Просмотр кода страницы Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве

{{Другие значения|Теорема Стоуна}}
'''Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве''' — важный результат [[функциональный анализ|функционального анализа]], утверждающий, что всякая сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов представляется в виде:
: <math> U_t = e^{i t \hat H} \quad t \in \mathbb{R}</math>,
где <math>\hat H</math> — некоторый [[самосопряженный оператор]], а <math>t</math> — параметр. Верно и обратное: всякому самосопряженному оператору <math>\hat H</math> с помощью представления Стоуна можно поставить в соответствие сильно непрерывную однопараметрическую группу унитарных операторов.

Теорема была доказана американским математиком [[Стоун, Маршалл|Маршаллом Стоуном]] в [[1930 год в науке|1930 году]] и имела большое значение для становления [[Квантовая механика|квантовой механики]], а также послужила толчком к созданию [[Теория Купмана — фон Неймана|теории Купмана — фон Неймана]].

Сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов обладает следующими свойствами:
: <math> \lim_{t \rightarrow t_0} U_t \xi = U_{t_0} \xi \quad \forall t_0 \in \mathbb{R}, \xi \in H </math>
: <math> U_{t+s} = U_t U_s</math>.

Важность результата для физики заключается в том, что он гарантирует существование и единственность решений [[уравнение Шрёдингера|уравнений Шрёдингера]] и [[Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма#Уравнение Лиувилля|Лиувилля]], а также сохранение нормировок волновых функций.

== Ссылки ==
* {{Citation | last1=Stone | first1=M. H. | title=Linear Transformations in Hilbert Space. III. Operational Methods and Group Theory | url=https://www.jstor.org/stable/85485 | publisher=National Academy of Sciences | year=1930 | journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences|Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]] | issn=0027-8424 | volume=16 | issue=2 | pages=172–175}}
* {{citation|first=M. H. |last=Stone|url=https://www.jstor.org/stable/1968538|title= On one-parameter unitary groups in Hilbert Space|journal= Annals of Mathematics |volume=33|issue= 3|pages= 643–648|year=1932}}
* K. Yosida, ''Functional Analysis'', Springer-Verlag, (1968).

{{math-stub}}
{{rq|refless|isbn}}

[[Категория:Теория операторов]]
[[Категория:Теоремы функционального анализа]]