Просмотр кода страницы Распределение хи-квадрат

{{Вероятностное распределение|
  name       =Распределение <math>\chi^2</math>. Распределение Пирсона|
  type       =Плотность|
  pdf_image  =[[Файл:chi-square distributionPDF.png|325px]]|
  cdf_image  =[[Файл:chi-square distributionCDF.png|325px]]|
  notation   =<math>\chi^2(k)</math> или <math>\chi^2_k</math>|
  parameters =<math>k > 0</math> — число степеней свободы|
  support    =<math>x \in [0; +\infty)</math>|
  pdf        =<math>\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}</math>|
  cdf        =<math>\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}</math>|
  mean       =<math>k</math>|
  median     =примерно <math>k-2/3</math>|
  mode       =<math>k-2</math> если <math>k\geq 2</math>|
  variance   =<math>2\,k</math>|
  skewness   =<math>\sqrt{8/k}</math>|
  kurtosis   =<math>12/k</math>|
  entropy    =<math>\frac{k}{2}\!+\!\ln\left[2\Gamma\left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!-\!\frac{k}{2}\right)\psi\left(\frac{k}{2}\right)</math>
<math>\psi(x) = \Gamma'(x) / \Gamma(x).</math>|
  mgf        =<math>(1-2\,t)^{-k/2}</math>, если <math>2\,t<1</math>|
  char       =<math>(1-2\,i\,t)^{-k/2}</math>
}}

'''Распределе́ние <math>\chi^2</math> (хи-квадра́т) с <math>k</math> степеня́ми свобо́ды''' — это [[распределение вероятностей|распределение]] суммы квадратов <math>k</math> [[Независимость (теория вероятностей)|независимых]] [[нормальное распределение|стандартных нормальных]] [[случайная величина|случайных величин]].

== Определение ==
Пусть <math>z_1, \ldots, z_k</math> — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть: <math> z_i \sim N(0,1) </math>. Тогда случайная величина
: <math>x = z_1^2 + \ldots + z_k^2</math>
имеет [[распределение хи-квадрат]] с <math>k</math> степенями свободы, то есть <math>x \sim f_{\chi^2(k)}(x)</math>, или, если записать по-другому:

: <math>x = \sum\limits_{i=1}^k z_i^2 \sim \chi^2(k)</math>.

Распределение хи-квадрат является частным случаем [[Гамма-распределение|гамма-распределения]], и его плотность имеет вид:
: <math>f_{\chi^2(k)}(x) \equiv \Gamma\!\left({ 2}, {k \over 2}\right) = \frac{(1/2)^{k \over 2}}{\Gamma\!\left({k \over 2}\right)}\, x^{{k \over 2} - 1}\, e^{-\frac{x}{2}}</math>,

где <math>\Gamma\!\left(2, {k/2}\right)</math> означает гамма-распределение, а <math>\Gamma\!\left({k/2}\right)</math> — [[Гамма-функция|гамма-функцию]].

Функция распределения имеет следующий вид:
: <math>F_{\chi^2(k)}(x) = \frac{\gamma\left({k \over 2}, {x \over 2}\right)}{\Gamma\left({k \over 2}\right)}</math>,
где <math>\Gamma</math> и <math>\gamma</math> обозначают соответственно [[Гамма-функция|полную]] и [[Гамма-функция#Обобщение|неполную]] гамма-функции.

== Свойства распределения хи-квадрат ==
* Распределение хи-квадрат [[Аддитивность|устойчиво относительно суммирования]]. Если <math>Y_1, Y_2</math> независимы, и <math>Y_1 \sim \chi^2(k_1)</math>, а <math>Y_2 \sim \chi^2(k_2)</math>, то
: <math>Y_1 + Y_2 \sim \chi^2(k_1 + k_2)</math>.
* Из определения легко получить [[моменты случайной величины|моменты]] распределения хи-квадрат. Если <math>Y \sim \chi^2(k)</math>, то
: <math>\mathbb{E}[Y] = k</math>,
: <math>\mathrm{D}[Y] = 2k</math>.
* В силу [[Центральная предельная теорема|центральной предельной теоремы]], при большом числе степеней свободы распределение случайной величины <math>Y \sim \chi^2(k)</math> может быть приближено нормальным <math>Y \approx N( k, 2k )</math>. Более точно
: <math>\frac{Y-k}{\sqrt{2k}} \to N(0,1)</math> [[сходимость по распределению|по распределению]] при <math>k \to \infty</math>.

== Связь с другими распределениями ==
* Если <math>X_1 ,\ldots , X_k</math> независимые нормальные случайные величины, то есть: <math>X_i \sim N(\mu,\sigma^2),\; i=1,\ldots, k;\; \mu</math> известно, то случайная величина
: <math>Y = \sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2</math>
имеет распределение <math>\chi^2(k)</math>.
* Если <math>k=2</math>, то распределение хи-квадрат совпадает с [[Экспоненциальное распределение|экспоненциальным распределением]]:
: <math> \chi^2(2) \equiv \mathrm{Exp}(1/2)</math>.
* Если <math>Y_1 \sim \chi^2(k_1)</math> и <math>Y_2 \sim \chi^2(k_2)</math>, то случайная величина
: <math>F = \frac{Y_1/k_1}{Y_2 / k_2}</math>
имеет [[распределение Фишера]] со степенями свободы <math>(k_1,k_2)</math>.

== Вариации и обобщение ==
Дальнейшим обобщением распределения хи-квадрат является так называемое {{iw|нецентральное распределение хи-квадрат||en|Noncentral chi-squared distribution}}, возникающее в некоторых задачах статистики.

== Квантили ==
{{main|Квантили распределения хи-квадрат}}
Квантиль — это число (аргумент), на котором функция распределения равна заданной, требуемой вероятности. Грубо говоря, квантиль — это результат обращения функции распределения, но есть тонкости с разрывными функциями распределения.

== История ==
[[Критерий согласия Пирсона|Критерий <math> \chi^2 </math> ]] был предложен [[Пирсон, Карл|Карлом Пирсоном]] в 1900 году.<ref>{{статья |заглавие=On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling |издание=Philosophical Magazine, Series 5 |том=50 |номер=302 |страницы=157—175 |doi=10.1080/14786440009463897 |язык=en |тип=journal |автор=Karl Pearson}}</ref> Его работа рассматривается как фундамент современной математической статистики. Предшественники Пирсона просто строили графики экспериментальных результатов и утверждали, что они правильны. В своей статье Пирсон привёл несколько интересных примеров злоупотреблений статистикой. Он также доказал, что некоторые результаты наблюдений за рулеткой (на которой он проводил эксперименты в течение двух недель в [[Монте-Карло]] в 1892 году) были так далеки от ожидаемых частот, что шансы получить их снова при предположении, что рулетка устроена добросовестно, равны одному из 10<sup>29</sup>.

Общее обсуждение критерия <math> \chi^2 </math>  и обширную библиографию можно найти в обзорной работе Вильяма Дж. Кокрена.<ref>{{статья |заглавие=The <math> \chi^2</math>  Test of Goodness of Fit |издание=Annals Math. Stat. |том=23 |номер=3 |страницы=315—345 |ссылка=https://www.jstor.org/stable/2236678 |язык=und |автор=William G. Cochran |год=1952}}</ref>

==Приложения==
Распределение хи-квадрат имеет многочисленные приложения при  статистических выводах, например при использовании [[критерий хи-квадрат|критерия хи-квадрат]] и при оценках дисперсий. Он входит в проблему оценки среднего нормально распределённой т и проблему оценки наклона линии [[линейная регрессия|регрессии]] через роль в [[распределение Стьюдента|распределении Стьюдента]]. Он входит в проблемы [[дисперсионный анализ|дисперсионного анализа]].

Далее приведены примеры ситуаций, в которых хи-квадрат распределение возникает из нормальных выборок:  

*если ''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>n</sub>'' — [[независимые одинаково распределённые случайные величины|независимые и одинаково распределенные]] по закону ''N''(''μ'', ''σ''<sup>2</sup>) [[случайные величины]], тогда <math>\sum_{i=1}^n(X_i - \bar X)^2 \sim \sigma^2 \chi^2_{n-1}</math> где <math>\bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i</math>.
*В таблице показаны некоторые [[статистика|статистики]], основанные на {{nowrap|''X<sub>i</sub>'' ∼ ''N''(''μ<sub>i</sub>'', ''σ''<sup>2</sup><sub>''i''</sub>), ''i'' {{=}} 1, ⋯, ''k'', }} [[независимые случайные величины|независимых случайных величин]], распределения которых связаны с распределением хи-квадрат:
<center>
{| class="wikitable" align="center"
|-
! Название !! Статистика
|-
| [[хи-квадрат распределение]] || <math>\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2</math>
|-
| [[нецентральное хи-квадрат распределение]] || <math>\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2</math>
|-
| [[хи распределение]] || <math>\sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2}</math>
|-
| [[нецентральное хи распределение]] || <math>\sqrt{\sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i}{\sigma_i}\right)^2}</math>
|}
</center>
Распределение хи-квадрат также часто встречается в [[Магнитно-резонансная томография|магнитно-резонансной томографии]].<ref>den Dekker A. J., Sijbers J., (2014) "Data distributions in magnetic resonance images: a review", ''Physica Medica'', [https://dx.doi.org/10.1016/j.ejmp.2014.05.002]</ref>

==Таблица значений ''χ''<sup>2</sup> и ''p''-значений==
P-значение  — вероятность получить для данной вероятностной модели распределения значений случайной величины такое же или более экстремальное значение статистики, по сравнению с наблюдаемым, при условии верности нулевой гипотезы. В данном случае это распределение  ''χ''<sup>2</sup>. Так как значение [[функция распределения|функции распределения]] в точке для соответствующих степеней свободы дает вероятность получить значение статистики ''менее экстремальное'' чем эта точка, ''p''-значение можно получить, если отнять от единицы значение функции распределения. Малое ''p''-значение, ниже выбранного уровня значимости, означает [[статистическая значимость|статистическую значимость]] - этого будет достаточно, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Чтобы различать значимые и незначимые результаты, обычно используют уровень 0.05. 

В таблице даны ''p''-значения для соответствующих значений <math> \chi^2 </math> у первых десяти степеней свободы. 
{| class="wikitable"
|-
! Степени свободы (df)
!colspan=11| значение <math> \chi^2 </math> <ref>[http://www2.lv.psu.edu/jxm57/irp/chisquar.html Chi-Squared Test] Table B.2. Dr. Jacqueline S. McLaughlin at The Pennsylvania State University. In turn citing: R. A. Fisher and F. Yates, Statistical Tables for Biological Agricultural and Medical Research, 6th ed., Table IV. Two values have been corrected, 7.82 with 7.81 and 4.60 with 4.61</ref>
|-
| style="text-align:center;" | 1
| 0.004
| 0.02
| 0.06
| 0.15
| 0.46
| 1.07
| 1.64
| 2.71
| 3.84
| 6.63
| 10.83
|-
| style="text-align:center;" | 2
| 0.10
| 0.21
| 0.45
| 0.71
| 1.39
| 2.41
| 3.22
| 4.61
| 5.99
| 9.21
| 13.82
|-
| style="text-align:center;" | 3
| 0.35
| 0.58
| 1.01
| 1.42
| 2.37
| 3.66
| 4.64
| 6.25
| 7.81
| 11.34
| 16.27
|-
| style="text-align:center;" | 4
| 0.71
| 1.06
| 1.65
| 2.20
| 3.36
| 4.88
| 5.99
| 7.78
| 9.49
| 13.28
| 18.47
|-
| style="text-align:center;" | 5
| 1.14
| 1.61
| 2.34
| 3.00
| 4.35
| 6.06
| 7.29
| 9.24
| 11.07
| 15.09
| 20.52
|-
| style="text-align:center;" | 6
| 1.63
| 2.20
| 3.07
| 3.83
| 5.35
| 7.23
| 8.56
| 10.64
| 12.59
| 16.81
| 22.46
|-
| style="text-align:center;" | 7
| 2.17
| 2.83
| 3.82
| 4.67
| 6.35
| 8.38
| 9.80
| 12.02
| 14.07
| 18.48
| 24.32
|-
| style="text-align:center;" | 8
| 2.73
| 3.49
| 4.59
| 5.53
| 7.34
| 9.52
| 11.03
| 13.36
| 15.51
| 20.09
| 26.12
|-
| style="text-align:center;" | 9
| 3.32
| 4.17
| 5.38
| 6.39
| 8.34
| 10.66
| 12.24
| 14.68
| 16.92
| 21.67
| 27.88
|-
| style="text-align:center;" | 10
| 3.94
| 4.87
| 6.18
| 7.27
| 9.34
| 11.78
| 13.44
| 15.99
| 18.31
| 23.21
| 29.59
|-
! scope="row" style="text-align:right;" | p-значение
| style="background: #ffa2aa" | 0.95
| style="background: #efaaaa" | 0.90
| style="background: #e8b2aa" | 0.80
| style="background: #dfbaaa" | 0.70
| style="background: #d8c2aa" | 0.50
| style="background: #cfcaaa" | 0.30
| style="background: #c8d2aa" | 0.20
| style="background: #bfdaaa" | 0.10
| style="background: #b8e2aa" | 0.05
| style="background: #afeaaa" | 0.01
| style="background: #a8faaa" | 0.001
|-
|}

Эти значения могут быть вычислены через [[квантиль]] (обратную функцию распределения) хи-квадрат распределения;<ref>[http://www.r-tutor.com/elementary-statistics/probability-distributions/chi-squared-distribution R Tutorial: Chi-squared Distribution]</ref> Например, квантиль <math>\chi^2</math> для {{math|1=''p'' = 0.05}} и {{math|1=df = 7}} дает <math> \chi^2 </math>={{math|14.06714 ≈ 14.07}}, как в таблице сверху.

== См. также ==
* [[Критерий согласия Пирсона|Критерий согласия Пирсона (критерий <math> \chi^2 </math>)]]

== Примечания ==
{{примечания}}

{{перевести|en|Chi-squared distribution}}
{{Список вероятностных распределений}}

[[Категория:Непрерывные распределения]]