Просмотр кода страницы Сумма (математика)

{{другие значения|сумма}}
'''Су́мма''' ({{lang-la|summa}} — итог, общее количество) в [[Математика|математике]] это результат [[Операция (математика)|операции]] [[Сложение (математика)|сложения]] числовых величин ([[Число|чисел]], [[Функция (математика)|функций]], [[Вектор (геометрия)|векторов]], [[Матрица (математика)|матриц]] {{nobr|и т. д.}}), либо результат последовательного выполнения нескольких операций сложения (суммирования). Общими для всех случаев являются свойства [[Коммутативная операция|коммутативности]], [[Ассоциативность (математика)|ассоциативности]], а также [[дистрибутивность|дистрибутивности]] по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:
: <math>a + b = b + a</math>
: <math>a + (b + c) = (a + b) + c</math>
: <math>(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c</math>
: <math>c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b</math>

В [[теория множеств|теории множеств]] суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Операция сложение (нахождение суммы) может быть определена для более сложных [[Алгебраическая система|алгебраических структур]]. Сумма [[Группа (математика)|групп]], сумма [[Векторное пространство|линейных пространств]], сумма [[Идеал (алгебра)|идеалов]], и другие примеры. <!-- используется в [[Теория групп|теории групп]]. В коммутативной группе говорят о сумме её элементов. --> В [[Теория категорий|теории категорий]] определяется понятие суммы объектов.

== Арифметическая сумма ==
{{main|Сложение (математика)}}Пусть в множестве <math>\N</math> находится <math>a</math> элементов, образующих подмножество <math>A</math>, и <math>b</math> элементов, образующих подмножество <math>B</math> (<math>A \subset \N, B \subset \N</math>, a и b — натуральные числа). Тогда арифметической суммой <math>a+b</math> будет количество элементов <math>c</math>, образующих подмножество <math>C\subset \N</math>, полученное при [[Дизъюнктное объединение|дизъюнктном]] объединении двух исходных подмножеств <math>C=A \sqcup B;</math>.

== Алгебраическая сумма ==
Сумму [[Математические обозначения|математически обозначают]] заглавной [[греческий алфавит|греческой буквой]] <big>[[Сигма (буква)|Σ]]</big> ''(сигма)''.
: <math>\sum_{i \mathop =m}^n a_i = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} +\cdots+ a_{n-1} + a_n</math>
где: ''i'' — индекс суммирования; ''a<sub>i</sub>'' — переменная, обозначающая каждый член в серии; ''m'' — нижняя граница суммирования, ''n'' — верхняя граница суммирования. Обозначение ''«i = m»'' под символом суммирования означает, что начальное (стартовое) значение индекса ''i'' эквивалентно ''m''. Из этой записи следует, что индекс ''i'' [[инкремент]]ируется на 1 в каждом члене выражения и остановится, когда ''{{nowrap|i <nowiki>=</nowiki> n}}''.<ref>{{cite book|authors=Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren|chapter=Chapter 2: Sums|title=Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd Edition)|lang=en|publisher=Addison-Wesley Professional|year=1994|isbn=978-0201558029|url=http://www.cse.iitb.ac.in/~vsevani/Concrete%20Mathematics%20-%20R.%20Graham,%20D.%20Knuth,%20O.%20Patashnik.pdf}}{{Недоступная ссылка|date=Апрель 2018 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>

В [[Программирование|программировании]] данной [[Процедура (программирование)|процедуре]] соответствует цикл [[Цикл (программирование)#Цикл со счётчиком|for]].

; Примеры записи

: <math>\sum_{i \mathop =1}^{100}i=1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100</math>
: <math>\sum_{i \mathop =3}^6 i^2 = 3^2+4^2+5^2+6^2 = 86</math>
Указание границ может опускаться из записи, если они ясны из контекста:
: <math>\sum a_i^2 = \sum_{ i \mathop =1}^n a_i^2</math>
[[Итерация (программирование)|Итератор]] может быть выражением, тогда [[Переменная величина|переменная]] оформляется со скобками как функция «<math>f()</math>». Например, сумма всех [[Натуральное число|натуральных чисел]] <math>k</math> в определённом диапазоне:
: <math>\sum_{0\le k< 100} f(k)</math>
Сумма <math>f(x)</math> элементов <math>x</math> [[Множество|множества]] <math>S</math>:
: <math>\sum_{x \mathop \in S} f(x)</math>
Сумма <math>\mu(d)</math> всех положительных чисел <math>d</math>, являющихся [[Делимость|делителями]] числа <math>n</math>:
: <math>\sum_{d|n}\;\mu(d)</math>

Несколько символов сигма могут обобщать, например:
: <math>\sum_{\ell,\ell'} = \sum_\ell\sum_{\ell'}</math>

=== Бесконечная сумма ===
В математическом анализе определяется понятие [[Числовой ряд|ряда]] — суммы бесконечного числа слагаемых.

==== Примеры ====

1. Сумма [[Арифметическая прогрессия|арифметической прогрессии]]:
: <math>\sum_{i=0}^n(a_0+b\cdot i) = (n+1)\frac{a_0+a_n}{2}</math>
<br /> <hr noshade Widht="100%" Size="1" /> <br />
2. Сумма [[геометрическая прогрессия|геометрической прогрессии]]:
: <math>\sum_{i=0}^na_0\cdot b^i = a_0\cdot \frac{1-b^{n+1}}{1-b}</math>
<br /> <hr noshade Widht="100%" Size="1" /> <br />
3.<math> \sum \limits_{k=1}^n k^3=\left [\frac{n(n+1)}{2} \right ]^2=\left (\sum \limits_{k=1}^n  k \right )^2</math>
<br /> <hr noshade Widht="100%" Size="1" /> <br />
4. <math>\sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right), \quad p \neq 1, n \ge 0</math>
{{Hider
  |title = Доказательство
  |frame-style = border: 1px solid Plum;
  |title-style = color: black; background-color: lavender; font-weight: bold; 
  |content-style = color: black; background-color: ghostwhite; text-align: left;
  |content = 
:<math>\sum_{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i = \sum_{i=0}^n{1\cdot {\frac{1}{p^i}}} = 1\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{p}\right)}^{n+1}}{1-\frac{1}{p}} = \frac{\frac{p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac{p-1}{p}} = \frac{p^{n+1}-1}{p^n(p-1)} = \frac{p}{p-1}\left(1-\frac{1}{p^{n+1}}\right)</math>
}}
<br /> <hr noshade Widht="100%" Size="1" /> <br />
5. <math>\sum_{i=0}^nip^i = \frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^2}, \quad p \ne 1</math>
{{Hider
  |title = Доказательство
  |frame-style = border: 1px solid Plum;
  |title-style = color: black; background-color: lavender; font-weight: bold; 
  |content-style = color: black; background-color: ghostwhite; text-align: left;
  |content = 
: <math>\sum_{i=0}^nip^i = \sum_{i=1}^nip^i = p\cdot \sum_{i=1}^nip^{i-1} = p\cdot \sum_{i=0}^{n-1}(i+1)p^i = 
p\cdot \left(\sum_{i=0}^{n-1}{ip^i} + \sum_{i=0}^{n-1}p^i\right)=p\cdot \sum_{i=0}^nip^i - p\cdot np^n + p\cdot \frac{1-p^n}{1-p} \Rightarrow</math>
: <math>\Rightarrow (1-p)\sum_{i=0}^nip^i = \frac{-np^{n+1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p} \Rightarrow \sum_{i=0}^nip^i = 
\frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}</math>
}}
<br /> <hr noshade Widht="100%" Size="1" /> <br />
6. <math>\sum_{i=0}^np^i = (p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i) + n + 1, \quad p \ne 1</math>
{{Hider
  |title = Доказательство
  |frame-style = border: 1px solid Plum;
  |title-style = color: black; background-color: lavender; font-weight: bold; 
  |content-style = color: black; background-color: ghostwhite; text-align: left;
  |content = 
:<math>(p-1)\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\sum_{i=0}^n((n-i)p^i)+n+1 = (p-1)\left(n\cdot\sum_{i=0}^np^i -\sum_{i=0}^nip^i\right)+n+1 =</math>
:<math>=(p-1)\left(n\cdot\frac{1-p^{n+1}}{1-p}-\frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}\right)+n+1 =</math>
:<math>=\frac{np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}=</math>
:<math>=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}=\sum_{i=0}^np^i</math>
}}
::: Стоит заметить, что при <math>p = 10\ </math> получаем <math>\sum_{i=0}^n10^i = 9\cdot\sum_{i=0}^{n-1}((n-i)10^i) + n +1</math>, а это последовательность равенств следующего вида:<br /><math>1 = 9\cdot 0 + 1,\quad 11 = 9\cdot 1 + 2,\quad 111 = 9 \cdot 12 + 3,\quad 1111 = 9 \cdot 123 + 4,\quad 11111 = 9 \cdot 1234 + 5</math>

=== Неопределённая сумма ===
Неопределённой суммой <math>a_i</math> по <math>i</math> называется такая функция <math>f(i)</math>, обозначаемая
<math>\sum_{i}^{} a_i</math>,
что <math> \forall i: f(i+1) - f(i) = a_{i}</math>.

=== Формула Ньютона-Лейбница ===
{{основная статья|Теорема Ньютона-Лейбница}}
Если найдена неопределённая сумма
<math>\sum_{i}^{} a_i = f(i)</math>, то <math>\sum_{i=a}^b a_i = f(b+1)-f(a)</math>.

== Этимология ==
Латинское слово ''summa'' переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С [[XV век]]а слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» ([[1489 год]]).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] в [[1755 год]]у. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции [[Интеграл|интегрирования]].

== Кодировка ==
В [[Юникод]]е есть символ суммы {{unichar|2211|N-ARY SUMMATION|html=}}.

== См. также ==

* [[Сложение (математика)|Сложение]]
* [[Произведение (математика)|Произведение]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
*{{книга |автор = Фихтенгольц Г. М. |часть = |ссылка часть = |заглавие = Курс дифференциального и интегрального исчисления |ссылка = |издание = 7-е |место = М. |издательство = Наука |год = 1969 |том = 1 |страницы = |страниц = 608 |isbn = |тираж = 100000}}

{{rq|refless|topic=math}}

[[Категория:Элементарная математика]]