Просмотр кода страницы Связность Леви-Чивиты

'''Свя́зность Ле́ви-Чиви́ты''' или '''связность, ассоциированная с метрикой''' — одна из основных структур на римановом многообразии.
Даёт естественный способ дифференцировать векторные поля на [[риманово многообразие|римановом многообразии]];
эквивалентно заданию [[Ковариантное дифференцирование|ковариантного дифференцирования]] а также [[Параллельное перенесение|параллельного перенесения]] вдоль кривых.

==Определение==
Связность Леви-Чивиты есть [[аффинная связность]] с нулевым [[Кручение связности|кручением]] на [[риманово многообразие|римановом]] (или [[псевдориманово многообразие|псевдоримановом]]) [[многообразие|многообразии]] <math>M</math>, относительно которой [[метрический тензор]] ковариантно постоянен.

То есть аффинная связность <math>\nabla</math> на римановом многообразии <math>(M,\;g)</math> называется связностью Леви-Чивиты, если для неё выполнены следующие два условия:
# ''(римановость)'' для любых векторных полей <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math> верно<br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>X(g(Y,\;Z))=g(\nabla_X Y,\;Z)+g(Y,\;\nabla_X Z)</math>, <br />где <math>X(g(Y,\;Z))</math> обозначает производную <math>g(Y,Z)</math> в направлении <math>X</math>.
# ''(отсутствие кручения)'' для любых векторных полей <math>X</math> и <math>Y</math><br />&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\nabla_XY-\nabla_YX-[X,\;Y]=0</math>,<br /> где <math>[X,\;Y]</math> [[скобки Ли]] векторных полей <math>X</math> и <math>Y</math>.

Названа в честь итальянского математика [[Леви-Чивита, Туллио|Туллио Леви-Чивиты]].

== Свойства ==
* Любое риманово (и псевдориманово) многообразие обладает единственной связностью Леви-Чивиты; это утверждение иногда называется '''основной теоремой римановой геометрии'''.

== См. также ==
* [[Метрическая связность]]
* [[Параллельное перенесение]]
* [[Символы Кристоффеля]]

== Литература ==
* Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. ''Введение в риманову геометрию,'' — СПб: Наука, 1994. 318 с.

{{geometry-stub}}

[[Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия]]
[[Категория:Дифференциальная геометрия и топология]]