Просмотр кода страницы Симметрическая функция

'''Симметрическая функция от ''n'' переменных''' — это функция, значение которой  на любом ''n''-[[Кортеж (информатика)|кортеже]] [[Аргумент функции|аргументов]] то же самое, что и значение на любой [[Перестановка|перестановке]] этого ''n''-кортежа{{sfn|Ван дер Варден|1979|с=121}}. Если, например, <math>f(\mathbf{x})=f(x_1,x_2,x_3)</math>, функция может быть симметрической на всех переменных или парах <math>(x_1,x_2)</math>, <math>(x_2,x_3)</math> или <math>(x_1,x_3)</math>. Хотя это может относиться к любым функциям, для которых ''n'' аргументов имеют одну и ту же область определения, чаще всего имеются в виду [[многочлен]]ы, которые в этом случае являются [[Симметрический многочлен|симметрическими многочленами]]. Вне многочленов теория симметрических функций бедна и мало используется.

== Симметризация ==
{{Основная статья|Симметризация}}
Если задана какая-либо функция ''f'' от ''n'' переменных со значениями в [[Абелева группа|абелевой группе]] (то есть в группе с коммутативной операцией), симметрическая функция может быть построена путём суммирования значений ''f'' по всем перестановкам аргументов. Аналогично, антисимметрическая функция может быть построена как сумма по всем [[Перестановка#Связанные определения|чётным перестановкам]], из которой вычитается сумма по всем нечётным перестановкам. Эти операции, конечно, необратимы и могут привести к тождественно равной нулю функции для нетривиальной функции ''f''. Единственный случай, когда ''f'' может быть восстановлена, когда известны симметризация функции и антисимметризация, это когда ''n''&nbsp;=&nbsp;2 и абелева группа допускает деление на 2 (операция, обратная удвоению). В этом случае ''f'' равна половине суммы симметризации и антисимметризации.

== Примеры ==

* Рассмотрим функцию
::<math>f(x_1,x_2,x_3)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)</math>

:По определению, симметрическая функция от n переменных имеет свойство, что
::<math>f(x_1,x_2,...,x_n)=f(x_2,x_1,...,x_n)=f(x_3,x_1,...,x_n,x_{n-1})</math> и т.д.. 

:В общем случае функция остаётся той же самой при любой [[Перестановка|перестановке]] переменных. Это означает, что в нашем случае
::<math> (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=(x-x_2)(x-x_1)(x-x_3)=(x-x_3)(x-x_1)(x-x_2)</math>
:и так далее для всех перестановок <math>x_1,x_2,x_3</math>

* Рассмотрим функцию
::<math>f(x,y)=x^2+y^2-r^2</math>

:Если переставить местами ''x'' и ''y'', функция примет вид
::<math>f(y,x)=y^2+x^2-r^2</math>,
:что в точности совпадает с исходной функцией ''f''(''x'',''y'').

* Теперь рассмотрим функцию
::<math>f(x,y)=ax^2+by^2-r^2</math>

:Если переставить ''x'' и ''y'' местами, получим
::<math>f(y,x)=ay^2+bx^2-r^2.</math>
:Эта функция, очевидно, не будет той же самой, что и исходная, если {{nowrap|1=''a'' ≠ ''b''}}, следовательно, она не симметрическая.

== Приложения ==
=== U-статистика ===
{{основная статья|U-статистика}}
В [[Статистика|статистике]] статистика на ''n''-выборке (функция от ''n'' переменных), полученная путём [[Бутстрэп (статистика)|бутстрэпа]] симметризации статистики на выборке из ''k'' элементов, даёт симметрическую функцию от ''n'' переменных, называемую {{не переведено 5|U-статистика|U-статистикой||U-statistic}}. Примеры включают [[выборочное среднее]] и [[Дисперсия случайной величины|выборочную дисперсию]].

==См. также==
* {{не переведено 5|Элементарные симметричные многочлены|||Elementary symmetric polynomial}}
* {{не переведено 5|Квазисимметричная функция|||Quasisymmetric function}}
* {{не переведено 5|Кольцо симметричных функций|||Ring of symmetric functions}}

==Примечания==
{{примечания|2}}
==Литература==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{iw2|Макдональд, Иен Грант|Macdonald I. G.||Ian G. Macdonald}} ''Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials.'' <!-- Dean Jacqueline B. Lewis Memorial Lectures presented at Rutgers University, --> New Brunswick, New Jersey. University Lecture Series, 12. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 pp.&nbsp;{{ISBN|0-8218-0770-6}} {{MathSciNet|id=1488699}}
* {{iw2|Макдональд, Иен Грант|Macdonald I. G.||Ian G. Macdonald}} ''Symmetric Functions and Hall Polynomials.'' Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp.&nbsp;{{ISBN|0-19-853489-2}} {{cite book|title=1st edition|year=1979}}
* {{книга
|автор={{iw2|Макдональд, Иен Грант|Макдональд И.||Ian G. Macdonald}}
|ref=Macdonald
|год=1984
|заглавие=Симметрические функции и многочлены Холла
|издательство=[[Мир (издательство)|Мир]]
|страниц=224
}}
* {{книга
|автор=David F. N., [[Кендалл, Морис Джордж|Kendall M. G.]], Barton D. E.
|ref=David, Kendall, Barton
|год=1966
|заглавие=Symmetric Function and Allied Tables
|издательство=[[Cambridge University Press]]
}}
* {{книга
|автор=Joseph P. S. Kung, Gian-Carlo Rota, Catherine H. Yan
|ref=Kung, Rota, Yan
|год=2009
|заглавие=Combinatorics: The Rota Way
|часть=
|страниц=xii+396
|издательство=Cambridge University Press
|isbn=978-0-521-73794-4
}} <br/> — §5.1 Symmetric functions, p. 222–225. <br/> — §5.7. Symmetric Functions Over Finite Fields, p. 259–270.
* {{книга
|страниц=
|автор=Ван дер Варден Б. Л.
|ref=Ван дер Варден
|заглавие=Алгебра
|место=М.
|издательство=«Наука»
|год=1979
|часть=
}} <br/> — §33. Симметрические функции, с. 121.
{{refend}}

[[Категория:Комбинаторика]]

[[Категория:Симметрические функции]]
{{rq|checktranslate|style}}