Просмотр кода страницы Распределение Вейбулла

{{Вероятностное распределение|
  notation   =<math>\mathrm{W}(k,\lambda)</math>|
  name       =Распределение Вейбулла|
  type       =Плотность|
  pdf_image  =[[Файл:Weibull PDF.svg|325px|Probability distribution function]]|
  cdf_image  =[[Файл:Weibull CDF.svg|325px|Cumulative distribution function]]|
  parameters =<math>\lambda>0</math> - [[коэффициент масштаба]], <br><math>k>0</math> - коэффициент формы|
  support    =<math>x \in [0; +\infty)</math>|
  pdf        =<math>(k/\lambda) (x/\lambda)^{(k-1)} e^{-(x/\lambda)^k}</math>|
  cdf        =<math>1- e^{-(x/\lambda)^k}</math>|
  mean       =<math>\lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)</math>|
  median     =<math>\lambda\ln(2)^{1/k}</math>|
  mode       =<math>\frac{\lambda(k-1)^{\frac{1}{k}}}{k^{\frac{1}{k}}},</math> для <math>k>1</math>|
  variance   =<math>\lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2</math>|
  skewness   =<math>\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\Gamma(1+\frac{2}{k})\lambda^2+2\mu^3}{\sigma^3}</math>|
  kurtosis   =<math>\frac{\lambda^4\Gamma\left(1+\frac4k\right)-4\lambda^3\mu\Gamma\left(1+\frac3k\right)+
6\lambda^2\mu^2\Gamma\left(1+\frac2k\right)-3\mu^4}{\sigma^4}</math>|
  entropy    =<math>\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k
+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)</math>|
  mgf        = <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!}\Gamma(1+n/k), \ k\geq1</math>|
  char       =<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{(it)^n\lambda^n}{n!}\Gamma(1+n/k)</math>
}}

'''Распределе́ние Ве́йбулла''' в [[Теория вероятностей|теории вероятностей]] — двухпараметрическое семейство [[Абсолютно непрерывное распределение|абсолютно непрерывных распределений]]. Названо в честь [[Вейбулл, Валодди|Валодди Вейбулла]], детально охарактеризовавшего его в 1951, хотя впервые его определил [[Фреше, Морис Рене|Фреше]] в 1927, а применено оно было ещё в 1933 для описания распределения размеров частиц.

== Определение ==
Пусть распределение [[Случайная величина|случайной величины]] <math>X</math> задаётся [[Плотность вероятности|плотностью]] <math>f_X(x)</math>, имеющей вид:
: <math>f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
\frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}, & x \ge 0 \\
0, & x < 0
\end{matrix}
\right..</math>
Тогда говорят, что <math>X</math> имеет распределение Вейбулла. Пишут: <math>X \sim \mathrm{W}(k,\lambda)</math>.

Если величину {{math|X}} принять за [[Наработка на отказ|наработку до отказа]], тогда получается распределение, в котором [[интенсивность отказов]] пропорциональна времени. Тогда:
* {{math|k}} < 1 показывает, что интенсивность отказов уменьшается со временем
* {{math|k}} = 1 показывает, что интенсивность отказов не меняется со временем
* {{math|k}} > 1 показывает, что интенсивность отказов увеличивается со временем
В [[Материаловедение|материаловедении]] коэффициент {{math|k}} известен как модуль Вейбулла.

== Свойства ==

=== Функция плотности ===
Вид функции плотности распределения Вейбулла сильно зависит от значения ''k''. Для 0 < {{math|k}} < 1 плотность стремится к бесконечности при <math>x\to 0+</math> и строго убывает. Для {{math|k}} = 1 плотность стремится к {{math|1/λ}} при <math>x\to 0+</math> и строго убывает. Для {{math|k}} > 1 плотность стремится к 0 при <math>x\to 0+</math>, возрастает до достижения своей [[Мода (статистика)|моды]] и убывает после. Интересно отметить, что плотность имеет бесконечный отрицательный [[угловой коэффициент]] в {{math|x}} = 0 при 0 < {{math|k}} < 1 , бесконечный положительный угловой коэффициент в {{math|x}} = 0 при 1 < {{math|k}} < 2, и нулевой угловой коэффициент в {{math|x}} = 0 при {{math|k}} > 2. При {{math|k}} = 2 плотность имеет конечный положительный угловой коэффициент в {{math|x}} = 0. При <math>k\to \infty</math> распределение Вейбулла сходится к [[Дельта-функция|дельта-функции]], центрированной в {{math|x}} = {{math|λ}}. Кроме того, [[коэффициент асимметрии]] и [[коэффициент вариации]] зависят только от коэффициента формы.

=== Функция распределения ===
Функция распределения Вейбулла:

: <math>F(x;k,\lambda) = 1- e^{-(x/\lambda)^k}</math>

при {{math|x}} ≥ 0, и {{math|F(x; k; λ)}} = 0 при {{math|x}} < 0

[[Квантиль]] распределения Вейбулла:

: <math>Q(p;k,\lambda) = \lambda {(-\ln(1-p))}^{1/k}</math>

при 0 ≤ {{math|p}} < 1.

Интенсивность отказов {{math|h}}:

: <math> h(x;k,\lambda) = {k \over \lambda} \left({x \over \lambda}\right)^{k-1}.</math>

== Моменты ==
[[Производящая функция моментов]] [[логарифм]]а случайной величины, имеющей распределение Вейбулла
: <math>E\left[e^{t\log X}\right] = \lambda^t\Gamma\left(\frac{t}{k}+1\right),</math>

где {{math|Γ}} — это [[гамма-функция]]. Аналогично, [[Характеристическая функция случайной величины|Характеристическая функция]] логарифма {{math|X}} задаётся
: <math>E\left[e^{it\log X}\right] = \lambda^{it}\Gamma\left(\frac{it}{k}+1\right).</math>

[[Моменты случайной величины]] <math>X</math>, имеющей распределение [[Вейбулл, Валодди|Вейбулла]] имеют вид
: <math>\mathbb{E}\left[X^n\right] = \lambda^n \Gamma\left(1 + \frac{n}{k}\right)</math>, где <math>\Gamma</math> — [[гамма-функция]], <br>
откуда
: <math>\mathbb{E}[X] = \lambda \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right)</math>,
: <math>\mathrm{D}[X] = \lambda^2 \left[\Gamma\left(1 + \frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1 + \frac{1}{k}\right)\right]</math>.

Коэффициент асимметрии задаётся функцией
: <math>\gamma_1=\frac{\Gamma\left(1+\frac{3}{k}\right)\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}</math>

[[Коэффициент эксцесса]]

: <math>\gamma_2=\frac{-6\Gamma_1^4+12\Gamma_1^2\Gamma_2-3\Gamma_2^2
-4\Gamma_1\Gamma_3+\Gamma_4}{[\Gamma_2-\Gamma_1^2]^2},</math>

где <math>\Gamma_i=\Gamma(1+i/k)</math>, так же может быть записан:

: <math>\gamma_{2}=\frac{\lambda^4\Gamma(1+\frac{4}{k})-4\gamma_{1}\sigma^3\mu-6\mu^2\sigma^2-\mu^4}{\sigma^4}-3</math>

=== Производящая функция моментов ===
Существует множество выражений для производящей функции моментов самой <math>X</math>
: <math>E\left[e^{tX}\right] = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right).</math>

Так же можно работать непосредственно с интегралом

: <math>E\left[e^{tX}\right] = \int_0^\infty e^{tx} \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k}\,dx.</math>

Если коэффициент {{math|k}} предполагается рациональным числом, выраженным {{math|k}} = {{math|p/q}}, где {{math|p}} и {{math|q}} целые, то интеграл может быть вычислен аналитически.<ref>См. {{harv|Cheng, Tellambura & Beaulieu|2004}} для случая целого {{math|k}}, и {{harv|Sagias|Karagiannidis|2005}} в случае рационального.</ref> С заменой {{math|t}} на {{math|-t}}, получается
: <math> E\left[e^{-tX}\right] = \frac1{ \lambda^k\, t^k} \, \frac{ p^k \, \sqrt{q/p}} {(\sqrt{2 \pi})^{q+p-2}} \, G_{p,q}^{\,q,p} \!\left( \left. \begin{matrix} \frac{1-k}{p}, \frac{2-k}{p}, \dots, \frac{p-k}{p} \\ \frac{0}{q}, \frac{1}{q}, \dots, \frac{q-1}{q} \end{matrix} \; \right| \, \frac {p^p} {\left( q \, \lambda^k \, t^k \right)^q} \right), </math>
где {{math|G}} — это G-функция Мейера.

=== Информационная энтропия ===
[[Информационная энтропия]] задаётся таким образом

: <math>
H(\lambda,k) = \gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right) + \ln\left(\frac{\lambda}{k}\right) + 1,
</math>

где <math>\gamma</math> — это [[Постоянная Эйлера — Маскерони]].

=== Оценка коэффициентов ===

==== Наибольшее правдоподобие ====
[[Оценка максимального правдоподобия]] для коэффициента <math>\lambda</math>
: <math>\hat \lambda^k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^k </math>

Для <math>k</math>
: <math>
  \hat k^{-1} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^k \ln x_i }
                       {\sum_{i=1}^n x_i^k }
                  - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln x_i
</math>

== Условная функция надёжности Вейбулла ==
Для 2-х параметрического распределения Вейбулла функция имеет вид:
:: <math> R(t|T)={ \frac{R(T+t)}{R(T)}}={\frac{e^{-\left( {\frac{T+t }{\lambda }}\right) ^{k }}}{e^{-\left( {\frac{T }{\lambda }}\right) ^{k }}}}</math>
:: или
:: <math> R(t|T)=e^{-\left[ \left( {\frac{T+t }{\lambda }}\right) ^{k }-\left( {\frac{T}{\lambda }}\right) ^{k }\right] }</math>

Для 3-х параметрического:

:: <math> R(t|T)={ \frac{R(T+t)}{R(T)}}={\frac{e^{-\left( {\frac{T+t-\theta }{\lambda }}\right) ^{k }}}{e^{-\left( {\frac{T-\theta }{\lambda }}\right) ^{k }}}}</math>

Она называется условной, потому что показывает вероятность того, что объект проработает ещё <math>t</math> времени '''при условии''', что он уже проработал <math>T</math>.

== График Вейбулла ==
Данные распределения Вейбулла визуально могут быть оценены с использованием графика Вейбулла<ref>[http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/weibplot.htm график Вейбулла]</ref> . Это график типа Q-Q [[Выборочная функция распределения|выборочной функции распределения]] со специальными осями. Оси — <math>\ln(-\ln(1-\hat F(x)))</math> и <math>\ln(x)</math> Причина изменения переменных в том, что выборочная функция распределения Вейбулла может быть представлена в линейном виде
: <math>\begin{align}
F(x) &= 1-e^{-(x/\lambda)^k}\\
-\ln(1-F(x)) &= (x/\lambda)^k\\
\underbrace{\ln(-\ln(1-F(x)))}_{\textrm{'y'}} &= \underbrace{k\ln x}_{\textrm{'mx'}} - \underbrace{k\ln \lambda}_{\textrm{'c'}}
\end{align}
</math>

Поэтому если данные получены из распределения Вейбулла, на графике Вейбулла можно ожидать прямую линию.

Есть множество способов получения выборочной функции распределения из данных: один из методов заключается в том, чтобы получить вертикальную координату каждой точки, используя <math>\hat F = \frac{i-0.3}{n+0.4}</math>, где <math>i</math> — это [[Рэнкинг|ранг]] точки данных, а <math>n</math> — это общее количество точек.<ref>Wayne Nelson (2004) ''Applied Life Data Analysis''. Wiley-Blackwell ISBN 0-471-64462-5</ref>

== Использование ==
Распределение Вейбулла используется:
* В [[Анализ выживаемости|анализе выживаемости]]
* В [[Надёжность|надёжности]] и анализе отказов
* В [[Электротехника|электротехнике]] для представления [[Перенапряжение (электротехника)|перенапряжения]], возникающего в электрических цепях
* В [[Промышленная инженерия|промышленной инженерии]]
* В теории экстремальных значений
[[Файл:FitWeibullDistr.tif|thumb|240px|Соответствие функции распределения Вейбулла выпавшей за один день годовой норме дождей]]
* В [[Прогноз погоды|прогнозировании погоды]]
** Для описания распределения скорости ветра как распределения, обычно совпадающего с распределением Вейбулла в [[Ветроэнергетика|ветроэнергетике]]
* В радиолокационных системах для моделирования дисперсии уровня принимаемого сигналов, создаваемой некоторыми типами клаттеров
* В моделировании [[Замирание сигнала|замирания сигнала]] в беспроводных коммуникациях
* В прогнозировании технологических изменений
* В гидрологии распределение Вейбулла применимо к экстремальным событиям, таким как выпадение годовой нормы дождей за день или разливу реки. На рисунке показано такое соответствие, а также 90 % [[доверительный интервал]], основанный на [[Биномиальное распределение|биномиальном распределении]].
* В описании размера частиц, полученных путём размельчения, помола или дробления
* Из-за доступности используется в [[Электронная таблица|электронных таблицах]], когда основное поведение в действительности лучше описывается распределением Эрланга

== Связь с другими распределениями ==
* 3-параметрическое распределение Вейбулла. Имеет функцию плотности
: <math>f(x;k,\lambda, \theta)={k \over \lambda} \left({x - \theta \over \lambda}\right)^{k-1} e^{-({x-\theta \over \lambda})^k}</math>
где <math>x \geq \theta</math> и ''f''(''x''; ''k'', λ, θ) = 0 при ''x'' < θ, где <math>k >0</math> — коэффициент формы, <math>\lambda >0</math> — коэффициент масштаба и <math>\theta</math> — [[коэффициент сдвига]] распределения. Когда θ=0, оно сводится к 2-х параметрическому распределению Вейбулла.
* 1-параметрическое распределение Вейбулла. Выводится предполагая <math>\theta=0</math> и <math>k=C=Constant</math>:

:: <math> f(t)={ \frac{C}{\lambda }}\left( {\frac{t}{\lambda }}\right) ^{C-1}e^{-\left( {\frac{t}{ \lambda }}\right) ^{C}}</math>
* Распределение Вейбулла может быть получено как функция от [[Экспоненциальное распределение|экспоненциального]].
Если <math>X</math> — экспоненциальное распределение <math>\operatorname{Exp}(\lambda)</math> для параметра <math>\lambda</math>, то случайная величина <math>Y = X^{1/k} ~(k>0)</math> имеет распределение Вейбулла <math>\operatorname{W}(\lambda^{1/k}, k)</math>. Для доказательства рассмотрим функцию распределения <math>Y</math>:

<math>F_Y(y) = P(Y \le y) = P(X^{1/k} \le y) = P(X \le y^k) = 1 - e^{-\lambda \cdot y^k} = 1 - e^{-(\lambda^{1/k} \cdot y)^k},~y > 0</math>

Полученная функция — функция распределения для распределения Вейбулла.
<!---* [[Экспоненциальное распределение]] является частным случаем распределения Вейбулла с интенсивностью ''1/λ'' при ''k = 1'':
: <math>\mathrm{Exp}(\lambda) \equiv \mathrm{W}\left(1, \frac{1}{\lambda}\right)</math>.--->
* [[Метод обратного преобразования]]: если <math>U \sim \mathrm{U}(0,1)</math>, то
: <math>\lambda \left(-\ln U\right)^{1/k} \sim \mathrm{W}(k,\lambda)</math>.
* С распределением Фреше: если <math>\mathrm{X} \sim \textrm{Weibull}(k = \alpha, \lambda = m)</math> , то <math> \tfrac{m^2}{\mathrm{X}} \sim \textrm{Frechet}(\alpha, s, m)</math>.
* С распределением Гумбеля: если <math>\mathrm{X} \sim \textrm{Weibull}</math> , то <math> \log (X) \sim \textrm{Gumbel}</math>.
* [[Распределение Рэлея]] — частный случай распределения Вейбулла при <math>k = 2</math> и <math>\lambda = \sqrt{2}\sigma </math><ref>[http://www.mathworks.com.au/help/stats/rayleigh-distribution.html Rayleigh Distribution — MATLAB & Simulink — MathWorks Australia<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref>
* Распределение Вейбулла является частным случаем [http://www.whycos.org/hwrp/guide/chapters/russian/original/WMO168_Ed2009_Vol_II_Ch5_Up2008_ru.pdf обобщённого распределения экстремальных значений]<ref>{{Книга|автор = Всемирная Метеорологическая Организация|заглавие = Руководство по гидрологической практике|ответственный = |издание = 6|место = Швейцария|издательство = |год = 2012|страницы = 165|страниц = |isbn = 978-92-63-40168-7.|том = 2}}</ref>
* Впервые распределение Вейбулла было применено для описания распределения размера частиц. Широко использовалось в [[обогащение полезных ископаемых|обогащении полезных ископаемых]] при [[Измельчение|измельчении]]. В этом контексте
функция распределения имеет вид
: <math>f(x;P_{\rm{80}},m) =  \begin{cases}
1-e^{ln\left(0.2\right)\left(\frac{x}{P_{\rm{80}}}\right)^m} & x\geq0 ,\\
0 & x<0 ,\end{cases}</math>
где
: <math>x</math>: Размер частицы
: <math>P_{\rm{80}}</math>: 80-й [[Квантиль#Перцентиль|процентиль]] распределения размера частиц
: <math>m</math>: Коэффициент, описывающий размах распределения

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{citation|last=Fréchet|first=Maurice|authorlink=Фреше,_Морис_Рене|title=Sur la loi de probabilité de l'écart maximum|journal=Annales de la Société Polonaise de Mathematique, Cracovie|volume=6|pages=93–116|year=1927}}.
* {{Citation | last1=Johnson | first1=Norman L. | last2=Kotz | first2=Samuel | last3=Balakrishnan | first3=N. | title=Continuous univariate distributions. Vol. 1 | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | edition=2nd | series=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Applied Probability and Statistics | isbn=978-0-471-58495-7 | mr = 1299979| year=1994}}
* {{Citation | first1=G.|last1 = Muraleedharan | first2=A.D.|last2=Rao|first3=P.G.|last3=Kurup|first4=N. Unnikrishnan|last4=Nair|first5=Mourani|last5=Sinha| year = 2007 | title = Modified Weibull Distribution for Maximum and Significant Wave Height Simulation and Prediction | issue=8 | volume=54 |pages = 630–638|doi=10.1016/j.coastaleng.2007.05.001 | journal=Coastal Engineering}}
* {{Citation | first1=G.|last1 = Muraleedharan | first2=C.G.|last2=Soares| year = 2014| title = Characteristic and Moment Generating Functions of Generalised Pareto (GP3) and Weibull Distributions| issue=14 | volume=3 |pages = 1861–1874|DOI= 10.9734/JSRR/2014/10087|journal=Journal of Scientific Research and Reports}}.
* {{citation|last1=Rosin|first1=P.|last2=Rammler|first2=E.|year=1933|title=The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal|journal=Journal of the Institute of Fuel|volume=7|pages=29–36}}.
* {{Citation | last1=Sagias | first1=Nikos C. | last2=Karagiannidis | first2=George K. | title=Gaussian class multivariate Weibull distributions: theory and applications in fading channels | doi=10.1109/TIT.2005.855598 | mr=2237527 | year=2005 | journal=Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transactions on Information Theory | issn=0018-9448 | volume=51 | issue=10 | pages=3608–3619 | url=http://pelopas.uop.gr/~nsagias/Files/Papers/Journals/2005/J4_2005.pdf }}{{Недоступная ссылка|date=Ноябрь 2017 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{citation|last=Weibull|first=W.|authorlink=Вейбулл,_Валодди|year=1951|title=A statistical distribution function of wide applicability|journal=J. Appl. Mech.-Trans. ASME|volume=18|issue=3|pages=293–297|url=http://www.barringer1.com/wa_files/Weibull-ASME-Paper-1951.pdf}}.
* {{cite web|url=http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3668.htm|chapter=Weibull Distribution|title=Engineering statistics handbook|publisher=[[National Institute of Standards and Technology]]|year=2008}}
* {{cite web |url=http://www.erpt.org/014Q/nelsa-06.htm |title=Dispersing Powders in Liquids, Part 1, Chap 6: Particle Volume Distribution |accessdate=2008-02-05 |last=Nelson, Jr |first=Ralph |date=2008-02-05 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20080213143135/http://www.erpt.org/014Q/nelsa-06.htm |archivedate=2008-02-13 }}
* {{Книга|автор = Левин Б.Р.|заглавие = Справочник по надежности|ответственный = |издание = Справочник по надежности/Под ред. Левина Б.Р., в 3 томах,  Т.1. М.: Мир, 1969 г., 339 с.|место = |издательство = М.: Мир|год = 1969|страницы = 176|страниц = 339|isbn = }}
* {{h|Cheng, Tellambura & Beaulieu|2004|3=J. Cheng, C. Tellambura, and N. C. Beaulieu ''Performance analysis of digital modulations on Weibull fading channels'' / Proc. IEEE Veh. Technol. Conf. 2004.}}

== Ссылки ==
* [http://www.xycoon.com/Weibull.htm Примеры графиков функции распределения Вейбулла]{{ref-en}}
* [http://reliawiki.org/index.php/The_Weibull_Distribution Распределение Вейбулла]{{ref-en}}
* [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/weibplot.htm График Вейбулла]{{ref-en}}

{{Список вероятностных распределений}}
{{rq|refless|topic=math}}

[[Категория:Непрерывные распределения]]