Кроме того, интеграл по вертикальной прямой, находящейся справа от 0, от функции <math>a^s/s</math> равен <math>2\pi i</math> при <math>a>1</math> и 0 при <math>0<a<1</math>. Поэтому, умножение правой и левой части на <math>\frac{1}{2\pi i} x^s/s</math> и (аккуратное — несобственные интегралы сходится только условно!) интегрирование по вертикальной прямой по <math>ds</math> оставляет в левой части в точности сумму <math>\Lambda(n)</math> с <math>n\leqslant x</math>. С другой стороны, применение [[основная теорема о вычетах|теоремы о вычетах]] позволяет записать левую часть в виде суммы вычетов; каждому нулю дзета-функции соответствует полюс первого порядка её логарифмической производной, с вычетом, равным 1, а полюсу первого порядка в точке <math>s=1</math> — полюс первого порядка с вычетом, равным <math>(-1)</math>.

Строгая реализация этой программы позволяет получить<ref>[http://people.reed.edu/~jerry/361/lectures/rvm.pdf Sketch of the Riemann--von Mangoldt explicit formula]</ref> {{не переведено|надо=явная формула Римана|есть=:en:Explicit formula#Riemann's explicit formula|текст=явную формула Римана}}<ref>{{MathWorld|urlname=ExplicitFormula|title=Explicit Formula}}</ref>:
: <math>
\psi(x) =x-\sum_{{\rho: \, \zeta(\rho)=0, \atop 0<\operatorname{Re}(\rho)<1}}\frac{x^\rho}{\rho} - \log(2\pi) -\frac{1}{2}\log(1-x^{-2}). \qquad \qquad (**)
</math>
Суммирование тут ведётся по нулям <math>\rho</math> дзета-функции, лежащим в [[критическая полоса|критической полосе]] <math>0<\operatorname{Re}(s)<1</math>, слагаемое <math>-\log(2\pi)=-\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}</math> отвечает полюсу <math>\frac{x^s}{s}</math> в нуле, а слагаемое <math>-\log(1-x^{-2})/2</math> — так называемым «тривиальным» нулям дзета-функции <math>s=-2,-4,-6,\dots</math>.

Отсутствие нетривиальных нулей дзета-функции вне критической полосы и влечёт за собой искомое утверждение <math>\psi(x)\sim x</math> (сумма в формуле (**) будет расти медленнее, чем <math>x</math>). Кроме того, [[гипотеза Римана]] влечёт за собой «оптимальную» оценку на возможные отклонения <math>\psi(x)</math> от <math>x</math>, и, соответственно, на отклонения <math>\pi(x)</math> от <math>x/\ln x</math>.

=== Элементарное доказательство: завершение Эрдеша-Сельберга ===
[[Основная теорема арифметики]], записывающаяся после логарифмирования как
: <math>
\ln n = \sum_{p,k: \, p^k|n} \ln p
</math>
тем самым формулируется в терминах [[арифметическая функция|арифметических функций]] и [[свёртка Дирихле|свёртки Дирихле]] как
: <math>
\ln = \Lambda * \mathbf{1},
</math>
где <math>\ln</math> и <math>\mathbf{1}</math> — арифметические функции, логарифм аргумента и тождественная единица соответственно.

Формула [[Функция Мёбиуса#Обращение Мёбиуса|обращения Мёбиуса]] позволяет перенести <math>\mathbf{1}</math> в правую часть:
: <math>
\Lambda= \ln * \mu, \qquad \qquad (**)
</math>
где <math>\mu</math> — функция Мёбиуса.

[[Сумма арифметической функции|Сумма]] левой части (**) — искомая функция <math>\psi</math>. В правой части, применение формулы гиперболы Дирихле позволяет свести сумму свёртки к сумме <math>\sum\limits_k L\left(\frac{n}{k}\right) \mu(k),</math> где <math>L</math> — сумма логарифма. Применение [[формула Эйлера-Маклорена|формулы Эйлера-Маклорена]] позволяет записать <math>L(n)</math> как
: <math>L(n)=n\ln n - n + \frac{1}{2} \ln n + \gamma + o(1),</math>
где <math>\gamma</math> — [[постоянная Эйлера]]. Выделяя из этого выражения слагаемые, имеющие вид <math>\sum\limits_k F\left(\frac{n}{k}\right)</math> для подходящим образом подобранной функции ''F'' (а именно, <math>F(x)=x-\gamma-1</math>), и обозначая через ''R'' остаток, имеем в силу обращения Мёбиуса
: <math>\Lambda = F + \sum\limits_k R\left(\frac{n}{k}\right) \mu(k).</math>

Поскольку <math>F(x)\sim x,</math> остаётся проверить, что второе слагаемое имеет вид <math>o(x)</math>. Применение [[лемма Аскера|леммы Аскера]] позволяет свести эту задачу к проверке утверждения <math>M(x)=o(x),</math> где <math>M(x)=\sum\limits_{n\leqslant x} \mu(n)</math> — [[функция Мертенса]], сумма функции Мёбиуса.

Малость сумм функции Мёбиуса на подпоследовательности следует из формулы обращения, применённой к функции <math>1/n</math>.

Далее, функция Мёбиуса в алгебре арифметических функций (с мультипликативной операцией-свёрткой) удовлетворяет «дифференциальному уравнению» первого порядка
: <math>\mu'=-\mu*\Lambda,</math>
где <math>f'(n)=f(n)\cdot \ln n</math> — дифференцирование в этой алгебре (переход к рядам Дирихле превращает его в обычное дифференцирование функции). Поэтому она удовлетворяет и уравнению второго порядка
: <math>\mu''= \mu*(\Lambda*\Lambda - \Lambda').</math>
«Усредение» этого уравнения и то, что асимптотика суммы функции <math>\Lambda_2=\Lambda*\Lambda+\Lambda</math> оценивается лучше асимптотики сумм <math>\Lambda</math>, позволяет оценивать отношение <math>\frac{M(x)}{x}</math> через средние значения такого отношения. Такая оценка вкупе с «малостью по подпоследовательности» и позволяет получить искомую оценку <math>M(x)=o(x)</math>.

== См. также ==
* [[Дзета-функция Римана]]
* [[Постулат Бертрана]]
<!-- * [[Теорема Тао об арифметических прогрессиях простых]] — наверное, всё же далековато… -->

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==

=== Классические труды ===
* ''Jacques Hadamard''. [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1896__24_/BSMF_1896__24__199_1/BSMF_1896__24__199_1.pdf Sur la distribution des zéros de la fonction <math>\zeta(s)</math> et ses conséquences arithmétiques]. ''Bull. Soc. Math. France'', № 24 (1896), 199—220.
* ''Charles de la Vallée Poussin''. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. ''Ann. Soc. Sci. Bruxells'', 1897.
* ''Чебышёв П. Л.'' Об определении числа простых чисел, меньших данной величины, 1848.
* ''Чебышёв П. Л.'' О простых числах, 1850.
* {{Статья | автор=Bernhard Riemann. |заглавие=Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse | ссылка=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/ | год=1859 | издание=Monatsberichte der Berliner Akademie }}

=== Современная литература ===
* {{книга|автор=Дербишир, Джон.
  |заглавие=Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике 
  |издательство=Астрель |год=2010 |страниц=464 |isbn=978-5-271-25422-2 |ref=Дербишир }}
* ''Диамонд Г.'' [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=4716&option_lang=rus Элементарные методы в изучении распределения простых чисел], [[УМН]], 45:2(272) (1990), 79-114.
* ''Постников А. Г., Романов Н. П.'' [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=8019&option_lang=rus Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел], [[УМН]], 10:4(66) (1955), с. 75-87
* ''Erdős, P.'' Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
* ''Selberg, A.'' An Elementary Proof of the Prime Number Theorem, Ann. Math. 50, 305—313, 1949.

== Ссылки ==
* {{MathWorld|urlname=PrimeNumberTheorem|title=Prime Number Theorem}}

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Аналитическая теория чисел]]
[[Категория:Логарифмы]]
[[Категория:Теоремы о простых числах]]
[[Категория:Карл Фридрих Гаусс]]