Просмотр кода страницы Теорема Вейерштрасса о целых функциях

{{значения|Теорема Вейерштрасса}}

== Теорема ==
Любая [[целая функция]] <math>f</math>, имеющая не более чем [[счётное множество|счётное]] количество [[Нуль (комплексный анализ)|нулей]] <math>\{0\}\cup\{a_n\}\to\infty</math>, где точка 0 — нуль порядка <math>\lambda</math>, может быть представлена в виде [[Бесконечное произведение|бесконечного произведения]] вида
:<math>f(z)=z^\lambda e^{h(z)}\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\exp\left(\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\dots+\frac{1}{p_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n}\right)</math>,
где <math>h</math> — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа <math>p_n</math> подобраны таким образом, чтобы ряд 
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{p_n+1}\left|\frac{z}{a_n}\right|^{p_n+1}</math> 
сходился при всех <math>z</math>.
При <math>p_n = 0</math> соответственная множителю номер ''n'' экспонента опускается (считается равной <math>\exp(0) = 1</math>).

На случай кратных корней эта теорема обобщается следующим образом. Самым общим выражением для целой функции <math>f</math>, которая в заданных точках  точках <math>z=a_k</math> (<math>a_k\to\infty</math>) имеет нули кратности <math>n_k</math>, является произведение
:<math>f(z)=z^{n_0} e^{h(z)}\prod_{k=1}^\infty\left\{\left(1-\frac{z}{a_k}\right)\exp\left(\frac{z}{a_k}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_k}\right)^2+\dots+\frac{1}{p_k}\left(\frac{z}{a_k}\right)^{p_k}\right)\right\}^{n_k}</math>,
где <math>h</math> — произвольная целая функция, а неотрицательные целые числа <math>p_n</math> подобраны таким образом, чтобы ряд 
:<math>\sum_{k=1}^\infty \frac{n_k}{p_k+1}\left|\frac{z}{a_k}\right|^{p_k+1}</math> 
сходился при всех <math>z</math>.

== Примеры ==
Разложение синуса и косинуса в бесконечное произведение. 
: <math>\sin \pi z = \pi z \prod_{n\neq 0} \left(1-\frac{z}{n}\right)e^{z/n} = \pi z\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)</math>
: <math>\cos \pi z = \prod_{q \in \mathbb{Z}, \, q \; \text{odd} } \left(1-\frac{2z}{q}\right)e^{2z/q} = \prod_{n=0}^\infty \left( 1 - \frac{4z^2}{(2n+1)^2} \right) </math>

== Замечание ==
Данная теорема, как и [[теорема Миттаг-Леффлера]], представляет собой обобщение известного свойства — разложения многочленов на сомножители — на случай целых функций.

== Литература ==
* ''Гурвиц А., Курант Р.'' Теория функций. М., 1968. Стр. 125 и сл. 
* ''Rüchs F.'' Funktionentheorie. Berlin, 1962. Стр. 200.
* ''[[Фукс, Борис Абрамович|Фукс Б. А.]], [[Шабат, Борис Владимирович|Шабат Б. В.]]'' Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. — М.: Наука, 1964. — С. 316 

[[Категория:Комплексный анализ]]
[[Категория:Теоремы комплексного анализа|Вейерштрасса о целых функциях]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Карла Вейерштрасса]]