Просмотр кода страницы Теорема Лежандра (сферическая тригонометрия)

'''Теорема Лежандра''' в [[сферическая тригонометрия|сферической тригонометрии]] позволяет упростить [[Решение треугольников|решение]] [[сферический треугольник|сферического треугольника]], если известно, что его стороны достаточно малы по сравнению с радиусом [[сфера|сферы]], на которой он расположен.

== Формулировка ==
[[Файл:Sftriangle.png|thumb|Сферический треугольник.]]
Пусть дан сферический треугольник со сторонами <math>a, b, c</math>, малыми по сравнению с радиусом сферы <math>R</math>, углами <math>\alpha, \beta, \gamma</math> и [[эксцесс (сферическая тригонометрия)|эксцесс]]ом <math>\varepsilon=\alpha+\beta+\gamma-\pi</math>. Построим на плоскости [[треугольник]] со сторонами <math>a', b', c'</math>, равными по длине соответствующим сторонам данного сферического треугольника, то есть, поскольку для сторон сферического треугольника принята угловая мера, и они выражаются в радианах, то <math>a'=aR, b'=bR, c'=cR</math>. Обозначим углы такого треугольника (выраженные в радианах) через <math>\alpha', \beta', \gamma'</math>. Теорема Лежандра утверждает, что справедливы соотношения<ref>{{книга|автор=Степанов Н. Н.|заглавие=Сферическая тригонометрия|часть=§55. Теорема Лежандра|место=М.—Л.|издательство=[[ОГИЗ]]|год=1948|страниц=154|страницы=141-143}}</ref>:

:<math>\alpha'\approx\alpha-\frac{\varepsilon}{3}</math>

:<math>\beta'\approx\beta-\frac{\varepsilon}{3}</math>

:<math>\gamma'\approx\gamma-\frac{\varepsilon}{3}</math>

Таким образом, если стороны сферического треугольника малы по сравнению с радиусом сферы, мы можем заменить его на плоский треугольник с такими же по длине сторонами и на треть эксцесса меньшими углами и вычислять элементы плоского треугольника.

== История ==
Эта теорема была сформулирована [[Лежандр, Адриен Мари|А.М.Лежандром]] в 1787 году<ref>Legendre A.M.: Mémoire sur les opérations trigonométriques, dont les résultats dépendent de la figure de la Terre. Histoire de l’Académie royale de sciences, Paris 1787; 352-383.</ref> и доказана им в 1798 году<ref>Legendre A.M.: Méthode pour déterminer la longueur exacte du quart du méridien d’après les observations faites pour la mesure de l’arc compris entre Dunkerque et Barcelone, Note III: Résolution des triangles sphériques dont des côtés sont très petits par rapport au rayon de la sphère. J.B. Delembre: Méthodes analytiques pour la détermination d’un arc du méridien, Paris 1798; 12-14</ref>. Однако, по некоторым источникам, она была известна ещё в 1740 году, когда [[Кондамин, Шарль Мари де ла|Ш.М. де ла Кондамин]] использовал её при обработке [[градусные измерения|градусных измерений]] перуанской экспедиции<ref>{{статья|автор=Zbyněk Nádeník|заглавие=Legendre theorem on spherical triangles|ссылка=http://www.vugtk.cz/odis/sborniky/sb2005/Sbornik_50_let_VUGTK/Part_1-Scientific_Contribution/2-Nadenik.pdf|deadlink=да|archiveurl=https://web.archive.org/web/20140116131114/http://www.vugtk.cz/odis/sborniky/sb2005/Sbornik_50_let_VUGTK/Part_1-Scientific_Contribution/2-Nadenik.pdf|archivedate=2014-01-16}}</ref>.

== Примечания ==
{{Примечания}}

{{Сферическая тригонометрия}}

[[Категория:Сферическая геометрия]]
[[Категория:Теоремы геометрии|Лежандра (сферическая тригонометрия)]]