Просмотр кода страницы Старая квантовая теория

{{Квантовая механика}}
'''Ста́рая ква́нтовая тео́рия''' (иногда '''ста́рая ква́нтовая меха́ника'''{{sfn|Типлер, Ллуэллин|2007|с=}}) — подход к описанию атомных явлений, который был развит в 1900—1924 годах и предшествовал [[Квантовая механика|квантовой механике]]. Характерная черта теории — использование [[Классическая механика|классической механики]] и некоторых предположений, вступавших в противоречие с ней. Основа старой квантовой теории — [[Боровская модель атома|модель атома Бора]], к которой позже [[Зоммерфельд, Арнольд|Арнольд Зоммерфельд]]{{sfn|Зоммерфельд|1956|с=}} добавил квантование z-компоненты [[Момент импульса|углового момента]], которое неудачно назвали ''пространственным квантованием''. Квантование z-компоненты дало возможность ввести эллиптические электронные орбиты и предложить идею [[Вырождение (квантовая механика)|энергетического вырождения]]. Успехом старой квантовой теории являлось конкретное описание атома [[водород]]а и [[Эффект Зеемана|нормального эффекта Зеемана]].

Основной инструмент старой квантовой теории — ''квантование Бора — Зоммерфельда'', процедура, которая формирует некоторый дискретный набор состояний интегрированного движения классической системы и определяет их как разрешённые состояния этой системы, аналогично разрешённых орбит в модели Бора. Система может находиться только в этих состояниях и ни в каких других. Эта теория не может описывать хаотическое движение, поскольку требует полной замкнутости траекторий движения классической системы.

== История ==
[[Файл:Max Planck (1858-1947).jpg|thumb|170px|Макс Планк.]]
[[Файл:Niels Bohr.jpg|thumb|170px|Нильс Бор.]]
{{смотри также|История возникновения квантовой физики}}
Точкой отсчёта старой квантовой теории (и квантовой механики вообще) считается появление работ [[Планк, Макс|Макса Планка]] по излучению и поглощению света в самом начале XX века{{sfn|Planck|1900|с=237}}{{sfn|Planck|1901|с=553}}. Непосредственная разработка квантовой теории началась с внедрением [[Эйнштейн, Альберт|Эйнштейном]] [[Теория теплоёмкости Эйнштейна|квантовой теории теплоёмкости твёрдого тела]]. В модели Эйнштейна считается, что каждый атом в решётке является независимым квантованным гармоническим осциллятором, что даёт возможность объяснить наряду с классическим [[Закон Дюлонга — Пти|законом Дюлонга — Пти]] при высоких температурах падение теплоёмкости при низких. Таким образом квантовые принципы распространили на движение атомов. Позже [[Дебай, Петер|Дебай]] [[Модель Дебая|усовершенствовал]] эту модель{{Нет АИ|17|2|2016}}.

В 1913 году [[Бор, Нильс|Нильс Бор]] использовал соображения, которые он вскоре сформулировал как [[принцип соответствия]], и разработал модель атома водорода, которая могла объяснить его дискретный спектр, сформулировав два известных постулата. Позже Арнольд Зоммерфельд развил идеи Бора, распространив его модель на произвольные интегрируемые системы, используя принцип [[Адиабатический инвариант|адиабатической инвариантности]] квантовых чисел. Модель Зоммерфельда была существенно ближе к современной квантовой механике, чем модель Бора{{Нет АИ|17|2|2016}}.

На протяжении 1910-х и в начале 1920-х годов с помощью старой квантовой теории было успешно решено множество задач. Стала понятной природа колебательных и вращательных спектров молекул, открыт [[спин]] [[электрон]]а, что объяснило существование полуцелых квантовых чисел. Планк ввёл [[нулевые колебания]], Зоммерфельд успешно применил модель Бора к релятивистскому атому водорода, а [[Крамерс, Хендрик Антони|Хендрик Крамерс]] объяснил [[эффект Штарка]]. [[Бозе, Шатьендранат|Бозе]] и Эйнштейн предложили [[Статистика Бозе — Эйнштейна|квантовую статистику]] для [[фотон]]ов{{Нет АИ|17|2|2016}}.

Крамерс предложил метод расчёта вероятностей перехода между квантовыми состояниями с использованием фурье-компонент движения, который позже был развит им вместе с [[Гейзенберг, Вернер|Вернером Гейзенбергом]] в матричное полуклассическое отображение вероятностей перехода. Потом на основе этих идей Гейзенберг построил [[Матричная квантовая механика|матричную механику]] — формулировку квантовой механики на основе матриц перехода{{Нет АИ|17|2|2016}}.

В 1924 году [[Де Бройль, Луи|Луи де Бройль]] разработал волновую теорию материи, которую немного позже развил Эйнштейн, выведя полуклассическое уравнение для волн материи. В 1925 году [[Шрёдингер, Эрвин|Эрвин Шрёдингер]] предложил [[Уравнение Шрёдингера|квантовомеханическое волновое уравнение]], которое дало возможность собрать в кучу все результаты старой квантовой теории без каких-либо неувязок. Волновая механика Шрёдингера развивалась независимо от матричной механики Гейзенберга, но в экспериментах было видно, что оба метода предусматривают одинаковые результаты. [[Дирак, Поль Адриен Морис|Поль Дирак]] в 1926 году показал, что обе картины являются эквивалентными и вытекают с более общего метода — {{iw|Теория изображений|теории представлений|uk|Теорія зображень}}{{sfn|Dirac|1927|с=621—641}}.

Появление матричной и волновой механики ознаменовало конец старой квантовой теории{{Нет АИ|17|2|2016}}.

== Основные принципы ==
{{Нет ссылок в разделе|дата=18 февраля 2016}}
Основной идеей старой квантовой теории является то, что движение атомной системы является квантованным (дискретным). Система подчиняется законам классической механики за единственным исключением: не все движения системы разрешены, а только те, которые соответствуют следующему правилу:
: <math>\oint\limits_{\mathcal{H}(p,q)=E} p_i dq_i = n_i h,</math>

где <math>p_i</math> — канонические импульсы, <math>q_i</math> — сопряженные к ним координаты, <math>n_i</math> — квантовые числа, которые являются целыми. Интеграл принимается по замкнутой (по каждой паре координата-импульс) траектории движения, что соответствует постоянной энергии <math>E</math> (которая описывается [[Функция Гамильтона|функцией Гамильтона]] <math>\mathcal{H}</math>). Кроме того, интеграл является площадью в [[Фазовое пространство|фазовом пространстве]], которая соответствует [[Действие (физическая величина)|классическому действию]]. Действие, однако, является квантованным в единицах [[Постоянная Планка|постоянной Планка]], поэтому часто постоянную Планка называют ''квантом действия''.

Для того, чтобы условие квантования имело смысл, классическое движение должно отделяться, то есть должны существовать координаты <math>q_i</math> такие, что движение по каждой из таких координат будет периодическим (в случае [[несоизмеримость|несоизмеримости]] периодов по различным координатам полное движение периодическим не будет). Старая квантовая теория подчиняется [[Принцип соответствия|принципу соответствия]], который основан на тех наблюдениях, что величины, которые квантуются, должны быть [[Адиабатический инвариант|адиабатическими инвариантами]].

== Экспериментальная база ==

=== Излучение абсолютно чёрного тела ===
{{main|Абсолютно чёрное тело}}
[[File:Black body.svg|thumb|400px|При уменьшении температуры максимум спектральной интенсивности излучения ''абсолютно чёрного тела'' сдвигается к более длинным длинам волны, а его высота уменьшается. Кривые спектральной интенсивности (слева) сравниваются с классической [[Закон Рэлея — Джинса|формулой Рэлея — Джинса]] (справа).]]

Одна из главных задач физики конца XIX века — проблема излучения абсолютно чёрного тела. Абсолютно чёрное тело — это физическая идеализация: тело, которое полностью поглощает падающее излучение любых длин волн. Наиболее чёрные реальные вещества, например, сажа, поглощают 99 % падающего излучения в видимом диапазоне длин волн, однако инфракрасное излучение поглощается ими значительно хуже. Среди тел [[Солнечная система|Солнечной системы]] абсолютно чёрному телу наиболее соответствует [[Солнце]].

По классической [[Термодинамика|термодинамике]] спектральная интенсивность {{math|I(ν)}} излучения должна быть одинаковой для любого абсолютно чёрного тела, нагретого до той же температуры. Такое предсказание подтверждается экспериментом. Спектральная интенсивность достигает максимума при некоторой частоте {{math|ν<sub>max</sub>}}, а по обе стороны от максимума падает до нуля. Частота максимума {{math|ν<sub>max</sub>}}, как и его высота, увеличивается с температурой.

Попытки теоретически предсказать форму экспериментальной кривой спектральной интенсивности абсолютно чёрного тела на основе законов классической физики привели к [[Закон Рэлея — Джинса|формуле Рэлея — Джинса]]{{sfn|Strutt|1900|с=539—540}}{{sfn|Jeans|1905|с=545—552}}:

<math>I(\nu) = \frac{2 \pi}{c^2} kT \nu^2.</math>

Кроме области малых частот, закон формулы Рэлея — Джинса не согласуется с экспериментом. Он предусматривает, что полная интенсивность излучаемой энергии бесконечно растёт с частотой ([[ультрафиолетовая катастрофа]]), но в действительности полная интенсивность конечна.

В 1900 году Макс Планк постулировал{{sfn|Planck|1901|с=553}}, что обмен энергией между атомами и выпущенным ими электромагнитным излучением происходит дискретными порциями энергии, а наименьшая порция энергии при заданной частоте {{math|ν}} равна:

<math>E = h\nu,</math>

где {{math|h}} — константа Планка. Только целые кратные энергии {{math|hν}} могут передаваться при взаимодействии атомов и излучения. Используя этот постулат, Планк вывел формулу для спектральной интенсивности теплового равновесного электромагнитного излучения абсолютно чёрного тела:

<math>I(\nu) = \frac{2 \pi \nu^2}{c^2} \frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}} - 1},</math>

что прекрасно согласуется с экспериментом. Таким образом, Планк решил проблему излучения абсолютно чёрного тела, используя противоречащую классической физике идею о квантовании энергии.

=== Фотоэффект ===
{{main|Фотоэффект}}
Фотоэффект — явление излучения веществом электронов под действием света (и, вообще говоря, любого электромагнитного излучения). Первые систематические исследования фотоэффекта выполнены русским физиком [[Столетов, Александр Григорьевич|Столетовым]] в 1888 году, который установил несколько важных закономерностей. Ключевым моментом оказался тот факт, что энергия фотоэлектронов абсолютно не зависит от интенсивности падающего света: повышение интенсивности только увеличивает число электронов, но не их скорость. Однако оказалось, что скорость электронов зависит от частоты излучения, причём с увеличением частоты энергия фотоэлектронов повышается линейно. Такие явления были непонятны с позиции [[Электродинамика|классической электродинамики]].

Теоретическое объяснение фотоэффекта дал Альберт Эйнштейн в 1905 году. Используя гипотезу Планка, он предположил, что свет не только излучается порциями ([[квант]]ами), но и вообще являет собой поток квантов ([[фотон]]ов) с энергией {{math|hν}}. При фотоэффекте часть падающего света отражается от поверхности, а другая часть проникает внутрь поверхностного слоя металла и поглощается там. Когда электрон поглощает фотон, он получает от него энергию и, затрачивая часть её на работу выхода {{math|A<sub>out</sub>}}, покидает металл. Таким образом, имеем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

<math>h \nu = A_{out} + P + eV,</math>

где {{math|P}} — энергия ионизации (которую можно положить для металлов нулю, поскольку металл имеет большое количество свободных электронов), {{math|eV}} — кинетическая энергия фотоэлектрона. Это уравнение было вскоре интенсивно проверено в экспериментах [[Милликен, Роберт Эндрюс|Роберта Милликена]], за которые в том числе он получил [[Нобелевская премия по физике|Нобелевскую премию по физике]] 1923 года.

Таким образом, явление фотоэффекта является экспериментальным подтверждением гипотезы Планка и наличия у света корпускулярных свойств.

=== Опыт Франка — Герца ===
{{main|Опыт Франка — Герца}}
Эксперимент по неупругому рассеянию электронов на атомах, поставленный в 1913—1914 годах [[Франк, Джеймс|Джеймсом Франком]] и [[Герц, Густав Людвиг|Густавом Людвигом Герцом]]{{sfn|Franck, Hertz|1914|с=457—467}}, подтвердил справедливость постулатов Бора.

В этом опыте атомы или молекулы более-менее разреженного газа бомбардируются медленными электронами. При этом исследуется распределение скоростей электронов до и после столкновений. Если столкновения упругие, то распределение скоростей не меняется, и наоборот, при неупругих столкновениях часть электронов теряет свою энергию, отдавая её атомам, с которыми они сталкивались, поэтому распределение скоростей меняется.

В результате опыта Франка — Герца оказалось, что:
* при скоростях электронов, которые меньше некоторой критической скорости, столкновение является полностью упругим, то есть электрон не передаёт атому свою энергию, но отскакивает от него, меняя только направление своей скорости;
* при скоростях, что достигают критической скорости, удар является неупругим, то есть электрон теряет свою энергию и передаёт её атому, который при этом переходит в другое стационарное состояние, которое характеризуется большей энергией.

== Примеры применения ==

=== Тепловые свойства гармонического осциллятора ===
[[Гармонический осциллятор]] — простейшая система старой квантовой теории. Запишем [[Гамильтониан (квантовая механика)|гамильтониан]]:
: <math>\mathcal{H} = \frac{p^2}{2m} + \frac{m \omega^2 q^2}{2}.</math>

Энергетические уровни системы определяются орбитами движения, а орбиты отбираются по тому квантовому правилу, что площадь в [[Фазовое пространство|фазовом пространстве]], которую покрывает каждая орбита, должна быть целой. Отсюда следует, что энергия квантуется по правилу Планка:
: <math>E_n = n \hbar \omega,</math>

известный результат, по которому формулируется правило квантования старой квантовой теории. Следует отметить, что этот результат отличается от настоящего на <math>\hbar \omega / 2</math>, поскольку из квантовой механики известно, что нулевой уровень для гармонического осциллятора имеет энергию <math>\hbar \omega / 2</math>.

Термодинамические величины для квантованного гармонического осциллятора можно определить с помощью усреднения энергии в каждом из дискретных состояний:
: <math>U = \frac{1}{Z} \sum\limits_n n\hbar\omega e^{-\frac{n\hbar\omega}{kT}} = {\hbar \omega e^{-\frac{\hbar\omega}{kT}} \over 1 - e^{-\frac{\hbar\omega}{kT}}},</math>
где <math>k</math> — [[постоянная Больцмана]], <math>T</math> — [[Термодинамическая температура|абсолютная температура]] (которая измеряется в более естественных энергетических единицах), <math>Z = \sum\limits_n e^{-\frac{n\hbar\omega}{kT}}</math> — [[статистическая сумма]]. Легко видеть, что при очень низких температурах (то есть когда величина <math>\beta = \frac{1}{kT}</math> является большой) средняя энергия гармонического осциллятора <math>U</math> очень быстро достигает ноля — экспоненциально. Причина состоит в том, что <math>kT</math> является характерной энергией произвольного движения при температуре <math>T</math>, и, если она меньше <math>\hbar \omega</math>, её не хватает для того, чтобы передать осциллятору хотя бы один квант энергии. Поэтому гармонический осциллятор остаётся в основном состоянии.

Это означает, что при очень низких температурах изменение энергии относительно <math>\beta</math> (и, естественно, температуры) является малым. Изменение энергии относительно температуры является теплоёмкостью, поэтому теплоёмкость является малой при низких температурах, стремясь к нулю как
: <math>e^{-\frac{\hbar\omega}{kT}}.</math>

При высоких температурах (то есть при малых <math>\beta</math>) средняя энергия <math>U</math> равна <math>kT</math>. Этот факт согласуется с [[Теорема о равнораспределении|законом равнораспределения]] классической термодинамики: каждый гармонический осциллятор при температуре <math>T</math> имеет среднюю энергию <math>kT</math>. Это означает, что теплоёмкость осциллятора постоянна (в классической механике) и равна постоянной Больцмана <math>k</math>. Для совокупности атомов, которые соединены пружинами (приемлемая модель твердого тела), полная теплоёмкость равна <math>Nk</math>, где <math>N</math> — количество осцилляторов. В целом каждому атому сопоставляют три осциллятора, учитывая три возможных направления колебаний в трёх измерениях. Поэтому теплоёмкость классического твёрдого тела при достаточно высокой температуре равна <math>3k</math> на атом или <math>3R</math> на моль — [[закон Дюлонга — Пти]].

Одноатомные твёрдые тела при комнатных температурах имеют приблизительно такую же теплоёмкость — <math>3k</math> на атом, но при низких температурах это не так. С уменьшением температуры теплоёмкость также уменьшается и достигает нуля при абсолютном нуле температур. Это факт подтверждается для всех материальных систем и составляет [[Третье начало термодинамики|третий закон термодинамики]]. [[Классическая механика]] не может объяснить третий закон термодинамики, поскольку в её рамках считается, что теплоёмкость не зависит от температуры.

Это противоречие между классической механикой и теплоёмкостью холодных тел заметил в XIX веке [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелл]]; устранение этого противоречия было сложной задачей для тех, кто отстаивал атомарную теорию материи. [[Эйнштейн, Альберт|Альберт Эйнштейн]] решил эту проблему в 1906 году, предложив идею квантования атомарного движения и сформулировав [[Теория теплоёмкости Эйнштейна|модель Эйнштейна]] — первое применение квантовой теории к механическим системам. Немного позже [[Дебай, Петер|Петер Дебай]] развил более точную количественную теорию теплоёмкости твёрдых тел на основе квантованных гармонических осцилляторов с разными частотами ([[модель Дебая]]).

=== Одномерный потенциал ===
При любой энергии ''E'' можно легко найти импульс ''p'' при помощи [[Закон сохранения энергии|закона сохранения энергии]]:
: <math>p = \sqrt{2m ( E - V(q))}.</math>
Это выражение интегрируется по всем значениям ''q'' между классическими точками поворота, где импульс равен нулю.

==== Прямоугольная потенциальная яма ====
Простейший случай — частица в прямоугольной [[Потенциальная яма|потенциальной яме]] длиной ''L'', для которой условие квантования выглядит следующим образом:
: <math>2 \int_0^L p dq = nh,</math>
откуда импульс:
: <math>p = \frac{nh}{2L}.</math>
Интегрируя правую часть уравнения для импульса, можно найти энергетические уровни:
: <math>E_n = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}.</math>

==== Линейный потенциал ====
Рассмотрим другой потенциал — линейный, который соответствует постоянной силе ''F''. Такая задача довольно сложная в [[Квантовая механика|квантовомеханической формулировке]] и, в отличие от других случаев, полуклассический результат не является точным, но стремится к такому при увеличении значений квантовых чисел. Имеем:
: <math>2 \int_0^{\frac{E}{F}} \sqrt{2m (E - Fx)} dx = nh,</math>
что даёт условие квантования:
: <math> {4\over 3} \sqrt{2m}{ E^{3/2}\over F } = n h,</math>
откуда можно определить энергетические уровни:
: <math>E_n = \left(\frac{3F}{4\sqrt{2m}} nh \right)^{2/3}.</math>

==== Квадратичный потенциал ====
Полуклассический результат этой задачи совпадает с квантовомеханическим в случае вычисления энергии основного состояния. Условие квантования будет иметь вид:
: <math> 2 \int_{-\sqrt{\frac{2E}{k}}}^{\sqrt{\frac{2E}{k}}} \sqrt{2m\left(E - \frac12 k x^2\right)}\ dx = n h,</math>
откуда определяем энергетические уровни:
: <math> E = n \frac{h}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = n \hbar \omega,</math>
где <math>\omega</math> — угловая частота.

=== Ротатор ===
Ротатор состоит из тела массы ''M'', которое закреплено на безмассовом жёстком стержне длиной ''R'', и описывается следующим двумерным [[лагранжиан]]ом:
: <math>\mathcal{L}_{2D} = \frac{MR^2 \dot\varphi^2}{2},</math>
из которого можно выразить угловой момент <math>L</math>, который зависит от [[Полярная система координат|полярного угла]] <math>\varphi</math>:
: <math>L = MR^2 \dot\varphi.</math>
Старая квантовая теория требует, чтобы [[Момент импульса|угловой момент]] был квантованным:
: <math>L = n\hbar.</math>
В модели Бора такого условия квантования, которое накладывается на круговые орбиты, хватает для определения энергетического спектра.

Трёхмерный жёсткий ротатор описывается двумя углами ''θ'' и ''φ'' [[Сферическая система координат|сферической системы координат]] относительно произвольно выбранной оси Oz. Опять в лагранжиан входит только кинетическая энергия:
: <math>\mathcal{L}_{3D} = \frac{MR^2 \dot\theta^2}{2} + \frac{MR^2 (\dot\varphi \sin\theta)^2}{2},</math>
Канонические импульсы будут иметь вид:
: <math>p_{\theta} = \dot\theta,</math>
: <math>p_{\varphi} = \dot\varphi \sin^2\theta.</math>
Уравнение для ''φ'' тривиальное, <math>p_{\varphi}</math> является константой:
: <math>p_{\varphi} = l_{\varphi},</math>
что равно z-компоненте углового момента. Дальше, из условия квантования следует, что после интегрирования по углу ''φ'' от ''0'' до ''2π'':
: <math>l_{\varphi} = m \hbar,</math>
где ''m'' — так называемое магнитное квантовое число. Название происходит от того, что z-компонента углового момента равна магнитному моменту ротатора вдоль оси Oz (очевидно, если частица на конце ротатора заряжена).

Полный угловой момент трёхмерного ротатора квантованный аналогично двумерному. Два условия квантования определяют произвольные значения полного углового момента и его z-компоненты с помощью квантовых чисел ''l'', ''m''. Эти условия присутствуют и в квантовой механике, но во времена господства старой квантовой теории было непонятно, как может быть квантованной ориентация углового момента относительно произвольно выбранной оси Oz. Казалось, что отсюда следует существование некоторого выделенного направления в пространстве.

Это явление получило название ''пространственного квантования'', но казалось несовместимым с изотропностью пространства. В квантовой механике угловой момент квантуется таким же образом, но его дискретные состояния вдоль одной оси являются [[Квантовая суперпозиция|суперпозицией]] состояний вдоль других осей, поэтому в процессе квантования не возникает некоторое выделенное направление в пространстве. Поэтому сейчас термин «''пространственное квантование''» не употребляется, вместо него используют термин «''квантование углового момента''».

=== Атом водорода ===
Угловая часть атома водорода — это ротатор, который характеризуется квантовыми числами ''l'', ''m''. Остаётся неизвестной только радиальная координата, которая задаётся одномерным периодическим движением.

При фиксированном значении полного углового момента ''L'', функция Гамильтона классической задачи Кеплера имеет вид (здесь переменные выбраны таким образом, чтобы масса и энергия стали безразмерными):
: <math>\mathcal{H} = \frac{p^2}{2} + \frac{l^2}{2r^2} - \frac{1}{r}.</math>
Фиксируя энергию как (отрицательную) константу и решая полученное уравнение относительно импульса ''p'', имеем условие квантования:
: <math>2 \int\sqrt{2E - \frac{l^2}{r^2} + \frac{2}{r}}\ dr = kh,</math>
что определяет новое квантовое число ''k'', которое в совокупности с числом ''l'' определяет энергетические уровни:
: <math>E_{k,l} = - \frac{1}{2 (k+l)^2}.</math>

Легко видеть, что энергия зависит от суммы квантовых чисел ''k'' и ''l'', которую можно обозначить как ещё одно квантовое число ''n'', которое называется ''главным квантовым числом''. Если ''k'' неотрицательное, то разрешённые значения числа ''l'' при заданном ''n'' не могут быть больше заданного значения ''n''.

Эта полуклассическая модель атома водорода имеет название модели Зоммерфельда, в ней орбитами электрона являются эллипсы. Модель Зоммерфельда предсказывала тот факт, что магнитный момент атома, который измеряется вдоль некоторой оси, будет иметь только дискретные значения. Этот результат, казалось, противоречил изотропности пространства, но был подтверждён [[Опыт Штерна — Герлаха|опытом Штерна — Герлаха]]. Теория Бора — Зоммерфельда являлась одним из самых важных этапов развития квантовой механики, поскольку описывала возможность расщепления энергетических уровней атома в [[Магнитное поле|магнитном поле]], то есть объясняла [[эффект Зеемана]].

=== Релятивистская орбита (кеплеровская проблема) ===
Релятивистское решение для энергетических уровней атома нашёл [[Зоммерфельд, Арнольд|Арнольд Зоммерфельд]]{{sfn|Зоммерфельд|1956|с=}}. Запишем релятивистское уравнение для энергии с [[Электростатический потенциал|электростатическим потенциалом]]:
: <math>E = m_0 c^2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} - 1 \right) - k \frac{Z e^2}{r}</math>
и сделаем замену <math>u = \frac{1}{r}</math>:
: <math>\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 1 + \frac{E}{m_0 c^2} + k \frac{Z e^2}{m_0 c^2} u.</math>
Выпишем выражения для импульсов:
: <math>p_r = m \dot r,</math>
: <math>p_{\varphi} = mr^2 \dot \varphi,</math>
тогда их соотношение будет равно <math>\frac{p_r}{p_{\varphi}} = - \frac{du}{d\varphi}</math>, и отсюда можно получить уравнение движения ([[уравнение Бине]]):
: <math>\frac{d^2 u}{d \varphi ^2} = - \left( 1 - k^2 \frac{Z^2 e^4}{c^2 p_{\varphi}^2} \right) u + \frac{m_0 kZe^2}{p_{\varphi}^2} \left( 1 + \frac{E}{m_0 c^2} \right) = - \omega_0^2 u + K,</math>
решение которого имеет вид:
: <math>u = \frac{1}{r} = K + A \cos \omega_0 \varphi.</math>
Угловое смещение [[Апоцентр и перицентр|перицентра]] за один период составляет:
: <math>\Delta \varphi = 2 \pi \left( \frac{1}{\omega_0} - 1 \right).</math>
Условия квантования в нашем случае будут выглядеть следующим образом:
: <math>\oint p_{\varphi} d \varphi = 2 \pi p_{\varphi} = n_{\varphi} h,</math>
: <math>\oint p_r dr = p_{\varphi} \oint \left(\frac{1}{r} \frac{dr}{d \varphi} \right) ^2 d \varphi = n_r h,</math>
откуда можно вычислить энергетические уровни:
: <math>\frac{E_{n_r, n_{\varphi}}}{m_0 c^2} = \left( 1 + \frac{\alpha ^2 Z^2}{(n_r + \sqrt{n_{\varphi} ^2 - \alpha ^2 Z^2} )^2} \right) ^{-1/2} - 1,</math>
где <math>\alpha = \frac{2\pi ke^2}{hc}</math> — [[постоянная тонкой структуры]]. Этот результат совпадает с решением [[Уравнение Дирака|уравнения Дирака]]{{sfn|Грановский|2004|с=577—578}}. Кроме того, если сделать замены квантовых чисел <math>n_r \to n_r + 1/2</math> и <math>n_{\varphi} \to l + 1/2</math>, то полученная формула будет совпадать с точным решением [[Уравнение Клейна — Гордона|уравнения Клейна — Гордона]]{{sfn|Вакарчук|2012|с=}}.

== Волны де Бройля ==
[[Файл:Louis de Broglie.jpg|thumb|170px|Луи де Бройль.]]
В 1905 году Эйнштейн заметил, что энтропия электромагнитного поля в ящике, которое по Планку изображается квантованными гармоническими осцилляторами, для случая коротких волн равна энтропии газа точечных частиц в таком же самом ящике, причём количество частиц равно количеству квантов. Поэтому Эйнштейн пришёл к выводу, что квант можно интерпретировать как локализованную частицу{{sfn|Einstein|1905|с=132}}, частицу света — [[фотон]].

Аргументация Эйнштейна основывалась на термодинамике, на подсчёте числа состояний, поэтому была довольно неубедительной. Несмотря на это, он выдвинул гипотезу о том, что свет имеет как волновые, так и корпускулярные свойства, точнее, что это стоячая электромагнитная волна с частотой <math>\omega</math> и квантованной энергией:
: <math>E = n \hbar \omega,</math>
которую можно представить в виде ''n'' фотонов с энергиями <math>\hbar \omega</math>. Но Эйнштейн не мог объяснить, каким образом фотоны связаны с волной.

Фотоны имеют энергию и импульс, равный <math>\hbar \mathbf{k}</math>, где <math>\mathbf{k}</math> — [[волновой вектор]] электромагнитной волны. Этого требует [[теория относительности]], согласно которой импульс и энергия образуют [[4-вектор]], как и частота с волновым вектором.

В 1924 году [[Де Бройль, Луи|Луи де Бройль]] выдвинул гипотезу о том, что материя, в частности электрон, аналогично фотону, описывается волной, которая удовлетворяет следующему соотношению:
: <math>p = \hbar k,</math>
или, записывая волновое число <math>k</math> через длину волны <math>\lambda</math>,
: <math>p = \frac{h}{\lambda}.</math>

Потом он заметил, что условие квантования:
: <math>\int p dx = \hbar \int k dx = 2 \pi \hbar n</math>
определяет смену фазы волны, когда она проходит вдоль классической орбиты. Поэтому для конструктивной интерференции число длин волн, которое помещается на классической орбите, должно быть целым. Такое условие объясняет факт, что орбиты должны быть квантованными: волны материи образуют [[Стоячая волна|стоячие волны]] только при некоторых дискретных частотах и энергиях.

Например, для частицы, помещённой в ящик, стоячая волна должна вмещать целое число длин волны между стенками ящика. Тогда условие квантования имеет вид:
: <math>n \lambda = 2L,</math>
поэтому импульс квантуется так:
: <math>p = \frac{nh}{2L},</math>
определяя тем самым энергетические уровни.

Эйнштейн развил эту гипотезу дальше и придал ей более математическую форму, заметив, что фазовую функцию для волн в механической системе следует отождествить с решением [[Уравнение Гамильтона — Якоби|уравнения Гамильтона — Якоби]]. Позже на основе этих идей [[Шрёдингер, Эрвин|Шрёдингер]] предложил своё [[Уравнение Шрёдингера|квантовомеханическое уравнение]], заложив тем самым основы волновой механики.

== Матрица переходов Крамерса ==
[[Файл:Kramers_1928.jpg|thumb|170px|Хендрик Крамерс.]]
Старая квантовая теория была сформулирована только для некоторого класса механических систем. Например, она не работала с поглощением и эмиссией излучения. Но [[Крамерс, Хендрик Антони|Хендрик Крамерс]] попытался найти правила, по которым можно рассчитывать поглощения и излучения{{sfn|Kramers|1919|с=}}{{sfn|Kramers|1920|с=199—223}}{{sfn|Kramers|1924|с=673—674}}.

Крамерс допустил, что орбиту квантовой системы можно разложить в [[ряд Фурье]] по гармоникам с кратными к частоте <math>\omega</math> орбиты частотами:
: <math>X_n(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{ik\omega t} X_{nk}.</math>

Здесь под индексом ''n'' имеется в виду набор квантовых чисел, который характеризует орбиту и должен совпадать с набором ''n'', ''l'', ''m'' модели Зоммерфельда. Частота <math>\omega = 2\pi / T_n</math> — это угловая частота орбиты, ''k'' — индекс фурье-компоненты. Бор допускал, что ''k''-я гармоника классического движения соответствует переходу с уровня ''n'' на уровень ''n'' − ''k''.

Крамерс считал, что переход между состояниями аналогичен классической эмиссии излучения, которая происходит с частотами, кратными к орбитальным частотам. Интенсивность излучения будет пропорциональной <math>|X_k|^2</math>, как и должно быть в классической механике. Но такое описание неточно, если частоты фурье-компонент не соответствуют точно энергиям переходу между уровнями.

Позже эти идеи были развиты [[Гейзенберг, Вернер|Гейзенбергом]], [[Борн, Макс|Борном]] и [[Йордан, Паскуаль|Йорданом]]{{sfn|Heisenberg|1925|с=879—893}}{{sfn|Born, Jordan|1925|с=858—888}}{{sfn|Heisenberg, Born, Jordan|1926|с=557—615}}, что привело к появлению [[Матричная квантовая механика|матричной механики]].

== Ограничения старой квантовой теории ==
Старая квантовая теория и, в частности, [[Боровская модель атома|модель Бора]] являлись важным шагом в развитии теории строения атома. В начале XX века, когда применение квантовых гипотез было скорее искусством, чем наукой, успехи старой квантовой теории производили глубокое впечатление. Она показала неприменимость классической физики к внутриатомным явлениям и большое значение квантовых законов на микроскопическом уровне. Но старая квантовая теория является всего лишь переходным этапом к созданию последовательной теории атомных явлений, поскольку в её рамках можно решать только ограниченный круг задач. Основными причинами кризиса старой квантовой теории, который привёл к необходимости построения новой квантовой механики, были{{sfn|Шпольский|1974|с=}}:
* внутренняя логическая противоречивость: теория не является ни последовательно квантовой, ни последовательно классической;
* невозможность объяснить [[Эффект Зеемана|аномальный эффект Зеемана]];
* невозможность расчёта интенсивности спектральных линий;
* невозможность построения теории многоэлектронного атома (в частности, атома [[Гелий|гелия]]).

Позже стало понятным, что старая квантовая теория фактически является [[Квазиклассическое приближение|квазиклассическим приближением]] [[Уравнение Шрёдингера|уравнения Шрёдингера]]{{sfn|Ландау, Лифшиц|2008|с=}}.

== См. также ==
* [[История квантовой механики]]
* [[Квазиклассическое приближение]]
* [[Квантовая механика]]
* [[Матричная квантовая механика]]
* [[Боровская модель атома]]

== Примечания ==
{{примечания|2}}

== Литература ==
* {{книга
|автор        = Типлер П. А., Ллуэллин Р. А.
|название     = Современная физика
|том          = 1
|год          = 2007
|издательство = Мир
|место        = {{М.}}
|страниц      = 496
|ref          = Типлер, Ллуэллин
}}
* {{книга
|автор        = [[Зоммерфельд, Арнольд|Зоммерфельд А.]]
|название     = Строение атома и спектры
|год          = 1956
|издательство = ГИТТЛ
|место        = {{М.}}
|страниц      = 592+696
|ref          = Зоммерфельд
}}
* {{книга
|автор        = [[Планк, Макс|Planck M.]]
|название     = Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum // Verhandl. Deutsch. phys. Ges
|том          = 2
|год          = 1900
|ref          = Planck
}} (рус. перевод: {{книга
|автор        = [[Планк, Макс|Планк М.]]
|название     = К теории распределения энергии излучения нормального спектра // Избранные труды
|год          = 1975
|издательство = Наука
|место        = {{М.}}
|страниц      = 788
|ref          = Планк
}}).
* {{книга
|автор        = [[Планк, Макс|Planck M.]]
|название     = Über das Gesetz der Energieverteilung in Normalspektrum // [[Annalen der Physik|Ann. Physik]]
|том          = 4
|год          = 1901
|ref          = Planck
}} (рус. перевод: {{книга
|автор        = [[Планк, Макс|Планк М.]]
|название     = О законе распределения энергии в нормальном спектре // Избранные труды
|год          = 1975
|издательство = Наука
|место        = {{М.}}
|страниц      = 788
|ref          = Планк
}}).
* {{книга
|автор        = [[Дирак, Поль Адриен Морис|Dirac P. A. M.]]
|название     = The Physical Interpretation of the Quantum Dynamics // Proc. R. Soc. Lond. A
|volume       = 113
|год          = 1927
|ref          = Dirac
}} (рус. перевод: {{книга
|автор        = [[Дирак, Поль Адриен Морис|Дирак П. А. М.]]
|название     = Физическая интерпретация квантовой динамики // Собрание научных трудов
|том          = 2
|год          = 2003
|издательство = Физматлит
|место        = {{М.}}
|страниц      = 848
|ref          = Дирак
}}).
* {{книга
|автор        = [[Стретт, Джон Уильям (лорд Рэлей)|Strutt J. W. (Rayleigh).]]
|название     = Remarks upon the law of complete radiation // Phil. Mag
|volume       = 49
|год          = 1900
|ref          = Strutt
}}
* {{книга
|автор        = [[Джинс, Джеймс Хопвуд|Jeans J. H.]]
|название     = On the laws of radiation // Proc. R. Soc. Lond. A
|volume       = 76
|год          = 1905
|ref          = Jeans
}}
* {{книга
|автор        = [[Франк, Джеймс|Franck J.]], [[Герц, Густав Людвиг|Hertz G. L.]]
|название     = Über Zusammenstöße zwischen Elektronen und Molekülen des Quecksilberdampfes und die Ionisierungsspannung desselben // Verh. Dtsch. Phys. Ges
|volume       = 16
|год          = 1914
|ref          = Franck, Hertz 
}}
* {{книга|автор=Грановский Я. И|заглавие=Формула Зоммерфельда и теория Дирака|ссылка=http://ufn.ru/ru/articles/2004/5/h/references.html|издательство=УФН|год=2004|том=174, № 5|ref=Грановский}}
* {{книга|автор=[[Вакарчук, Иван Александрович|Вакарчук І. О.]]|заглавие=Квантова механіка|издание=4-е видання, доповнене|издательство=[[Львовский национальный университет имени Ивана Франко|ЛНУ ім. Івана Франка]]|место={{comment|Л.|Львов}}|год=2012|страниц=872|ref=Вакарчук}}
* {{книга
|автор        = [[Эйнштейн, Альберт|Einstein A.]]
|название     = Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt // [[Annalen der Physik|Ann. Physik]] 
|ссылка       = http://myweb.rz.uni-augsburg.de/~eckern/adp/history/einstein-papers/1905_17_132-148.pdf
|серия        = Bd. 17, № 6
|год          = 1905
|ref          = Einstein
}} (рус. перевод: {{книга
|автор        = [[Эйнштейн, Альберт|Эйнштейн А.]]
|название     = Об одной эвристической точке зрения, касающейся возникновения и превращения света // Собрание научных трудов
|том          = 3
|год          = 1966
|издательство = Наука
|место        = {{М.}}
|страниц      = 632
|ref          = Эйнштейн
}}).
* {{книга|автор=[[Крамерс, Хендрик Антони|Kramers H. A.]]|заглавие=Intensities of Spectral Lines. On the Application of the Quantum Theory to the Problem of Relative Intensities of the Components of the Fine Structure and of the Stark Effect of the Lines of the Hydrogen Spectrum // Roy. Danish Academy|год=1919|allpages=287|ref=Kramers}}
* {{книга|автор=[[Крамерс, Хендрик Антони|Kramers H. A.]]|заглавие=Über den Einfluß eines elektrischen Feldes auf die Feinstruktur der Wasserstofflinien // Zs. Phys|год=1920|серия=Bd. 3|ref=Kramers}}
* {{книга|автор=[[Крамерс, Хендрик Антони|Kramers H. A.]]|заглавие=The Law of Dispersion and Bohr's Theory of Spectra // Nature|volume=113|год=1924|ref=Kramers}}
* {{книга
|автор        = [[Гейзенберг, Вернер|Heisenberg W.]]
|название     = Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen // Zs. Phys 
|серия        = Bd. 33
|год          = 1925
|ref          = Heisenberg
}} (рус. перевод: {{книга
|автор        = [[Гейзенберг, Вернер|Гейзенберг В.]]
|название     = О квантовотеоретической интерпретации кинематических и механических соотношений // Избранные труды (В. Гейзенберг)
|год          = 2001
|издательство = URSS
|место        = {{М.}}
|страниц      = 616
|ref          = Гейзенберг
}}).
* {{книга
|автор        = [[Борн, Макс|Born M.]], [[Йордан, Паскуаль|Jordan P.]]
|название     = Zur Quantenmechanik // Zs. Phys 
|серия        = Bd. 34
|год          = 1925
|ref          = Born, Jordan
}} (рус. перевод: {{книга
|автор        = [[Борн, Макс|Борн М.]], [[Йордан, Паскуаль|Йордан П.]]
|название     = К квантовой механике // Избранные труды (В. Гейзенберг)
|год          = 2001
|издательство = URSS
|место        = {{М.}}
|страниц      = 616
|ref          = Борн, Йордан
}}).
* {{книга
|автор        = [[Гейзенберг, Вернер|Heisenberg W.]], [[Борн, Макс|Born M.]], [[Йордан, Паскуаль|Jordan P.]]
|название     = Zur Quantenmechanik. II // Zs. Phys 
|серия        = Bd. 35
|год          = 1926
|ref          = Heisenberg, Born, Jordan
}} (рус. перевод: {{книга
|автор        = [[Гейзенберг, Вернер|Гейзенберг В.]], [[Борн, Макс|Борн М.]], [[Йордан, Паскуаль|Йордан П.]]
|название     = К квантовой механике. II // Избранные труды (В. Гейзенберг)
|год          = 2001
|издательство = URSS
|место        = {{М.}}
|страниц      = 616
|ref          = Гейзенберг, Борн, Йордан
}}).
* {{книга|автор=[[Шпольский, Эдуард Владимирович|Шпольский Э.]]|заглавие=Атомная физика|место={{М.}}|издательство=Наука|год=1974|том=1|страниц=576|ref=Шпольский}}
* {{книга|автор=[[Ландау, Лев Давидович|Ландау Л. Д.]], [[Лифшиц, Евгений Михайлович|Лифшиц Е. М.]]|заглавие=Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика|место={{М.}}|издательство=Физматлит|год=2008|том=3|страниц=800|ref=Ландау, Лифшиц}}
* {{книга
|автор        = {{iw|тер Хаар, Дирк|ter Haar D|en|Dirk ter Haar}}.
|название     = The old quantum theory
|год          = 1967
|издательство = Pergamon Press
|allpages      = 206
|ref          = ter Haar 
}}
* {{книга
|автор        = [[Томонага, Синъитиро|Tomonaga S.]]
|название     = Quantum mechanics
|volume       = 1: Old quantum theory
|год          = 1962
|издательство = North Holland 
|allpages     = 313
|ref          = Tomonaga 
}}
* {{книга|автор=[[Пономарёв, Леонид Иванович|Пономарев Л. И.]]|заглавие=Под знаком кванта|место={{М.}}|издательство=ФИЗМАТЛИТ|год=2005|страниц=416|isbn=5-9221-0653-8|ref=Пономарёв}}
* {{книга|автор=[[Спасский, Борис Иванович|Спасский Б. И.]]|заглавие=История физики|место={{М.}}|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1977|ref=Спасский}}
:* Том 1: [http://osnovanija.narod.ru/History/Spas/T1_1.djvu часть 1-я], [http://osnovanija.narod.ru/History/Spas/T1_2.djvu часть 2-я].
:* Том 2: [http://osnovanija.narod.ru/History/Spas/T2_1.djvu часть 1-я], [http://osnovanija.narod.ru/History/Spas/T2_2.djvu часть 2-я].
* {{книга |автор=[[Кудрявцев, Павел Степанович|Кудрявцев П. С.]] |заглавие=Курс истории физики |ссылка=http://historik.ru/books/item/f00/s00/z0000027/ |издание=2-е изд., испр. и доп |место={{М.}} |издательство=[[Просвещение (издательство)|Просвещение]] |год=1982 |страниц=448 |ref=Кудрявцев }}
* {{книга|автор=Данин Д. С.|заглавие=Неизбежность странного мира|год=1961|ref=Данин}}
{{-}}

[[Категория:Квантовая механика]]
[[Категория:История физики]]