Просмотр кода страницы Собственный вектор

[[Файл:Mona Lisa eigenvector grid.png|thumb|270px|Синим цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от красного, при деформации (преобразовании) не изменил направление, поэтому является ''собственным вектором'' этого преобразования, соответствующим некоторому ''собственному значению'' <math>\lambda</math> (здесь оно равно единице, так как вектор не изменил свою длину). Любой вектор, параллельный синему вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует ''собственное подпространство'']]
'''Со́бственный ве́ктор''' — понятие в [[Линейная алгебра|линейной алгебре]], определяемое для произвольного [[Линейное отображение|линейного оператора]] как ненулевой [[Вектор (математика)|вектор]], применение к которому оператора даёт [[Коллинеарность|коллинеарный]] вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое [[скаляр]]ное значение. Скаляр, на который умножается собственный вектор под действием оператора, называется '''собственным числом''' (или '''собственным значением''') линейного оператора, соответствующим данному собственному вектору. Одним из представлений линейного оператора является [[квадратная матрица]], поэтому собственные векторы и собственные значения часто определяются в контексте использования таких матриц<ref name="Herstein 1964 228–299">{{harvtxt|Herstein|1964|pp=228,229}}</ref><ref name="Nering 1970 38">{{harvtxt|Nering|1970|p=38}}</ref>.

Понятия собственного вектора и собственного числа<ref>Иногда используются синонимичные термины: ''характеристический вектор'' и ''характеристическое число'' оператора.</ref> являются одними из ключевых в линейной алгебре, на их основе строится множество конструкций. Это связано с тем, что многие соотношения, связанные с линейными операторами, существенно упрощаются в системе координат, построенной на [[базис]]е из собственных векторов оператора. Множество собственных значений линейного оператора ([[спектр оператора]]) характеризует важные свойства оператора без привязки к какой-либо конкретной системе координат.

Понятие линейного векторного пространства не ограничивается «чисто геометрическими» векторами и обобщается на разнообразные множества объектов, таких как пространства функций (в которых действуют линейные дифференциальные и интегральные операторы). Для такого рода пространств и операторов говорят о ''собственных функциях'' операторов.

Множество всех собственных векторов линейного оператора, соответствующих данному собственному числу, дополненное [[Нулевой вектор|нулевым вектором]], называется '''собственным подпространством'''<ref>Не путать с собственным подпространством линейного векторного пространства — любым подпространством, отличным от [[Тривиальные объекты в алгебре|тривиальных подпространств]], то есть от самого этого пространства и от нулевого пространства.</ref> этого оператора.

== Определения ==
[[Файл:Mona Lisa with eigenvector.png|thumb|300px|Другая трансформация Джоконды. Синий вектор меняет направление, а красный — нет. Поэтому красный является собственным вектором, а синий — нет. Так как красный вектор ни растянулся, ни сжался, его собственное значение равно, как и на картинке выше, единице. Все векторы, коллинеарные красному, тоже собственные.]]
Пусть <math> L </math> — [[линейное пространство]] над [[Поле (алгебра)|полем]] <math> K </math>, <math> A\colon L \to L </math> — [[Линейное отображение|линейное преобразование]].

''Собственным вектором'' линейного преобразования <math>A</math> называется такой ненулевой [[Вектор (алгебра)|вектор]] <math> x \in L </math>, что для некоторого <math> \lambda \in K </math>
: <math>\ A x = \lambda x.</math>

''Собственным значением'' (''собственным числом'') линейного преобразования <math> A</math> называется такое число <math> \lambda \in K </math>, для которого существует собственный вектор, то есть уравнение <math> A x = \lambda x</math> имеет ненулевое решение <math> x \in L </math>.

Упрощённо говоря, ''собственный вектор'' — любой ненулевой вектор <math>x</math>, который отображается в коллинеарный ему вектор <math>\lambda x</math> оператором <math>A</math>, а соответствующий скаляр <math>\lambda</math> называется ''собственным значением'' оператора.

''Собственным подпространством'' (или ''характеристическим подпространством'') линейного преобразования <math>A</math> для данного собственного числа <math> \lambda \in K </math> (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов <math> x \in L </math> соответствующих данному собственному числу дополненное нулевым вектором. Обозначим собственное подпространство, отвечающее собственному числу {{math|λ}}, через <math> E_{\lambda} </math>, а единичный оператор — через <math>I</math>. По определению, собственное подпространство является [[Ядро линейного оператора|ядром оператора]] <math> A-\lambda \cdot I,</math> то есть множеством векторов, отображаемых этим оператором в нулевой вектор:
: <math> E_{\lambda}=\ker(A-\lambda \cdot I).</math>

''Корневым вектором'' линейного преобразования <math> A</math> для данного собственного значения <math> \lambda \in K </math> называется такой ненулевой вектор <math> x \in L </math>, что для некоторого натурального числа <math> m </math>
: <math> (A-\lambda \cdot I)^m x =0.</math>

Если <math> m </math> является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть <math>(A-\lambda \cdot I)^{m-1} x \neq 0 </math>), то <math> m </math> называется ''высотой'' корневого вектора
<math> x </math>.

''Корневым подпространством'' линейного преобразования <math> A</math> для данного собственного числа <math> \lambda \in K </math> называется множество всех корневых векторов <math> x \in L </math>, соответствующих данному собственному числу, если это множество дополнить нулевым вектором. Обозначим корневое подпространство, отвечающее собственному числу {{math|λ}}, через <math> V_{\lambda} </math>. По определению,
: <math> V_{\lambda}=\bigcup_{m=1}^{\infty}\ker(A-\lambda \cdot I)^m = \bigcup_{m=1}^{\infty}V_{m,\lambda}.</math>

== История ==
Собственные значения часто вводятся в контексте линейной алгебры, однако исторически они возникли при исследовании квадратичных форм и дифференциальных уравнений.

В XVIII веке [[Эйлер, Леонард|Эйлер]], изучая вращательное движение [[Абсолютно твёрдое тело|абсолютно твёрдого тела]], обнаружил значимость главных осей, а [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранж]] показал, что главные оси являются собственными векторами [[Момент инерции|матрицы инерции]]. В начале XIX века [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] использовал труды Эйлера и Лагранжа для классификации [[Поверхность второго порядка|поверхностей второго порядка]], и обобщил результаты на высшие порядки. Коши также ввёл термин «характеристический корень» ({{lang-fr|racine caractéristique}}) для собственного значения, этот термин сохранился в контексте [[Характеристический многочлен матрицы|характеристического многочлена матрицы]]{{sfn|Kline|1972|loc=pp. 807–808}}<ref>Augustin Cauchy (1839) «Mémoire sur l’intégration des équations linéaires» (Memoir on the integration of linear equations), ''Comptes rendus'', '''8''' : 827—830, 845—865, 889—907, 931—937. [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2967c/f833.item.r=.zoom p. 827:] ''«On sait d’ailleurs qu’en suivant la méthode de Lagrange, on obtient pour valeur générale de la variable prinicipale une fonction dans laquelle entrent avec la variable principale les racines d’une certaine équation que j’appellerai l'''équation caractéristique'', le degré de cette équation étant précisément l’order de l'équation différentielle qu’il s’agit d’intégrer.»''</ref>.
{{раздел не завершён}}

== Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств ==

=== Общий случай ===
Подпространство <math>V \subset L</math> называется ''[[Инвариантное подпространство|инвариантным подпространством]]'' линейного преобразования <math>A</math> (''<math> A</math>-инвариантным подпространством''), если
: <math>AV \subseteq V</math>.

* Собственные подпространства <math> E_{\lambda} </math>, корневые подпространства <math> V_{\lambda} </math> и подпространства <math> V_{m,\lambda}</math> линейного оператора <math>A</math> являются <math>A</math>-инвариантными.

* Собственные векторы являются корневыми (высоты 1): <math> E_{\lambda} \subseteq V_{\lambda} </math>;

* Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей
: <math>A= \begin{pmatrix} 1&  1\\ 0&1\end{pmatrix}</math>
: <math>(A-E)^2=0 </math>, и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но <math>A </math> имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).

* Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:
: <math> V_{\lambda} \bigcap V_{\mu}=\{0\} </math> если <math> \lambda \neq \mu </math>.

* Метод поиска собственных значений для самосопряжённых операторов и поиска сингулярных чисел для нормального оператора даёт [[теорема Куранта — Фишера]].

=== Конечномерные линейные пространства ===
Выбрав базис в <math> n</math>-мерном линейном пространстве <math> L </math>, можно сопоставить линейному преобразованию <math> A\colon L \to L </math> квадратную <math> n\times n</math> матрицу и определить для неё [[характеристический многочлен матрицы]]
: <math> P_A(\lambda)=\det (A-\lambda \cdot I) = \sum\limits_{k=0}^{n}a_k \lambda^k</math>.

* Характеристический многочлен не зависит от базиса в <math>L</math>. Его коэффициенты являются инвариантами оператора <math>A</math>. В частности, <math>a_0 = \det\,A</math>, <math>a_{n-1} = \operatorname{tr}\, A</math> не зависят от выбора базиса.
* Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы.
* Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.
* Если выбрать в качестве базисных векторов собственные вектора оператора, то матрица <math>A</math> в таком базисе станет [[Диагональная матрица|диагональной]], причём на диагонали будут стоять собственные значения оператора. Отметим, однако, что далеко не любая матрица допускает базис из собственных векторов (общая структура описывается [[Жорданова форма|нормальной жордановой формой]]).
* Для [[Положительно определённая матрица|положительно определённой]] [[Симметричная матрица|симметричной]] матрицы <math>A</math> процедура нахождения собственных значений и собственных векторов является не чем иным, как поиском направлений и длин '''полуосей''' соответствующего [[эллипс]]а.

Пусть числовое [[Алгебраически замкнутое поле|поле алгебраически замкнуто]] (например, является полем [[комплексное число|комплексных чисел]]). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение <math>n</math> линейных множителей
: <math> P_A(\lambda)=(-1)^n \prod_{i=1}^n (\lambda - \lambda_i)</math>

: где <math> \lambda_i \; (i=1,\ldots,n )</math> — собственные значения; некоторые из <math> \lambda_i</math> могут быть равны. ''Кратность собственного значения'' <math> \lambda_i</math> — это число множителей, равных <math> \lambda - \lambda_i,</math> в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также ''алгебраическая кратность собственного значения'').

* Размерность корневого пространства <math>V_{\lambda_i}</math> равна кратности собственного значения.
* Векторное пространство <math> L</math> разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о [[Жорданова форма|жордановой форме]]):
: <math> L=\bigoplus_{\lambda_i}V_{\lambda_i}</math>
: где суммирование производится по всем <math>\lambda_i</math> — собственным числам <math> A</math>.
* ''Геометрическая кратность собственного значения'' <math> \lambda_i</math> — это размерность соответствующего собственного подпространства <math> E_{\lambda_i} </math>; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку <math> E_{\lambda_i} \subseteq V_{\lambda_i} </math>

=== [[Гильбертово пространство|Гильбертовы пространства]] над полем комплексных чисел и нормальные операторы ===
Наличие скалярного произведения позволяет выделить важные классы операторов, собственные значения и собственные векторы которых обладают рядом дополнительных полезных свойств.

Нормальным оператором называется оператор <math> A</math>, коммутирующий со своим [[Сопряжённый оператор|сопряжённым]] <math> A^*</math>:
: <math> A A^*=A^* A</math>.
Частными классами нормальных операторов являются ''[[самосопряжённый оператор|самосопряжённые]]'' (''эрмитовы'') операторы (<math> A =A^*</math>), ''антиэрмитовы'' операторы (<math> A =-A^*</math>) и [[унитарный оператор|унитарные операторы]] (<math>A^{-1} =A^*</math>), а также их вещественные варианты: симметричные операторы, антисимметричные операторы и ортогональные преобразования.

* Все корневые векторы нормального оператора являются собственными.

* Собственные векторы нормального оператора <math> A</math>, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. То есть если <math>A x=\lambda x</math>, <math>A y=\mu y</math> и <math>\lambda \neq \mu</math>, то <math>(x,y)=0</math>. (Для произвольного оператора это неверно.)

* Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными.

* Все собственные значения антиэрмитового оператора являются мнимыми.

* Все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности <math>|\lambda|=1 </math>.

* В ''конечномерном случае'' сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора <math>A\colon \Complex^n \to \Complex^n</math>, соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:
: <math> L=\bigoplus_{\lambda_i}E_{\lambda_i}, </math>
: где суммирование производится по всем <math>\lambda_i</math> — собственным числам <math> A</math>, а <math> E_{\lambda_i} </math> взаимно ортогональны для различных <math>\lambda_i</math>.

* Последнее свойство для нормального оператора над <math>\Complex</math> является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном [[базис]]е (в конечномерном случае).

=== Положительные матрицы ===
Квадратная вещественная <math>n \times n</math> матрица <math>A=(a_{ij})</math> называется положительной, если все её элементы положительны: <math>a_{ij} > 0</math>.

'''Теорема Перрона''' (частный случай [[Теорема Фробениуса — Перрона|теоремы Перрона — Фробениуса]]): Положительная квадратная матрица <math>A</math> имеет положительное собственное значение <math>r</math>, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению <math>r</math> соответствует собственный вектор <math>e_r</math>, все координаты которого строго положительны. Вектор <math>e_r</math> — единственный собственный вектор <math>A</math> (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Собственный вектор <math>e_r</math> может быть вычислен посредством ''прямых итераций'': выберем произвольный начальный вектор <math>v_0</math> с положительными координатами. Положим:
: <math>v_{k+1} = \frac{A v_{k}}{\|A v_{k}\|}</math>

Последовательность <math>v_{k}</math> сходится к нормированному собственному вектору <math>e_r / \|e_r\|</math>.

Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.

== Неравенства для собственных значений ==
* '''Неравенство Шура''' Пусть <math>\lambda_{1}, ..., \lambda_{n}</math> — собственные значения матрицы <math>A = (a_{ij})_{i , j = 1, \ldots , n}</math>. Тогда
:: <math>\sum_{i=1}^{n}|\lambda_{i}|^{2} \leqslant  \sum_{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^{2}=\|A\|_{F}^{2}</math>,
: причём равенство достигается тогда и только тогда, когда <math>A</math> — [[нормальная матрица]]{{sfn|Задачи и теоремы линейной алгебры|с=206|1996}}.
* Пусть <math>\lambda_{1}, ..., \lambda_{n}</math> — собственные значения матрицы <math>A=B+iC</math>, где матрицы <math>B, C</math> эрмитовы. Тогда
:: <math>\sum_{i=1}^{n}| \Re \lambda_{i}|^{2} \leqslant  \sum_{i,j=1}^{n}|b_{ij}|^{2}</math> и <math>\sum_{i=1}^{n}| \Im \lambda_{i}|^{2} \leqslant  \sum_{i,j=1}^{n}|c_{ij}|^{2}</math>{{sfn|Задачи и теоремы линейной алгебры|с=207|1996}}.
* Пусть <math>A, B</math> — эрмитовы матрицы, <math>C = A + B</math>. Упорядочим собственные значения этих матриц в порядке возрастания: <math>\alpha_{1} \leqslant ... \leqslant \alpha_{n}, \beta_{1} \leqslant ... \leqslant \beta_{n}, \gamma_{1} \leqslant ... \leqslant \gamma_{n}</math>. Тогда <math>\gamma_{i} \geqslant \alpha_{i} + \beta_{i-j+1}</math> при <math>i \geqslant j</math> и <math>\gamma_{i} \leqslant \alpha_{i} + \beta_{i-j+n}</math> при <math>i \leqslant j</math>{{sfn|Задачи и теоремы линейной алгебры|с=207|1996}}.

== См. также ==
* [[Алгоритм вычисления собственных значений]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга
 | автор         = [[Гантмахер, Феликс Рувимович|{{nobr|Гантмахер Ф. Р.}}]]
 | заглавие      = Теория матриц
 | место         = М.
 | издательство  = Наука
 | год           = 1966
 | страниц       = 576
 | isbn          = ISBN 5-9221-0524-8
}}
* {{книга
 | автор         = {{nobr|Уилкинсон Д. Х.}}
 | заглавие      = Алгебраическая проблема собственных значений
 | место         = М.
 | издательство  = Наука
 | год           = 1970
 | страниц       = 564
 | isbn          = 978-5-458-25464-9
}}
* {{книга
 | автор         = [[Гельфанд, Израиль Моисеевич|{{nobr|Гельфанд И. М.}}]]
 | заглавие      = Лекции по линейной алгебре
 | место         = М.
 | издательство  = Добросвет, КДУ
 | год           = 2009
 | страниц       = 320
 | тираж         = 1000 
 | isbn          = 978-5-98227-625-4
}}
* {{книга
 | автор         = [[Фаддеев, Дмитрий Константинович|{{nobr|Фаддеев Д. К.}}]]
 | заглавие      = Лекции по алгебре
 | место         = М.
 | издательство  = ЁЁ Медиа
 | год           = 2012
 | страниц       = 416
 | isbn          = 978-5-458-25543-1
}}
* {{книга
 | автор         = {{nobr|[[Шафаревич, Игорь Ростиславович|Шафаревич И. Р.]], Ремизов А. О.}}
 | заглавие      = Линейная алгебра и геометрия
 | место         = М.
 | издательство  = Физматлит
 | год           = 2009
 | страниц       = 512
 | isbn          = 978-5-9221-1139-3
}}
* {{книга
 | автор           = [[Прасолов, Виктор Васильевич|Прасолов В. В.]]
 | заглавие      = Задачи и теоремы линейной алгебры
 | место          = М.
 | издательство  = Наука
 | год           = 1996
 | страниц    = 304
 | isbn = 5-02-014727-3
 | ref             = Задачи и теоремы линейной алгебры
 }}
* {{книга
 | автор           = Икрамов Х. Д.
 | заглавие      = Несимметричная проблема собственных значений
 | место          = М.
 | издательство  = Наука
 | год           = 1991
 | страниц    = 240
 | isbn = 5-02-014462-2
 | ref             = Несимметричная проблема собственных значений
 }}
* {{ citation
| last1 = Herstein
| first1 = I. N.
| year = 1964
| isbn = 978-1114541016
| title = Topics In Algebra
| publisher = [[Blaisdell Publishing Company]]
| location = Waltham }}
* {{Citation
| last1=Horn
| first1=Roger A.
| last2=Johnson
| first2=Charles F.
| title=Matrix analysis
| publisher=Cambridge University Press
| year=1985
| isbn=0-521-30586-1
}}
* {{ citation
| last1 = Nering
| first1 = Evar D.
| year = 1970
| title = Linear Algebra and Matrix Theory
| edition = 2nd
| publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]]
| location = New York
| lccn = 76091646
}}
* {{Citation
| last=Kline
| first=Morris
| title=Mathematical thought from ancient to modern times
| publisher=Oxford University Press
| year=1972
| isbn=0-19-501496-0
}}

{{rq|refless}}
{{Вектора и матрицы}}

[[Категория:Теория операторов]]
[[Категория:Матричные инварианты]]