Просмотр кода страницы Телескопический признак

'''Телескопический признак''' — признак сходимости [[числовые ряды|числовых рядов]] с положительными членами, установленный [[Коши, Огюстен Луи|Огюстеном Коши]].

== Формулировка ==
{{Теорема|
Пусть для членов <math>f(n)</math> ряда выполняется:
# последовательность <math>\{f(n)\}</math> монотонно убывает
# <math>f(n)\geqslant 0 \quad \forall n\in\mathbb{N} </math> — члены неотрицательны

Тогда ряд <math>\sum_{n=1}^\infty f(n)</math> сходится или расходится одновременно с рядом <math>\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n})</math>.
}}

{{Доказ1
 |title         = Доказательство
 |1. По условиям теоремы, последовательность членов <math>\{f(n)\}</math> является монотонно убывающей, т.е. любой член последовательности должен быть не меньше каждого последующего, а значит сумма <math>m</math> членов, начиная с <math>f(n)</math>, не превосходит <math>m\cdot f(n)</math>. Сгруппируем члены ряда <math>\sum_{n=1}^{\infty} f(n)</math> и, используя это свойство убывающей последовательности, получим:

: <math>\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty} f(n) & = f(1)+\underbrace{f(2)+f(3)}_{\leq f(2)+f(2)}+\underbrace{f(4)+f(5)+f(6)+f(7)}_{\leq f(4)+f(4)+f(4)+f(4)}+\cdots +\underbrace{f(2^n)+f(2^n+1)+\cdots +f(2^{n+1}-1)}_{\leq f(2^n)+f(2^n)+\cdots +f(2^n)}+\cdots \\
 & \leq f(1) + 2 f(2) + 4 f(4) + \cdots + 2^n f(2^n) + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n).
\end{align}</math>
То есть, если ряд <math>\sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n)</math> сходится, то согласно [[Признак сравнения|признаку сравнения]] ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty} f(n)</math> тем более сходится.

2. Аналогично:
: <math>\begin{align}
\sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n) & = \underbrace{f(1)+f(2)}_{\leq f(1)+f(1)}+\underbrace{f(2)+f(4)+f(4)+f(4)}_{\leq f(2)+f(2)+f(3)+f(3)}+\cdots +\underbrace{f(2^n)+f(2^{n+1})+\cdots +f(2^{n+1})}_{\leq f(2^n)+f(2^n)+f(2^n+1)+f(2^n+1)+\cdots +f(2^{n+1}-1)}+\cdots \\
 & \leq f(1) + f(1) + f(2) +f(2) + f(3) + f(3) + \cdots + f(n) + f(n) + \cdots = 2 \sum_{n=1}^{\infty} f(n).
\end{align}</math>
То есть если ряд <math>\sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n)</math> расходится, то согласно [[Признак сравнения|признаку сравнения]] ряд <math>\sum_{n=1}^{\infty} f(n)</math> тем более расходится.

: <math>\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \leq \sum_{n=0}^{\infty} 2^n f(2^n) \leq 2 \sum_{n=1}^{\infty} f(n).</math>
}}

== Обобщение ==
[[Шлёмильх, Оскар Ксавер|Оскар Шлёмильх]] сформулировал следующее обобщение{{sfn|Bonar, Khoury|2006|loc=теорема 2.4 с доказательством}} телескопического признака.
{{Теорема|
Пусть:
# <math>\{f(n)\}</math> — монотонно убывающая последовательность (члены ряда)
# <math>f(n)\geqslant 0 \quad \forall n\in\mathbb{N} </math>  — последовательность неотрицательна
# <math>\{u_n\}</math> — некоторая строго возрастающая последовательность
# <math>u_n\in \mathbb{N}</math> (а значит, <math>u_n>0</math>) <math>\forall n</math>
# последовательность <math>\{r_n\}=\left\{\frac{u_{n+1}-u_n}{u_n-u_{n-1}}\right\}</math> ограничена

Тогда ряд <math>\sum_{n=1}^\infty f(n)</math> сходится или расходится, одновременно с рядом <math>\sum_{n=1}^{\infty} (u_{n+1}-u_n) f(u_n)</math>.
}}

Например, если рассматривать последовательность <math>u_n= c^n</math>, которая удовлетворяет требованиям теоремы при произвольном фиксированном <math>c\in\mathbb{N}\setminus\{1\}</math>, то согласно указанной теореме ряд <math>\sum_{n=1}^\infty f(n)</math> сходится или расходится одновременно с рядом <math>(c-1)\sum_{n=1}^\infty c^n f(c^n)</math>, а так как умножение ряда на ненулевую константу не влияет на его сходимость, то исходный ряд <math>\sum_{n=1}^\infty f(n)</math> сходится или расходится одновременно с рядом <math>\sum_{n=1}^\infty c^n f(c^n)</math> при любой выбранной константе <math>c\in\mathbb{N},\; c\neq 1</math>.

== Примечания==
{{Примечания}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld|urlname=CauchyCondensationTest|title=Cauchy Condensation Test}}
* {{книга
 | автор         = D. D. Bonar and M. Khoury, Jr.
 | часть         = More Sophisticated Techniques
 | заглавие      = Real Infinite Series
 | место         = Washington DC
 | издательство  = Mathematical Association of America
 | год           = 2006
 | страницы      = 43-45
 | страниц       = 264
 | isbn          = 0-88385-745-6
 | ref = Bonar, Khoury
}}

{{Признаки сходимости рядов}}

[[Категория:Признаки сходимости]]