Просмотр кода страницы Стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста

'''Стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста''' или ''состоятельные при гетероскедастичности и автокорреляции стандартные ошибки'' (''HAC s.e. — Heteroskedasticity and Autocorrelation consistent standard errors'') — применяемая в [[эконометрика|эконометрике]] оценка ковариационной матрицы [[метод наименьших квадратов|МНК-оценок]] (в частности и стандартных ошибок) параметров линейной модели регрессии, альтернативная стандартной (классической) оценке, которая состоятельна при [[гетероскедастичность|гетероскедастичности]] и [[Автокорреляция|автокорреляции]] случайных ошибок модели (в отличие от несостоятельной в этом случае классической оценки и [[Стандартные ошибки в форме Уайта|стандартных ошибок в форме Уайта]]).

== Сущность и формула ==
Истинная ковариационная матрица МНК-оценок параметров линейной модели в общем случае равна:

<math>V(\hat {b}_{OLS})=(X^TX)^{-1}(X^TVX)(X^TX)^{-1}</math>

где <math>V</math> — ковариационная матрица случайных ошибок. В случае, если нет гетероскедастичности и автокорреляции (то есть когда <math>V=\sigma^2 I</math>) формула упрощается

<math>\hat {V}(\hat {b}_{OLS})={\sigma}^2(X^TX)^{-1}</math>

Поэтому для оценки ковариационной матрицы в классическом случае достаточно использовать оценку единственного параметра — дисперсии случайных ошибок: <math>\hat\sigma^2=RSS/(n-k)</math>, которая, как можно доказать, является несмещенной и состоятельной оценкой. При наличии гетероскедастичности, но без автокорреляции, матрица V диагональна и вместо этих диагональных элементов можно использовать квадраты остатков и получить состоятельные оценки ([[стандартные ошибки в форме Уайта]]). В общем случае, кроме гетероскедастичности, может иметь место также и автокорреляция некоторого порядка. Следовательно, кроме диагональных элементов, необходимо оценить внедиагональные элементы, отстоящие от диагонали на ''L''. Ньюи и Уест (Newey, West, 1987) показали, что состоятельными являются оценки следующего вида:

<math>\hat {V}(\hat {b}_{OLS})=(X^TX)^{-1}(\sum_{t=1}^{n}e^2_{t}x_tx^T_t+\sum_{j=1}^{L}\sum_{t=j+1}^{n}w_j e_t e_{t-j}(x_tx^T_{t-j}+x_{t-j}x^T_t))(X^TX)^{-1}</math>

Данная оценка, как видно из формулы, зависит от выбранной «ширины окна» ''L'' и весовых коэффициентов <math>w_j</math>. Простейший вариант выбора весов — выбрать их равными единице. Однако в этом случае не обеспечивается необходимая положительная определенность матрицы. Второй вариант — веса Бартлета <math>w_j=1-j/(L+1)</math>. Однако более предпочтительным вариантом считаются веса Парзена:

<math>w_j=
\begin{cases}
1-6(\frac {j}{L+1})^2+6(\frac {j}{L+1})^3~,~~j \leqslant(L+1)/2\\
2(1-\frac {j}{L+1})^2~,~~j>(L+1)/2
\end{cases}
</math>

Существует также проблема выбора «ширины окна» L. Обычно рекомендуется следующая оценка <math>L=[4(n/100)^{2/9}]</math>

=== Замечание ===
Иногда приведенную формулу оценки ковариационной матрицы корректируют на множитель <math>n/(n-k)</math>. Такая корректировка теоретически позволяет получить более точные оценки на малых выборках. В то же время на больших выборках (асимптотически) эти оценки эквивалентны.

== См. также ==
* [[Стандартные ошибки в форме Уайта]]
* [[Обобщенный метод наименьших квадратов]]

== Литература ==
* {{книга|автор=Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А.|заглавие=Эконометрика|место=М.|издательство=Дело|год=2004|страниц=576}}
* {{книга|автор=William H. Greene|заглавие=Econometric analysis|место=New York|издательство=Pearson Education, Inc.|год=2003|страниц=1026}}

[[Категория:Эконометрика]]