Просмотр кода страницы Сфера

{{другие значения}}
[[Файл:Sphere-wireframe.png|thumb|Сфера (каркасная проекция)]]
[[Файл:Sphere and Ball.png|thumb|Сфера — поверхность шара]]
[[Файл:Правильный вписанный тетраэдр.gif|thumb|right|Описанная сфера [[правильный тетраэдр|правильного тетраэдра]]]]

'''Сфе́ра''' ({{lang-grc|''σφαῖρα''}} «[[мяч]], шар<ref>{{Cite web |url=http://lingvowiki.info/w/Книги/Древнегреческо-русский_словарь_Дворецкого/123 |title=Древнегреческо-русский словарь Дворецкого „σφαῖρα“ |accessdate=2019-06-17 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160325073828/http://lingvowiki.info/w/Книги/Древнегреческо-русский_словарь_Дворецкого/123 |archivedate=2016-03-25 |deadlink=yes }}</ref>») — геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки (''центра'' сферы).

Расстояние от точки сферы до её центра называется ''радиусом'' сферы.
Сфера радиуса 1 называется ''единичной сферой''.

== Свойства ==
Сфера является [[Поверхность вращения|поверхностью вращения]], образованной при вращении полуокружности вокруг своего [[диаметр]]а. Площадь сферы в градусной мере с учётом непостоянства значения размеров дуг составляет 41252,96 кв. градусов.

Сфера является частным случаем [[эллипсоид]]а, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны.
Сфера является поверхностью [[Шар (стереометрия)|шара]]. Сфера имеет наименьшую площадь из всех поверхностей, ограничивающих данный объём, также из всех поверхностей с данной площадью сфера ограничивает наибольший объём. Поэтому тела сферической формы встречаются в природе, например, маленькие капли [[вода|воды]] при свободном падении приобретают сферическую форму именно из-за минимизации площади поверхности [[Поверхностное натяжение|силой поверхностного натяжения]].

Объём [[цилиндр]]а, объём вписанного в него шара, касающегося обоих его оснований, и объём [[конус]]а, с вершиной в центре одного основания цилиндра и с основанием, совпадающим с другим основанием цилиндра, находятся в соотношении 3 : 2 : 1<ref>100 человек, которые изменили ход истории. Еженедельное издание. Архимед (Выпуск № 12, 2008). Блестящий ум</ref>.

[[Файл:Kepler-solar-system-1.png|thumb|left|«Кубок Кеплера»: модель [[Солнечная система|Солнечной системы]] из пяти правильных многогранников и их вписанных и описанных сфер.]]

== Значение в естествознании ==
Совершенство сферической формы издавна привлекало внимание мыслителей и учёных, которые с помощью сфер пытались объяснить гармонию окружающего мира. Древнегреческий учёный [[Пифагор]] вместе с шарообразной Землёй в центре Вселенной ввёл окружающую Землю удалённую хрустальную сферу, к которой прикреплены звёзды, и семь более близких вращающихся хрустальных сфер, к которым прикреплены Солнце, Луна и пять известных к тому времени планет (исключая Землю). Эта модель впоследствии усложнялась: [[Евдокс Книдский]] рассматривал уже 27 подобных сфер, а [[Аристотель]] — 55 хрустальных сфер<ref>{{книга|автор=[[Климишин, Иван Антонович|Климишин И. А.]]|заглавие=Астрономия наших дней|год=1986|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|тираж=55400|страницы=30—33|издание=3-е изд}}</ref>. Представления о вращающихся небесных сферах господствовали по крайней мере до средних веков и даже вошли в гелиоцентрическую систему мира [[Коперник, Николай|Николая Коперника]], который назвал свой основной труд «[[О вращении небесных сфер]]» ({{lang-la|De revolutionibus orbium coelestium}}).

Небесные сферы со времён [[Древняя Греция|Древней Греции]] были частью более общей концепции [[гармония сфер|гармонии сфер]] о музыкально-астрономическом устройстве мира, куда также входило понятие «музыка сфер». Эта концепция также существовала как минимум до средневековья. У одного из известнейших астрономов, [[Кеплер, Иоганн|Иоганна Кеплера]], сфера занимала центральное место во всей его системе религиозно-мистических представлений, он писал: «Образ триединого бога есть сферическая поверхность, а именно: бог-отец в центре, бог-сын — на поверхности и святой дух — в симметричном отношении между центром и описанной вокруг него сферической поверхностью»<ref>{{статья|автор=[[Паули, Вольфганг|Паули В.]]|заглавие=Влияние архетипических представлений на формирование естественнонаучных теорий у Кеплера|издание=Физические очерки|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|место=М.|год=1975|ссылка=http://www.astro-cabinet.ru/library/Kepler/Kepler_Pauli.htm}}</ref><ref>Оригинальный латинский текст цитаты: «Dei trinuni imago in Sphærica superficie, Patris scilicet in centro, Filij in superficie, Spiritus in æqualitate σχέσεως inter punctum & ambitum». См.: {{cite book|author= Kepler J.|title=Mysterium Cosmographicum|year=1596|pages=19|url=http://www.e-rara.ch/zut/content/pageview/123238}}</ref>. Одно из первых значительных сочинений Кеплера, «[[Тайна мироздания]]» ({{lang-la|Mysterium Cosmographicum}}), было посвящено параметрам небесных сфер, Кеплер считал, что он открыл замечательную связь между [[Правильные многогранники|правильными многогранниками]], которых только пять, и небесными сферами шести известных к тому времени [[планета|планет]] (включая Землю), являвшимися, по Кеплеру, описанными и вписанными сферами этих многогранников. Представления о гармонии сфер сыграли большую роль при открытии Кеплером [[Третий закон Кеплера|третьего закона]] движений небесных тел (во всяком случае, могут рассматриваться как стимул к поиску астрономических соотношений)<ref>{{статья|автор=Шевченко В.В.|заглавие=Небесная музыка|издание=[[Земля и Вселенная]]|номер=4|год=1973|страницы=56—58}}</ref>. Однако у Кеплера небесные сферы являлись уже чисто математическими объектами, а не физически существующими телами. К тому времени [[Браге, Тихо|Тихо Браге]] показал, что движение [[комета|комет]], в частности, [[C/1577 V1|Большой кометы 1577 года]], несовместимо с существованием твердых небесных сфер<ref>{{статья|автор=Тихо Браге|заглавие=Автобиография|издание=[[Историко-астрономические исследования]]|ответственный=Отв. ред. Л.Е. Майстров|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|место=М.|год=1984|том=XVII|страницы=393—394|ссылка=http://www.astro-cabinet.ru/library/IAI_17/Iai_Ogl.htm}}</ref>. Как удобная математическая модель, осталась одна [[небесная сфера]], с помощью которой астрономы по сей день представляют видимые положения звезд и планет.

== Сфера в трёхмерном пространстве ==
Уравнение сферы в [[Прямоугольная система координат|прямоугольной системе координат]]:
: <math>(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = R^2,</math>
где <math>(x_0,y_0,z_0)</math> — координаты центра сферы, <math>R</math> — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке <math>(x_0,y_0,z_0)</math>:
: <math>\begin{cases}
x = x_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \cos \phi,\\
y = y_0 + R \cdot \sin \theta\cdot \sin \phi,\\
z = z_0 + R \cdot \cos \theta,\\
\end{cases}</math>
где <math>\theta \in [0, \pi]</math> и <math>\phi \in [0, 2\pi).</math>

[[Гауссова кривизна]] сферы постоянна и равна 1/''R²''.

=== Основные геометрические формулы ===
; Площадь поверхности сферы:
: <math>S = 4\pi r^2 = \pi d^2.</math>

; Объём шара, ограниченного сферой:
: <math>V = \frac{4}{3}   \pi r^3.</math>

; Площадь [[сегмент сферы|сегмента сферы]] высоты <math>H</math>:
: <math>S = 2 \pi r H </math>.

== Геометрия на сфере ==
{{main|Сферическая геометрия}}

Окружность, лежащая на сфере, центр которой совпадает с центром сферы, называется '''большим кругом''' (большой окружностью) сферы. Большие окружности являются [[геодезическая линия|геодезическими линиями]] на сфере; любые две из них пересекаются в двух точках. Иными словами, большие круги сферы являются аналогами [[прямая|прямых]] на плоскости, расстояние между точками на сфере — длина дуги проходящего через них большого круга. Углу же между прямыми на плоскости соответствует [[двугранный угол]] между плоскостями больших кругов. Многие теоремы геометрии на плоскости справедливы и в сферической геометрии, существуют аналоги [[теорема синусов|теоремы синусов]], [[теорема косинусов|теоремы косинусов]] для [[сферический треугольник|сферических треугольников]]. В то же время, существует немало отличий, например, в сферическом треугольнике сумма углов всегда больше 180 градусов, к трём [[Признаки равенства треугольников|признакам равенства треугольников]] добавляется их равенство по трём углам, у сферического треугольника может быть два и даже три прямых угла — например, у сферического треугольника, образованного экватором и меридианами 0° и 90°.

=== Расстояние между двумя точками на сфере ===
Если даны [[сферическая система координат|сферические координаты]] двух точек, то расстояние между ними можно найти так:
: <math>L = R \cdot \arccos ( \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 + \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).</math>

Однако, если угол <math>\theta</math> задан не между осью ''Z'' и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью ''XY'' (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая:
: <math>L = R \cdot \arccos ( \sin \theta_1 \cdot \sin \theta_2 + \cos \theta_1 \cdot \cos \theta_2 \cdot \cos (\phi_1 - \phi_2) ).</math>

В этом случае <math>\theta_1</math> и <math>\theta_2</math> называются [[широта]]ми, а <math>\phi_1</math> и <math>\phi_2</math> [[долгота]]ми.

== ''n''-мерная сфера ==
{{main|Гиперсфера}}

В общем случае уравнение (''n''−1)-мерной сферы (в ''n''-мерном [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]]) имеет вид:
: <math>\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2=r^2,</math>
где <math>(a_1,...,a_n)</math> — центр сферы, а <math>r</math> — радиус.

Пересечением двух ''n''-мерных сфер является (''n''−1)-мерная сфера, лежащая на [[радикальная ось|радикальной гиперплоскости]] этих сфер.

В ''n''-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более ''n''+1 <!-- ''n''-мерных
 тут какая-то чехарда с исчислением размерности --Incnis Mrsi -->
сфер.

''n''-мерная [[Инверсия (геометрия)|инверсия]] переводит (''n''−1)-мерную сферу в (''n''−1)-мерную сферу или [[гиперплоскость]].

С [[Трёхмерная сфера|трёхмерной сферой]] связана одна из [[Задачи тысячелетия|задач тысячелетия]] — [[гипотеза Пуанкаре]], в которой утверждается, что всякое [[Односвязное пространство|односвязное]] [[Компактное пространство|компактное]] [[Размерность пространства|трёхмерное]] [[многообразие]] без края [[гомеоморфизм|гомеоморфно]] такой сфере. Эта гипотеза была доказана [[Перельман, Григорий Яковлевич|Г. Я. Перельманом]] в начале 2000-х годов на основе результатов [[Гамильтон, Ричард (математик)|Ричарда Гамильтона]].

== См. также ==
{{Викисловарь|сфера}}
{{кол|2}}
* [[Сфера Римана]]
* [[Псевдосфера]]
* [[Дикая сфера]]
* [[Гиперсфера]]
* [[Парадокс Смейла]]
* [[Сферическая система координат]]
* [[Сфера Дайсона]]
* [[Сферический слой]]
* [[Геосфера]]
{{конец кол}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
{{Навигация}}

{{Компактные топологические поверхности}}
{{ВС}}

[[Категория:Поверхности]]