Просмотр кода страницы Теорема косинусов

{{О|теореме планиметрии|теоремах для [[Сферический треугольник|сферических треугольников]]|Теоремы косинусов (сферическая геометрия)}}
[[Файл:Triangle with notations 2.svg|thumb|255x255px|альт=Стандартные обозначения|Стандартные обозначения углов и сторон треугольника]]

'''Теорема косинусов''' — теорема [[Евклидова геометрия|евклидовой геометрии]], обобщающая [[теорема Пифагора|теорему Пифагора]] на произвольные плоские треугольники.

== Формулировка ==
Для плоского треугольника со сторонами <math>a, b, c</math> и углом <math>\alpha</math>, противолежащим стороне <math>a</math>,
справедливо соотношение:
: <math> a^2 = b^2 + c^2 -2\cdot b \cdot c \cdot \cos \alpha </math>.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними<ref>''[[Атанасян, Левон Сергеевич|Атанасян Л. С.]], Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др.'' Геометрия 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — С. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6</ref>

=== Доказательства ===
{{Hider|	 
title = Классическое доказательство|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =[[Файл:Theorem of cosin.svg|right|300px]]
Рассмотрим треугольник ''ABC''. Из вершины ''C'' на сторону ''AB'' опущена высота ''CD''. Из треугольника ''ADC'' следует:
: <math> AD = b \cos  \alpha </math>,
: <math> DB = c - b \cos  \alpha </math>
Запишем [[Теорема Пифагора|теорему Пифагора]] для двух прямоугольных треугольников ''ADC'' и ''BDC'':
: <math> h^2 = b^2 - (b \cos  \alpha)^2 \qquad \qquad \qquad(1)</math>
: <math> h^2 = a^2 - (c - b \cos  \alpha)^2 \qquad \qquad (2)</math>

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:
: <math> b^2 - (b \cos  \alpha)^2 = a^2 - (c - b \cos  \alpha)^2 </math>
или
: <math> a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos  \alpha </math>.

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:
: <math> b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos  \beta </math>
: <math> c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos  \gamma </math>.
}}
{{Hider|	 
title = Доказательство через координаты|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
Одним из доказательств является доказательство её в координатной плоскости.
:
Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ''ABC'' так, чтобы точка ''А'' совпала с началом координат, а прямая ''АВ'' лежала на прямой ''ОХ''. Введём обозначения ''AB''=''c'', ''AC''=''b'', ''CB''=''a'', a угол ''CAB''='''α'''(пока будем считать что ''α''≠90°).<br>
Тогда точка ''A'' имеет координаты (0;0), точка ''B''(c;0). Через функцию '''''sin''''' и '''''cos''''', а также сторону ''АС''=''b'' выведем координаты точки ''С''. ''С''(b×cosα;b×sinα).
Координаты точки ''С'' остаются неизменными при тупом и остром угле '''α'''.<br>
Зная координаты ''С'' и ''B'', а также зная, что ''CB''=''a'', найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:<br>
<math>a^2 = (b\cos{a} - c)^2 + b^2\sin^2{a}</math><br>
<math>a^2 = b^2\cos^2{a} - 2bc\cos{a} + c^2 + b^2\sin^2{a}</math><br>
<math>a^2 = b^2(\cos^2{a} + \sin^2{a}) + c^2 - 2bc\cos{a}</math><br>
Так как<br>
<math>\cos^2{a} + \sin^2{a} = 1</math> (основное тригонометрическое тождество), то<br>
<math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{a}</math><br>
Теорема доказана.<br>
Стоит отметить, что для прямого угла '''''α''''', теорема также работает '''''cos90°'''''=0 и '''a²=b²+с²''' - известная всем теорема Пифагора. Но так как в основе координатного метода лежит теорема Пифагора, то доказательство её через теорему косинусов не совсем правильно.
}}

{{Hider|	 
title = Доказательство через вектора|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =

Ниже подразумеваются операции над векторами, а не длинами отрезков
<math>AC=AB+BC => BC=AC-AB => BC^2=AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB</math><br>

Так как скалярное произведение векторов равно произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними, последнее выражение можно переписать:<br>
<math> a^2 = b^2 + c^2 -2\cdot b \cdot c \cdot \cos \alpha </math><br>
где a, b, c -- длины соответствующих векторов
}}

== Следствия ==
* Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника
*: <math>\cos{\alpha} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} </math>
: В частности,
:* Если <math> b^2 + c^2 - a^2 > 0</math>, угол α — острый
:* Если <math> b^2 + c^2 - a^2 = 0</math>, угол α — прямой (если угол α [[Прямой угол|прямой]], то теорема косинусов становится [[Теорема Пифагора|теоремой Пифагора]])
:* Если <math> b^2 + c^2 - a^2 < 0</math>, угол α — тупой

* Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде<ref name=Корн>{{Книга:Корн Г. А., Корн Т. М.: Справочник по математике|1974|страницы=51}}</ref>:
: <math> a^2 = (b + c)^2 - 4\cdot b \cdot c \cdot \cos^2 (\alpha/2) </math>,
: <math> a^2 = (b - c)^2 + 4\cdot b \cdot c \cdot \sin^2 (\alpha/2) </math>.
{{Hider|	 
title = Доказательство|
hidden = 1 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
Последние две формулы мгновенно следуют из основной формулы теоремы косинусов (см. в рамке выше), если в правой её части воспользоваться формулами разложения квадрата суммы (для второй формулы - квадрата разности) двух членов на квадратный трехчлен, являющийся полным квадратом. Для получения окончательного результата (двух формул выше) в правой части надо еще воспользоваться известными тригонометрическими формулами:
: <math> 1+\cos \alpha = 2\cdot\cos^2 (\alpha/2) </math>,
: <math> 1 - \cos \alpha=2\cdot\sin^2 (\alpha/2) </math>.
Кстати, вторая формула формально не содержит косинусов, но её все равно именуют теоремой косинусов. 
}}

* Находя из двух последних формул в явном виде <math>\cos (\alpha/2) </math> и <math> \sin (\alpha/2)</math>, получим известные формулы геометрии<ref name=Корн />:
*: <math>\cos \frac{\alpha}{2}= \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}</math>, <math>\sin \frac{\alpha}{2}= \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}</math>, <math> \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}} </math>, где ''p'' — [[полупериметр]].
* Наконец, используя правые части формул для <math>\cos (\alpha/2) </math> и <math> \sin (\alpha/2) </math> и известную формулу площади треугольника: <math>S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} bc \sin \alpha </math>, а также известную формулу синуса двойного угла <math> \sin \alpha = 2 \sin (\alpha/2) \cos (\alpha/2) </math> после небольших преобразований получим известную [[формула Герона|формулу Герона]] для площади треугольника: <math>S_{\triangle ABC}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>, где ''p'' — [[полупериметр]].

=== Для других углов ===
Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:
: <math>c^2\ = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma</math>
: <math>b^2\ = a^2 + c^2 - 2ac\cos\beta</math>

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:
: <math>\alpha=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)</math>
: <math>\beta=\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)</math>
: <math>\gamma=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)</math>

== История ==
Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги [[Начала Евклида|«Начал» Евклида]].

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для [[сферический треугольник|сферического треугольника]], применялись в сочинениях [[ал-Баттани]].<ref name="cajori">''Florian Cajori.'' A History of Mathematics — 5th edition 1991</ref>{{rp|105}}
Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал [[Региомонтан]], назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал [[Виет, Франсуа|Франсуа Виет]] в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

== Вариации и обобщения ==
* [[Теоремы косинусов (сферическая геометрия)]] или [[Трёхгранный угол|Теорема косинусов для трёхгранного угла]].
* [[Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)]]
* [[Тождество параллелограмма]]. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон (см. также [[Теорема Птолемея]]):
*: <math>AC^2+BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2.</math>

=== Для [[евклидово пространство|евклидовых]] [[нормированное пространство|нормированных]] пространств ===
Пусть в евклидовом пространстве <math>E</math> задана [[норма (математика)|норма]], ассоциированная со [[скалярное произведение|скалярным произведением]], то есть <math>\left\Vert \vec{a} \right\Vert = \sqrt{(\vec{a}, \vec{a})}</math>. Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:
{{рамка}}
'''Теорема'''.<br>
<math>\left\Vert \vec{a}-\vec{b} \right\Vert^2 = \left\Vert \vec{a} \right\Vert ^2 + \left\Vert \vec{b} \right\Vert ^2 - 2(\vec{a},\vec{b})</math>

{{конец рамки}}

=== Для четырёхугольников ===
Возводя в квадрат тождество <math>\overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}</math> можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для [[четырёхугольник]]ов:
: <math>d^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos\angle B-2ac\cos\omega-2bc\cos\angle C</math>, где <math>\omega</math> — угол между прямыми ''AB'' и ''CD''.
Или иначе:
: <math>d^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos\angle B+2ac\cos(\angle A+\angle D)-2bc\cos\angle C</math>
: Формула справедлива и для тетраэдра, под <math>w</math> подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.
: С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами <math>a</math> и <math>c</math> зная все ребра тетраэдра:
: <math>\cos w =(b^2+d^2-e^2-f^2)/2ac </math>
: Где <math>b</math> и <math>d</math>, <math>e</math> и <math>f</math> пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

=== Косвенный аналог для четырёхугольника ===
[[Файл:Tetragon measures.svg|thumb|Четырехугольник]]
'''[[Соотношение Бретшнайдера]]''' — соотношение в [[четырёхугольник]]е, косвенный аналог теоремы косинусов:
{{Теорема|Между сторонами ''a, b, c, d'' и противоположными углами <math>\alpha, \gamma</math> и диагоналями ''e, f'' простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:
:<math>e^2f^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\cos(\alpha + \gamma)</math>
}}

* Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается [[теорема Стюарта]].
* Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр [[Описанная окружность|описанной окружности]] треугольника.

=== [[Симплекс]]ы ===
{{main|Симплекс#Свойства}}
<!-- Поскольку нижеследущая формула довольно сложна для проверки, желательно указать источник для неё. -->
: <math>S_i S_j \cos\angle A = \frac{(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1} ((n-1)!)^2} \begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\
1 & 0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & \dots & d_{1(n+1)}^2 \\
1 & d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & \dots & d_{2(n+1)}^2 \\
1 & d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & \dots & d_{3(n+1)}^2 \\
\vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\
1 & d_{(n+1)1}^2 & d_{(n+1)2}^2 & d_{(n+1)3}^2 & \dots & 0 \\
\end{vmatrix}</math>
при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится <math>d_{ij}</math> или <math>d_{ji}</math>.

''A'' — угол между гранями <math>S_i</math> и <math>S_j </math>, <math>S_i</math> -грань, находящаяся против вершины i,<math>d_{ij}</math>- расстояние между вершинами ''i'' и ''j''.

== См. также ==
* [[Решение треугольников]]
* [[Скалярное произведение]]
* [[Соотношение Бретшнайдера]]
* [[Трёхгранный угол|Теорема косинусов для трёхгранного угла]]
* [[Теорема о проекциях]]
* [[Теорема Пифагора]]
* [[Теоремы косинусов (сферическая геометрия)|Сферическая теорема косинусов]]
* [[Теорема котангенсов]]
* [[Теорема синусов]]
* [[Теорема тангенсов]]
* [[Тригонометрические тождества]]
* [[Тригонометрические функции]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Книга:Понарин Я. П.: Элементарная геометрия|84—85|1}}

{{rq|refless|topic=math}}

{{Тригонометрия}}

[[Категория:Теоремы планиметрии|Косинусов]]
[[Категория:Геометрия треугольника]]
[[Категория:Тригонометрия]]