Просмотр кода страницы Теорема Абеля о неразрешимости уравнений в радикалах

'''Теорема Абеля — Руффини''' утверждает, что общее [[уравнение]] степени <math>n</math> при <math>n \geqslant 5</math> неразрешимо в [[Арифметический корень|радикалах]].

== Подробности ==
[[Теория Галуа]] описывает [[группа (математика)|группу]] перестановок [[корень многочлена|корней многочленов]].
Современное доказательство теоремы основано на двух фактах.
* При [[степень многочлена|степени]] <math>n</math> многочлена больше или равной 5 [[группа Галуа|группой Галуа]] многочлена может являться [[группа перестановок]] <math>S_n</math>.
* При <math>n \geqslant 5</math> группа перестановок <math>S_n</math> не является [[Разрешимая группа|разрешимой]].

Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа.

Теорема Абеля — Руффини ''не заявляет'' о том, что общее [[уравнение]] <math>n</math>-й степени при <math>n \geqslant 5</math> не имеет решения. Если мы допускаем [[Комплексное число|комплексные решения]], то [[основная теорема алгебры]] гарантирует наличие решений.
Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвертой невозможно указать ''явную формулу'' для решений, то есть формулу, содержащую только арифметические операции и [[корень (математика)|корни]] произвольной степени. 

Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой [[точность]]ю, используя [[численные методы]], например [[метод Ньютона]].

Кроме того, корни ''некоторых'' уравнений высших степеней можно выразить в радикалах. Например, уравнение <math>x^5 - 5x^4 - 10x^3 - 10x^2 - 5x - 1 = 0</math> имеет корень <math>x = 1 + \sqrt[5]{2} + \sqrt[5]{4} + \sqrt[5]{8} + \sqrt[5]{16}</math>.

Хотя уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, для его корней существуют формулы с использованием [[Тета-функция|тета-функций]].

== Явные формулы для степеней меньше пятой ==
Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать явную формулу решения.
Это можно рассматривать как «вторую часть» или как «обратную» теорему Абеля — Руффини.
Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля — Руффини, оно верно: см. [[Формула Кардано|формулы Кардано]] (для уравнений третьей степени) и [[Метод Феррари|Феррари]] (для четвёртой).

== История ==
[[File:Ruffini - Teoria generale delle equazioni, 1799 - 1366896.jpg|thumb|[[Руффини, Паоло]], ''Teoria generale delle equazioni'', 1799]]

Первое [[Математическое доказательство|доказательство]] теоремы было опубликовано в [[1799 год]]у [[Руффини, Паоло|Руффини]]. В доказательстве было несколько неточностей. В [[1824 год]]у полное доказательство было опубликовано [[Абель, Нильс Хенрик|Абелем]].

Их доказательства основывалось на идеях [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранжа]], связанных с перестановками корней уравнения. 
Позже эти идеи были развиты в [[теория Галуа|теории Галуа]], она позволила сформулировать современное изложение доказательств
и послужила отправной точкой в развитии [[абстрактная алгебра|абстрактной алгебры]].

== Разрешимые типы уравнений ==
Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них:
* [[Однородное уравнение]]
* [[Возвратное уравнение]]

== См. также ==

* [[Теория Галуа]]
* [[Корень Бринга]]
* [[Метод Лиля]] — графический метод нахождения вещественных корней многочленов произвольной степени.
* [[Резольвента алгебраического уравнения]]
* [[Уравнение шестой степени]]

== Литература ==
* ''Edgar Dehn''. Algebraic Equations: An Introduction to the Theories of Lagrange and Galois. Columbia University Press, 1930. ISBN 0-486-43900-3.
* ''John B. Fraleigh''. A First Course in Abstract Algebra. Fifth Edition. Addison-Wesley, 1994. ISBN 0-201-59291-6.
* ''[[Стюарт, Иэн (математик)|Ian Stewart]]''. Galois Theory. Chapman and Hall, 1973. ISBN 0-412-10800-3.
* ''Siegfried Bosch''. Algebra. 6. Auflage. Springer, 2006. ISBN 3-540-29880-0, ISBN 978-3-540-29880-9.
* ''Алексеев В. Б.'' [http://www.mccme.ru/free-books/pdf/alekseev.pdf Теорема Абеля в задачах и решениях]. МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-86-3.
* Лекция 5 в {{книга
 | автор         = Табачников С. Л., Фукс Д. Б.
 | заглавие      = Математический дивертисмент
 | ссылка        = http://biblio.mccme.ru/node/2392
 | издательство  = МЦНМО
 | год           = 2011
 | страниц       = 512 
 | тираж         = 2000
 | isbn          = 978-5-94057-731-7
}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld|title=Abel's Impossibility Theorem|urlname=AbelsImpossibilityTheorem}}
* {{MathWorld|title=Galois's Theorem|urlname=GaloissTheorem}}
* {{MathWorld|title=Galois Group|urlname=GaloisGroup|author=David Terr & Eric W. Weisstein}}
* {{MathWorld|title=Solvable Group|urlname=SolvableGroup}}

{{rq|refless|topic=math}}

[[Категория:Теоремы алгебры|Абеля — Руффини]]
[[Категория:Теория Галуа]]
[[Категория:Многочлены]]