Просмотр кода страницы Распределение Пуассона

{{Вероятностное распределение
| название                          = Распределение Пуассона
| тип                               = Функция
| изображение функции вероятности   = Poisson distribution PMF.png
| изображение функции распределения = Poisson distribution CMF.png
| обозначение                       = <math>\mathrm{P}(\lambda)</math>
| параметры                         = <math>\lambda \in (0,\infty)</math>
| носитель                          = <math>k \in \{0,1,2,\ldots\}</math>
| формула функции вероятности       = <math>\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}</math>
| формула функции распределения     = <math>\frac{\Gamma(k+1, \lambda)}{k!}</math>
| математическое ожидание           = <math>\lambda</math>
| медиана                           = <math>\approx\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor</math>
| мода                              = <math>\lfloor\lambda\rfloor</math>
| дисперсия                         = <math>\lambda</math>
| ассиметрия                        = <math>\lambda^{-1/2}</math>
| эксцесс                           = <math>\lambda^{-1}</math>
| энтропия                          = <math>\lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}</math>
| производящая функция моментов     = <math>\exp(\lambda (e^t-1))</math>
| характеристическая функция        = <math>\exp(\lambda (e^{it}-1))</math>
}}
'''Распределе́ние Пуассо́на''' — [[Дискретное распределение|вероятностное распределение дискретного типа]], моделирует [[случайная величина|случайную величину]], представляющую собой число [[случайное событие|событий]], произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и [[Независимость (теория вероятностей)|независимо]] друг от друга.

Распределение Пуассона играет ключевую роль в [[Теория массового обслуживания|теории массового обслуживания]].

== Определение ==
Выберем фиксированное число <math>\lambda > 0</math> и определим [[Распределение вероятностей|дискретное распределение]], задаваемое следующей [[Функция вероятности|функцией вероятности]]:
: <math>p(k) \equiv \mathbb{P}(Y=k) = \frac{\lambda^k}{k!}\, e^{-\lambda}</math>,
где
* <math>\lambda </math> — математическое ожидание случайной величины (среднее количество событий за фиксированный промежуток времени),
* <math>k!</math> обозначает [[факториал]] числа <math>k</math>,
* <math>e = 2{,}718281828\ldots</math> — [[e (число)|основание натурального логарифма]].
Тот факт, что случайная величина <math>Y</math> имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием <math>\lambda</math>, записывается: <math>Y \sim~ \mathrm{P}(\lambda)</math>.

== Моменты ==
[[Производящая функция моментов]] распределения Пуассона имеет вид:
: <math>E_Y(t)=e^{\lambda\left(e^t-1\right)}</math>,
откуда
: <math>\mathbb{M}[Y]=\lambda</math>,
: <math>\mathbb{D}[Y]=\lambda</math>.

Для факториальных моментов распределения справедлива общая формула:
: <math>\mathbb{M}Y^{[k]}=\lambda^k</math>,
где <math>k=1,2,...</math>

А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

== Свойства распределения Пуассона ==
* Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть <math>Y_i\sim\mathrm{P}(\lambda_i),\; i=1,\ldots,n</math>. Тогда
: <math>Y = \sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{P}\left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i\right)</math>.

* Пусть <math>Y_i \sim \mathrm{P}(\lambda_i),\; i=1,2</math>, и <math>Y = Y_1 + Y_2</math>. Тогда [[условное распределение]] <math>Y_1</math> при условии, что <math>Y = y</math>, биномиально. Более точно:
: <math>Y_1\mid Y = y \sim \mathrm{Bin}\left(y, \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\right) </math>.

* C увеличением <math>\lambda</math> распределение Пуассона стремится к [[распределение Гаусса|распределению Гаусса]] со среднеквадратичным отклонением <math>\sigma=\sqrt{\lambda}</math> и сдвигом <math>\lambda</math>. Чтобы доказать это, нужно применить [[Формула Стирлинга|формулу Стирлинга]] для факториала, а затем воспользоваться разложением в [[ряд Тейлора]] <math>\ln(\lambda/k)^k</math> в окрестности <math>k=\lambda</math> и тем, что в пределах пика распределения <math>\sqrt{k}\approx\sqrt{\lambda}</math>. Тогда получается

: <math>p(k)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi\lambda}}\exp\left(-\frac{(k-\lambda)^2}{2\lambda}\right)</math>

== Асимптотическое стремление к распределению ==
Довольно часто в теории вероятности рассматривают не само распределение Пуассона, а последовательность распределений, асимптотически равных ему. Более формально, рассматривают последовательность случайных величин <math>\xi_1, \xi_2, \dots</math>, принимающих целочисленные значения, такую что для всякого <math>k</math> выполнено <math>P\{\xi_n=k\} \sim \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}</math> при <math>n \to \infty</math>.

Простейшим примером является случай, когда <math>\xi_n</math> имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха <math>\frac{\lambda}{n}</math> в каждом из <math>n</math> испытаний.

=== Обратная связь с факториальными моментами ===
Рассмотрим последовательность случайных величин <math>\xi_1, \xi_2, \dots,</math> принимающих целые неотрицательные значения. Если <math>\mu_r({\xi_n}) \sim \lambda^r</math> при <math>n \to \infty</math> и любом фиксированном <math>r</math> (где <math>\mu_r({\xi_n})</math> — <math>r</math>-й [[Моменты случайной величины|факториальный момент]]), то для всякого <math>k</math> при <math>n \to \infty</math> выполнено <math>P\{\xi_n=k\} \sim \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}</math>.

{{Hider|
  title = Доказательство|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content = 

==== Лемма ====
Для начала докажем общую формулу вычисления вероятности появления конкретного значения случайной величины через факториальные моменты. Пусть для некоторого <math>\xi</math> известны все <math>\mu_r(\xi)</math> и <math>\mu_r(\xi) \to 0</math> при <math>r \to \infty</math>. Тогда

<math>\sum \limits_{r=k}^{\infty} {(-1)^{r-k} \frac{\mu_r(\xi)}{k!(r-k)!}} = \sum \limits_{r=k}^{\infty} {\sum \limits_{s=r}^{\infty} {(-1)^{r-k} \frac{s!}{k!(r-k)!(s-r)!} P\{\xi=s\}}}.</math>

Изменяя порядок суммирования, это выражение можно преобразовать в

<math>\sum \limits_{s=k}^{\infty} {P\{\xi=s\} \sum \limits_{r=k}^{s} {\frac{(-1)^{r-k} s!}{k!(r-k)!(s-r)!}}} = \sum \limits_{s=k}^{\infty} {P\{\xi=s\} \frac{s!}{k!} \sum_{t=0}^{s-k} {\frac{(-1)^t}{t!((s-k)-t)!}}}.</math>

Далее, из известной формулы <math>\sum \limits_{k=0}^{n} {(-1)^k C_n^k}=0</math> получаем, что <math>\frac{s!}{k!} \sum_{t=0}^{s-k} {\frac{(-1)^t}{t!((s-k)-t)!}} = 0</math> при <math>s>k</math> и то же выражение вырождается в <math>1</math> при <math>s=k</math>.

Тем самым доказано, что <math>P\{\xi=k\} = \sum \limits_{r=k}^{\infty} {(-1)^{r-k} \frac{\mu_r(\xi)}{k!(r-k)!}}.</math>

==== Доказательство теоремы ====
Согласно лемме и условиям теоремы, <math>P\{\xi_n=k\} \sim \sum \limits_{r=k}^{\infty} {(-1)^{r-k} \frac{\lambda^r}{k!(r-k)!}} = \sum \limits_{r=0}^{\infty} {(-1)^r \frac{\lambda^{r+k}}{k!r!}} = \frac{\lambda^k}{k!} \sum \limits_{r=0}^{\infty} {\frac{(-\lambda)^r}{r!}} = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}</math> при <math>n \to \infty</math>.

'''[[Q.E.D.]]'''

}}

Как пример нетривиального следствия этой теоремы можно привести, например, асимптотическое стремление к <math>\mathrm{P}(\lambda)</math> распределения количества изолированных рёбер (двухвершинных компонент связности) в случайном <math>n</math>-вершинном графе, где каждое из рёбер включается в граф с вероятностью <math>p_n \sim \frac{2\lambda}{n^2}</math>.<ref>[http://shad.yandex.ru/lectures/probability_10.xml Видеолекция Школы Анализа Данных]</ref>

== История ==
Работа [[Пуассон, Симеон Дени|Симеона Дени Пуассона]] «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах»{{sfn|Пуассон|1837}}, в которой было введено данное распределение, была опубликована в 1837 году<ref>{{Статья в Кванте|автор=Чукова Ю. П. |название=Распределение Пуассона|номер=8|год=1988|страницы=15‒18|url=1988/08/raspredelenie_puassona.htm}}</ref>. Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии [[бактерии|бактерий]] в [[Чашка Петри|чашке Петри]], дефекты в длинной ленте или цепи, импульсы счетчика радиоактивного излучения, количество забиваемых футбольной командой голов и др.{{sfn|Винс|2012|с=370}}

== См. также ==
* [[Биномиальное распределение]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Вентцель, Елена Сергеевна|Вентцель Е. С.]], Овчаров Л. А. |заглавие=Теория вероятностей и её инженерные приложения. 2-е изд|место=М.|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=2000|страниц=480|isbn=978-5-406-00565-1}} — С. 135.
* {{книга|автор=Винс, Ральф. |заглавие=Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров|оригинал=The mathematics of money management risk analysis techniques for traders|место=М.|издательство=[[Альпина Паблишер (издательство)|Альпина Паблишер]]|год=2012|страниц=400|isbn=978-5-9614-1894-1|ref=Винс}}
* {{h|Пуассон|1837}} {{книга|автор=[[Пуассон, Симеон Дени|Пуассон С. Д.]] |заглавие=Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах|оригинал=''Poisson S.-D.'' Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile|ссылка=http://www.sheynin.de/download/Poisson.pdf|место=Berlin|издательство=NG Verlag (Viatcheslav Demidov Inhaber)|год=2013|allpages=330|isbn=978-3-942944-29-8}} {{cite web|url=http://www.sheynin.de/download/Poisson.pdf|title=[Poisson.pdf]|archiveurl=https://web.archive.org/web/20141101141802/http://www.sheynin.de/download/Poisson.pdf|archivedate=2014-11-01}}
* {{h|Guerriero|2012}} {{книга|автор=Guerriero V. |заглавие=Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics|ссылка=http://www.seipub.org/sjmmf/MostDownloaded.aspx|издание=''Journal of Modern Mathematics Frontier'', 2012, '''1'''|pages=21—28}} {{Wayback|url=http://www.seipub.org/sjmmf/MostDownloaded.aspx |date=20180221211902 }}

== Ссылки ==
* [http://k-tree.ru/articles/statistics/poisson.php Распределение Пуассона — онлайн-калькулятор]

{{rq|check|refless|topic=math}}
{{Список вероятностных распределений}}

[[Категория:Дискретные распределения]]
[[Категория:Решётчатые распределения]]